【教案】空间的平行与垂直问题之综合题型
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个性化教学辅导教案
学生姓名 年 级 学 科 数 学
上课时间 教师姓名
课 题 空间的平行与垂直问题之综合题型
教学目标 学会空间的平行与垂直问题之综合题型的常规解法
教学过程
教师活动 学生活动
一、例题分析 例1：在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB． (1)若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF； (2)求证：CE∥平面PAB． 提示：(1)证明：PC⊥AF，PC⊥EF． (2)①中心投影法：延长CD与AB交于G，证明CE∥PG． ②平行投影法：取PA中点M，过C作CN∥AD交AB于N． 证四边形CEMN是平行四边形，从而得CE∥MN． ③面面平行的性质：取AD中点H，证明平面CEH∥平面PAB． 〖教学建议〗 一、主要问题归类与方法： 1．证明直线与平面垂直． 方法：(1)定义法：a⊥b，b为平面α内任意一条直线 a⊥平面α． (2)线面垂直的判定定理：a⊥m，a⊥n，m平面α，n平面α，m∩n＝A a⊥平面α． (3)面面垂直的性质定理：平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝l，a平面α，a⊥l a⊥平面α． 2．证明直线与平面平行． 方法：(1)定义法：常常借助反证法完成； (2)判定定理：a∥b，a平面α，b平面α a∥平面α． 用判定定理来证线面平行的关键是在平面内找到与已知直线平行的直线， 其方法有：中心投影法与平行投影法． 证明线线平行常用方法： ①平面几何的方法：三角形中位线，平行四边形，平行线段成比例等． ②面面平行的性质：α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝nm∥n． ③线面垂直的性质：a⊥平面α，b⊥平面αa∥b． ④公理4：a∥c，b∥ca∥b． (3)面面平行的性质：平面α∥平面β， a平面α a∥平面α． 二、方法选择与优化建议： 1．用方法(2)，方法(2)是证明线面垂直的常用方法。方法(1)一般不常用，方法(3)的前提是条件中要有面面垂直，否则，证明面面垂直还需用到线面垂直。本题中有线线垂直，线面垂直的条件，便于找以直线与直线的垂直，因而用方法(2)比较好． 2．用方法(2)与方法(3)均可以，但显然方法(2)比方法(3)要简单些，因为方法(3)要先证明面面平行，而证明面面平行，要先证明两个线面平行；对于方法(2)，一般中心投影法和平行投影法均可，证明时，要视所给的条件来定，本题中找中心投影较方便． 例2：如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形， AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°． (1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：CC1∥平面A1BD． 提示：(1)证明：BD⊥平面ADD1A1． (2)利用平行投影法，设AC∩BD＝E，连接EA1， 证明CC1∥EA1． 〖教学建议〗 一、主要问题归类与方法： 1．证明直线与直线垂直． 方法：(1)证明线面垂直，即证明一条直线与另一直线所在的平面垂直； (2)利用线线平行，即证明一条直线的平行线与另一直线垂直； (3)利用平面几何的知识来证明：如：勾股定理；利用等腰三角形三线合一；利用菱形对角线互相垂直；利用矩形的性质等． 2．证明直线与平面平行． 方法：(1)定义法：常常借助反证法完成； (2)判定定理：a∥b，a平面α，b平面α a∥平面α． 用判定定理来证线面平行的关键是在平面内找到与已知直线平行的直线， 其方法有：中心投影法与平行投影法． 证明线线平行常用方法： ①平面几何的方法：三角形中位线，平行四边形，平行线段成比例等． ②面面平行的性质：α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝nm∥n． ③线面垂直的性质：a⊥平面α，b⊥平面αa∥b． ④公理4：a∥c，b∥ca∥b． (3)面面平行的性质：平面α∥平面β， a平面α a∥平面α． 二、方法选择与优化建议： 1．用方法(1)，方法(1)是证明两异面直线垂直的常用方法；方法(3)是证明共面直线垂直常用的方法；方法(2)只是转化为证明另一直线与直线的垂直．本题中所证明两直线是异面直线，因而考虑用方法(1)，由于条件中有DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥BD，因而目标是证明：BD⊥平面ADD1A1，． 又因为BD与AD共面，所以下一步考虑证明BD⊥AD． 2．证明线面平行，既可有判定定理来证，也可有面面平行的性质来证，但以用判定定理来证要容易些，而用判定定理关键是找到平面内与已知直线平行的直线，所以要学会“中心投影法”与“平行投影法”． 例3：如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点． (1)求证：AD⊥PC；(2)求三棱锥P－ADE的体积； (3)在线段AC上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由． 提示：(1)证明：AD⊥平面PDC． (2)答案： ． (3) 当M为AC中点时，PA∥平面EDM，此时AM＝． 〖教学建议〗 一、主要问题归类与方法： 1．证明直线与直线垂直． 方法：(1)证明线面垂直，即证明一条直线与另一直线所在的平面垂直； (2)利用线线平行，即证明一条直线的平行线与另一直线垂直； (3)利用平面几何的知识来证明：如：勾股定理；利用等腰三角形三线合一；利用菱形对角线互相垂直；利用矩形的性质等． 2．求几何体的体积问题： 方法：根椐几何体的类型及体积计算公式，考虑计算所需的量．对于高要先证明垂直关系． 3．探究命题成立的条件问题： (1)对命题条件的探索常采用以下三种方法： ①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明； ②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性； ③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件． (2)对命题结论的探索常采用以下方法： 首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设． 二、方法选择与优化建议： 1．用方法(1)，方法(1)是证明两异面直线垂直的常用方法；本题中所证明两直线是异面直线，因而考虑用方法(1)， 2．多面体体积的计算，关键是找到多面体的高，另一方面对于不易找高的多面体，可以利用几何体体积之间的关系进行转化，转化为比较容易计算的几何体体积．． 3．本题是对命题条件的探索；采用方法②，先找到使得PA∥平面EDM所应具备的条件，再反过来去证明． 二、反馈巩固 *1．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的有 ． ①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n?α，则m⊥n； ③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；④若m∥α，m⊥n，则n⊥α． 答案：② (考查空间直线与平面位置关系的判定) *2．设α 、β为空间任意两个不重合的平面，则： ①必存在直线l与两平面α 、β均平行； ②必存在直线l与两平面α 、β均垂直； ③必存在平面γ与两平面α 、β均平行； ④必存在平面γ与两平面α 、β均垂直． 其中正确的是___________．（填写正确命题序号） 答案：①④．(考查学生空间线面，面面位置关系及空间想象能力) **3．圆锥的侧面展开图是圆心角为π，面积为2π的扇形，则圆锥的体积是______． 答案：π．(考查圆锥的侧面展开图及体积的计算)． **4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝2，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为 ． 答案： (考查：线面垂直的性质，点到直线的距离)． **5．如图，PA⊥菱形ABCD所在的平面，M是PC上的一个动点，当点M满足 时，平面MDB⊥平面PCD． 答案：或 (考查：线面垂直，面面垂直的判定定理)． **6．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为 ． 答案：4π (考查球的表面积) *7．设甲、乙两个圆柱的底面分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝， 则的值是 ． 答案： (考查体积) *8．如图，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC， CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F是B1C1的中点． 求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直线A1F∥平面ADE． 答案：证明略 (考查平面与平面平行，直线与平面平行) **9．如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PA⊥AC，PA＝6， BC＝8，DF＝5． 求证： (1)直线PA∥平面DEF； (2)平面BDE⊥平面ABC. 答案：证明略 (考查线面平行，面面垂直) **10．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E，F分别为边AB，AD的中点．现将△ADE沿DE折起，得四棱锥ABCDE. (1) 求证：EF∥平面ABC； (2) 若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FDCE的体积． 答案：（1）证明略；（2） (考查折叠问题，平面与平面平行，面面垂直的性质定理，体积计算) **11．已知如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形，四边形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD＝． (1)求证：平面BCF∥平面AED； (2)若BF＝BD＝a，求四棱锥A?BDEF的体积． 答案：（２）a3 (考查：面面平行的判定定理；棱锥体积公式)． **12．如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点． (1)证明：MN∥平面A′ACC′； (2)求三棱锥A′－MNC的体积． 答案：（２） (考查：线面平行的判定定理；面面平行的性质；体积变换) **13．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3a，BC＝2a，D是BC的中点，E为AB的中点，F是C1C上一点，且CF＝2a. (1) 求证：C1E∥平面ADF； (2) 试在BB1上找一点G，使得CG⊥平面ADF； (3) 求三棱锥DAB1F的体积． 答案：（1）（2）证明略；（3）a (考查直线与平面平行，探索性问题，线面垂直的判定定理，体积计算) **14．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ACC1是边长为2的菱形，∠A1AC＝60o．在面ABC中，AB＝2，BC＝4，M为BC的中点，过A1，B1，M三点的平面交AC于点N． (1)求证：N为AC中点； (2)平面A1B1MN⊥平面A1ACC1． 答案：证明略 (考查面面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理， 综合考查空间想象及逻辑推理能力)． **15．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋，过A作AE⊥CD，垂足为E，G，F分别为AD，CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC，如图所示． (1)求证：BC⊥平面CDE； (2)求证：FG∥平面BCD； (3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由． 答案：（3） (考查：线面垂直的判定定理；线面平行的判定定理； 面面垂直的判定定理和性质定理)．
教 学 反 思
成为受人尊敬的百年育人集团,让孩子成为人生道路上的冠军
学生姓名 年 级 学 科 数 学
上课时间 教师姓名
课 题 空间的平行与垂直问题之综合题型
教学目标 学会空间的平行与垂直问题之综合题型的常规解法
教学过程
教师活动 学生活动
一、例题分析 例1：在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB． (1)若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF； (2)求证：CE∥平面PAB． 提示：(1)证明：PC⊥AF，PC⊥EF． (2)①中心投影法：延长CD与AB交于G，证明CE∥PG． ②平行投影法：取PA中点M，过C作CN∥AD交AB于N． 证四边形CEMN是平行四边形，从而得CE∥MN． ③面面平行的性质：取AD中点H，证明平面CEH∥平面PAB． 〖教学建议〗 一、主要问题归类与方法： 1．证明直线与平面垂直． 方法：(1)定义法：a⊥b，b为平面α内任意一条直线 a⊥平面α． (2)线面垂直的判定定理：a⊥m，a⊥n，m平面α，n平面α，m∩n＝A a⊥平面α． (3)面面垂直的性质定理：平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝l，a平面α，a⊥l a⊥平面α． 2．证明直线与平面平行． 方法：(1)定义法：常常借助反证法完成； (2)判定定理：a∥b，a平面α，b平面α a∥平面α． 用判定定理来证线面平行的关键是在平面内找到与已知直线平行的直线， 其方法有：中心投影法与平行投影法． 证明线线平行常用方法： ①平面几何的方法：三角形中位线，平行四边形，平行线段成比例等． ②面面平行的性质：α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝nm∥n． ③线面垂直的性质：a⊥平面α，b⊥平面αa∥b． ④公理4：a∥c，b∥ca∥b． (3)面面平行的性质：平面α∥平面β， a平面α a∥平面α． 二、方法选择与优化建议： 1．用方法(2)，方法(2)是证明线面垂直的常用方法。方法(1)一般不常用，方法(3)的前提是条件中要有面面垂直，否则，证明面面垂直还需用到线面垂直。本题中有线线垂直，线面垂直的条件，便于找以直线与直线的垂直，因而用方法(2)比较好． 2．用方法(2)与方法(3)均可以，但显然方法(2)比方法(3)要简单些，因为方法(3)要先证明面面平行，而证明面面平行，要先证明两个线面平行；对于方法(2)，一般中心投影法和平行投影法均可，证明时，要视所给的条件来定，本题中找中心投影较方便． 例2：如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形， AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°． (1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：CC1∥平面A1BD． 提示：(1)证明：BD⊥平面ADD1A1． (2)利用平行投影法，设AC∩BD＝E，连接EA1， 证明CC1∥EA1． 〖教学建议〗 一、主要问题归类与方法： 1．证明直线与直线垂直． 方法：(1)证明线面垂直，即证明一条直线与另一直线所在的平面垂直； (2)利用线线平行，即证明一条直线的平行线与另一直线垂直； (3)利用平面几何的知识来证明：如：勾股定理；利用等腰三角形三线合一；利用菱形对角线互相垂直；利用矩形的性质等． 2．证明直线与平面平行． 方法：(1)定义法：常常借助反证法完成； (2)判定定理：a∥b，a平面α，b平面α a∥平面α． 用判定定理来证线面平行的关键是在平面内找到与已知直线平行的直线， 其方法有：中心投影法与平行投影法． 证明线线平行常用方法： ①平面几何的方法：三角形中位线，平行四边形，平行线段成比例等． ②面面平行的性质：α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝nm∥n． ③线面垂直的性质：a⊥平面α，b⊥平面αa∥b． ④公理4：a∥c，b∥ca∥b． (3)面面平行的性质：平面α∥平面β， a平面α a∥平面α． 二、方法选择与优化建议： 1．用方法(1)，方法(1)是证明两异面直线垂直的常用方法；方法(3)是证明共面直线垂直常用的方法；方法(2)只是转化为证明另一直线与直线的垂直．本题中所证明两直线是异面直线，因而考虑用方法(1)，由于条件中有DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥BD，因而目标是证明：BD⊥平面ADD1A1，． 又因为BD与AD共面，所以下一步考虑证明BD⊥AD． 2．证明线面平行，既可有判定定理来证，也可有面面平行的性质来证，但以用判定定理来证要容易些，而用判定定理关键是找到平面内与已知直线平行的直线，所以要学会“中心投影法”与“平行投影法”． 例3：如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点． (1)求证：AD⊥PC；(2)求三棱锥P－ADE的体积； (3)在线段AC上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由． 提示：(1)证明：AD⊥平面PDC． (2)答案： ． (3) 当M为AC中点时，PA∥平面EDM，此时AM＝． 〖教学建议〗 一、主要问题归类与方法： 1．证明直线与直线垂直． 方法：(1)证明线面垂直，即证明一条直线与另一直线所在的平面垂直； (2)利用线线平行，即证明一条直线的平行线与另一直线垂直； (3)利用平面几何的知识来证明：如：勾股定理；利用等腰三角形三线合一；利用菱形对角线互相垂直；利用矩形的性质等． 2．求几何体的体积问题： 方法：根椐几何体的类型及体积计算公式，考虑计算所需的量．对于高要先证明垂直关系． 3．探究命题成立的条件问题： (1)对命题条件的探索常采用以下三种方法： ①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明； ②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性； ③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件． (2)对命题结论的探索常采用以下方法： 首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设． 二、方法选择与优化建议： 1．用方法(1)，方法(1)是证明两异面直线垂直的常用方法；本题中所证明两直线是异面直线，因而考虑用方法(1)， 2．多面体体积的计算，关键是找到多面体的高，另一方面对于不易找高的多面体，可以利用几何体体积之间的关系进行转化，转化为比较容易计算的几何体体积．． 3．本题是对命题条件的探索；采用方法②，先找到使得PA∥平面EDM所应具备的条件，再反过来去证明． 二、反馈巩固 *1．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的有 ． ①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n?α，则m⊥n； ③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；④若m∥α，m⊥n，则n⊥α． 答案：② (考查空间直线与平面位置关系的判定) *2．设α 、β为空间任意两个不重合的平面，则： ①必存在直线l与两平面α 、β均平行； ②必存在直线l与两平面α 、β均垂直； ③必存在平面γ与两平面α 、β均平行； ④必存在平面γ与两平面α 、β均垂直． 其中正确的是___________．（填写正确命题序号） 答案：①④．(考查学生空间线面，面面位置关系及空间想象能力) **3．圆锥的侧面展开图是圆心角为π，面积为2π的扇形，则圆锥的体积是______． 答案：π．(考查圆锥的侧面展开图及体积的计算)． **4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝2，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为 ． 答案： (考查：线面垂直的性质，点到直线的距离)． **5．如图，PA⊥菱形ABCD所在的平面，M是PC上的一个动点，当点M满足 时，平面MDB⊥平面PCD． 答案：或 (考查：线面垂直，面面垂直的判定定理)． **6．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为 ． 答案：4π (考查球的表面积) *7．设甲、乙两个圆柱的底面分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝， 则的值是 ． 答案： (考查体积) *8．如图，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC， CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F是B1C1的中点． 求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直线A1F∥平面ADE． 答案：证明略 (考查平面与平面平行，直线与平面平行) **9．如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PA⊥AC，PA＝6， BC＝8，DF＝5． 求证： (1)直线PA∥平面DEF； (2)平面BDE⊥平面ABC. 答案：证明略 (考查线面平行，面面垂直) **10．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E，F分别为边AB，AD的中点．现将△ADE沿DE折起，得四棱锥ABCDE. (1) 求证：EF∥平面ABC； (2) 若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FDCE的体积． 答案：（1）证明略；（2） (考查折叠问题，平面与平面平行，面面垂直的性质定理，体积计算) **11．已知如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形，四边形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD＝． (1)求证：平面BCF∥平面AED； (2)若BF＝BD＝a，求四棱锥A?BDEF的体积． 答案：（２）a3 (考查：面面平行的判定定理；棱锥体积公式)． **12．如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点． (1)证明：MN∥平面A′ACC′； (2)求三棱锥A′－MNC的体积． 答案：（２） (考查：线面平行的判定定理；面面平行的性质；体积变换) **13．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3a，BC＝2a，D是BC的中点，E为AB的中点，F是C1C上一点，且CF＝2a. (1) 求证：C1E∥平面ADF； (2) 试在BB1上找一点G，使得CG⊥平面ADF； (3) 求三棱锥DAB1F的体积． 答案：（1）（2）证明略；（3）a (考查直线与平面平行，探索性问题，线面垂直的判定定理，体积计算) **14．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ACC1是边长为2的菱形，∠A1AC＝60o．在面ABC中，AB＝2，BC＝4，M为BC的中点，过A1，B1，M三点的平面交AC于点N． (1)求证：N为AC中点； (2)平面A1B1MN⊥平面A1ACC1． 答案：证明略 (考查面面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理， 综合考查空间想象及逻辑推理能力)． **15．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋，过A作AE⊥CD，垂足为E，G，F分别为AD，CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC，如图所示． (1)求证：BC⊥平面CDE； (2)求证：FG∥平面BCD； (3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由． 答案：（3） (考查：线面垂直的判定定理；线面平行的判定定理； 面面垂直的判定定理和性质定理)．
教 学 反 思
成为受人尊敬的百年育人集团,让孩子成为人生道路上的冠军
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