【教案】函数的图像与性质之四种题型

个性化教学辅导教案
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课 题 函数图像与性质之四种题型
教学目标 学会函数图像与性质之四种题型的常规解法
教学过程
教师活动 学生活动
类型一：函数的值域和最值 一、前测回顾 1．求下列函数的值域： （1）y＝sin(2x＋)，x∈[0，]的值域是____________； （2）y＝的值域是____________； （3）y＝x＋的值域是____________； （4）f(x)＝()x－x，x∈[－1，2] 的值域是____________； （5）f(x)＝x2＋的值域是____________． 答案：（1）[，1]；（2）(－1，1]；（3）(－∞，]；（4）[－，3]；（5）[2－1，＋∞)． 2．函数f(x)＝xlnx的值域是____________． 答案：[－，＋∞)． 二、方法联想 值域求法： 1．初等方法：（1）图象法；（2）复合函数法；（3）分离常数或反解法；（4）换元法；（5）单调性法； （6）基本不等式法；（7）配方法． 2．高等方法（终极方法）：导数法． 三、方法应用 例1函数y＝x－2的值域是________． [解析] 设＝t，则x＝t2－2，t∈[0，＋∞)，此时y＝t2－2t－2＝(t－1)2－3≥－3，故所求值域是[－3，＋∞)． 例2若函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________． 解析函数f(x)的大致图像如图所示． ∵当x≤2时，f(x)∈[4，＋∞)， ∴要使f(x)在R上的值域是[4，＋∞)， 只需当x>2时，f(x)∈[4，＋∞)， ∴ 解得10. (1)求f(x)的单调区间和极值； (2)当x∈[1，]时，求f(x)的最小值． 解　(1)函数的定义域为(0，＋∞)． 由f(x)＝－kln x(k>0)得f′(x)＝x－＝. 由f′(x)＝0解得x＝(负值舍去)． f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表： x(0，)(，＋∞)f′(x)－0＋f(x)
所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)． f(x)在x＝处取得极小值f()＝. (2)由(1)知，当>即k>e时， f(x)min＝f()＝－. 当1≤≤即1≤k≤e时， f(x)min＝f()＝. 当<1即0－1，－4x2－5x＋＝－，所以f(x)在(－2，2)上单调递减，而f(0)＝，所以00得x>－，由g′(x)<0得x<－，故函数g(x)在上单调递减，在上单调递增．又函数g(x)在x<时，g(x)<0，在x>时，g(x)>0，所以其大致图像如图所示． 直线y＝ax－a过点(1，0)． 若a≤0，则f(x)<0的整数解有无穷多个，因此只能a>0. 结合函数图像可知，存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，即存在唯一的整数x0，使得点(x0，ax0－a)在点(x0，g(x0))的上方，则x0只能是0，故实数a应满足即解得≤a<1. 故实数a的取值范围是 例3已知函数f(x)＝|x＋a|(a∈R)在[－1，1]上的最大值为M(a)，则方程M(x)＝|x2－1|的实数根的个数为__________． [解析] 当x∈(－∞，－a)时，函数f(x)单调递减，当x∈(－a，＋∞)时，函数f(x)单调递增，x＝－a为函数f(x)的最小值点．所以，当a≥0时，M(a)＝f(1)＝|1＋a|＝1＋a，当a<0时， M(a)＝f(－1)＝|－1＋a|＝－(－1＋a)＝1－a，所以M(x)＝在同一平面直角坐标系中画出y＝M(x)和y＝|x2－1|的图像，如图所示，可知两个函数图像有3个不同的公共点，所以方程M(x)＝|x2－1|的实数根的个数为3. 四、归类巩固 *1．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内有_________个实数根． 答案：有且仅有两个根． *2．若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是_______． 答案：|a|≤1． **3．若方程2a＝|ax－1|(a＞0，a≠1)有两个实数解，求实数a的取值范围是_______． 答案：． **4．已知y＝f(x)是R上的增函数，A(0，－1)、B(3,1)是其图像上两个点，则不等式|f(x＋1)|＜1的解集是__________． 解析：|f(x＋1)|＜1?－1＜f(x＋1)＜1?f(0)＜f(x＋1)＜f(3)，又y＝f(x)是R上的增函数，∴0＜x＋1＜3． ∴－1＜x＜2． 答案：{x|－1＜x＜2}． ***5．已知f(x)是定义在R上的函数，满足f(x)＋f(－x)＝0，f(x－1)＝f(x＋1)，当x∈(0，1)时，f(x)＝－x2＋x，则函数f(x)的最小值为 ． 答案：－． ***6．f(x)的定义域为R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为_________． 答案：(－∞，1)．
教 学 反 思


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