【教案】函数的图像与性质之综合题型

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课 题 函数的图像与性质之综合题型
教学目标 学会函数的图像与性质之综合题型的常规解法
教学过程
教师活动 学生活动
一、例题分析 例1 设函数f(x)＝ln|x|－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是_______． 答案：(，)∪(，1)． 〖教学建议〗 （1）主要问题归类与方法： 1．解不等式问题 方法1：直接求解； 方法2：转化为常见代数不等式(组)求解，通常的方法有:换元法，利用函数的单调性等． 2．判断(证明)函数的奇偶性 方法1：定义法；方法2：图象法． 3．判断函数单调性 方法1：图象法； 方法2：导数法； 方法3：定义法； 方法4：复合函数法． （2）方法选择与优化建议： 本题是解不等式问题，直接求解比较复杂，考虑将其转化后求解，而显然换元法也不行，所以考虑利用函数的单调性转化，所以要判断函数的单调性，考虑到本题的函数解析式中含有绝对值，是分段函数，研究单调性，需分段进行，对于函数性质的研究，通常需要整体把握，即从定义域，奇偶性，单调性和周期性等方法综合考虑，有些函数的问题，必要时还要看一些特殊的点。本题中的函数是偶函数，当x＞0时，f(x)＝lnx－，可用导数法证明: f(x)在(0，＋∞)上单调递增，由奇偶性知，f(x)在(－∞，0)上单调递减. 为了便于转化不等式，可将不等式转化为f(|x|)＞f(|2x－1|)，从而得到|x|＞|2x－1|＞0． 例2 已知函数f(x)＝． （1）试判断f(x)的奇偶性并给予证明； （2）求证：f(x)在区间(0，1)上单调递减. 答案：（1）f(x)为奇函数. （2）略. 〖教学建议〗 （1）主要问题归类与方法： 1．判断(证明)函数的奇偶性 方法1：定义法；方法2：图象法． 证明函数的奇偶性，只能用定义法． 2．证明函数单调性 方法1：图象法； 方法2：导数法； 方法3：定义法； 方法4：复合函数法． 本题考查用定义判断函数的奇偶性、单调性.本题的易错点有两个，一是忽视先求出定义域，直接判断f(x)与f(－x)的关系；二是在第二问中机械套用定义，对f(x1)、f(x2)直接作差，反而无法证明函数的单调性. （2）方法选择与优化建议： 1.对于一个函数f(x)，它由定义域和对应法则唯一确定，因此对函数一系列的性质的研究也都应该在定义域的基础上展开，判断函数的奇偶性必须先检验函数的定义域是否对称，求函数的单调区间也必须首先判断函数的定义域. 2.本题中的函数f(x)的解析式是由多个基本初等函数复合而成，因此其单调性的证明转化为几个基本初等函数单调性的判断，证明过程的最后一步利用了不等式的性质：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd. 例3 （1）已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点， 那么实数k的取值范围是 ． （2）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若对于任意x∈R，有f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为 ． 答案: (1)(0，1)∪(1，4)；(2)[－，]. 〖教学建议〗 （1）主要问题归类与方法： 1．函数图象交点的个数问题 方法：借助基本函数的图象，及直线的几何意义观察，交点的个数． 2．不等式恒成立问题 方法1：分离变量法，分离变量转化为求函数的最值问题； 方法2：直线讨论函数的单调性，求函数的最值，再转化为解不等式； 方法3：图象法，利用函数的图象，考查一个曲线在另一曲线的上下方的条件． （2）方法选择与优化建议： 第(1)题，研究函数图象的交点情况，由于函数y＝图象是确定的且可画出，函数y＝kx－2的图象是一条过(0，－2)，斜率为k的动直线，本题就是考查动直线在变化过程中与定曲线有两个交点，可借助于图象的直观来解决问题。 第(2)题，由于函数比较复杂且解析式中含有参数，无法进行变量分离，利用方法2也不易转化为解不等式问题，所以本题采用方法3，方法3的关键是画出函数的图象，由于x≥0时，图象是分段函数，每段都是直线，x＜0的图象可利用奇函数图象关于原点对称作出。 例4 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2． （1）求证：f(x)是周期函数； （2）当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式； （3）计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)． 答案：（1）f(x)是周期为4的周期函数． （2）f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]． （3）0. 〖教学建议〗 （1）主要问题归类与方法： 本题考查函数的周期性和奇偶性.第一问只需证明f(x＋4)＝f(x)，即可说明f(x)是周期函数；第二问利用奇偶性求得函数f(x)在[－2，0]上的解析式，进而利用周期性求得f(x)在[2，4]上的解析式；第三问则是利用函数值的周期性求和. （2）方法选择与优化建议： 1.本题的易错点是在第二问的求解析式，应强调将所求区间上的x转化为符合已知区间上的变量特征，进而利用已知的解析式求出结论. 2.函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．判断函数的周期只需证明 f(x＋T)＝f(x) (T≠0)，便可证明函数是周期函数，且周期为T. 二、反馈巩固 *1．若函数f(x)＝是奇函数，则满足f(x)＞a的x的取值范围是 ． 答案：(－1－，＋∞)． (考查函数的奇偶性，不等式的解法). *2．函数y＝的图象向下平移2个单位，再向右平移5个单位后所得的图象的函数解析式为__________ 答案：y＝． （考察函数的平移变化） **3．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0．若f(x－1)＞0，则的取值范围是 ； 答案 (－1，3)． (考查函数的奇偶性和单调性). **4．若函数y＝f(x)的值域是[，3]，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是 ． 答案：[2，]． （本题考查函数的值域） **5．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(2012)＋f(－2013)的值为________． 答案：1． （本题考查函数的奇偶性、周期性） 解析：x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，则x≥0时，f(x)周期是4，则f(2012)＝f(0)＝0；f(－2013)＝f(2013)＝f(1)＝1． **6．已知t为常数，函数y＝|x2－2x－t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t＝________． 答案：1． (考查函数的最值问题) **7．函数f(x)对一切实数都满足f(＋x)＝f(－x)，并且方程f(x)＝0有三个实根，则这三个实根的和为 ． 答案 ． (考查函数图像的对称性,函数零点). **8．已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)的减函数，那么a的取值范围是 ； 答案 (0，2]． (考查分段函数的单调性). **9．已知函数f(x)＝e|x|，m＞1，对任意的x∈[1，m]，都有f(x－2)≤ex，则最大的正整数m为________． 答案：4． (考查函数的单调性，不等式恒成立问题，数形结合的思想方法). ***10．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝，其中a，b∈R，若f＝f，则a＋3b的值为______________． 解析：由题意得，f()＝f()＝f(－)， 所以＝－a＋1，∴a＋b＝－1.① 又f(－1)＝f(1)，∴b＝－2a.② 解①②得a＝2，b＝－4，∴a＋3b＝－10. 答案：－10． （本题考查函数周期性） **11．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是_______． 答案：(，1)． （本题考查函数与方程、函数的图象） 解析: g(x)＝kx过（0，0）旋转，和f(x)＝|x－2|＋1有两个交点 ***12．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝_________. 答案：－8． （本题考查函数周期性，奇偶性，单调性，数型结合） *13．设函数f(x)＝log2(ax－bx)且f(1)＝1，f(2)＝log212. （1）求a、b的值； （2）当x∈[1，2]时，求f(x)的最大值． 答案：（1）a＝4，b＝2；（2）2＋log23. (考查待定系数法，二次函数与对数函数的值域). **14．已知函数g(x)＝＋1与h(x)＝，x∈(－3，a]，其中a为常数且a＞0，令函数f(x)＝g(x)·h(x)． （1）求函数f(x)的表达式，并求其定义域； （2）当a＝时，求函数f(x)的值域． 答案：（1）f(x)＝，x∈[0，a]； （2）[，]． 说明：（1）考查函数的解析式、定义域； （2）考查函数的值域． 解析：令t＝＋1，则t∈[1，]且x＝（t－1）2
∴y＝f(x)＝∴y＝
∵t－2＋在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，
∴在[1，]上递增，即此时f（x）的值域为[，]． **15．设函数f(x)＝ (1)若a＝1，求f(x)的最小值； (2)若f(x)恰有2个零点，求实数a的取值范围． 答案：(1)－1；(2) [，1)∪[2，＋∞)． (考查函数的图象，函数最值与零点问题). **16．已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)． (1)当a＝时，求函数f(x)的最小值； (2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围． 解(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，在[1，＋∞)上为增函数，f(x)min＝f(1)＝. (2)f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)． ①当a≤0时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数．最小值为f(1)＝a＋3. 要使f(x)>0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3>0，即a>－3，∴－30，a>－3.∴01时，f(x)在[1，]上为减函数，在(，＋∞)上为增函数，所以f(x)在[1，＋∞)上的最小值是f()＝2＋2，2＋2>0，显然成立． 综上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零时，a的取值范围是(－3，＋∞)． (考查函数的单调性,不等式恒成立). ***17．设函数f(x)＝kax－a－x (a＞0且a≠1)是奇函数． (1)求k的值； (2)若f(1)＞0，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)＞0； (3)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x －2mf(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m的值． 解　(1)因为f(x)是奇函数，且f(0)有意义，所以f(0)＝0，所以k－1＝0，k＝1. (2)因为f(1)＞0，所以a－＞0，∴a＞1，∴f(x)＝ax－a－x是R上的单调增函数． 于是由f(x2＋2x)＞－f(x－4)＝f(4－x)，得x2＋2x＞4－x，即x2＋3x－4＞0，解得x＜－4或x＞1. (3)因为f(1)＝，所以a－＝，解得a＝2(a＞0)，所以g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2.设t＝f(x)＝2x－2－x，则由x≥1， 得t≥f(1)＝，g(x)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2. 若m≥，则当t＝m时，ymin＝2－m2＝－2，解得m＝2. 若m＜，则当t＝时，ymin＝－3m＝－2， 解得m＝(舍去)．综上得m＝2. (考查函数的奇偶性和单调性). ***18．定义在D上的函数f(x)，如果满足：x∈D，常数M＞0，都有| f(x)|≤M 成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)＝1＋x＋ax2. （1）当a＝－1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，判断函数f(x)在(–∞，0)上是否为有界函数，并说明理由； （2）若函数f(x)在[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围. 答案：（1）函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数. （2）实数的取值范围为[－，－]． (考查转化的思想方法，不等式的恒成立与二次函数的最值问题，分离变量讨论参数范围).
教 学 反 思


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