【教案】应用题之解析几何题型

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课 题 应用题之解析几何题型
教学目标 应用题之解析几何题型
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一、考题回顾 *1、（2008江苏高考，平面几何背景）．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A,B等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km． （Ⅰ）按下列要求写出函数关系式： ①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式； ②设OP(km) ，将表示成x的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 【解析】本小题主要考查函数最值的应用． （Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则, 故 ，又OP＝10－10ta， 所以， 所求函数关系式为 ②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA =OB= 所求函数关系式为 （Ⅱ）选择函数模型①， 令0 得sin ，因为，所以=， 当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边km处。 **2．（2013江苏高考，平面几何背景）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝. (1)求索道AB的长； (2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 答案：(1) 1 040 m，(2) ，(3) ． 乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C. 设乙步行的速度为v m/min，由题意得，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内． **3.（2018江苏高考，平面几何背景）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．先规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为． （1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围； （2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 解析:（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10． 设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0）， 则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ） =8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）． 设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，）， 则． 令，得θ=， 当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数； 当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数， 因此，当θ=时，f（θ）取到最大值． 答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． **4．（2014江苏高考，解析几何背景）如图：为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任一点的距离均不少于80，经测量，点位于点正北方向60处，点位于点正东方向170处，（为河岸），. （1）求新桥的长； （2）当多长时，圆形保护区的面积最大？ 答案：（1）；（2）． 解析：（1）以为轴建立直角坐标系，则，，由题意，直线方程为．又，故直线方程为，由，解得，即，所以； （2）设，即，由（1）直线的一般方程为，圆的半径为，由题意要求，由于，因此，∴∴，所以当时，取得最大值，此时圆面积最大． *5.（2015江苏高考，解析几何背景）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型. （1）求a，b的值； （2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. ①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度. 答案：（1） （2）①定义域为，②千米 解析：（1）由题意知，点，的坐标分别为，． 将其分别代入，得， 解得． （2）①由（1）知，（），则点的坐标为， 设在点处的切线交，轴分别于，点，， 则的方程为，由此得，． 故，． ②设，则．令，解得． 当时，，是减函数； 当时，，是增函数． 从而，当时，函数有极小值，也是最小值，所以，此时． 答：当时，公路的长度最短，最短长度为千米． *6.(2011江苏高考，立体几何背景)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒． E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)． (1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 答案：(1) 15 ，(2) x＝20时，包装盒的高与底面边长的比值为. 解析：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），由已知得 （1） 所以当时，S取得最大值. （2） 由（舍）或x=20. 当时， 所以当x=20时，V取得极大值，也是最小值. 此时装盒的高与底面边长的比值为 *7.(2016江苏高考,立体几何背景)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. （1）若则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？ 答案：（1）312（2） 解析：由PO1=2知OO1=4 PO1=8.因为A1B1=AB=6 所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积 所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312（m3）. (2)设A1B1=a(m)，PO1=h(m)，则0所以当cosα＝时，S最小，此时sinα＝，AD＝＋＝. **例2.如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为的正方形，另一部分是以为直径的半圆，其圆心为.规划修建的条直道， ， 将广场分割为个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点在半圆弧上， 分别与， 相交于点， .（道路宽度忽略不计） （1）若经过圆心，求点到的距离； （2）设， . ①试用表示的长度；②当为何值时，绿化区域面积之和最大. 答案（1）（2）①最小值为②当时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大 （2）①由题意，得.直线的方程为，令，得 设，则，. . 当且仅当，即时“”成立. 所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积的最小值为. 答：当时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大. ***例3.如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线，的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （1）将放在容器Ⅰ中，的一端置于点A处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度； （2）将放在容器Ⅱ中，的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度． 答案：（1）16；（2）20． 记与水面的焦点为,过作P1Q1⊥AC, Q1为垂足，则P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1=12， 从而AP1= . 答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm. ( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm) EP2=. 答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm. (如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm) 四、归类巩固 **1．如图，有一块矩形草坪ABCD，AB＝100 m，BC＝50 m，欲在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF＝90°. (1) 设∠BOE＝α，试求△OEF的周长l关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域； (2) 经核算，三条路的铺设费用均为400元/m，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用． 解:(1)在Rt△BOE中，OB＝50，∠B＝90°，∠BOE＝α，所以OE＝.在Rt△AOF中，OA＝50，∠A＝90°，∠AFO＝α，所以OF＝.又∠EOF＝90°，所以EF＝＝＝，所以l＝OE＋OF＋EF＝＋＋，即l＝.当点F在点D处时，这时角α最小，求得此时α＝；当点E在C点处时，这时角α最大，求得此时α＝.故此函数的定义域为. (2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．由(1)得l＝，α∈.设sinα＋cosα＝t，则sinα·cosα＝，所以l＝＝＝.由α∈，得≤α＋≤，得≤t≤，所以≤t－1≤－1，从而＋1≤≤＋1，当α＝，即BE＝50时，lmin＝100(＋1)，所以当BE＝AE＝50 m时，铺路总费用最低，最低总费用为40 000(＋1)元． **2.如图所示，是两个垃圾中转站，在的正东方向千米处，的南面为居民生活区. 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面建一个垃圾发电厂. 垃圾发电厂的选址拟满足以下两个要求（可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点到直线的距离要尽可能大）. 现估测得两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为吨和吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？ 答案：千米，千米. 解析：解法一：由条件①，得. 设，则， 所以点到直线的距离 ， 所以当，即时，取得最大值15千米. 即选址应满足千米，千米. 解法二：以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系. 则. 由条件①，得. 设，则， 化简得，， 即点的轨迹是以点（）为圆心、为半径的圆位于轴上方的半圆. 则当时，点到直线的距离最大，最大值为千米. 所以点的选址应满足在上述坐标系中其坐标为即可. **3．某“” 型水渠南北向宽为，东西向宽为，其俯视图如图所示．假设水渠内的水面始终保持水平位置. (1) 过点的一条直线与水渠的内壁交于两点，且与水渠的一边的夹角为（为锐角），将线段的长度表示为的函数； (2) 若从南面漂来一根长度为的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？试说明理由． **4．将一个半径为3dm，圆心角为的扇形铁皮焊接成一个容积为V(dm3)的圆锥形无盖容器(忽略损耗). (1)求V关于的函数关系式 (2)当为何值时，V取得最大值 (3)容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5dm的球?请说明理由. 解析： 所以能完全盖住桌面上一个半径为0.5dm的球. **5．如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地米， 米，以为直径的半圆和半圆（半圆在矩形内部）为两个半圆形水上主题乐园， 都建有围墙，游客只能从线段处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着修建不锈钢护栏，沿着线段修建该主题乐园大门并设置检票口，其中分别为上的动点， ，且线段与线段在圆心和连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为元/米，直线部门的平均修建费用为元/米. （1）若米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米？ （2）试确定点的位置，使得修建费用最低. 【答案】（1）；（2）当为时，修建费用最低. 解析：（1）如上图,设直线矩形交于两点，连， 则米， 米． 梯形的面积为平方米， 矩形的面积为平方米， 由，得扇形和扇形的面积均为平方米， 故阴影部分面积为平方米． 0极小值
由上表可得当时，即， 有极小值，也为最小值． 故当为时，修建费用最低． **6．如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池及其矩形附属设施，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化.其中半圆的圆心为，半径为，矩形的一边在直径上，点在圆周上， 在边上，且，设. （1）记游泳池及其附属设施的占地面积为，求的表达式； （2）当为何值时，能符合园林局的要求？ 答案：（1）;(2) 由（1知， 令，即，解得或（舍去）， 令 当时， ， 是单调减函数，当时， ， 是单调增函数，所以当时， 取得最小值. 答：当满足时，符合园林局要求. **7．园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为米，圆心角为（弧度）的扇形观景水池，其中， 为扇形的圆心，同时紧贴水池周边(即： 和所对的圆弧)建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元. (1)若总费用恰好为24万元，则当和分别为多少时，可使得水池面积最大，并求出最大面积； (2)若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少？ 答案（1）， ，面积最大值为400平方米.（2）水池的最大面积为337.5平方米. 解析：解(1)法1：弧长AB为，扇形面积为， 则即 所以 当且仅当取等号，此时 答： ， ，面积最大值为400平方米. 法2：利用基本不等式. 所以， 时，水池的最大面积为337.5平方米. 答： 的取值范围为，且当， ，水池的最大面积为337.5平方米. ***8.在某城市街道上一侧路边边缘某处安装路灯，路宽为米，灯杆长4米，且与灯柱成角，路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩轴线与灯的边缘光线(如图， )都成角，当灯罩轴线与灯杆垂直时，灯罩轴线正好通过的中点. （1）求灯柱的高为多少米; （2）设，且，求灯所照射路面宽度的最小值. 答案：（1）（2） 解析：（1）连接， 设，则， 在直角中， ， 在直角中， ， 则有，解得 ， [来源:学科网ZXXK] 在直角中， . （2）以为坐标原点， ， 分别为轴，建立直角坐标系，则 ，又 ①若，由（1）知， ②若， 则直线的方程为，则； 直线的方程为，则； 所以 == 又，所以当且仅当时， 取最小值； 综合①②知，当时， 取最小值 *9．【2018~2019扬州期末】如图所示，某街道居委会拟在地段的居民楼正南方向的空白地段上建一个活动中心，其中米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形，上部分是以为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长不超过米，其中该太阳光线与水平线的夹角满足. （1）若设计米，米，问能否保证上述采光要求？ （2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计与的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中取3） 【答案】解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． （1）因为，，所以半圆的圆心为， 半径．设太阳光线所在直线方程为， 即， ...............2分 则由， 解得或（舍）. 故太阳光线所在直线方程为， ...............5分 令，得米米. 所以此时能保证上述采光要求. ...............7分 （2）设米，米，则半圆的圆心为，半径为． 方法一：设太阳光线所在直线方程为， 即，由， 解得或（舍）. ...............9分 故太阳光线所在直线方程为， 令，得，由，得. ...............11分 所以 . 当且仅当时取等号. 所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大. ...............16分 方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为米，则此时点为， 设过点G的上述太阳光线为，则所在直线方程为y－＝－(x－30)， 即． ...............10分 由直线与半圆H相切，得． 而点H(r，h)在直线的下方，则3r＋4h－100＜0， 即，从而． ...............13分 又. 当且仅当时取等号. 所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大. ...............16分 **10．如图所示，一根水平放置的长方体枕木的安全负荷与它的厚度的平方和宽度 的乘积成正比，与它的长度的平方成反比． （Ⅰ）在的条件下，将此枕木翻转（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷会发生变化吗？变大还是变小？ （Ⅱ）现有一根横截面为半圆（半圆的半径为）的柱形木材，用它截取成横截面为长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问横截面如何截取，可使安全负荷最大？ 答案：（Ⅰ）变大；（Ⅱ）当宽，高时，安全负荷最大. 当时，，此时枕木的安全负荷变大． （Ⅱ）设截取的宽为（），高为，， 其长度及为定值，安全负荷为 令， 此时，由，得 由，可得，在递增，在递减 所以当宽时，取得最大值，此时高， 所以，当宽，高时，安全负荷最大 **11．如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区，其中是半径为1百米的扇形，． 管理部门欲在该地从到修建小路：在弧上选一点（异于两点），过点修建与平行的小路．问：点选择在何处时，才能使得修建的小路与及的总长最小？并说明理由． 答案：时,总长最小. 解析：连接，过作垂足为，过作垂足为， 设， 若，在中，， 若，则， 若，则，∴． 在中，, 所以总路径长 令，当时，， 当时， 所以当时，总路径最短． 答：当时，总路径最短 **12.如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米,滴管内液体忽略不计. （1）如果瓶内的药液恰好分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？ （2）在条件(1)下,设输液开始后（单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为（单位：厘米），已知当时，.试将表示为的函数.（注） 答案：（1）75；（2）． 解析：（1）设每分钟滴下（）滴， 则瓶内液体的体积 滴球状液体的体积 所以，解得，故每分钟应滴下滴。 （2）由（1）知，每分钟滴下药液 当时，，即，此时 当时，，即，此时 综上可得
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