《二次函数（复习）》教学设计
课题：二次函数（复习）
科目：数学
教学对象：九年级
提供者：
单位
一、教学内容分析
（1）函数是初等数学中最基本的概念之一，贯穿于整个初等数学体系之中，也是实际生活中数学建模的重要工具之一.二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，也是初中数学教学的重点和难点之一,更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。在历届中考试题中，二次函数都是不可缺少的内容。
（2）二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用。
（3）二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系，使学生能更好地将所学知识融和。
二、教学目标
一、知识技能目标
1. 1、理解二次函数的概念，发展学生的数学思维。
2、根据图象对二次函数的性质进行分析，并逐步积累研究一般函数性质的经验；帮助学生形成科学的思维方式。
3、能根据二次函数的表达式，并能用二次函数的性质解决相关问题
4、通过综合题的训练，能运用科学的思维方式认识事物，解决问题
二、过程方法目标
通过二次函数的性质，体会结合图像讨论性质是研究函数的重要方法，
强化数形结合的数学思想并培养观察和分析问题的能力。
三、情感态度目标
引导学生养成全面看问题，学会分类讨论的学习习惯，在教学中渗透数形结合的思想。
三、教学策略选择与设计
1.探究引导策略：探讨式学习；教师启发引导。
2.自主合作探究式学习策略：互相讨论、交流、合作的课堂氛围。?
四、教学重点及难点
教学重点: 1.掌握二次函数?y=ax2+bx+c图像与系数符号之间的关系
2.二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决问题
教学难点: 二次函数性质的灵活运用，运用数形结合思想分析问题和解决问题
五、教学过程
一、创境启思
教师给学生做一个心理测试，学生对号入座，从数学角度函数角度分析学生的性格特征
萝卜白菜，各有所爱，你的所爱是？在我们学过的函数的大家庭里面，你最喜欢哪一个？
A、一次函数
B、反比例函数
C、二次函数
二．问题导思
1.二次函数的定义：一般的，形如__________________________________________的函数叫二次函数.
提示：(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0.
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.
跟踪练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1）y=3(x-1)2+1 (3) s=3-2t2 (5)y=(x+3)2-x2
2.二次函数的图象
图象：是一条抛物线。
图象的特点：（1）有开口方向，开口大小。
（2）有对称轴。
（3）有顶点（最低点或最高点）
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
图形的性质
a>0
a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
典例剖析: 例. 下图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，根据图象判断，下列结论正确的有
①a>0; ②abc>0; ③2a+b=0; ④a+b+c<0; ⑤-1
0; ⑥4a+c<2b;
巩固练习: 如图,抛物线y=ax2+bx+c ,请判断下列各式的符号：
①a 0; ②b 0; ③c 0;
④b2 - 4ac 0; ⑤ abc 0; ⑥ 2a-b 0;
⑦a+b+c 0; ⑧ a-b+c 0
中考链接：
如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象有下列5个结论：
①abc>0；②b0；
④ 2c<3b；⑤a+b>m(am+b) ，（m≠1的实数）
其中正确的结论有（ ）
2个 B.3个C.4个 D.5个
小结反思： 读图的关键是：
1.由图形语言——代数语言
2.记清a，b，c的符号与图象关系
3.把握关键：对称轴，顶点，交点
3. 二次函数的三种表达式：
（1）一般式： ；
（2）顶点:
（3）交点式： .
二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系:平移关系
二次函数与方程（不等式）的关系
（1）二次函数y＝ax2+bx+c的图像(抛物线) 与x轴的交点情况:
b2-4ac___0 抛物线与x轴有2个交点；
b2-4ac___0 抛物线与x轴有1个交点；
b2-4ac___0 物线与x轴有0个交点(没有交点).
（2）函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么
方程ax2+bx+c=0的根是 __________;
不等式ax2+bx+c>0的解集是_________;
不等式ax2+bx+c<0的解集是_________;
（3）探究析思：2.二次函数的图象如图,若有两个不相等的实数根,则k的取值范围____________________
小结反思：
（1）二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；
反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．
（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，
再根据交点的坐标写出不等式的解集.
三、迁移拓思
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，2），B（0，﹣2），其对称轴为直线x=，C（0，）为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得△ADE的面积最大，并求出最大面积；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△ADF是直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
四、总结反思
1. 解决二次函数图象有关问题时，要抓好a,b,c的符号；顶点坐标；对称轴；交点等几个关键点。
2.在解答有关函数问题的题目时要尽可能地去画出函数图象，那怕是它的草图，利用数形结合思想解决问题
五、作业布置
1.整理落实学案
2.完成学案评测练习评测练习
1.将抛物线y=（x﹣1）2+4先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为（?? ）
A.?（5，4）???????????????????????????B.?（1，4）???????????????????????????C.?（1，1）???????????????????????????D.?（5，1）
2．已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A. B. C.且 D.且
3．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
4．将抛物线y=x2－2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位得到的抛物线是 ．
5．如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．
六、结束寄语
课件24张PPT。 二次函数（复习）
九年级数学下册萝卜白菜，各有所爱，你的所爱是？ 在我们学过的函数的大家庭里面，你最喜欢哪一个？
A、一次函数
B、反比例函数
C、二次函数心理测试选一次函数 你为人正直，不喜欢拐弯抹角，对人有诚信，守信用，但有时说话会得罪人且有点急功近利，成绩有时会大起大落。选反比例函数 你富有反叛精神，能吃苦耐劳，且有较强的发散思维能力，假以时日，一定能成就一番事业，但有时会强出风头，对某一件东西太执着，最后又没有好的结果。选二次函数 你善于为人着想，做人比较圆滑，且有较强的公关能力，能从逆境中走出来，但有时候会被胜利冲昏头脑！假设你是二次函数，能做一下自我介绍吗？本课知识小结二次函数定义图象相关概念抛物线对称轴顶点性质和图象开口方向、对称轴、顶点坐标增减性解析式的确定一般式顶点式交点式定义：一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.提示:
(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且
a≠0.(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项
和常数项,但不能没有二次项.1.下列函数中,哪些是二次函数？怎么判断？(1）y=3(x-1)2+1;(3) s=3-2t2.(5)y=(x+3)2-x2.（是）（是）（不是）（不是）（不是）图象：是一条抛物线。
图象的特点：（1）有开口方向，开口大小。
（2）有对称轴。
（3）有顶点（最低点或最高点）。【考点链接】 二次函数的图象a>0a<0a>0a<0开口方向向上向下顶点对称轴增减性最 值二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质典例剖析： 例. 下图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，根据图象判断，下列结论正确的有_________①a>0;
②abc>0;
③2a+b=0;
④a+b+c<0;
⑤-10;
⑥4a+c<2b;③⑤⑥⑥ 2a-b 0; 如图,抛物线y=ax2+bx+c ,请判断下列各式的符号：
①a 0;
②b 0;
③c 0;
④b2 - 4ac 0;
⑤ abc 0; ＞＜＞＞⑦a+b+c 0;⑧ a-b+c 0＜＞=＜巩固练习：中考链接：
如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象
有下列5个结论：
①abc>0；②b0；
④ 2c<3b；⑤a+b>m(am+b) ，（m≠1的实数）
其中正确的结论有（ ）
2个 B.3个
C.4个 D.5个
小结反思：读图的关键是：
1.由图形语言——代数语言
2.记清a，b，c的符号与图象关系
3.把握关键：对称轴，顶点，交点2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)二次函数解析式的三种表示方式 平移关系当h>0时,向右平移当h<0时,向左平移y=ax2y=a(x－h)2当k>0时,向上平移当k<0时,向下平移y=a(x－h)2+k二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系二次函数与方程（不等式）的关系二次函数y＝ax2+bx+c的图像(抛物线) 与x轴的
交点情况:
b2-4ac___0 抛物线与x轴有2个交点；
b2-4ac___0 抛物线与x轴有1个交点；
b2-4ac___0 物线与x轴有0个交点(没有交点).口答：><=二次函数与方程（不等式）的关系例.函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么
方程ax2+bx+c=0的根是 __________;
不等式ax2+bx+c>0的解集是_________;
不等式ax2+bx+c<0的解集是_________;x1=-1; x2=3x<-1;x>3-1有两个不相等的实数根,则k的取值范围____________________ 探究析思：二次函数与方程（不等式）的关系（1）二次函数图象与x轴的交点问题常
通过一元二次方程的根的问题来解决；
反过来，一元二次方程的根的问题，
又常用二次函数的图象来解决．
（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，
先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，
再根据交点的坐标写出不等式的解集．小结反思：如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，2），B（0，﹣2），其对称轴为直线x= ，C（0，0.5）为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得△ADE的面积最大，并求出最大面积；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△ADF是直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由．迁移拓思：
总结反思： 1. 解决二次函数图象有关问题时，要抓好a,b,c的符号；顶点坐标；对称轴；交点等几个关键点。2.在解答有关函数问题的题目时要尽可能地去
画出函数图象，那怕是它的草图，
利用数形结合思想解决问题。 作业布置：1.整理落实学案
2.完成学案评测练习结束寄语之名人名言记住一句话
“越努力，越幸运”