【教案】导数及其应用之综合题型

个性化教学辅导教案
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课 题 导数及其应用之综合问题
教学目标 学会导数及其应用之综合问题之常规解法
教学过程
教师活动 学生活动
一、例题分析 例1 已知函数f (x)＝x3＋2bx2＋cx－2的图象在与x轴交点处的切线方程是y＝5x－10． （1）求函数f (x)的解析式； （2）设函数g (x)＝f (x)＋mx，若g (x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g (x)取得极值时对应的自变量x的值． 答案：（1）函数的解析式为f (x)＝x3－2x2＋x－2． （2）实数m的取值范围是：m∈（－∞，1）． 当x＝时，g (x) 有极大值；当x＝时， g (x) 有极小值． 解析：由已知，切点为（2，0），故有f（2）=0，
即4b＋c＋3=0．①
f ′(x)＝3x2＋4bx＋c，由已知，f ′(2)＝12＋8b＋c＝5．
得8b＋c＋7＝0．②
联立①、②，解得c=1，b=－1，
于是函数解析式为f (x)＝x3－2x2＋x－2． （2）g(x)=x3－2x2＋x－2＋mx，g ′(x)＝3x2－4x＋1＋m，令g ′(x)＝0．
当函数有极值时，△≥0，方程3x2－4x＋1＋m＝0有实根，
由△＝4（1－m）≥0，得m≤1．
①当m＝1时，g ′(x)＝0有实根x＝，在x＝左右两侧均有g ′(x)＞0，故函数g(x)无极值．
②当m＜1时，g ′(x)＝0有两个实根，x1=，x2= 当x变化时，g ′(x)、g(x)的变化情况如下表：


故在m∈（-∞，1）时，函数g(x)有极值；
当x＝时g(x)有极大值；
当x＝时g(x)有极小值． 〖教学建议〗 一、主要问题归类与方法： 1．切点在x轴上又在曲线上，也在切线上． 2．函数存在极值，则导函数的值可正可负． 3．二次函数的值可正可负，则有对应的二次方程有两个不相等的实数根，所以判别式要大于零． 4．求函数的极值，应先由导函数值等于0求出极值点，再通过列表判断函数的单调性，从而求出函数的极值以及取得极值时对应的自变量x的值． 例2 已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx． （1）当a＝1时，求函数f(x)的单调增区间； （2）求函数f(x)在区间[1，e]上的最小值； （3）设g(x)＝(1－a)x，若存在x0∈[，e]，使得f(x0)≥g(x0)成立，求实数a的取值范围． 答案：（1）函数f(x)的单调增区间为（0，）和（1，＋∞）． （2）当a≤1时，[f(x)]min＝－2a；当1＜a＜e时，[f(x)]min＝a(lna－a－1)； 当a≥e时，[f(x)]min＝e2－(2a＋1) e＋a． （3）实数a的取值范围为(－∞，]． 解析：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋lnx，定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－3＋＝＝.
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝. x(0，)(，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗
所以函数f(x)的单调增区间为(0，)，(1，＋∞)．?
(2)f′(x)＝2x－(2a＋1)＋＝＝，令f′(x)＝0，得x＝a或x＝.
当a≤时，f(x)在[，＋∞)上单调增，所以f(x)在区间[1，e]上单调增；
当综上，当a≤1时，f(x)min＝f(1)＝－2a；
当1＜a＜e时， x(1，a)a(a，e)f′(x)－0＋f(x)?↘a(lna－a－1)?↗
所以f(x)min＝f(a)＝a(lna－a－1)； 当a≥e时，f ′(x)≤0对x∈[1，e]恒成立，则f(x)在[1，e]上单调递减， 则[f(x)]min＝f(e)＝e2－(2a＋1) e＋a． （3）实数a的取值范围为(－∞，]． 〖教学建议〗 （1）主要问题归类与方法： 本题是利用导数研究函数的相关性质. （2）方法选择与优化建议： 1．导函数值大于零的区间是原函数的增区间；导函数值小于零的区间是原函数的减区间．求单调区间关注函数的定义域，单调区间是定义域的子集． 2．求函数在闭区间上的最值，先求出函数的极值点，研究函数在这个闭区间上的简图，比较极值点和区间端点分别对应的函数值大小． 3．由于本题极值点是一个字母，要讨论这个极值点与所给闭区间的关系，突出分类讨论的思想． 4．帮助学生理解题意，得出不等式f(x)≥g(x)在[，e]上有解，通过分离常数法，研究函数的最大值得出实数a的取值范围． 5．在对不等式变形时，要注意不等式两边同时除以的是正数还是负数，关注不等号方向的变化．本题可以适当变式帮助学生理解题意． 例3．设函数f(x)＝(x－1)3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R. （Ⅰ）求f(x)的单调区间； （Ⅱ）若f(x)存在极值点x0，且f(x1)＝f(x0)，其中x1≠x0，求证：x1＋2x0＝3； （Ⅲ）设a0，函数g(x)＝|f(x)|，求证：g(x)在区间[0，2]上的最大值不小于. 解：(1)由f(x)＝(x－1)3－ax－b，可得f ′(x)＝3(x－1)2－a. 下面分两种情况讨论： (i)当a≤0时，有f ′(x)＝3(x－1)2－a≥0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)． (ii)当a>0时，令f ′(x)＝0，解得x＝1＋或x＝1－. 当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表： 所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，. (2)证明：因为f(x)存在极值点，所以由(1)知a>0，且x0≠1.由题意，得f ′(x0)＝3(x0－1)2－a＝0，即(x0－1)2＝，所以f(x0)＝(x0－1)3－ax0－b＝(x0－1)3－3(x0－1)2x0－b. 因为f(x1)＝f(x0)，所以(x－1)3－3(x0－1)2x－b＝(x0－1)3－3(x0－1)2x0－b，分解因式， (x1－x0)( x1＋2x0－3)＝0,因为x1≠x0，因此x1＝3－2x0，所以x1＋2x0＝3. (3)证明：设g(x)在区间[0，2]上的最大值为M，max{x，y}表示x，y两数中的最大值，下面分三种情况讨论： ①当a≥3时，1－≤0<2≤1＋. 由(1)知，f(x)在区间[0，2]上单调递减，所以f(x)在区间[0，2]上的取值范围为[f(2)，f(0)]，因此M＝max{|f(2)|，|f(0)|}＝max{|1－2a－b|，|－1－b|} ＝max{|a－1＋(a＋b)|，|a－1－(a＋b)|} ＝ 所以M＝a－1＋|a＋b|≥2. ②当≤a<3时，1－≤0<1－<1＋<2≤1＋，由(1)和(2)知， f(0)≥f＝f，f(2)≤f＝f， 所以f(x)在区间[0，2]上的取值范围为， 因此M＝max ＝max ＝max ＝＋|a＋b|≥××＝. ③当0f＝f， 所以f(x)在区间[0，2]上的取值范围为[f(0)，f(2)]， 因此M＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝max{|－1－b|，|1－2a－b|} ＝max{|1－a＋(a＋b)|，|1－a－(a＋b)|} ＝1－a＋|a＋b|>. 综上所述，当a>0时，g(x)在区间[0，2]上的最大值不小于. 〖教学建议〗 （1）问题归类与方法： 函数的最值的问题 求解步骤：①求函数的定义域；②求f ′(x)＝0在区间内的根；③讨论极值点两侧的导数的正负确定极大值或极小值．④将求得的极值与两端点处的函数值进行比较，得到最大值与最小值． （2）方法选择与优化建议： 第（2）中也可选择用x0表示a，由f(x1)＝f(x0)得到关于x1的方程，参数为x0． 二、反馈巩固 *1．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，2)，则ab＝_________． (考查导数的几何意义) 答案：－8 解析：A(1，2)代入 y＝kx＋1，则k＝1；又y ′＝3x＋a，则3＋a＝1，则a＝－2； A(1，2)代入 y＝x3＋ax＋b，则b＝3 *2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是___________． 答案：(2，＋∞) 说明：本题考查求函数单调区间 解析：f ′(x)＝ex ＋(x－3)ex＝（x－2）ex＞0，则x＞2 *3．函数y＝x＋2cosx，x∈[0，]的值域是 ． (考查函数的值域) 答案：[，＋] 解析：f(x)＝x＋2cosx，则f ′(x)＝1－2sinx 令f ′(x)＝0，则x＝，列表格说明单调性，（0，）上f(x)单调递增，（，）单调递减， 则x＝时f(x)取得最大值是＋；又f()＝，f(0)＝2，则f(x)的最小值是 *4．设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是_______． (用导数研究函数的单调性) 答案：1＜a≤2． **5. 关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________. (利用导数研究函数的零点) 答案：(－4，0)． **6.已知x≥0，y≥0，x＋3y＝9，则x2y的最大值为________． (考查用导数研究函数的最值). 答案：36； **7．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为_____． (用导数研究函数的最值) 答案：． **8．若f(x)＝－x2＋blnx在(0,＋∞)上是减函数，则b的取值范围是 ． (考查导数与单调性，恒成立问题) 答案：b≤0 解析：f ′(x)＝－x＋b≤0恒成立，则b≤x，∴b≤0 **9．若函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则a的取值范围为 ． (本题考查函数的极值) 答案：a＞2或a＜－1 解析：f ′(x)的△＞0 **10．已知函数f(x)＝x3＋6x2＋2a＋3，若方程f(x)＝0有3个互不相等的实数根，则a的取值范围是___________． (考查函数的单调性、函数的极值、函数的图象) 答案：－＜a＜－ 解析：f ′(x)＝3x＋12x＝3x（x＋4），令f ′(x)＝0，则x＝－4或0 列表格说明单调性，得到f(x)的极大值为f(－4)，f(x)的极小值是f(0) 由题意得，f(－4)＞0且f(0)＜0 **11．已知f(x)＝x3，g(x)＝－x2＋x－a，若存在x0∈[－1,](a＞0)，使得f(x0)＜g(x0)，则实数a的取值范围是 ． (考查不等式有解的问题，分类讨论) 答案：0＜a＜ 解析：存在x0∈[-1，]（a＞0），使得f（x0）＜g（x0），转化为存在x∈[-1，]（a＞0），使得（f（x）-g（x））max＜0即可． 令h（x）=f（x）-g（x）=x3+x2-x+a， 则h′（x）=3x2+2x-1=（3x-1）（x+1）
令h′（x）＞0解得x＜-1或x＞，即h（x）在区间（-∞，-1）与（，+∞）上是增函数，在（-1，）上是减函数
又x0∈[-1，]（a＞0），∵h（-1）＞0，∴h（）＜0，且a＞0，解得0＜a＜ ***12．f(x)是定义在R上的函数，其导函数为f'(x)，若f(x)－f'(x)＞1， f(1)＝2018，则不等式f(x)＞2017·ex－1＋1（其中e为自然对数的底数）的解集为_______． （考查利用导数研究函数的单调性，需要根据题意构造函数） 答案：(－∞，1) 解析：设g(x)= ef(x)－e， 则g′(x)=? ef(x)+ ef′(x)+ e=e [f′(x)?f(x)+1]， ∵f(x)?f′(x)>1,∴f′(x)?f(x)+1<0， ∴g′(x)<0， ∴y=g(x)在定义域上单调递减,g(1)=2017， ∵f(x)＞2017·ex－1＋1,∴ef(x)－e>2017= g(1)， 得到g(x)>2017=g(1)， ∴g(x)>g(1)，得x<1， ∴f(x)＞2017·ex－1＋1的解集为(－∞，1) . 13．已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋a(a，b∈R)，且其导函数f ′(x)的图象过原点． *（1）当a＝1时，求函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程； **（2）若存在x＜0，使得f ′(x)＝－9，求a的最大值． 答案：（1）3x－y－8＝0； （2）a的最大值为－7 (考查导数的几何意义,方程有解的问题) 解析：求导数，可得f ′(x)＝x2-（a+1）x+b，由f ′(0)=0得b=0，f ′(x)＝x（x－a－1） （1）当a=1时，f(x)=x3-x2+1，f ′(x)＝x（x－2），
∴f（3）=1，f′（3）=3
∴函数f（x）的图象在x=3处的切线方程为y-1=3（x-3）即3x-y-8=0． （2）∵存在，使x＜0得f′（x）=x（x-a-1）=-9，
∴-a-1=-x-=≥2=6，
∴a≤－7当且仅当x=-3时，a=-7．∴a的最大值为-7．
14．已知函数f(x)＝ex(ax2＋x＋1)． **（1）设a＞0，讨论f(x)的单调性； **（2）设a＝－1，证明：对任意x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|＜2． (考查函数单调区间的分类讨论，比较两个驻点的大小,考查命题的转化、函数的最值) 解析：（1）∵f ′(x)=ex（ax2+x+1+2ax+1）=ex（x+2）（x+1）． 令f ′(x)＞0，得（x+2）（x+1）＞0，注意到a＞0，
∴当a∈（0，）时，f（x）在（-∞，-）上是增函数，在（-，-2）上是减函数，在（－2，+∞）上递增；
当a=时，f(x)在（-∞，+∞）上递增；
当a∈（，+∞）时，f(x)在（-∞，-2）上递增，在（-2，-）上递减，在（-，+∞）上递增． （2）∵a=-1，由（Ⅰ）f ′(x)=-ex（x+2）（x-1），
∴f(x)在[0，1]上单调增加，
故f(x)在[0，1]上的最大值为f（1）=e，最小值为f（0）=1．
从而对?x1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|＜2． **15.现有一张长为80cm宽为60cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失，若长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x(cm),高为y(cm),体积为V（cm3）. （1）求出x与y的关系式; （2）求该铁皮盒体积V的最大值. (考查函数的应用,函数的最值) 答案 (1) y＝(0＜x＜60) (2)32000cm3 ***16. 下图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在圆的圆心为O.为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上)．过O作OP⊥AB，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P.已知OP＝10，MP＝6.5(单位：m)，记通风窗EFGH的面积为S(单位：m2)． (1) 按下列要求建立函数关系式： (ⅰ) 设∠POF＝θ(rad)，将S表示成θ的函数； (ⅱ) 设MN＝x(m)，将S表示成x的函数； (2) 试问通风窗的高度MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？ (考查函数的应用,函数的最值) 解：(1) 由题意知，OF＝OP＝10，MP＝6.5，故OM＝3.5. (ⅰ) 在Rt△ONF中，NF＝OFsinθ＝10sinθ，ON＝OFcosθ＝10cosθ. 在矩形EFGH中，EF＝2NF＝20sinθ， FG＝ON－OM＝10cosθ－3.5， 故S＝EF×FG＝20sinθ(10cosθ－3.5)＝10sinθ(20cosθ－7)． 即所求函数关系是S＝10sinθ(20cosθ－7)，0＜θ＜θ0，其中cosθ0＝，θ0为锐角．(4分) (ⅱ) 因为MN＝x，OM＝3.5， 所以ON＝x＋3.5. 在Rt△ONF中，NF＝＝＝. 在矩形EFGH中，EF＝2NF＝，FG＝MN＝x， 故S＝EF×FG＝x. 即所求函数关系是 S＝x，0＜x＜6.5.(8分) (2) (方法1)选择(ⅰ)中的函数模型： 令f(θ)＝sinθ(20cosθ－7)， 即f′(θ)＝cosθ(20cosθ－7)＋sinθ(－20sinθ)＝40cos2θ－7cosθ－20.(10分) 由f′(θ)＝40cos2θ－7cosθ－20＝0， 解得cosθ＝，或cosθ＝－. 因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0， 所以cosθ＝. 设cosα＝，且α为锐角， 则当θ∈(0，α)时，f′(θ)＞0，f(θ)是增函数；当θ∈(α，θ0)时，f′(θ)＜0，f(θ)是减函数， 所以当θ＝α，即cosθ＝时，f(θ)取到最大值，此时S有最大值． 即MN＝10cosθ－3.5＝4.5 m时，通风窗的面积最大．(14分) (方法2)选择(ⅱ)中的函数模型： 因为S＝， 令f(x)＝x2(351－28x－4x2)， 则f′(x)＝－2x(2x－9)(4x＋39)．(10分) 因为当0＜x＜时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当＜x＜时，f′(x)＜0，f(x)单调递减， 所以当x＝时，f(x)取到最大值，此时S有最大值． 即MN＝x＝4.5 m时，通风窗的面积最大． 17．已知函数f(x)＝|x－a|－ln x，a∈R. **(1)求函数f(x)的单调区间； ***(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2(x10，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． 当a>0时，f(x)＝|x－a|－ln x＝ 若x≥a，f′(x)＝1－＝>0，此时函数f(x)单调递增， 若00时，函数f(x)的单调递减区间为(0，a)；单调递增区间为(a，＋∞)． (2)证明　由(1)知，当a≤0时，函数f(x)单调递增，至多只有一个零点，不合题意； 则必有a>0，此时函数f(x)的单调递减区间为(0，a)；单调递增区间为(a，＋∞)， 由题意，必须f(a)＝－ln a<0，解得a>1. 由f(1)＝a－1－ln 1＝a－1>0，f(a)<0，得x1∈(1，a)． 而f(a2)＝a2－a－aln a＝a(a－1－ln a)， 下面证明：a>1时，a－1－ln a>0. 设g(x)＝x－1－ln x，x>1， 则g′(x)＝1－＝>0， ∴g(x)在x>1时递增，则g(x)>g(1)＝0， ∴f(a2)＝a2－a－aln a＝a(a－1－ln a)>0，又f(a)<0， ∴x2∈(a，a2)，综上，1教 学 反 思


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