【教案】圆锥曲线之定值问题
图片预览
文档简介
个性化教学辅导教案
学生姓名 年 级 学 科 数 学
上课时间 教师姓名
课 题 圆锥曲线之定值问题
教学目标 圆锥曲线之定值问题
教学过程
教师活动 学生活动
一、高考回顾 1（12年高考题）.如图，在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．已知(1，e)和(e，)都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P ． （i）若AF1－BF2＝，求直线AF1的斜率； （ii）求证：PF1＋PF2是定值． 解：（1）椭圆的方程为＋y2＝1. （2）（i）延长AF1交椭圆于点B1,设A(x1，y1)，B1(x2，y2)，设直线AF1的斜率为k(k＞0) ，由 (1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0 x1＋x2＝－，x1x2＝ ，(*) 由椭圆第二定义及对称性可知AF1－BF2＝AF1－B1F1＝(x1＋)e－(x2＋)e＝(x1－x2) AF1－BF22＝(x1－x2)2＝[(x1＋x2)2－4x1x2]＝()2 将(*)代入解得12k4＋4k2－5＝0 , k2＝ 或－ (舍), 又k＞0， 所以k＝ . （ii）当直线AF1的斜率不存在时，A－1 ，直线AF2:y＝－(x－1) ，得P点坐标为(0，) ，PF1＝PF2＝ ,PF1＋PF2＝ . 当直线AF1的斜率存在时，因为AF1∥BF2 ,＝ , ＝,所以PF1＝·BF1＝·(2a－BF2) ,同理可证PF2＝·(2a－AF1),所以PF1＋PF2＝·(2a－BF2)＋·(2a－AF1)＝2a－ ,又＝＝ ＝，将（i）中的(*)代入上式得＝ ，PF1＋PF2＝. 综上. PF1＋PF2是定值. （第二问也可以利用向量共线转化为求P点轨迹是椭圆问题） 二、方法联想 方法1 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 方法2 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． （对于某些特殊问题注意平面几何知识的应用） 三、方法应用 例1.已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N． （Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围； （Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值． 解：（1）因为抛物线经过点， 所以，解得，所以抛物线的方程为． 由题意可知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为． 由得． 依题意，解得或． 又，与轴相交，故直线不过点，从而， 所以直线斜率的取值范围是． （2）设，． 由（1）知，，直线的方程为． 令，得点的纵坐标为． 同理得点的纵坐标为． 由，得，． ， 所以为定值． 例2.在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，右准线 l：x＝m＋1与x轴的交点为B，BF2＝m． （1）已知点(，1)在椭圆C上，求实数m的值； （2）已知定点A(－2，0)． ①若椭圆C上存在点T，使得＝，求椭圆C的离心率的取值范围； ②当m＝1时，记M为椭圆C上的动点，直线AM，BM分别与椭圆C交于另一点P，Q， 若 ＝λ，＝，求证：λ＋为定值． 解：（1）设椭圆C的方程为 ＋＝1(a＞b＞0)． 由题意，得 解得 所以椭圆方程为＋＝1． 因为椭圆C过点(，1)，所以＋＝1， 解得m＝2或m＝－ (舍去）． 所以m＝2． （2）①设点T(x，y)． 由＝，得(x＋2)2＋y2＝2[(x＋1)2＋y2]，即x2＋y2＝2． 由 得y2＝m2－m． 因此0≤m2－m≤m，解得1≤m≤2． 所以椭圆C的离心率e＝[，]． ②（方法一）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 则＝(x0＋2，y0)，＝(x1＋2，y1)． 由＝， 得 从而 因为＋y02＝1，所以＋(y1)2＝1． 即2(＋y12)＋2(－1)x1＋2(－1)2－1＝0． 因为 ＋y12＝1，代入得2 (－1)x1＋32－4＋1＝0． 由题意知，≠1， 故x1＝－，所以x0＝． 同理可得x0＝． 因此＝， 所以＋＝6． （方法二）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 直线AM的方程为y＝(x＋2)． 将y＝(x＋2)代入＋y2＝1，得((x0＋2)2＋y)x2＋4yx＋4y－(x0＋2)2 ＝0(*)． 因为＋y02＝1，所以（*）可化为(2x0＋3)x2＋4yx－3x－4x0＝0． 因为x0x1＝－，所以x1＝－． 同理x2＝． 因为＝，＝， 所以＋＝＋＝＋ ＝＋＝6． 即λ＋为定值6． (考查离心率范围，定值问题及计算能力) 例3.如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点A,B,C分 别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线交椭圆于点D,交轴于点，直线 与直线交于点． （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的方程； （3）求证：为定值. 解（1）由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1. 得 解得 所以，椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，设， 因为，得，所以， 代入椭圆方程得，所以， 所以 的方程为：或. （3）设D坐标为(x3，y3）,由，M(x1，0)可得直线CM的方程， 联立椭圆方程得：解得. 由 ，得直线BD的方程：， ① 直线AC方程为， ② 联立①②得， 从而=2为定值. 解法2：设D坐标为(x3，y3）， 由C,M,D三点共线得，所以， ① 由B,D,N三点共线得，将 代入可得 ， ② ①和②相乘得， . 四、归类研究 1．如图，在直角坐标系xOy中，O为直角坐标系的原点，椭圆T:＋＝1(a＞b＞0)过点P(，)，且椭圆T的离心率为， 已知椭圆T的内接四边形ABCD(逆时针排列)的对角线AC?BD均过坐标原点，且AC⊥BD． * (1) 求椭圆T的方程； ** (2) 求证:＋＋＋为定值，并求出这个定值； 解:在椭圆T中，＋＝1，① 又＝c＝a，b＝＝a， 代入①解得a＝2，b＝1． 椭圆T的方程为＋y2＝1． (2) 证明:由于点A与C?B与D关于原点对称，故OA＝OC，OB＝OD，从而＋＋＋＝2，设直线OA的斜率为k，则直线OA:y＝kx，代入椭圆的方程得x2＝，∴ OA2＝x2＋k2x2＝(1＋k2)x2＝， 用－代替k，可得OB2＝＝， ∴ ＋＝＋＝＝． 又当k＝0或k不存在时，OA?OB分别是椭圆的长半轴?短半轴的长(可交换)，∴ ＋＝＋＝． 综上所述，＋＋＋为定值． （本题考查简单的定值计算问题，也可以设点坐标利用椭圆方程求解） 2．如图，已知椭圆C:＋＝1，点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另外一点A(点A在x轴下方)，且线段AB的中点E在直线y＝x上． * (1) 求直线AB的方程； **(2) 若点P为椭圆C上异于A，B的动点，且直线AP，BP分别交直线y＝x于点M，N，证明:OM·ON为定值．
解: (1)设点E(m，m)，由B(0，－2)得A(2m，2m＋2)． 代入椭圆方程得＋＝1，即＋(m＋1)2＝1， 解得m＝－或m＝0(舍)． 所以A(－3，－1)， 故直线AB的方程为x＋3y＋6＝0． (2) 证明:设P(x0，y0)，则＋＝1，即y＝4－． 设M(xM，yM)，由A，P，M三点共线，即∥， ∴ (x0＋3)(yM＋1)＝(y0＋1)(xM＋3)． 又点M在直线y＝x上，解得M点的横坐标xM＝． 设N(xN，yN)，由B，P，N三点共线，即∥， ∴ x0(yN＋2)＝(y0＋2)xN， 点N在直线y＝x上，解得N点的横坐标xN＝． ∴ OM·ON＝|xM－0|·|xN－0|＝2|xM|·|xN| ＝2||·|| ＝2||＝2|| ＝2||＝6． (本题考查利用椭圆方程进行消元化简求最值问题，利用向量共线知识避免斜率讨论问题) 3．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点，过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M为直线l上的动点(点M与点A不重合)，点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P． * (1) 求椭圆C的方程； **(2) 求证:AP⊥OM； ***(3) 试问·是否为定值?若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由． 解:∵ 椭圆C:＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，∴ a2＝2c2，则a2＝2b2． 又椭圆C过点， ∴ ＋＝1． ∴ a2＝4，b2＝2， 则椭圆C的方程为＋＝1． (2) 证明:设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为y＝k(x－2)，设P(x1，y1)， 将y＝k(x－2)代入椭圆C的方程＋＝1中并化简，得 (2k2＋1)x2－4k2x＋8k2－4＝0， 解得x1＝，x2＝2，∴ y1＝k(x1－2)＝，从而P． 令x＝－2，得y＝－4k， ∴ M(－2，－4k)，＝(－2，－4k)． 又＝＝， ∴ ·＝＋＝0， ∴ AP⊥OM． (3) 解:·＝·(－2，－4k)＝＝＝4． ∴ ·为定值4． (考查简单的定值问题) 4.已知椭圆E:＋＝1(a＞b＞0)过点(0，1)，且离心率为． *（1）求椭圆E的方程； **（2）设直线l:y＝x＋m与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形 ABCD，记直线l与x轴的交点为N，问B、N两点间距离是否为定值？如果是， 求出定值；如果不是，请说明理由． 解（1）设椭圆的半焦距为c． 因为点(0，1)在椭圆C上，所以b＝1．故a2－c2＝1． 又因为e＝＝，所以c＝， a＝2． 所以椭圆C的标准方程为: ＋y2＝1． （Ⅱ）设A(x1，y1)， C(x2，y2)，线段AC中点为M(x0，y0)． 联立y＝x＋m和x2＋4y2－4＝0，得: x2＋2mx＋2m2－2＝0． 由Δ＝(2m)2－4(2m2－2)＝8－4m2＞0，可得－＜m＜． 所以x1＋x2＝－2m， x1x2＝2m2－2． 所以AC中点为M(－m，m)． 弦长|AC|＝ ＝ ＝， 又直线l与x轴的交点N(－2m，0)， 所以|MN|＝＝． 所以|BN|2＝|BM|2＋|MN|2 ＝|AC|2＋|MN|2＝． 所以B、N两点间距离为定值． (考查弦长公式，勾股定理求定值问题) 5.已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，过F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A，B两点，线段AB的中垂线l′交x轴于点M． *（1）若BF＝2，求B点坐标； **（2）问：是否为定值． 答案：（1）（，±）． （2）是定值为． （直接计算求定值，考查圆锥曲线的统一定义、点差法及平面几何性质等） 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: ＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A?B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为． * (1) 求椭圆C的方程； **(2) 若点E的坐标为，点A在第一象限且横坐标为，连结点A与原点O的直线交椭圆C于另一点P，求△PAB的面积； ***(3) 是否存在点E，使得＋为定值?若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由． 解:(1) 由＝，设a＝3k(k＞0)，则c＝k，b2＝3k2， 所以椭圆C的方程为＋＝1． 因为直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点，即xA＝xB＝k，代入椭圆方程，解得y＝±k，于是2k＝，即k＝， 所以椭圆C的方程为＋＝1． (2) 将x＝代入＋＝1，解得y＝±1． 因为点A在第一象限，从而A(，1)，由点E的坐标为， 所以kAB＝，直线PA的方程为y＝， 联立直线PA与椭圆C的方程，解得B． 又PA过原点O，于是P，PA＝4，所以直线PA的方程为x－y＝0， 所以点B到直线PA的距离h＝＝， S△PAB＝·4·＝． (3) 假设存在点E，使得＋为定值，设E(x0，0)， 当直线AB与x轴重合时，有＋＝＋＝． 当直线AB与x轴垂直时，＋＝＝， 由＝，解得x0＝±，＝2， 所以若存在点E，此时E(±，0)，＋为定值2． 根据对称性，只需考虑直线AB过点E(，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 又设直线AB的方程为x＝my＋，与椭圆C联立方程组， 化简得(m2＋3)y2＋2my－3＝0， 所以y1＋y2＝，y1y2＝． 又＝＝＝， 所以＋＝＋＝， 将上述关系代入，化简可得＋＝2． 综上所述，存在点E(±，0)，使得＋为定值2． (本题考查求三角形面积问题，由特例求出定点再证明定值问题) 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线l:y＝x与椭圆E相交于A?B两点，AB＝2．C?D是椭圆E上异于A?B的任意两点，且直线AC?BD相交于点M，直线AD?BC相交于点N． *(1) 求a，b的值； ***(2) 求证:直线MN的斜率为定值． 解(1):因为e＝＝，所以c2＝a2，即a2－b2＝a2，所以a2＝2b2． 故椭圆的方程为＋＝1． 由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限． 由解得A． 又AB＝2，所以OA＝，即b2＋b2＝5，解得b2＝3． 故a＝，b＝． (2) 证明:(方法1)由(1)知，椭圆E的方程为＋＝1，从而A(2，1)，B(－2，－1)． ① 当CA，CB，DA，DB斜率都存在时， 设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C(x0，y0)，显然k1≠k2． 从而k1·kCB＝·＝＝＝＝－． 所以kCB＝－． 同理kDB＝－． 于是直线AD的方程为y－1＝k2(x－2)，直线BC的方程为y＋1＝－(x＋2)． 由 解得 从而点N的坐标为． 用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为． 所以 kMN＝ ＝＝－1． 即直线MN的斜率为定值－1． ② 当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，－1)． 仍然设DA的斜率为k2， 由①知kDB＝－． 此时CA:x＝2，DB:y＋1＝－(x＋2)，它们交点M． BC:y＝－1，AD:y－1＝k2(x－2)，它们交点N， 从而kMN＝－1也成立． 由①②可知，直线MN的斜率为定值－1． (方法2)由(1)知，椭圆E的方程为＋＝1，从而A(2，1)，B(－2，－1)． ① 当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2． 显然k1≠k2． 直线AC的方程y－1＝k1(x－2)，即y＝k1x＋(1－2k1)． 由得(1＋2k)x2＋4k1(1－2k1)x＋2(4k－4k1－2)＝0． 设点C的坐标为(x1，y1)，则2·x1＝，从而x1＝． 所以C． 又B(－2，－1)，所以kBC＝＝－． 所以直线BC的方程为y＋1＝－(x＋2)． 又直线AD的方程为y－1＝k2(x－2)． 由 解得 从而点N的坐标为． 用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为． 所以 kMN＝ ＝＝－1． 即直线MN的斜率为定值－1． ② 当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，－1)． 仍然设DA的斜率为k2， 由①知kDB＝－． 此时CA:x＝2，DB:y＋1＝－(x＋2)，它们交点M． BC:y＝－1，AD:y－1＝k2(x－2)，它们交点N， 从而kMN＝－1也成立． 由①②可知，直线MN的斜率为定值－1． (本题考查椭圆的第三定义的应用或直线与椭圆知一点联立求另一交点问题，对运算能力要求较高) 8.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右准线方程为，是椭圆C的长轴上一点(Q异于长轴端点)，过点Q的直线l交椭圆于A，B两点． *（1）求椭圆C的标准方程； （2）**①若，求的最大值； ***②在x轴上是否存在一点P，使得为定值，若存在，求出点P；若不存在，请说明理由． 解（1）由，右准线方程为， 所以，，，即椭圆． （2）①由已知，， 当直线AB垂直于x轴时， ，， ． 当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB：， 代入得， 设，， ＜2． 所以，当直线AB垂直于x轴时，取到最大值2． ②设点，，， 当直线AB不垂直于y轴时， 设AB：，代入得， ， 令得， 当时，． 当直线AB垂直于y轴时，，， ． 所以，在x轴上存在点，使得为定值． 方法二 先利用直线l垂直于x轴和垂直于y轴两种情况下的值不变，猜想点，然后再证明此时为定值 【2019如皋期末18】如图，已知椭圆C：的离心率为，右准线方程为，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）记△AFM，△BFN的面积分别为S1，S2，若，求k的值； （3）设线段MN的中点为D，直线OD与右准线相交于点E，记直线AM，BN，FE的斜率分别为k1，k2， ，求k2·(k1－) 的值． 【解】（1）设椭圆的焦距为2c(c＞0)． 依题意，，且，解得a＝2，c＝1． 故b2＝a2－c2＝3． 所以椭圆C的标准方程为． …… 4分 （2）设点M(x1，y1)， N(x2，y2)． 据题意，，即，整理可得，所以． 代入坐标，可得 即 又点M， N在椭圆C上，所以解得 所以直线l的斜率． …… 9分 备注：解析几何中出现三角形面积比的，常换成边的比.本题还可以直线与方程联立，用韦达定理做. （3）法一：依题意，直线l的方程为． 联立方程组整理得， 所以，． 故，， 所以直线OD的方程为，令x＝4，得，即． 所以． …… 12分 所以 ． …… 16分 法二：依题意，直线l的方程为，即，记， 则直线l的方程为，与椭圆C联立方程组 整理得， 所以，． 故，， 所以直线OD的方程为，令x＝4，得，即． 所以． …… 12分 所以 ． …… 16分 法三：依题意，点M(x1，y1)， N(x2，y2)在椭圆C上， 所以两式相减，得， 即，所以，即， 所以直线OD的方程为，令x＝4，得，即， 所以． …… 12分 又直线AM的方程为，与椭圆C联立方程组 整理得， 所以，得，． 所以点M的坐标为． 同理，点N的坐标为． 又点M，N，F三点共线， 所以，整理得， 依题意，，，故． 由可得，，即． 所以． …… 16分 7.【2018~2019海安期末18】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，焦距为2，直线l与椭圆交于C，D两点（均异于椭圆的左、右顶点）．当直线l过椭圆的右焦点F且垂直于x轴时，四边形ACBD的面积为6． ⑴求椭圆的标准方程； ⑵设直线AC ，BD的斜率分别为k1，k2． ①若k2＝3k1，求证：直线l过定点； ②若直线l过椭圆的右焦点F，试判断是否为定值，并说明理由． 【答案】（1） （2） 8.【2019启东二模18】已知椭圆：的离心率为，且上焦点为，过的动直线与椭圆相交于、两点．设点，记、的斜率分别为和． （1）求椭圆的方程； （2）如果直线的斜率等于，求的值； （3）探索是否为定值？如果是，求出该定值； 如果不是，求出的取值范围． 【答案】解：（1）， ，， 椭圆方程为. …………………… (3分) （2）因为直线的斜率等于，且经过焦点F， 所以直线， …………………… （4分） 设、， 由消得， 则有，． …………………… （7分） 所以. （10分） （3）当直线的斜率不存在时， ，， 则，，故． ………………(11分) 当直线的斜率存在时，设其为， 则直线：， 设，， 由消得，…………………… (13分) 则有，． 所以 …………………… (14分) . 所以为定值，且定值为2. …………………… (16分) 【2018年淮安期末17】如图，在平面直角坐标系中，过椭圆：的左顶点作直线，与椭圆和轴正半轴分别交于点，． （1）若，求直线的斜率； （2）过原点作直线的平行线，与椭圆交于点，求证：为定值． 【答案】 解：（1）依题意，椭圆的左顶点， 设直线的斜率为，点的横坐标为， 则直线的方程为．① …… 2分 又椭圆：， ② 由①②得，， 则，从而． …… 5分 因为，所以． 所以，解得（负值已舍）． …… 8分 备注：标答做繁了，可以这样做：设直线的方程为，则Q，代入求出k即可. （2）设点的横坐标为．结合（1）知，直线的方程为．③ 由②③得，． …… 10分 从而 …… 12分 ，即证． …… 14分
教 学 反 思
成为受人尊敬的百年育人集团,让孩子成为人生道路上的冠军
学生姓名 年 级 学 科 数 学
上课时间 教师姓名
课 题 圆锥曲线之定值问题
教学目标 圆锥曲线之定值问题
教学过程
教师活动 学生活动
一、高考回顾 1（12年高考题）.如图，在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．已知(1，e)和(e，)都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P ． （i）若AF1－BF2＝，求直线AF1的斜率； （ii）求证：PF1＋PF2是定值． 解：（1）椭圆的方程为＋y2＝1. （2）（i）延长AF1交椭圆于点B1,设A(x1，y1)，B1(x2，y2)，设直线AF1的斜率为k(k＞0) ，由 (1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0 x1＋x2＝－，x1x2＝ ，(*) 由椭圆第二定义及对称性可知AF1－BF2＝AF1－B1F1＝(x1＋)e－(x2＋)e＝(x1－x2) AF1－BF22＝(x1－x2)2＝[(x1＋x2)2－4x1x2]＝()2 将(*)代入解得12k4＋4k2－5＝0 , k2＝ 或－ (舍), 又k＞0， 所以k＝ . （ii）当直线AF1的斜率不存在时，A－1 ，直线AF2:y＝－(x－1) ，得P点坐标为(0，) ，PF1＝PF2＝ ,PF1＋PF2＝ . 当直线AF1的斜率存在时，因为AF1∥BF2 ,＝ , ＝,所以PF1＝·BF1＝·(2a－BF2) ,同理可证PF2＝·(2a－AF1),所以PF1＋PF2＝·(2a－BF2)＋·(2a－AF1)＝2a－ ,又＝＝ ＝，将（i）中的(*)代入上式得＝ ，PF1＋PF2＝. 综上. PF1＋PF2是定值. （第二问也可以利用向量共线转化为求P点轨迹是椭圆问题） 二、方法联想 方法1 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 方法2 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． （对于某些特殊问题注意平面几何知识的应用） 三、方法应用 例1.已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N． （Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围； （Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值． 解：（1）因为抛物线经过点， 所以，解得，所以抛物线的方程为． 由题意可知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为． 由得． 依题意，解得或． 又，与轴相交，故直线不过点，从而， 所以直线斜率的取值范围是． （2）设，． 由（1）知，，直线的方程为． 令，得点的纵坐标为． 同理得点的纵坐标为． 由，得，． ， 所以为定值． 例2.在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，右准线 l：x＝m＋1与x轴的交点为B，BF2＝m． （1）已知点(，1)在椭圆C上，求实数m的值； （2）已知定点A(－2，0)． ①若椭圆C上存在点T，使得＝，求椭圆C的离心率的取值范围； ②当m＝1时，记M为椭圆C上的动点，直线AM，BM分别与椭圆C交于另一点P，Q， 若 ＝λ，＝，求证：λ＋为定值． 解：（1）设椭圆C的方程为 ＋＝1(a＞b＞0)． 由题意，得 解得 所以椭圆方程为＋＝1． 因为椭圆C过点(，1)，所以＋＝1， 解得m＝2或m＝－ (舍去）． 所以m＝2． （2）①设点T(x，y)． 由＝，得(x＋2)2＋y2＝2[(x＋1)2＋y2]，即x2＋y2＝2． 由 得y2＝m2－m． 因此0≤m2－m≤m，解得1≤m≤2． 所以椭圆C的离心率e＝[，]． ②（方法一）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 则＝(x0＋2，y0)，＝(x1＋2，y1)． 由＝， 得 从而 因为＋y02＝1，所以＋(y1)2＝1． 即2(＋y12)＋2(－1)x1＋2(－1)2－1＝0． 因为 ＋y12＝1，代入得2 (－1)x1＋32－4＋1＝0． 由题意知，≠1， 故x1＝－，所以x0＝． 同理可得x0＝． 因此＝， 所以＋＝6． （方法二）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 直线AM的方程为y＝(x＋2)． 将y＝(x＋2)代入＋y2＝1，得((x0＋2)2＋y)x2＋4yx＋4y－(x0＋2)2 ＝0(*)． 因为＋y02＝1，所以（*）可化为(2x0＋3)x2＋4yx－3x－4x0＝0． 因为x0x1＝－，所以x1＝－． 同理x2＝． 因为＝，＝， 所以＋＝＋＝＋ ＝＋＝6． 即λ＋为定值6． (考查离心率范围，定值问题及计算能力) 例3.如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点A,B,C分 别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线交椭圆于点D,交轴于点，直线 与直线交于点． （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的方程； （3）求证：为定值. 解（1）由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1. 得 解得 所以，椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，设， 因为，得，所以， 代入椭圆方程得，所以， 所以 的方程为：或. （3）设D坐标为(x3，y3）,由，M(x1，0)可得直线CM的方程， 联立椭圆方程得：解得. 由 ，得直线BD的方程：， ① 直线AC方程为， ② 联立①②得， 从而=2为定值. 解法2：设D坐标为(x3，y3）， 由C,M,D三点共线得，所以， ① 由B,D,N三点共线得，将 代入可得 ， ② ①和②相乘得， . 四、归类研究 1．如图，在直角坐标系xOy中，O为直角坐标系的原点，椭圆T:＋＝1(a＞b＞0)过点P(，)，且椭圆T的离心率为， 已知椭圆T的内接四边形ABCD(逆时针排列)的对角线AC?BD均过坐标原点，且AC⊥BD． * (1) 求椭圆T的方程； ** (2) 求证:＋＋＋为定值，并求出这个定值； 解:在椭圆T中，＋＝1，① 又＝c＝a，b＝＝a， 代入①解得a＝2，b＝1． 椭圆T的方程为＋y2＝1． (2) 证明:由于点A与C?B与D关于原点对称，故OA＝OC，OB＝OD，从而＋＋＋＝2，设直线OA的斜率为k，则直线OA:y＝kx，代入椭圆的方程得x2＝，∴ OA2＝x2＋k2x2＝(1＋k2)x2＝， 用－代替k，可得OB2＝＝， ∴ ＋＝＋＝＝． 又当k＝0或k不存在时，OA?OB分别是椭圆的长半轴?短半轴的长(可交换)，∴ ＋＝＋＝． 综上所述，＋＋＋为定值． （本题考查简单的定值计算问题，也可以设点坐标利用椭圆方程求解） 2．如图，已知椭圆C:＋＝1，点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另外一点A(点A在x轴下方)，且线段AB的中点E在直线y＝x上． * (1) 求直线AB的方程； **(2) 若点P为椭圆C上异于A，B的动点，且直线AP，BP分别交直线y＝x于点M，N，证明:OM·ON为定值．
解: (1)设点E(m，m)，由B(0，－2)得A(2m，2m＋2)． 代入椭圆方程得＋＝1，即＋(m＋1)2＝1， 解得m＝－或m＝0(舍)． 所以A(－3，－1)， 故直线AB的方程为x＋3y＋6＝0． (2) 证明:设P(x0，y0)，则＋＝1，即y＝4－． 设M(xM，yM)，由A，P，M三点共线，即∥， ∴ (x0＋3)(yM＋1)＝(y0＋1)(xM＋3)． 又点M在直线y＝x上，解得M点的横坐标xM＝． 设N(xN，yN)，由B，P，N三点共线，即∥， ∴ x0(yN＋2)＝(y0＋2)xN， 点N在直线y＝x上，解得N点的横坐标xN＝． ∴ OM·ON＝|xM－0|·|xN－0|＝2|xM|·|xN| ＝2||·|| ＝2||＝2|| ＝2||＝6． (本题考查利用椭圆方程进行消元化简求最值问题，利用向量共线知识避免斜率讨论问题) 3．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点，过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M为直线l上的动点(点M与点A不重合)，点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P． * (1) 求椭圆C的方程； **(2) 求证:AP⊥OM； ***(3) 试问·是否为定值?若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由． 解:∵ 椭圆C:＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，∴ a2＝2c2，则a2＝2b2． 又椭圆C过点， ∴ ＋＝1． ∴ a2＝4，b2＝2， 则椭圆C的方程为＋＝1． (2) 证明:设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为y＝k(x－2)，设P(x1，y1)， 将y＝k(x－2)代入椭圆C的方程＋＝1中并化简，得 (2k2＋1)x2－4k2x＋8k2－4＝0， 解得x1＝，x2＝2，∴ y1＝k(x1－2)＝，从而P． 令x＝－2，得y＝－4k， ∴ M(－2，－4k)，＝(－2，－4k)． 又＝＝， ∴ ·＝＋＝0， ∴ AP⊥OM． (3) 解:·＝·(－2，－4k)＝＝＝4． ∴ ·为定值4． (考查简单的定值问题) 4.已知椭圆E:＋＝1(a＞b＞0)过点(0，1)，且离心率为． *（1）求椭圆E的方程； **（2）设直线l:y＝x＋m与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形 ABCD，记直线l与x轴的交点为N，问B、N两点间距离是否为定值？如果是， 求出定值；如果不是，请说明理由． 解（1）设椭圆的半焦距为c． 因为点(0，1)在椭圆C上，所以b＝1．故a2－c2＝1． 又因为e＝＝，所以c＝， a＝2． 所以椭圆C的标准方程为: ＋y2＝1． （Ⅱ）设A(x1，y1)， C(x2，y2)，线段AC中点为M(x0，y0)． 联立y＝x＋m和x2＋4y2－4＝0，得: x2＋2mx＋2m2－2＝0． 由Δ＝(2m)2－4(2m2－2)＝8－4m2＞0，可得－＜m＜． 所以x1＋x2＝－2m， x1x2＝2m2－2． 所以AC中点为M(－m，m)． 弦长|AC|＝ ＝ ＝， 又直线l与x轴的交点N(－2m，0)， 所以|MN|＝＝． 所以|BN|2＝|BM|2＋|MN|2 ＝|AC|2＋|MN|2＝． 所以B、N两点间距离为定值． (考查弦长公式，勾股定理求定值问题) 5.已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，过F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A，B两点，线段AB的中垂线l′交x轴于点M． *（1）若BF＝2，求B点坐标； **（2）问：是否为定值． 答案：（1）（，±）． （2）是定值为． （直接计算求定值，考查圆锥曲线的统一定义、点差法及平面几何性质等） 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: ＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A?B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为． * (1) 求椭圆C的方程； **(2) 若点E的坐标为，点A在第一象限且横坐标为，连结点A与原点O的直线交椭圆C于另一点P，求△PAB的面积； ***(3) 是否存在点E，使得＋为定值?若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由． 解:(1) 由＝，设a＝3k(k＞0)，则c＝k，b2＝3k2， 所以椭圆C的方程为＋＝1． 因为直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点，即xA＝xB＝k，代入椭圆方程，解得y＝±k，于是2k＝，即k＝， 所以椭圆C的方程为＋＝1． (2) 将x＝代入＋＝1，解得y＝±1． 因为点A在第一象限，从而A(，1)，由点E的坐标为， 所以kAB＝，直线PA的方程为y＝， 联立直线PA与椭圆C的方程，解得B． 又PA过原点O，于是P，PA＝4，所以直线PA的方程为x－y＝0， 所以点B到直线PA的距离h＝＝， S△PAB＝·4·＝． (3) 假设存在点E，使得＋为定值，设E(x0，0)， 当直线AB与x轴重合时，有＋＝＋＝． 当直线AB与x轴垂直时，＋＝＝， 由＝，解得x0＝±，＝2， 所以若存在点E，此时E(±，0)，＋为定值2． 根据对称性，只需考虑直线AB过点E(，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 又设直线AB的方程为x＝my＋，与椭圆C联立方程组， 化简得(m2＋3)y2＋2my－3＝0， 所以y1＋y2＝，y1y2＝． 又＝＝＝， 所以＋＝＋＝， 将上述关系代入，化简可得＋＝2． 综上所述，存在点E(±，0)，使得＋为定值2． (本题考查求三角形面积问题，由特例求出定点再证明定值问题) 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线l:y＝x与椭圆E相交于A?B两点，AB＝2．C?D是椭圆E上异于A?B的任意两点，且直线AC?BD相交于点M，直线AD?BC相交于点N． *(1) 求a，b的值； ***(2) 求证:直线MN的斜率为定值． 解(1):因为e＝＝，所以c2＝a2，即a2－b2＝a2，所以a2＝2b2． 故椭圆的方程为＋＝1． 由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限． 由解得A． 又AB＝2，所以OA＝，即b2＋b2＝5，解得b2＝3． 故a＝，b＝． (2) 证明:(方法1)由(1)知，椭圆E的方程为＋＝1，从而A(2，1)，B(－2，－1)． ① 当CA，CB，DA，DB斜率都存在时， 设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C(x0，y0)，显然k1≠k2． 从而k1·kCB＝·＝＝＝＝－． 所以kCB＝－． 同理kDB＝－． 于是直线AD的方程为y－1＝k2(x－2)，直线BC的方程为y＋1＝－(x＋2)． 由 解得 从而点N的坐标为． 用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为． 所以 kMN＝ ＝＝－1． 即直线MN的斜率为定值－1． ② 当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，－1)． 仍然设DA的斜率为k2， 由①知kDB＝－． 此时CA:x＝2，DB:y＋1＝－(x＋2)，它们交点M． BC:y＝－1，AD:y－1＝k2(x－2)，它们交点N， 从而kMN＝－1也成立． 由①②可知，直线MN的斜率为定值－1． (方法2)由(1)知，椭圆E的方程为＋＝1，从而A(2，1)，B(－2，－1)． ① 当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2． 显然k1≠k2． 直线AC的方程y－1＝k1(x－2)，即y＝k1x＋(1－2k1)． 由得(1＋2k)x2＋4k1(1－2k1)x＋2(4k－4k1－2)＝0． 设点C的坐标为(x1，y1)，则2·x1＝，从而x1＝． 所以C． 又B(－2，－1)，所以kBC＝＝－． 所以直线BC的方程为y＋1＝－(x＋2)． 又直线AD的方程为y－1＝k2(x－2)． 由 解得 从而点N的坐标为． 用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为． 所以 kMN＝ ＝＝－1． 即直线MN的斜率为定值－1． ② 当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，－1)． 仍然设DA的斜率为k2， 由①知kDB＝－． 此时CA:x＝2，DB:y＋1＝－(x＋2)，它们交点M． BC:y＝－1，AD:y－1＝k2(x－2)，它们交点N， 从而kMN＝－1也成立． 由①②可知，直线MN的斜率为定值－1． (本题考查椭圆的第三定义的应用或直线与椭圆知一点联立求另一交点问题，对运算能力要求较高) 8.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右准线方程为，是椭圆C的长轴上一点(Q异于长轴端点)，过点Q的直线l交椭圆于A，B两点． *（1）求椭圆C的标准方程； （2）**①若，求的最大值； ***②在x轴上是否存在一点P，使得为定值，若存在，求出点P；若不存在，请说明理由． 解（1）由，右准线方程为， 所以，，，即椭圆． （2）①由已知，， 当直线AB垂直于x轴时， ，， ． 当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB：， 代入得， 设，， ＜2． 所以，当直线AB垂直于x轴时，取到最大值2． ②设点，，， 当直线AB不垂直于y轴时， 设AB：，代入得， ， 令得， 当时，． 当直线AB垂直于y轴时，，， ． 所以，在x轴上存在点，使得为定值． 方法二 先利用直线l垂直于x轴和垂直于y轴两种情况下的值不变，猜想点，然后再证明此时为定值 【2019如皋期末18】如图，已知椭圆C：的离心率为，右准线方程为，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）记△AFM，△BFN的面积分别为S1，S2，若，求k的值； （3）设线段MN的中点为D，直线OD与右准线相交于点E，记直线AM，BN，FE的斜率分别为k1，k2， ，求k2·(k1－) 的值． 【解】（1）设椭圆的焦距为2c(c＞0)． 依题意，，且，解得a＝2，c＝1． 故b2＝a2－c2＝3． 所以椭圆C的标准方程为． …… 4分 （2）设点M(x1，y1)， N(x2，y2)． 据题意，，即，整理可得，所以． 代入坐标，可得 即 又点M， N在椭圆C上，所以解得 所以直线l的斜率． …… 9分 备注：解析几何中出现三角形面积比的，常换成边的比.本题还可以直线与方程联立，用韦达定理做. （3）法一：依题意，直线l的方程为． 联立方程组整理得， 所以，． 故，， 所以直线OD的方程为，令x＝4，得，即． 所以． …… 12分 所以 ． …… 16分 法二：依题意，直线l的方程为，即，记， 则直线l的方程为，与椭圆C联立方程组 整理得， 所以，． 故，， 所以直线OD的方程为，令x＝4，得，即． 所以． …… 12分 所以 ． …… 16分 法三：依题意，点M(x1，y1)， N(x2，y2)在椭圆C上， 所以两式相减，得， 即，所以，即， 所以直线OD的方程为，令x＝4，得，即， 所以． …… 12分 又直线AM的方程为，与椭圆C联立方程组 整理得， 所以，得，． 所以点M的坐标为． 同理，点N的坐标为． 又点M，N，F三点共线， 所以，整理得， 依题意，，，故． 由可得，，即． 所以． …… 16分 7.【2018~2019海安期末18】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，焦距为2，直线l与椭圆交于C，D两点（均异于椭圆的左、右顶点）．当直线l过椭圆的右焦点F且垂直于x轴时，四边形ACBD的面积为6． ⑴求椭圆的标准方程； ⑵设直线AC ，BD的斜率分别为k1，k2． ①若k2＝3k1，求证：直线l过定点； ②若直线l过椭圆的右焦点F，试判断是否为定值，并说明理由． 【答案】（1） （2） 8.【2019启东二模18】已知椭圆：的离心率为，且上焦点为，过的动直线与椭圆相交于、两点．设点，记、的斜率分别为和． （1）求椭圆的方程； （2）如果直线的斜率等于，求的值； （3）探索是否为定值？如果是，求出该定值； 如果不是，求出的取值范围． 【答案】解：（1）， ，， 椭圆方程为. …………………… (3分) （2）因为直线的斜率等于，且经过焦点F， 所以直线， …………………… （4分） 设、， 由消得， 则有，． …………………… （7分） 所以. （10分） （3）当直线的斜率不存在时， ，， 则，，故． ………………(11分) 当直线的斜率存在时，设其为， 则直线：， 设，， 由消得，…………………… (13分) 则有，． 所以 …………………… (14分) . 所以为定值，且定值为2. …………………… (16分) 【2018年淮安期末17】如图，在平面直角坐标系中，过椭圆：的左顶点作直线，与椭圆和轴正半轴分别交于点，． （1）若，求直线的斜率； （2）过原点作直线的平行线，与椭圆交于点，求证：为定值． 【答案】 解：（1）依题意，椭圆的左顶点， 设直线的斜率为，点的横坐标为， 则直线的方程为．① …… 2分 又椭圆：， ② 由①②得，， 则，从而． …… 5分 因为，所以． 所以，解得（负值已舍）． …… 8分 备注：标答做繁了，可以这样做：设直线的方程为，则Q，代入求出k即可. （2）设点的横坐标为．结合（1）知，直线的方程为．③ 由②③得，． …… 10分 从而 …… 12分 ，即证． …… 14分
教 学 反 思
成为受人尊敬的百年育人集团,让孩子成为人生道路上的冠军
同课章节目录