【教案】圆的轨迹问题
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个性化教学辅导教案
学生姓名 年 级 学 科 数 学
上课时间 教师姓名
课 题 圆的轨迹问题
教学目标 圆的轨迹问题
教学过程
教师活动 学生活动
类型一：圆的轨迹问题 一、高考回顾 1(08年高考题)．满足条件AB＝2， AC＝BC的三角形ABC的面积的最大值是 ． 答案:2． 解:因为AB＝2(定长)，可以以AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系， 则A(－1，0)，B(1，0)，设C(x，y)， 由AC＝BC可得＝， 化简得(x－3)2＋y2＝8，即C在以(3，0)为圆心，2为半径的圆上运动． 又SΔABC＝·AB·|yc|＝|yc|≤2． 2（13年高考题）．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上． (1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； (2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围． 答案：(1)y＝3或3x＋4y－12＝0； (2)a的取值范围为[0，] 解：（1）由题设点C(a，2a－4)，又C也在直线y＝x－1上，∴2a－4＝a－1，∴a＝3 ∴⊙C:(x－3)2＋(y－2)2＝1，由题，过A点切线方程可设为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，则＝1，解得：k＝0，－，∴所求切线为y＝3或y＝－x＋3 （2）设点C(a，2a－4)，M(x0，y0)，∵MA＝2MO，A(0，3)，O(0，0)，∴x02＋(y0－3)2＝4(x02＋y02)，即x02＋y02＝3－2y0，又点M在圆C上，∴(x0－a)2＋(y0－2a＋4)2＝1，两式相减得 ax0＋(2a－3)y0－(－8a＋9)＝0，由题以上两式有公共点，∴≤1 整理得：|－6a＋3|≤，即(5a2－12a＋6)2≤4(5a2－12a＋9)，令t＝5a2－12a＋6，则 t2≤4(t＋3)，解得：－2≤t≤6，∴－2≤5a2－12a＋6≤6，解得：0≤a≤． 3（17年高考题）.在平面直角坐标系xOy中,A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆Ox2＋y2＝50上,若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是 . 答案：[－5，1] 二、方法联想 1.定义圆 已知平面上一定点A，则满足PA＝r(r＞0) 的点P的轨迹是一个圆． 2.阿波罗尼斯圆 结论1：已知平面上两定点A、B，则所有满足＝k(k＞0且k≠1)的点P的轨迹是一个圆． 3.向量数量积圆 结论2：已知平面上两定点A、B，且AB＝m，则所有满足·＝λ (λ＋＞0)的点P的轨迹是一个圆． 推导方法1：取AB中点M，·＝(＋)(＋)＝||2－||2＝||2－＝λ ，所以 ||2＝＋λ. 推导方法2：建系设点法. 4.距离平方圆 结论3：已知平面上两定点A、B，且AB＝m，则所有满足PA2＋PB2＝λ (其中－＞0 ) 的点P的轨迹是一个圆． 推导方法1：建系设点法. 推导方法2：取AB中点M.利用余弦定理代入cos∠PMA＝－cos∠PMB 化简得|PM|2＝ －. 推导方法3：取AB中点M.利用“平行四边形四边的平方和等于对角线的平方和”得PA2＋PB2＝2(AM2＋PM2)＝2(()2＋PM2)＝λ得PM2＝ －. 5.求轨迹方程的常用方法有： (1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0. (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程. (3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程. (4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程. (5)参数法. 三、方法应用 例1.已知直线与曲线交于两点，平面上的动点满足，则的最大值为 ． 解：由知直线过定点M，由 知定点M为曲线的对称中心，即点M为AB的中点，所以，故点P的轨迹为以M为圆心1为半径的圆（及内部），所以. 例2. 已知等边三角形ABC的边长为2，点在线段AC上，若满足等式·＝λ的点P有两个，则实数λ的取值范围是 ． 答案：－＜λ≤0 （方法一：以AC中点为原点，AC所在的直线为x轴，设P(x，0)(－1≤x≤1) 转化为方程有两解问题；方法二：以AB中点为原点，AB所在的直线为x轴，转化为圆与线段有两个公共点问题；方法三：向量投影法，记AP=x，问题可化为·＝·(＋)＝2－·＝x2－x＝λ 在x∈[0，2] 上有两解） 例3．在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：(x＋4)2＋(y－a)2＝16上两个动点，且AB＝2．若直线l：y＝2x上存在唯一的一个点P，使得＋＝，则实数a的值为 ． 答案：2或-18 （考查弦AB中点的轨迹，点P轨迹，直线与圆的位置关系） 四、归类研究 *1．等腰三角形ABC中，AB＝AC，腰AC上的中线BD＝2，则△ABC面积的最大值为________． 答案： . (利用等腰三角形的性质得到AB＝2AD，则点A是圆上动点，即求圆上动点到直线距离的最值) **2．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝k(x－3)上存在一点P，圆x2＋(y－1)2＝1上存在一点Q，满足＝3，则实数k的最小值为 ． 答案：－ （考查代入法求轨迹，直线与圆的位置关系） ***3．已知ΔABC中，AB＝AC＝，ΔABC所在平面内存在点P使得PB2＋PC2＝3PA2＝3，则ΔABC面积的最大值为 ． 答案： （建系转化为两轨迹圆有公共点问题研究面积最值） *4.在平面直角坐标系xOy中,点A(1,0),B(0,4)．若圆 上不存在两点P使得 ,则实数m的取值范围是________． 答案: . (知道轨迹的常见结论，更需要知道求轨迹的方法本身) **5.点P是圆C：x2＋y2＝1上动点，已知A(－1,2)，B(2,0)，则PA＋PB的最小值为________． 答案： (已知动点轨迹为圆，将PB转化为P到一个定点的距离，即求动点到两个定点距离之和） ***6.已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为,一个焦点到相应的准线的距离为3,圆N的方程为(x－c)2＋y2＝a2＋c2(c为半焦距),直线l：y＝kx＋m(k>0)与椭圆M和圆N均只有一个公共点,分别设为A,B．点P在圆N上,且＝2，则点P的坐标为 ． 答案：(－1,1)或(－,) (已知动点到到两个定点距离之比为定值，求定点坐标) ***7. 已知点A(0，1)，B(1，0)，C(t，0)，点D是直线AC上的动点，若AD≤2BD恒成立，则最小正整数t的值为____________． 答案. 4 解析：直线AC的方程为＋y＝1即x＋ty－t＝0，设D(x，y)，∵ AD≤2BD即AD2≤4BD2， ∴ x2＋(y－1)2＜4[(x－1)2＋y2]， ＋≥表示圆外区域及圆周上的点， 直线x＋ty－t＝0与圆＋＝相离， ≥，化简得t2－4t＋1≥0， 解得t≥2＋或t≤2－.∴ 正整数t的值的值为4. （本题考查直线与圆的位置，一元二次不等式解法，以及数形结合思想的运用） 8.平面直角坐标系xOy中，已知F1、F2分别是椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点. 在椭圆C上任取一点P，点Q在PO的延长线上，且=2． **（1）当点P在椭圆C上运动时，求点Q形成的轨迹E的方程； ***（2）若过点P的直线l：y=x+m交（1）中的曲线E于A，B两点，求△ABQ面积的最大值． 解：(1)设Q(x，y)，P(x1，y1) ，由题=2知，＝2 得(x，y)＝2(－x1，－y1) 因为＋y12＝1所以轨迹E的方程为＋＝1 . (2)设A(x1，y1)B(x2，y2) 由 得5x2＋8mx＋4m2－16＝0(*) 此式Δ＞0 显然成立， x1＋x2＝－m，x1x2＝ ，AB＝|x1－x2|＝＝ 设P(x1，y1) ，由（1）知Q(－2x1，－2y1) ，因为y1＝x1＋m ，y1－x1＝m ，点Q到直线l的距离为d＝＝＝|m| ，△ABQ面积S＝AB·d＝*·|m|＝＝ 由得5x2＋8mx＋4m2－4＝0 此式Δ≥0 解得0≤m2≤5 ，所以当m2＝5 时，△ABQ面积的最大值为6 . （本题考查了求轨迹问题、直线与椭圆的位置关系、弦长公式及函数最值问题，求面积最值时定义域问题易错，隐藏了直线与原椭圆的位置关系，最终二次函数不是在对称轴取得最大值，而是端点处.
教 学 反 思
成为受人尊敬的百年育人集团,让孩子成为人生道路上的冠军
学生姓名 年 级 学 科 数 学
上课时间 教师姓名
课 题 圆的轨迹问题
教学目标 圆的轨迹问题
教学过程
教师活动 学生活动
类型一：圆的轨迹问题 一、高考回顾 1(08年高考题)．满足条件AB＝2， AC＝BC的三角形ABC的面积的最大值是 ． 答案:2． 解:因为AB＝2(定长)，可以以AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系， 则A(－1，0)，B(1，0)，设C(x，y)， 由AC＝BC可得＝， 化简得(x－3)2＋y2＝8，即C在以(3，0)为圆心，2为半径的圆上运动． 又SΔABC＝·AB·|yc|＝|yc|≤2． 2（13年高考题）．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上． (1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； (2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围． 答案：(1)y＝3或3x＋4y－12＝0； (2)a的取值范围为[0，] 解：（1）由题设点C(a，2a－4)，又C也在直线y＝x－1上，∴2a－4＝a－1，∴a＝3 ∴⊙C:(x－3)2＋(y－2)2＝1，由题，过A点切线方程可设为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，则＝1，解得：k＝0，－，∴所求切线为y＝3或y＝－x＋3 （2）设点C(a，2a－4)，M(x0，y0)，∵MA＝2MO，A(0，3)，O(0，0)，∴x02＋(y0－3)2＝4(x02＋y02)，即x02＋y02＝3－2y0，又点M在圆C上，∴(x0－a)2＋(y0－2a＋4)2＝1，两式相减得 ax0＋(2a－3)y0－(－8a＋9)＝0，由题以上两式有公共点，∴≤1 整理得：|－6a＋3|≤，即(5a2－12a＋6)2≤4(5a2－12a＋9)，令t＝5a2－12a＋6，则 t2≤4(t＋3)，解得：－2≤t≤6，∴－2≤5a2－12a＋6≤6，解得：0≤a≤． 3（17年高考题）.在平面直角坐标系xOy中,A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆Ox2＋y2＝50上,若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是 . 答案：[－5，1] 二、方法联想 1.定义圆 已知平面上一定点A，则满足PA＝r(r＞0) 的点P的轨迹是一个圆． 2.阿波罗尼斯圆 结论1：已知平面上两定点A、B，则所有满足＝k(k＞0且k≠1)的点P的轨迹是一个圆． 3.向量数量积圆 结论2：已知平面上两定点A、B，且AB＝m，则所有满足·＝λ (λ＋＞0)的点P的轨迹是一个圆． 推导方法1：取AB中点M，·＝(＋)(＋)＝||2－||2＝||2－＝λ ，所以 ||2＝＋λ. 推导方法2：建系设点法. 4.距离平方圆 结论3：已知平面上两定点A、B，且AB＝m，则所有满足PA2＋PB2＝λ (其中－＞0 ) 的点P的轨迹是一个圆． 推导方法1：建系设点法. 推导方法2：取AB中点M.利用余弦定理代入cos∠PMA＝－cos∠PMB 化简得|PM|2＝ －. 推导方法3：取AB中点M.利用“平行四边形四边的平方和等于对角线的平方和”得PA2＋PB2＝2(AM2＋PM2)＝2(()2＋PM2)＝λ得PM2＝ －. 5.求轨迹方程的常用方法有： (1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0. (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程. (3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程. (4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程. (5)参数法. 三、方法应用 例1.已知直线与曲线交于两点，平面上的动点满足，则的最大值为 ． 解：由知直线过定点M，由 知定点M为曲线的对称中心，即点M为AB的中点，所以，故点P的轨迹为以M为圆心1为半径的圆（及内部），所以. 例2. 已知等边三角形ABC的边长为2，点在线段AC上，若满足等式·＝λ的点P有两个，则实数λ的取值范围是 ． 答案：－＜λ≤0 （方法一：以AC中点为原点，AC所在的直线为x轴，设P(x，0)(－1≤x≤1) 转化为方程有两解问题；方法二：以AB中点为原点，AB所在的直线为x轴，转化为圆与线段有两个公共点问题；方法三：向量投影法，记AP=x，问题可化为·＝·(＋)＝2－·＝x2－x＝λ 在x∈[0，2] 上有两解） 例3．在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：(x＋4)2＋(y－a)2＝16上两个动点，且AB＝2．若直线l：y＝2x上存在唯一的一个点P，使得＋＝，则实数a的值为 ． 答案：2或-18 （考查弦AB中点的轨迹，点P轨迹，直线与圆的位置关系） 四、归类研究 *1．等腰三角形ABC中，AB＝AC，腰AC上的中线BD＝2，则△ABC面积的最大值为________． 答案： . (利用等腰三角形的性质得到AB＝2AD，则点A是圆上动点，即求圆上动点到直线距离的最值) **2．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝k(x－3)上存在一点P，圆x2＋(y－1)2＝1上存在一点Q，满足＝3，则实数k的最小值为 ． 答案：－ （考查代入法求轨迹，直线与圆的位置关系） ***3．已知ΔABC中，AB＝AC＝，ΔABC所在平面内存在点P使得PB2＋PC2＝3PA2＝3，则ΔABC面积的最大值为 ． 答案： （建系转化为两轨迹圆有公共点问题研究面积最值） *4.在平面直角坐标系xOy中,点A(1,0),B(0,4)．若圆 上不存在两点P使得 ,则实数m的取值范围是________． 答案: . (知道轨迹的常见结论，更需要知道求轨迹的方法本身) **5.点P是圆C：x2＋y2＝1上动点，已知A(－1,2)，B(2,0)，则PA＋PB的最小值为________． 答案： (已知动点轨迹为圆，将PB转化为P到一个定点的距离，即求动点到两个定点距离之和） ***6.已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为,一个焦点到相应的准线的距离为3,圆N的方程为(x－c)2＋y2＝a2＋c2(c为半焦距),直线l：y＝kx＋m(k>0)与椭圆M和圆N均只有一个公共点,分别设为A,B．点P在圆N上,且＝2，则点P的坐标为 ． 答案：(－1,1)或(－,) (已知动点到到两个定点距离之比为定值，求定点坐标) ***7. 已知点A(0，1)，B(1，0)，C(t，0)，点D是直线AC上的动点，若AD≤2BD恒成立，则最小正整数t的值为____________． 答案. 4 解析：直线AC的方程为＋y＝1即x＋ty－t＝0，设D(x，y)，∵ AD≤2BD即AD2≤4BD2， ∴ x2＋(y－1)2＜4[(x－1)2＋y2]， ＋≥表示圆外区域及圆周上的点， 直线x＋ty－t＝0与圆＋＝相离， ≥，化简得t2－4t＋1≥0， 解得t≥2＋或t≤2－.∴ 正整数t的值的值为4. （本题考查直线与圆的位置，一元二次不等式解法，以及数形结合思想的运用） 8.平面直角坐标系xOy中，已知F1、F2分别是椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点. 在椭圆C上任取一点P，点Q在PO的延长线上，且=2． **（1）当点P在椭圆C上运动时，求点Q形成的轨迹E的方程； ***（2）若过点P的直线l：y=x+m交（1）中的曲线E于A，B两点，求△ABQ面积的最大值． 解：(1)设Q(x，y)，P(x1，y1) ，由题=2知，＝2 得(x，y)＝2(－x1，－y1) 因为＋y12＝1所以轨迹E的方程为＋＝1 . (2)设A(x1，y1)B(x2，y2) 由 得5x2＋8mx＋4m2－16＝0(*) 此式Δ＞0 显然成立， x1＋x2＝－m，x1x2＝ ，AB＝|x1－x2|＝＝ 设P(x1，y1) ，由（1）知Q(－2x1，－2y1) ，因为y1＝x1＋m ，y1－x1＝m ，点Q到直线l的距离为d＝＝＝|m| ，△ABQ面积S＝AB·d＝*·|m|＝＝ 由得5x2＋8mx＋4m2－4＝0 此式Δ≥0 解得0≤m2≤5 ，所以当m2＝5 时，△ABQ面积的最大值为6 . （本题考查了求轨迹问题、直线与椭圆的位置关系、弦长公式及函数最值问题，求面积最值时定义域问题易错，隐藏了直线与原椭圆的位置关系，最终二次函数不是在对称轴取得最大值，而是端点处.
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