【教案】不等式与三角之难题研究
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个性化教学辅导教案
学生姓名 年 级 学 科 数 学
上课时间 教师姓名
课 题
教学目标
教学过程
教师活动 学生活动
一?高考回顾 1．(16年江苏) 在锐角三角形，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是___________． 分析与解：由sinA＝2sinBsinC，可得sin(B＋C)＝2sinBsinC， 即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC， 两边同时除以cosBcosC可得tanB＋tanC＝2tanBtanC， 考虑消元，根据条件得到了B，C所满足的关系，因此可将tanAtanBtanC中的A消去， 因此有tanAtanBtanC＝－tanBtanCtan(B＋C)＝， 再由tanB＋tanC＝2tanBtanC可得：tanAtanBtanC＝， 至此，消去了A，继续利用B，C满足的关系tanB＋tanC＝2tanBtanC，可以消去B或者C转化为一元函数，再求解，注意观察，可以将tanBtanC看作一整体，这样求解就变得简单了， 设tanBtanC＝t(t＞1)， 则tanAtanBtanC＝＝2(t－1＋＋2)≥8． 于是tanAtanBtanC最小值为8，当然得到关于t的函数后，也可以利用导数求最小值． 如果能注意到在锐角三角形中有如下恒等式tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC， tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC＝tanA＋2tanBtanC， 考虑整体有： tanAtanBtanC＝tanA＋2tanBtanC≥2， 解得tanAtanBtanC≥8， 可以检验等号能取到，故tanAtanBtanC的最小值是8． 2.【2018~2019如皋14】在△锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的最小值是 ． 【答案】6 【解析】 （最后一步导数） 3.【2018~2019无锡14】在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C，则的最小值为 ． 答案： 考点：正弦定理，三角函数，基本不等式。 解析：由正弦定理，得：， 如图，作BD⊥AC于D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h， 因为，所以，，化简，得： ，解得：x＝3y ，，， ＝＝ ＝＝ 4.【2018~2019泰州14】在△ABC中，已知，其中，若为定值，则实数＝ 【答案 】 二?方法联想 三角与基本不等式综合求最值，需要注意三角的恒等变换以及变换后能够运用基本不等式的恰当变形．“代入消元”是常见的处理方法，“整体处理”较为灵活，往往能简化解题过程． 三?归类研究 1．若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是___________． 答案：． 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，b2－c2＝8，则cosA的最小值是___________． 答案：． 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值是___________． 答案：9． 4．已知，均为锐角，且cos(＋)＝，则tan的最大值是___________． 答案：． 5．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2－a2＝ac，则－的最小值___________． 答案：2． 6．在△ABC中，3sin2B＋7sin2C＝2sinAsinBsinC＋2sin2A，则sin(A＋)的值是 ． 答案：－． 7．在锐角△ABC中，已知2sin2A＋sin2B＝2sin2C，则＋＋的最小值为 ． 答案：． 类型二:不等式与向量 一?高考回顾 1．(15年天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．点E和点F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为____________． 分析与解：解决向量问题有两种选择，第一是：选择恰当的基底，进行向量运算．第二是：建立恰当的坐标系，进行坐标运算． 方法1：选择，作为一组基底，易知2＝4，2＝1，·＝1， ＝＋＝＋λ＝＋λ(－＋＋) ＝(1－λ)＋λ， ＝＋＝＋＝＋， 于是·＝[(1－λ)＋λ]·(＋)＝(1－λ)2＋(－λ)·＋λ2＝λ＋＋≥(当λ＝时取等号)， 所以·的最小值为． 方法2：建立如图所示的直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(，)，D(，)， 根据＝λ，＝，可以求得E(2－，λ)，F(＋，)， 于是·＝(2－)(＋)＋λ×＝＝λ＋＋≥． 二?方法联想 向量与基本不等式综合求最值，两类问题：一类是建立关于数量积的函数后直接运用基本不等式求最值，另一类是：将关于向量的已知条件转化为代数恒等式，再利用该恒等式求某一代数式或某数量积的最值．解决这两类问题的关键是能够熟练的在两个体系下解决向量的相关运算． 三?归类研究 1．已知⊥，||＝，||＝t，若P点△ABC所在平面内一点， 且＝＋，则·的最大值是___________． 答案：13． 2．在△ABC中，D为边BC的中点，记||＝m，||＝n，若·＝1，则－的最大值是__________． 答案：． 3．以C为钝角的△ABC中，BC＝3，·＝12，当角A最大时，△ABC面积为__________． 答案：3． 4．已知平面向量a，b不共线，且满足条件|a|＝1，|a＋2b|＝1，则|b|＋|a＋b|的取值范围是__________． 答案： (1，]． 5．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2CD，M为CD的中点，N为线段BC上一点（不包括端点），若＝λ＋μ，则＋的最小值为 ． 答案：．
教 学 反 思
成为受人尊敬的百年育人集团,让孩子成为人生道路上的冠军
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一?高考回顾 1．(16年江苏) 在锐角三角形，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是___________． 分析与解：由sinA＝2sinBsinC，可得sin(B＋C)＝2sinBsinC， 即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC， 两边同时除以cosBcosC可得tanB＋tanC＝2tanBtanC， 考虑消元，根据条件得到了B，C所满足的关系，因此可将tanAtanBtanC中的A消去， 因此有tanAtanBtanC＝－tanBtanCtan(B＋C)＝， 再由tanB＋tanC＝2tanBtanC可得：tanAtanBtanC＝， 至此，消去了A，继续利用B，C满足的关系tanB＋tanC＝2tanBtanC，可以消去B或者C转化为一元函数，再求解，注意观察，可以将tanBtanC看作一整体，这样求解就变得简单了， 设tanBtanC＝t(t＞1)， 则tanAtanBtanC＝＝2(t－1＋＋2)≥8． 于是tanAtanBtanC最小值为8，当然得到关于t的函数后，也可以利用导数求最小值． 如果能注意到在锐角三角形中有如下恒等式tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC， tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC＝tanA＋2tanBtanC， 考虑整体有： tanAtanBtanC＝tanA＋2tanBtanC≥2， 解得tanAtanBtanC≥8， 可以检验等号能取到，故tanAtanBtanC的最小值是8． 2.【2018~2019如皋14】在△锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的最小值是 ． 【答案】6 【解析】 （最后一步导数） 3.【2018~2019无锡14】在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C，则的最小值为 ． 答案： 考点：正弦定理，三角函数，基本不等式。 解析：由正弦定理，得：， 如图，作BD⊥AC于D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h， 因为，所以，，化简，得： ，解得：x＝3y ，，， ＝＝ ＝＝ 4.【2018~2019泰州14】在△ABC中，已知，其中，若为定值，则实数＝ 【答案 】 二?方法联想 三角与基本不等式综合求最值，需要注意三角的恒等变换以及变换后能够运用基本不等式的恰当变形．“代入消元”是常见的处理方法，“整体处理”较为灵活，往往能简化解题过程． 三?归类研究 1．若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是___________． 答案：． 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，b2－c2＝8，则cosA的最小值是___________． 答案：． 3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值是___________． 答案：9． 4．已知，均为锐角，且cos(＋)＝，则tan的最大值是___________． 答案：． 5．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2－a2＝ac，则－的最小值___________． 答案：2． 6．在△ABC中，3sin2B＋7sin2C＝2sinAsinBsinC＋2sin2A，则sin(A＋)的值是 ． 答案：－． 7．在锐角△ABC中，已知2sin2A＋sin2B＝2sin2C，则＋＋的最小值为 ． 答案：． 类型二:不等式与向量 一?高考回顾 1．(15年天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．点E和点F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为____________． 分析与解：解决向量问题有两种选择，第一是：选择恰当的基底，进行向量运算．第二是：建立恰当的坐标系，进行坐标运算． 方法1：选择，作为一组基底，易知2＝4，2＝1，·＝1， ＝＋＝＋λ＝＋λ(－＋＋) ＝(1－λ)＋λ， ＝＋＝＋＝＋， 于是·＝[(1－λ)＋λ]·(＋)＝(1－λ)2＋(－λ)·＋λ2＝λ＋＋≥(当λ＝时取等号)， 所以·的最小值为． 方法2：建立如图所示的直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(，)，D(，)， 根据＝λ，＝，可以求得E(2－，λ)，F(＋，)， 于是·＝(2－)(＋)＋λ×＝＝λ＋＋≥． 二?方法联想 向量与基本不等式综合求最值，两类问题：一类是建立关于数量积的函数后直接运用基本不等式求最值，另一类是：将关于向量的已知条件转化为代数恒等式，再利用该恒等式求某一代数式或某数量积的最值．解决这两类问题的关键是能够熟练的在两个体系下解决向量的相关运算． 三?归类研究 1．已知⊥，||＝，||＝t，若P点△ABC所在平面内一点， 且＝＋，则·的最大值是___________． 答案：13． 2．在△ABC中，D为边BC的中点，记||＝m，||＝n，若·＝1，则－的最大值是__________． 答案：． 3．以C为钝角的△ABC中，BC＝3，·＝12，当角A最大时，△ABC面积为__________． 答案：3． 4．已知平面向量a，b不共线，且满足条件|a|＝1，|a＋2b|＝1，则|b|＋|a＋b|的取值范围是__________． 答案： (1，]． 5．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2CD，M为CD的中点，N为线段BC上一点（不包括端点），若＝λ＋μ，则＋的最小值为 ． 答案：．
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