2019年全国统一高考（新课标1）文科数学真题试卷（解析版）

2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z＝，则|z|＝（　　）
A．2
B．
C．
D．1
2．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩?UA＝（　　）
A．{1，6}
B．{1，7}
C．{6，7}
D．{1，6，7}
3．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（　　）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．c＜a＜b
D．b＜c＜a
4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（　　）
A．165cm
B．175cm
C．185cm
D．190cm
5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（　　）
A．8号学生
B．200号学生
C．616号学生
D．815号学生
7．（5分）tan255°＝（　　）
A．﹣2﹣
B．﹣2+
C．2﹣
D．2+
8．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（　　）
A．A＝
B．A＝2+
C．A＝
D．A＝1+
10．（5分）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（　　）
A．2sin40°
B．2cos40°
C．
D．
11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA＝﹣，则＝（　　）
A．6
B．5
C．4
D．3
12．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（　　）
A．
+y2＝1
B．
+＝1
C．
+＝1
D．
+＝1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）曲线y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线方程为　
　．
14．（5分）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，S3＝，则S4＝　
　．
15．（5分）函数f（x）＝sin（2x+）﹣3cosx的最小值为　
　．
16．（5分）已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为　
　．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K2＝．
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
18．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝﹣a5．
（1）若a3＝4，求{an}的通项公式；
（2）若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
20．（12分）已知函数f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
21．（12分）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切．
（1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+11＝0．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：
（1）++≤a2+b2+c2；
（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．
2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z＝，则|z|＝（　　）
A．2
B．
C．
D．1
解：由z＝，得|z|＝||＝．
故选：C．
2．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩?UA＝（　　）
A．{1，6}
B．{1，7}
C．{6，7}
D．{1，6，7}
解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，
∴?UA＝{1，6，7}，
则B∩?UA＝{6，7}
故选：C．
3．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（　　）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．c＜a＜b
D．b＜c＜a
解：a＝log20.2＜log21＝0，
b＝20.2＞20＝1，
∵0＜0.20.3＜0.20＝1，
∴c＝0.20.3∈（0，1），
∴a＜c＜b，
故选：B．
4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（　　）
A．165cm
B．175cm
C．185cm
D．190cm
解：头顶至脖子下端的长度为26cm，
说明头顶到咽喉的长度小于26cm，
由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是≈0.618，
可得咽喉至肚脐的长度小于≈42cm，
由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，
可得肚脐至足底的长度小于＝110，
即有该人的身高小于110+68＝178cm，
又肚脐至足底的长度大于105cm，
可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，
即该人的身高大于65+105＝170cm，
故选：B．
5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
解：∵f（x）＝，x∈[﹣π，π]，
∴f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），
∴f（x）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A；
又f（）＝，因此排除B，C；
故选：D．
6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（　　）
A．8号学生
B．200号学生
C．616号学生
D．815号学生
解：：∵从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，
∴系统抽样的分段间隔为＝10，
∵46号学生被抽到，
则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增加10，所有号码数是以6为首项，以10为公差的等差数列，
设其数列为{an}，则an＝6+10（n﹣1）＝10n﹣4，
当n＝62时，a62＝616，即在第62组抽到616．
故选：C．
7．（5分）tan255°＝（　　）
A．﹣2﹣
B．﹣2+
C．2﹣
D．2+
解：tan255°＝tan（180°+75°）＝tan75°＝tan（45°+30°）
＝＝＝．
故选：D．
8．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（　　）
A．
B．
C．
D．
解：∵（﹣）⊥，
∴
＝，
∴
＝＝，
∵，
∴．
故选：B．
9．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（　　）
A．A＝
B．A＝2+
C．A＝
D．A＝1+
解：模拟程序的运行，可得：
A＝，k＝1；
满足条件k≤2，执行循环体，A＝，k＝2；
满足条件k≤2，执行循环体，A＝，k＝3；
此时，不满足条件k≤2，退出循环，输出A的值为，
观察A的取值规律可知图中空白框中应填入A＝．
故选：A．
10．（5分）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（　　）
A．2sin40°
B．2cos40°
C．
D．
解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝，
由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130°，得，
则＝，
∴＝，
得，
∴e＝．
故选：D．
11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA＝﹣，则＝（　　）
A．6
B．5
C．4
D．3
解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA＝﹣，
∴，
解得3c2＝，
∴＝6．
故选：A．
12．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（　　）
A．
+y2＝1
B．
+＝1
C．
+＝1
D．
+＝1
解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，
又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，
又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝，
∴|AF2|＝a，|BF1|＝a，
在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝，
在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝，
根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得+＝0，解得a2＝3，∴a＝．
b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．
所以椭圆C的方程为：
+＝1．
故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）曲线y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线方程为　y＝3x　．
解：∵y＝3（x2+x）ex，
∴y'＝3ex（x2+3x+1），
∴当x＝0时，y'＝3，
∴y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线斜率k＝3，
∴切线方程为：y＝3x．
故答案为：y＝3x．
14．（5分）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，S3＝，则S4＝　　．
解：∵等比数列{an}的前n项和，a1＝1，S3＝，
∴q≠1，＝，
整理可得，，
解可得，q＝﹣，
则S4＝＝＝．
故答案为：
15．（5分）函数f（x）＝sin（2x+）﹣3cosx的最小值为　﹣4　．
解：∵f（x）＝sin（2x+）﹣3cosx，
＝﹣cos2x﹣3cosx＝﹣2cos2x﹣3cosx+1，
令t＝cosx，则﹣1≤t≤1，
∵f（t）＝﹣2t2﹣3t+1的开口向上，对称轴t＝，在[﹣1，1]上先增后减，
故当t＝1即cosx＝1时，函数有最小值﹣4．
故答案为：﹣4
16．（5分）已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为　　．
解：∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，
过点P作PD⊥AC，交AC于D，作PE⊥BC，交BC于E，过P作PO⊥平面ABC，交平面ABC于O，
连结OD，OC，则PD＝PE＝，
∴CD＝CE＝OD＝OE＝＝1，
∴PO＝＝＝．
∴P到平面ABC的距离为．
故答案为：．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K2＝．
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
解：（1）由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率P＝＝，
女顾客对该商场服务满意的概率P＝＝；
（2）由题意可知，K2＝＝≈4.762＞3.841，
故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
18．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝﹣a5．
（1）若a3＝4，求{an}的通项公式；
（2）若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
解：（1）根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，
若S9＝﹣a5，则S9＝＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，即a1+4d＝0，
若a3＝4，则d＝＝﹣2，
则an＝a3+（n﹣3）d＝﹣2n+10，
（2）若Sn≥an，则na1+d≥a1+（n﹣1）d，
当n＝1时，不等式成立，
当n≥2时，有≥d﹣a1，变形可得（n﹣2）d≥﹣2a1，
又由S9＝﹣a5，即S9＝＝9a5＝﹣a5，则有a5＝0，即a1+4d＝0，则有（n﹣2）≥﹣2a1，
又由a1＞0，则有n≤10，
则有2≤n≤10，
综合可得：n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．
19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
解法一：
证明：（1）连结B1C，ME，∵M，E分别是BB1，BC的中点，
∴ME∥B1C，又N为A1D的中点，∴ND＝A1D，
由题设知A1B1DC，∴B1CA1D，∴MEND，
∴四边形MNDE是平行四边形，
MN∥ED，
又MN?平面C1DE，∴MN∥平面C1DE．
解：（2）过C作C1E的垂线，垂足为H，
由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，
∴DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH，
∴CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到时平面C1DE的距离，
由已知可得CE＝1，CC1＝4，
∴C1E＝，故CH＝，
∴点C到平面C1DE的距离为．
解法二：
证明：（1）∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，
AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
∴DD1⊥平面ABCD，DE⊥AD，
以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
M（1，，2），N（1，0，2），D（0，0，0），E（0，，0），C1（﹣1，，4），
＝（0，﹣，0），＝（﹣1，），＝（0，），
设平面C1DE的法向量＝（x，y，z），
则，
取z＝1，得＝（4，0，1），
∵＝0，MN?平面C1DE，
∴MN∥平面C1DE．
解：（2）C（﹣1，，0），＝（﹣1，，0），
平面C1DE的法向量＝（4，0，1），
∴点C到平面C1DE的距离：
d＝＝＝．
20．（12分）已知函数f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
解：
（1）
证明：∵f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x，
∴f′（x）＝2cosx﹣cosx+xsinx﹣1
＝cosx+xsinx﹣1，
令g（x）＝cosx+xsinx﹣1，
则g′（x）＝﹣sinx+sinx+xcosx
＝xcosx，
当x∈（0，）时，xcosx＞0，
当x时，xcosx＜0，
∴当x＝时，极大值为g（）＝＜0，
又g（0）＝0，g（π）＝﹣2，
∴g（x）在（0，π）上有唯一零点，
即f′（x）在（0，π）上有唯一零点；
（2）
由（1）知，f′（x）在（0，π）上有唯一零点x0，
使得f′（x0）＝0，
且f′（x）在（0，x0）为正，
在（x0，π）为负，
∴f（x）在[0，x0]递增，在[x0，π]递减，
结合f（0）＝0，f（π）＝0，
可知f（x）在[0，π]上非负，
令h（x）＝ax，
作出图示，
∵f（x）≥h（x），
∴a≤0，
∴a的取值范围是（﹣∞，0]．
21．（12分）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x+2＝0相切．
（1）若A在直线x+y＝0上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值？并说明理由．
解：∵⊙M故点A，B且A在直线x+y＝0上，
∴点M在线段AB的中垂线x﹣y＝0上，
设⊙M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝R2（R＞0），则
圆心M（a，a）到直线x+y＝0的距离d＝，
又|AB|＝4，∴在Rt△OMB中，
d2+（|AB|）2＝R2，
即①
又∵⊙M与x＝﹣2相切，∴|a+2|＝R②
由①②解得或，
∴⊙M的半径为2或6；
（2）∵线段为⊙M的一条弦，∴圆心M在线段AB的中垂线上，
设点M的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2＝|MA|2，
∵⊙M与直线x+2＝0相切，∴|MA|＝|x+2|，
∴|x+2|2＝|OM|2+|OA|2＝x2+y2+4，
∴y2＝4x，
∴M的轨迹是以F（1，0）为焦点x＝﹣1为准线的抛物线，
∴|MA|﹣|MP|＝|x+2|﹣|MP|
＝|x+1|﹣|MP|+1＝|MF|﹣|MP|+1，
∴当|MA|﹣|MP|为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为（1，0），
∴存在定点P（1，0）使得当A运动时，|MA|﹣|MP|为定值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+11＝0．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
解：（1）由（t为参数），得，
两式平方相加，得（x≠﹣1），
∴C的直角坐标方程为（x≠﹣1），
由2ρcosθ+ρsinθ+11＝0，得．
即直线l的直角坐标方程为得；
（2）设与直线平行的直线方程为，
联立，得16x2+4mx+m2﹣12＝0．
由△＝16m2﹣64（m2﹣12）＝0，得m＝±4．
∴当m＝4时，直线与曲线C的切点到直线的距离最小，为．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：
（1）++≤a2+b2+c2；
（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．
证明：（1）分析法：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．
要证（1）++≤a2+b2+c2；因为abc＝1．
就要证：
++≤a2+b2+c2；
即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；
即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；
2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0
（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0；
∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．
∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1时取等号．
即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得证．
故++≤a2+b2+c2得证．
（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立；
即：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．
（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；
（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）（b+c）（c+a）；
当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；
∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．
（a+b）≥2；（b+c）≥2；（c+a）≥2；
当且仅当a＝b，b＝c；c＝a时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；
∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）（b+c）（c+a）≥3×8＝24abc＝24