【教案】不等式之综合题型

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课 题 不等式之综合题型
教学目标 学会不等式之综合题型的常规解法
教学过程
教师活动 学生活动
一、例题分析 例1 设函数f(x)＝x2＋ax＋3． (1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围； (2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围； (3)设不等式f(x)≥a对于满足1≤a≤3的一切a的取值都成立，求x的取值范围． 解：(1)－6≤a≤2． (2) －7≤a≤2． 思路1：(利用二次函数的图象) 注：此方法可改进，由f(2)≥a，f(－2)≥a得－7≤a≤．对称轴x＝－∈[－，]，可少讨论一种情况． 思路2：(求函数的最值) 注：此方法可改进，由f(2)≥a，f(－2)≥a得－7≤a≤，再进行分类讨论． 思路3：(变量分离后，再求函数的最值) (3) x≤－3或x≥0． 【教学建议】 1．本题涉及到不等式恒成立问题，通常思路有3种， ①f(x)≥0，x∈D恒成立f(x)min≥0转化为求函数f(x)的最小值(求最值时，可能要对参数进行讨论)； ②选进行变量分离，再求函数的最值；即f(x)≥a，x∈D恒成立f(x)min≥a． ③利用函数的图象和几何意义； 2．本题是二次不等式恒成立问题，第一问是二次不等式对任意实数恒成立，可由图象法及判别式处理． 第二问是二次不等式对x∈[－2，2]恒成立，所以图象法，求最值，或变量分量后求最值均可，以方法二较优． 例2 设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，求m＋n的取值范围． 解 m＋n∈(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)． 思路1：(基本不等式) 思路2：(消元转化为求函数的值域) 思路3：(利用图形的几何意义) 【教学建议】 1．本题是求二元函数的值域问题．这类问题主要有3种解题思路： ①直接利用基本不等式，这种方法往往只能求最大值或最小值； ②消元转化为一元函数，再求最值； ③将两个变量看成一个有序实数对，当作平面内一个动点，从图形的几何意义方面，考虑求目标函数的值域． 2．本题3种方法均可，方法一只适用于本题，方法二是一般方法，本题中方法三难度较大，对思维的要求很高，但比较直观，在小题中使用较好． 例3 在△ABC中，AB＝AC，D为AC中点，且BD＝，求△ABC的面积的最大值． 解：S取最大值2． 思路1：（代数方法）建立目标函数，求最值． 思路2：（几何方法） 【教学建议】 1．本题是实际问题中的最值问题．这类问题通常有2种思路： ①根据图形的几何意义，确定取得最值的情形，再进行计算； ②建立目标函数，转化为求函数的最值． 2．本题采用思路2，通过建立目标函数，再求函数的最值，再表示面积时，有两种方法，一是通过两边及夹角求面积，一是通过底边与高求面积，因而有方法一与方法二． 3．方法一有纯代数的方法，转化为求双二次函数的最值，运算量较大；方法二结合图形的几何性质，由于BD已知，因而要使面积最大，只需A到BD的距离最大，由于点A要求满足AB＝2AD，因而它的轨迹是一个圆，问题就转化为求轨迹上的点到直线BD距离的最大值问题，所以法二采用了建系求轨迹的方法，运算量小，比方法一简单，但思维的要求更高． 二、反馈巩固 **1． (2016江苏)已知实数x，y满足 ，则x2+y2的取值范围是 ． (考查线性规划). 答案 **2．设满足约束条件若目标函数的最大值为8，则的最小值为 ． (考查线性规划). 答案 4 *3．函数的最小值是 ． (考查基本不等式). 答案 9 **4.若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值为________． (考查基本不等式). 答案　 **5.（2016上海）设若关于的方程组无解，则的取值范围是____________． (考查基本不等式). 答案 ***6.已知，则的最小值为 ． (考查基本不等式). 答案 12 **7．如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为_________________. (考查函数的单调性, 线性规划). 答案 18 ***8.若关于x的不等式(2ax－1)·ln x≥0 对任意x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的值为________． (考查不等式恒成立问题，不等式与函数的关系). 答案：； **9．已知函数f(x)＝若f(3－2a2)＞f(a)，则实数a的取值范围为________； (考查函数性质应用). 答案　∪(1，＋∞) **10．已知f(x)是定义在(－∞，4]上的减函数，是否存在实数m，使得f(m－sin x)≤f对定义域内的一切实数x均成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由． (考查函数性质应用,基本不等式). 解　假设实数m存在，依题意， 可得 即 因为sin x的最小值为－1，且－(sin x－)2的最大值为0，要满足题意，必须有 解得m＝－或≤m≤3. 所以实数m的取值范围是∪. **11．某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元． (1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用) (2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？ (考查函数性质应用,基本不等式). 解 (1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为： 4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)， 从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多： 100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)， 写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列， 所以函数表达式为： y＝f(x)＝800x＋×20＋9 000 ＝10x2＋790x＋9 000(x∈N*)； (2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为： g(x)＝×10 000 ＝ ＝50≥50×(2＋79) ＝6 950(元)． 当且仅当x＝，即x＝30时等号成立．[来源:学。科。网Z。X。X。K] 答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低． **12．某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工．据估计，如果能动员x(x>0)户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x%，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为3(a>0)万元． (1)在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的年总收入，试求x的取值范围； (2)在(1)的条件下，要使100户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植农民的年总收入，试求实数a的最大值． (考查函数性质应用,不等式恒成立). 解　(1)由题意得3(100－x)(1＋2x%)≥3×100， 即x2－50x≤0，解得0≤x≤50， 又因为x>0，所以00，所以a≤＋＋1恒成立，而＋＋1≥5(当且仅当x＝50时取得等号)． 所以a的最大值为5. **13. 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以 点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成. 按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米. 设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度). (1)求θ关于x的函数关系式； (2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？ (考查扇形的面积与弧长，基本不等式求最值的实际应用问题). 答案：（1）θ＝(0＜x＜10)； （2）y＝，(0＜x＜10)；当x＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． **14．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m＜n)． (1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)＞0的解集； (2)若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f(x)与m的大小． (考查函数性质,二次不等式应用). 解 (1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)·(x－n)， 当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)＞0，[来源:学§科§网Z§X§X§K] 即a(x＋1)(x－2)＞0. 当a＞0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|x＜－1或x＞2}； 当a＜0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|－1＜x＜2}． (2)f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m ＝(x－m)(ax－an＋1)， ∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜， ∴x－m＜0,1－an＋ax＞0. ∴f(x)－m＜0，即f(x)＜m. ***15.【2018全国一卷21】已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点，证明：． (考查解不等式, 不等式综合应用). 解:（1）的定义域为，. （i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减. （ii）若，令得，或. 当时，； 当时，. 所以在单调递减， 在单调递增. （2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当. 由于的两个极值点满足，所以， 不妨设，则.由于 ， 所以等价于. 设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，. 所以，即.
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