第七章 不等式 ６９
§ ７．３ 基本不等式及不等式的应用
对应学生用书起始页码 Ｐ１１３
考 点 基本不等式及不等式的应用 高频考点
１．基本不等式
如果 ａ，ｂ 是正数，那么
ａ＋ｂ
２
≥ ａｂ（当且仅当 ａ＝ｂ 时取等号）．
２．几个重要的不等式
（１）ａ２＋ｂ２≥２ａｂ（ａ，ｂ∈Ｒ） ．
（２）
ａ
ｂ
＋ ｂ
ａ
≥２（ａ，ｂ 同号） ．
（３）ａｂ≤
ａ＋ｂ
２( )
２
（ａ，ｂ∈Ｒ＋） ．
（４）
ａ２＋ｂ２
２
≥
ａ＋ｂ
２
≥ ａｂ≥
２
１
ａ
＋ １
ｂ
（ａ，ｂ∈Ｒ＋） ．
３．不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
（１）恒成立问题：若 ｆ（ｘ）在区间 Ｄ 上存在最小值，则不等式
ｆ（ｘ）＞Ａ 在区间 Ｄ 上恒成立?ｆ（ｘ） ｍｉｎ＞Ａ（ｘ∈Ｄ）；
若 ｆ（ｘ）在区间 Ｄ 上存在最大值，则不等式 ｆ（ｘ）＜Ｂ 在区间 Ｄ
上恒成立?ｆ（ｘ） ｍａｘ＜Ｂ（ｘ∈Ｄ） ．
（２）能成立问题：若 ｆ（ｘ）在区间 Ｄ 上存在最大值，则在区间
Ｄ 上存在实数 ｘ 使不等式 ｆ（ｘ）＞Ａ 成立?ｆ（ｘ） ｍａｘ＞Ａ（ｘ∈Ｄ）；
若 ｆ（ｘ）在区间 Ｄ 上存在最小值，则在区间 Ｄ 上存在实数 ｘ
使不等式 ｆ（ｘ）＜Ｂ 成立?ｆ（ｘ） ｍｉｎ＜Ｂ（ｘ∈Ｄ） ．
（３）恰成立问题：不等式 ｆ（ｘ）＞Ａ 在区间 Ｄ 上恰成立?ｆ（ｘ）
＞Ａ 的解集为 Ｄ；
不等式 ｆ（ｘ）＜Ｂ 在区间 Ｄ 上恰成立?ｆ（ｘ）＜Ｂ 的解集为 Ｄ．
利用基本不等式求最值的变形技巧———凑、拆、除、
代、解．
（１）凑：凑项，例如 ｘ＋
１
ｘ－１
＝ ｘ－１＋
１
ｘ－１
＋１≥２＋１＝ ３（ｘ＞１）；
凑系 数， 例 如 ｘ （ １ － ３ｘ） ＝
１
３
· ３ｘ （ １ － ３ｘ ） ≤
１
３
·
３ｘ＋１－３ｘ
２( )
２
＝ １
１２
０＜ｘ＜
１
３( ) ；
（２）拆：例如
ｘ２
ｘ－３
＝ ｘ
２－９＋９
ｘ－３
＝ ｘ＋３＋
９
ｘ－３
＝ ｘ－３＋
９
ｘ－３
＋６≥２ ９
＋６＝ １２（ｘ＞３）；
（３）除：例如
２ｘ
ｘ２＋１
＝ ２
ｘ＋
１
ｘ
≤１（ｘ＞０）；
（４）代：例如已知 ａ＞０，ｂ＞０，ａ＋ｂ＝ １，求
１
ａ
＋ １
ｂ
的最小值．
解析：
１
ａ
＋ １
ｂ
＝ ａ
＋ｂ
ａ
＋ａ
＋ｂ
ｂ
＝ １＋
ｂ
ａ
＋ ａ
ｂ
＋１≥２＋２＝ ４．
（５）解：例如已知 ａ，ｂ 是正数，且 ａｂ ＝ ａ＋ｂ＋３，求 ａ＋ｂ 的最
小值．
解析：∵ ａｂ≤
ａ＋ｂ
２( )
２
，∴
ａ＋ｂ
２( )
２
≥ａ＋ｂ＋３，即
１
４
（ａ＋ｂ） ２ －
（ａ＋ｂ）－３≥０，解得 ａ＋ｂ≥６（ａ＋ｂ≤－２ 舍去）．
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对应学生用书起始页码 Ｐ１１３
一、利用基本不等式求最值
１．利用基本不等式可以求一些函数或代数式的最大值或最
小值，其基本原则如下：
（１）已知 ｘ，ｙ∈Ｒ＋，若 ｘ＋ｙ ＝Ｐ（定值），当且仅当 ｘ ＝ ｙ 时，积
ｘｙ 取得最大值
１
４
Ｐ２；
（２）已知 ｘ，ｙ∈Ｒ＋，若 ｘｙ＝Ｓ（定值），当且仅当 ｘ ＝ ｙ 时，和 ｘ＋
ｙ 取得最小值 ２ Ｓ ．
２．利用基本不等式求最值应满足的三个条件：
（１）各项或各因式均为正；
（２）和或积为定值；
（３）各项或各因式能取到使等号成立的值．
简记：一正、二定、三相等．
如果解题过程中不满足上述条件，可以进行拆分或配凑因
式，以满足上述三个条件．
３．利用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为
两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．条件最值的求
解通常有两种方法：一是将条件灵活变形，利用常数代换的方法
构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；二是
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数
式，转化为求函数的最值进行求解．
（１）若正数 ｘ，ｙ 满足 ｘ＋３ｙ ＝ ５ｘｙ，则 ３ｘ＋４ｙ 的最小值是
．
（２） 若 ａ＞ ０，ｂ＞ ０，且
１
２ａ＋ｂ
＋ １
ｂ＋１
＝ １，则 ａ＋ ２ｂ 的最小值为
．
（３）（２０１７ 江苏苏北四市期中）已知正数 ａ，ｂ 满足
１
ａ
＋ ９
ｂ
＝
ａｂ －５，则 ａｂ 的最小值为 ．
解析 （１）由 ｘ＋３ｙ＝ ５ｘｙ，得
３
ｘ
＋ １
ｙ
＝ ５（ｘ＞０，ｙ＞０），
则 ３ｘ＋４ｙ＝
１
５
（３ｘ＋４ｙ）
３
ｘ
＋ １
ｙ( )
＝ １
５
１３＋
１２ｙ
ｘ
＋ ３ｘ
ｙ( ) ≥ １５ １３＋２ １２ｙｘ ·３ｘｙ?è? ??÷
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７０ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
＝ １
５
×（１３＋１２）＝ ５，
当且仅当
１２ｙ
ｘ
＝ ３ｘ
ｙ
，即 ｘ＝ １，ｙ＝
１
２
时，“ ＝”成立．
（２）设 ａ＋２ｂ＝ ｔ，则 ａ＝ ｔ－２ｂ．
∵ ａ＞０，ｂ＞０，
１
２ａ＋ｂ
＋ １
ｂ＋１
＝ １，
∴
１
２（ ｔ－２ｂ）＋ｂ
＋ １
ｂ＋１
＝ １，即
１
２ｔ－３ｂ
＋ １
ｂ＋１
＝ １．
∴
１
２ｔ－３ｂ
＝ １－
１
ｂ＋１
＝ ｂ
ｂ＋１
．
从而 ２ｔ－３ｂ＝
ｂ＋１
ｂ
＝ １＋
１
ｂ
，即 ２ｔ＝ ３ｂ＋
１
ｂ
＋１≥２ ３ｂ·
１
ｂ
＋１ ＝
２ ３ ＋１ 当且仅当 ｂ＝
３
３
时取等号
?
è
?
?
?
÷ ，∴ ｔ≥
２ ３ ＋１
２
．
故 ａ＋２ｂ 的最小值为
２ ３ ＋１
２
．
（３）∵ ａ，ｂ 为正数，∴
１
ａ
＋ ９
ｂ
≥２
９
ａｂ
，∴ ａｂ －５≥２
９
ａｂ
，
即（ ａｂ ）
２－５ ａｂ －６≥０，∴ ａｂ≥６，∴ ａｂ≥３６，
当且仅当 ｂ＝ ９ａ 时取等号，因此 ａｂ 的最小值为 ３６．
答案 （１）５ （２）
２ ３ ＋１
２
（３）３６
１－ １ 已知 ｘ ＞ ０， ｙ ＞ ０，且
１
ｘ
＋ ９
ｙ
＝ １，则 ｘ ＋ ｙ 的最小值
为 ．
１－１ 答案 １６
解析 ∵ ｘ＞０，ｙ＞０，
１
ｘ
＋ ９
ｙ
＝ １，
∴ ｘ＋ｙ＝（ｘ＋ｙ）
１
ｘ
＋ ９
ｙ( ) ＝ ｙｘ ＋ ９ｘｙ ＋１０≥６＋１０＝ １６，
当且仅当
ｙ
ｘ
＝ ９ｘ
ｙ
，即 ｘ＝ ４，ｙ＝ １２ 时，等号成立．
∴ （ｘ＋ｙ） ｍｉｎ ＝ １６．
１－２ （２０１７ 江苏七校联考）正数 ｘ，ｙ 满足 ｘ＋２ｙ＝ ２，则
ｘ＋８ｙ
ｘｙ
的最小值为 ．
１－２ 答案 ９
解析 ∵ ｘ，ｙ 为正数，∴
ｘ＋８ｙ
ｘｙ
＝ １
ｙ
＋ ８
ｘ
＝ １
ｙ
＋ ８
ｘ( ) ·ｘ＋２ｙ２
＝ １
２
１０＋
１６ｙ
ｘ
＋ ｘ
ｙ( ) ≥ １２ １０＋２ １６ｙｘ · ｘｙ?è? ??÷ ＝ ９，当且仅当 ｘ ＝ ４ｙ
时取等号．
１－３ 设 ａ，ｂ，ｃ 均为正数，满足 ａ－２ｂ＋３ｃ＝ ０，则
ｂ２
ａｃ
的最小值
是 ．
１－３ 答案 ３
解析 ∵ ａ－２ｂ＋３ｃ＝ ０，∴ ｂ＝
ａ＋３ｃ
２
，
∴
ｂ２
ａｃ
＝ ａ
２＋９ｃ２＋６ａｃ
４ａｃ
≥
６ａｃ＋６ａｃ
４ａｃ
＝ ３，
当且仅当 ａ＝ ３ｃ 时取“ ＝” ．
１－４ 已知正实数 ｘ，ｙ 满足 ｘ＋
２
ｘ
＋３ｙ＋
４
ｙ
＝ １０，则 ｘｙ 的取值
范围为 ．
１－４ 答案 １，
８
３[ ]
解析 令 ｔ＝ ｘｙ，则 ｔ＞０，题中等式可化为 ｘ＋
２
ｘ
＋ ３ｔ
ｘ
＋ ４ｘ
ｔ
＝
１０， 即 １＋
４
ｔ( ) ｘ ＋ ２＋３ｔｘ ＝ １０， ∴ １０ ＝ １＋ ４ｔ( ) ｘ ＋ ２＋３ｔｘ ≥
２ １＋
４
ｔ( ) （２＋３ｔ） ＝ ２ １４＋３ｔ＋ ８ｔ ，∴ ３ｔ２－１１ｔ＋８≤０，∴ １≤ｔ≤
８
３
，即 １≤ｘｙ≤
８
３
．
１－５ 已知 ａｂ ＝
１
４
，ａ，ｂ∈（０，１） ，则
１
１－ａ
＋ ２
１－ｂ
的最小值为
．
１－５ 答案 ４＋
４ ２
３
解析
１
１－ａ
＋ ２
１－ｂ
＝ １
１－ａ
＋ ２
１－
１
４ａ
＝ ２＋
４
４－４ａ
＋ ２
４ａ－１( )
＝ ２＋
４
４－４ａ
＋ ２
４ａ－１( ) ·［（４－４ａ）＋（４ａ－１）］３
＝ ２＋２＋
１
３
４（４ａ－１）
４－４ａ
＋２（４
－４ａ）
４ａ－１[ ] ，
由题意得 ４ａ－１＞０，４－４ａ＞０，
所以原式≥４＋
１
３
×２×
４（４ａ－１）
４－４ａ
·
２（４－４ａ）
４ａ－１
＝ ４＋
４ ２
３
，当且
仅当
４（４ａ－１）
４－４ａ
＝ ２（４
－４ａ）
４ａ－１
时取等号．
１－６ 若正实数 ｘ，ｙ 满足（２ｘｙ－１） ２ ＝ （５ｙ＋２） （ ｙ－２），则 ｘ＋
１
２ｙ
的最大值为 ．
１－６ 答案
３ ２
２
－１
解析 令 ｘ＋
１
２ｙ
＝ ｔ（ ｔ＞０），则（２ｙｔ－２） ２ ＝ （５ｙ＋２） （ ｙ－２），
（４ｔ２－５）ｙ２＋（８－８ｔ） ｙ＋８ ＝ ０，因此 Δ ＝ （８－８ｔ） ２ －３２（４ｔ２ －５）≥０?
２ｔ２＋４ｔ－ ７≤０?０＜ ｔ≤－ １＋
３ ２
２
，当 ｔ ＝ － １ ＋
３ ２
２
时， ｙ ＝
４ｔ－４
４ｔ２－５
＝
６ ２ －８
１７－１２ ２
＞０，ｘ＝
３５－２４ ２
１２ ２ －１６
＞０，因此 ｘ＋
１
２ｙ
的最大值为
３ ２
２
－１．
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二、不等式恒成立问题
解不等式恒成立问题的两种常用方法
１．最值法
（１） ｆ（ｘ）≥０ 在［α，β］上恒成立? ｆ（ ｘ） ｍｉｎ ≥０； ｆ（ ｘ）≤０ 在
［α，β］上恒成立?ｆ（ｘ） ｍａｘ≤０．
（２）对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把
求参数的范围问题转化为求函数的最值问题．ａ＞ｆ（ｘ）恒成立?ａ
＞ｆ（ｘ） ｍａｘ；ａ＜ｆ（ｘ）恒成立?ａ＜ｆ（ｘ） ｍｉｎ ．
２．数形结合法
ｆ（ｘ）＞ｇ（ｘ）对一切 ｘ∈Ｉ 恒成立?当 ｘ∈Ｉ 时， ｆ（ ｘ）的图象在
ｇ（ｘ）的图象的上方．
（２０１９ 扬州期末，１１）已知正实数 ｘ，ｙ 满足 ｘ＋４ｙ－ｘｙ ＝
０，若 ｘ＋ｙ≥ｍ 恒成立，则实数 ｍ 的取值范围为 ．
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第七章 不等式 ７１
解析 ｍ≤ｘ＋ｙ 恒成立等价于 ｍ≤（ｘ＋ｙ） ｍｉｎ，
由 ｘ＋４ｙ－ｘｙ ＝ ０，得 ｙ ＝
ｘ
ｘ－４
，因为 ｘ，ｙ 是正实数，所以 ｘ＞４，ｙ
＞１．
则 ｘ＋ｙ＝ ｘ＋
ｘ
ｘ－４
＝ ｘ＋
ｘ－４＋４
ｘ－４
＝ ｘ＋
４
ｘ－４
＋１ ＝ （ ｘ－４） ＋
４
ｘ－４
＋５≥９，
当且仅当 ｘ＝ ６，ｙ＝ ３ 时取等号．
所以 ｍ≤９．
答案 ｍ≤９
２－１ 当 ｘ∈（１，２）时，不等式 ｘ２ ＋ｍｘ＋４＜０ 恒成立，则 ｍ 的
取值范围是 ．
２－１ 答案 （－∞ ，－５］
解析 解法一：当 ｘ∈（１，２）时，不等式 ｘ２ ＋ｍｘ＋４＜０ 恒成
立? ｍ ＜ －
ｘ２＋４
ｘ
＝ － ｘ＋
４
ｘ( ) 在 （ １， ２） 上 恒 成 立， 设 φ（ｘ） ＝
－ ｘ＋
４
ｘ( ) ，则 φ（ｘ）∈（－５，－４），故 ｍ≤－５．
解法二：设 ｆ（ｘ）＝ ｘ２＋ｍｘ＋４，∵ 当 ｘ∈（１，２）时，不等式 ｘ２＋ｍｘ
＋４＜０ 恒成立，∴
ｆ（１）≤０，
ｆ（２）≤０，{ 即 ５
＋ｍ≤０，
８＋２ｍ≤０．{ 解得 ｍ≤－５．
２－２ 设 ０＜ｍ＜
１
２
，若
１
ｍ
＋ ２
１－２ｍ
≥ｋ 恒成立，则实数 ｋ 的最大
值为 ．
２－２ 答案 ８
解析 由题意可知 ０＜１－２ｍ＜１，且 ｋ 的最大值即为
１
ｍ
＋
２
１－２ｍ
的最小值．因为
１
ｍ
＋ ２
１－２ｍ
＝ ２
２ｍ
＋ ２
１－２ｍ( ) ［２ｍ＋（１－２ｍ）］ ＝ ２
＋２
１－２ｍ
２ｍ
＋ ２ｍ
１－２ｍ( ) ＋２≥８，当且仅当 ２ｍ＝ １－２ｍ，即 ｍ ＝ １４ 时取等
号．故 ｋｍａｘ ＝ ８．
２－３ 已知函数 ｆ（ｘ）＝
ｘ２＋ａｘ＋１１
ｘ＋１
（ａ∈Ｒ） ．若对于任意的 ｘ∈
Ｎ?， ｆ（ｘ）≥３ 恒成立，则 ａ 的取值范围是 ．
２－３ 答案 －
８
３
，＋∞[ )
解析 ｆ（ｘ）＝
ｘ２＋ａｘ＋１１
ｘ＋１
≥３（ ｘ∈Ｎ?），则（３－ａ） ｘ≤ｘ２ ＋８，
即 ３－ａ≤ｘ＋
８
ｘ
．ｘ＋
８
ｘ
≥２ ８ ＝ ４ ２ ，当且仅当 ｘ ＝ ２ ２时取等号，因
为 ｘ∈Ｎ?，当 ｘ＝ ２ 时，ｘ＋
８
ｘ
＝ ６；当 ｘ＝ ３ 时，ｘ＋
８
ｘ
＝ ３＋
８
３
＜６，因此
ｘ＋
８
ｘ
的最小值为 ３＋
８
３
，于是 ３－ａ≤３＋
８
３
，即 ａ≥－
８
３
．
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(共51张PPT)
五年高考
A组????自主命题·江苏卷题组
考点 基本不等式及不等式的应用
1.(2019江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+?(x>0)上的一个动点,则点P到直线
x+y=0的距离的最小值是 ????.
答案 4
解析 本题通过曲线y=x+?(x>0)上的动点到直线的最小距离考查点到直线的距离公式、基
本不等式等有关知识,利用点到直线的距离公式变形考查学生的运算求解能力,体现了从几何
关系到代数关系的直观想象和数学运算的核心素养.
设P?,x0>0,则点P到直线x+y=0的距离d=?=??≥4,当且仅当x0=?,
即x0=?时取“=”.
故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.
一题多解 当点P到直线x+y=0的距离最小时,在点P处的切线与直线x+y=0平行.
设P?,x0>0,易知y'=1-?,
令1-?=-1,得?=2.
∵x0>0,∴x0=?,∴P(?,3?).
此时点P到直线x+y=0的距离为?=4.
故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.
2.(2018江苏,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交
AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为 ????.
答案 9
解析 解法一(面积法):利用S△ABC=S△ABD+S△BCD,
得?acsin 120°=?csin 60°+?asin 60°,
则ac=a+c,即?+?=1,
所以4a+c=(4a+c)?=5+?+?≥9,当且仅当a=?,c=3时取等号.故4a+c的最小值为9.
解法二(解析法):以B为原点,BD所在直线为x轴,建立直角坐标系,则A?,C?,D
(1,0),由A,D,C三点共线,
得?=?,化简得ac-a-c=0,即?+?=1,
所以4a+c=(4a+c)?=5+?+?≥9,
当且仅当a=?,c=3时取等号.故4a+c的最小值为9.
3.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总
存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 ????.
答案 30
解析 本题考查基本不等式及其应用.
设总费用为y万元,则y=?·6+4x=4?≥240.
当且仅当x=?,即x=30时,等号成立.
易错警示 1.a+b≥2?(a>0,b>0)中“=”成立的条件是a=b.
2.本题是求取最值时变量x的值,不要混淆于求最值.
4.(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是????
????.
答案 8
解析 ∵sin A=2sin Bsin C,
∴sin(B+C)=2sin Bsin C,
即sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C,
亦即tan B+tan C=2tan Btan C,
∵tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)
=-?=?,
又△ABC为锐角三角形,
∴tan A=?>0,
∵tan B+tan C>0,∴tan Btan C>1,
∴tan Atan Btan C=?·tan B·tan C
=?,
令tan Btan C-1=t,则t>0,
∴tan Atan Btan C=?=2?≥2×(2+2)=8,当且仅当t=?,即tan Btan C=2时,取“=”.
∴tan Atan Btan C的最小值为8.
一题多解 由已知得sin Bsin C=?sin A,①
令cos Bcos C=tcos A②,
则①÷②得tan Btan C=?tan A,
①-②得cos A=?sin A-tcos A,
即(1+t)cos A=?sin A?tan A=2(1+t),
故tan Atan Btan C=?tan2A=?·[2(1+t)]2=?≥?=8,
当且仅当t=1,即cos Bcos C=cos A,即tan A=4时取等号.
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点 基本不等式及不等式的应用
1.(2019天津理,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=5,则?的最小值为 ????.
答案 4?
解析 本题主要考查利用基本不等式求最值;通过不等式的应用考查学生推理论证能力及运
算求解能力;体现了逻辑推理与数学运算的核心素养.
∵x+2y=5,x>0,y>0,
∴?=?=?=2?+?≥2?=4?,当且仅当
?即?或?时,原式取得最小值4?.
2.(2018天津文,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+?的最小值为 ????.
答案?????
解析 本题主要考查运用基本不等式求最值.
∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6,
∴2a+?=2a+2-3b≥2?=2?=2?=?.
当且仅当2a=2-3b,即a=-3,b=1时,2a+?取得最小值,为?.
易错警示 利用基本不等式求最值应注意的问题:
(1)利用基本不等式求最值的前提是“一正、二定、三相等”,这三个条件缺一不可.
(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中
“正”“定”“等”的条件.
3.(2017天津,12,5分)若a,b∈R,ab>0,则?的最小值为 ????.
答案 4
解析 本题考查基本不等式的应用.
∵a4+4b4≥2a2·2b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立),
∴?≥?=4ab+?,
由于ab>0,∴4ab+?≥2?=4?当且仅当4ab=?时“=”成立?,
故当且仅当?时,?的最小值为4.
规律方法 利用基本不等式求最值,若需多次应用基本不等式,则要注意等号成立的条件必须
一致.
4.(2017山东文改编,12,5分)若直线?+?=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 ????.
答案 8
解析 本题考查基本不等式及其应用.
由题设可得?+?=1,∵a>0,b>0,
∴2a+b=(2a+b)?=2+?+?+2≥4+2?=8?.
故2a+b的最小值为8.
5.(2015重庆,14,5分)设a,b>0,a+b=5,则?+?的最大值为 ????.
答案 3?
解析 设?=m,?=n,则m,n均大于零,
因为m2+n2≥2mn,所以2(m2+n2)≥(m+n)2,
所以m+n≤?·?,
所以?+?≤?·?=3?,
当且仅当?=?,即a=?,b=?时“=”成立,所以所求最大值为3?.
C组 教师专用题组
考点 基本不等式及不等式的应用
1.(2014上海,5,4分)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为 ????.
答案 2?
解析 ∵x2+2y2≥2?=2?xy=2?,当且仅当x=?y时取“=”,∴x2+2y2的最小值为2?.
2.(2014福建,13,4分)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造
价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 ????(单位:元).
答案 160
解析 设底面相邻两边的长分别为x m,y m,总造价为T元,则V=xy·1=4?xy=4.
T=4×20+(2x+2y)×1×10=80+20(x+y)≥80+20×2?=80+20×4=160(当且仅当x=y时取等号).
故该容器的最低总造价是160元.
3.(2014浙江文,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是 ????.
答案?????
解析 ∵b2+c2≥2bc,即2(b2+c2)≥b2+c2+2bc=(b+c)2,∴b2+c2≥?,由a+b+c=0,得b+c=-a,由a2+
b2+c2=1,得1-a2=b2+c2≥?=?,∴a2≤?,∴-?≤a≤?,
故a的最大值为?.
4.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b>0,则当a= ????时,?+?取得最小值.
答案 -2
解析 ∵a+b=2,∴?+?=?+?=?+?=?+?+?≥?+2?=?
+1.
当且仅当?=?且a<0时,?+?取得最小值,此时可求得a=-2.
5.(2013山东理改编,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当?取得最大值时,?+?-?的
最大值为 ????.
答案 1
解析 由x2-3xy+4y2-z=0,
得z=x2-3xy+4y2,
∴?=?=?.
又x、y、z为正实数,∴?+?≥4,
当且仅当x=2y时取等号,此时z=2y2.
∴?+?-?=?+?-?=-?+?=-?+1,当?=1,即y=1时,上式有最大值1.
评析 本题考查基本不等式及其应用、二次函数求最值等知识,考查学生的运算能力.
三年模拟
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
考点 基本不等式及其应用
1.(2019常州期末,9)已知正数x,y满足x+?=1,则?+?的最小值为 ????.
答案 4
解析?????+?=?×1=??=2+?+?≥2+2?=4,当且仅当?=?,即y=x2时,
取“=”,故?+?的最小值为4.
名师点睛 本题考查利用基本不等式求最值.将?+?看成?×1,进行“1”的代换,就可以
利用基本不等式.本题同时考查计算能力,属于基础题.
2.(2019宿迁期末,9)已知正实数a,b满足a+2b=2,则?的最小值为 ????.
答案?????
解析 解法一:由a+2b=2得a=2-2b>0,所以0
则?=?,令f(b)=?,
则f '(b)=?=?=?,
当b∈?时, f(b)递减,当b∈?时, f(b)递增,
所以,当b=?时, f(b)有唯一的极小值,即是最小值,
f?=?=?,
所以?的最小值为?.
解法二:∵a+2b=2,∴?+b=1,
∴?=?=?=?+?=??=?+?+?≥2?+?=?,
当且仅当3a=4b,即a=?,b=?时取“=”.
3.(2019镇江期末,12)已知x>0,y>0,x+y=?+?,则x+y的最小值为 ????.
答案 3
解析 因为(x+y)2=(x+y)(x+y)=(x+y)?=5+?+?≥5+2?=9,当且仅当y=2x时取
“=”.
又x>0,y>0,所以x+y≥3.
方法点拨 看到等号右边的?+?以及结论中的x+y,联想到用?(x+y)求最值.
4.(2019无锡期中,12)设x,y为正实数,且?+?=1,则xy的最小值为 ????.
答案 27
解析 对于?+?=1,去分母得4(2+y)+3(1+x)=(1+x)·(2+y),即xy=x+3y+9,又x,y为正实数,所
以xy≥2?+9(当且仅当x=3y,即x=9,y=3时,取“=”),
即xy-9≥2?,两边平方,得(xy)2-30(xy)+81≥0,
解得xy≤3或xy≥27,
由xy≥2?+9,知xy≤3不成立,
所以xy≥27.
5.(2019如皋期末,11)已知正实数x,y满足x+2y=2,则??的最小值是 ????.
答案?????
解析 因为x+2y=2,x+2y≥2??,所以xy≤?,
因为??=xy+?-3,
又因为x,y都是正实数,且xy≤?,
所以令t=xy?, f(t)=t+?-3,易知f(t)在?上是单调递减的,
所以当xy=?时,原式取最小值,为?+?-3=?.
思路分析 要求??的最小值,先将其展开化简得xy+?-3,由此需要求出xy的取值
范围,根据均值不等式求出xy≤?,再利用函数的单调性易得当xy=?时,原式取最小值,求得结
果.
易错警示 本题主要考查了均值不等式以及结合函数的单调性求最值.本题易错答案为2?-
3,主要是没有考虑到均值不等式的条件:“一正、二定、三相等”.属于中档题.
6.(2019徐州期中,12)已知正实数a,b满足a+2b=1,则??的最小值为 ????.
答案 18
解析 因为??=2+?+?+?=2+?=2+?,又1=a+2b≥2?,所以ab≤?,则2
+?≥2+2×8=18,当且仅当a=2b,即a=?,b=?时,取等号.
7.(2019南京、盐城期末,12)若正实数a、b、c满足ab=a+2b,abc=a+2b+c,则c的最大值为 ????
????.
答案?????
解析 由abc=a+2b+c,ab=a+2b,
得c=?=?=1+?,
∵ab=a+2b,∴?+?=1,
∴a+2b=(a+2b)?=4+?+?≥4+2?=4+4=8,当且仅当a=2b,即a=4,b=2时取等号.
∴c≤?.
思路分析 求c的最值,利用条件将c用a、b表示出来,得到c=?,然后分离常数得到c=1+
?,转化为求a+2b的范围.本题难度中等.
8.(2019苏锡常镇四市教学情况调查二,9)已知正实数a,b满足a+b=1,则?+?的最小值
为 ????.
答案 11
解析?????+?=2a+?+2b+?=2+?+?=2+?(a+b)=2+5+?+?≥7+4=11,当且仅当
?=?,即b=2a=?时,取“=”.
思路分析 看到?+?这一结构,分离常数,简化问题,然后利用“1”的代换,进而利用
基本不等式.这些是高三复习中常见的处理方法,要熟练掌握.
9.(2018盐城中学期末,8)若log4(a+4b)=log2?,则a+b的最小值是 ????.
答案 9
解析 因为log4(a+4b)=log2?=log4ab,所以a+4b=ab(ab>0),所以?+?=1,所以a+b=?(a
+b)=5+?+?≥5+4=9,当且仅当a=6,b=3时等号成立,故填9.
思路点拨 先由题意得到a+4b=ab,构造?+?=1,然后将所求式子乘1后变形,利用均值不等式
求解.
10.(2017苏州期末,11)已知正数x,y满足x+y=1,则?+?的最小值为 ????.
答案?????
解析 令x+2=a,y+1=b,则a+b=4(a>2,b>1),
?+?=?+?=?(a+b)?=??≥?×(5+4)=?,当且仅当a=?,b=?,即x=?,y=?
时等号成立.
11.(2019江都中学、扬中高级中学、溧水高级中学联考,17)为了保护环境,2018年起国家加大
了对工厂废气污水的检查力度,并给予已经对废气污水处理的企业适当补偿.某医药企业引进
污水处理设备,经测算2019年月处理污水成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地
表示为y=?且每处理一吨污水,可得到价值为100元的可利用资
源,若污水处理不获利,国家将给予补偿.
(1)当x∈(200,500]时,企业是否需要国家补贴,什么情况下企业需要申请国家补贴?
(2)每月的处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
解析 (1)需要.当x∈(200,500]时,设该污水处理项目获利为s元,则
s=100x-?=-?(x2-600x+90 000)+5 000=-?(x-300)2+5 000,
当s≤0时,5 000≤?(x-300)2?10 000≤(x-300)2?x≤200或x≥400,?(5分)
∴当400≤x≤500时,企业需要申请国家补贴.?(6分)
(2)由题意,可知污水的每吨处理成本为?=?
当x∈[120,200]时,?在x=120处取得最小值240.?(9分)
当x∈(200,500]时,?=?x+?-200≥2?-200=200(?-1),当且仅当?x=?,即x
=200?时取“=”,故?的最小值为200(?-1).?(12分)
因为200(?-1)<240,所以当每月的处理量为200?吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.?(1
4分)
12.(2019南京调研,17)销售甲种商品所得利润是P万元,它与投入资金t万元的关系有经验公式
P=?;销售乙种商品所得利润是Q万元,它与投入资金t万元的关系有经验公式Q=bt,其中a,b
为常数.现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售:若全部投入甲种商品,所得利润为?
万元;若全部投入乙种商品,所得利润为1万元.若将3万元资金中的x万元投入甲种商品的销售,
余下的投入乙种商品的销售,则所得利润总和为f(x)万元.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品,才能使所得利润总和最大?并求最大值.
解析 (1)因为P=?,Q=bt,
所以当t=3时,P=?=?,Q=3b=1.?(3分)
解得a=3,b=?.?(5分)
所以P=?,Q=?.
从而f(x)=?+?,x∈[0,3].?(7分)
(2)由(1)可得f(x)=?+?=?-?.?(9分)
因为x∈[0,3],
所以x+1∈[1,4],
故?+?≥2,?(11分)
当且仅当?=?,即x=2时取等号,
从而f(x)≤?-2=?.
所以f(x)的最大值为?.
答:分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时,所得利润总和最大,最大利润是?万元.?(1
4分)
一、填空题(每小题5分,共40分)
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
(时间：45分钟 分值：70分)
1.(2019七大市三模,12)如图,有一壁画,最高点A处离地面6 m,最低点B处离地面3.5 m.若从离地
面高2 m的C处观赏它,则离墙 ????m时,视角θ最大.
?
答案?????
解析 过C作AB的垂线,垂足为D,设CD=x m,x>0,
则tan∠ACD=?,tan∠BCD=?,
所以tan θ=tan(∠ACD-∠BCD)=?=?=?≤?,当且仅当x=?,即x=?时取等号.
故离墙? m时,视角θ最大.
评析 本题考查基本不等式的应用,要注意抓住条件利用角的正切求解.
2.(2019金陵中学调研,12)已知x,y为正数,?+?的最大值为a+b?(其中a,b为有理数),则
ab的值为 ????.
答案 -?
解析 设m=3x+y,n=x+2y,
则m>0,n>0,
∴x=?(2m-n),y=?(3n-m),
∴?+?=?+?
=?-?≤?-?×2?=?-?,当且仅当m=?n时取“=”,
∴a=?,b=-?,
∴ab=-?.
3.(2019南通、如皋二模,13)已知正数x,y满足3x+y+?+?=?,则x-?的最小值为 ????.
答案 -?
解析????x-?=x-?+?-?=x-?+3x+y+?+?-?=4x+?+y+?-?≥2?+2?-?=-?,当且
仅当x=?,y=1时取等号.
4.(2019金陵中学期中,13)已知正数a,b,c满足b2+2(a+c)b-ac=0,则?的最大值为 ????.
答案?????
解析????b2+2(a+c)b-ac=0?c=?,
∵c>0,∴a-2b>0,
∴?=?=?=?,
令t=?-2(t>0),
则?=?=?≤?=?,
当且仅当t=?,
即t=?时取“=”.
导师点睛 在用基本不等式求最值时,应具备三个条件:一正二定三相等.①一正:关系式中,各
项均为正数;②二定:关系式中,含变量的各项的和或积必须有一个为定值;③三相等:含变量的
各项均相等,取得最值.
5.(2019如皋一模,13)已知正数a,b,c,d满足?+?=1,?+?=2,则a+bcd的最小值为 ????.
答案 13+4?
解析 ∵a+bcd=?(a+bcd)=1+2cd+?+?≥1+2cd+2?=1+2cd+2?,
∴a+bcd≥1+2cd+2?,
又?+?=2?2≥2??cd≥6,
所以a+bcd≥1+2cd+2?≥1+2×6+2?=13+4?,
当且仅当a=1+2?,b=?,c=2,d=3时取“=”.
所以a+bcd的最小值为13+4?.
6.(2019南通三县联考,13)已知实数a>b>0,且a+b=2,则?的最小值为 ????.
答案?????
解析 由于a+b=2,且a>b>0,
则0所以?=?=?=?=?,
令t=2a-1∈(1,3),
则2a=t+1,
所以?=?=?
=?=?≥?=?=?=?=?,
当且仅当t=?(1即t=?时,等号成立,
因此?的最小值为?.
一题多解????a2+2ab-3b2=(a-b)(a+3b),
令???
由a+b=2?x+y=4,
则?=?=?=??=??·?(x+y)=??≥?,当
且仅当?=?,即y=?x时取“=”.
7.(2019海安期末,14)设P(x,y)为椭圆?+?=1在第一象限上的点,则?+?的最小值为????
????.
答案 4
解析 椭圆?+?=1化为?+?=4,
?+?=?+?≥?+?=?+?=4,当且仅当x=2,y=3时,取等
号.
8.(2018扬州期末,14)已知正实数x,y满足5x2+4xy-y2=1,则12x2+8xy-y2的最小值为 ????.
答案?????
解析 解法一:5x2+4xy-y2=(5x-y)(x+y)=1,
令5x-y=a,x+y=b,
则x=?,y=?,
则12x2+8xy-y2=?a2+?b2+?≥2?+?=?,当且仅当?a2=?b2,
即a=3b时等号成立.
解法二:12x2+8xy-y2=?=1+?,
令7+?=t,则?=?,
原式=1+?=1+?=1+?=1+?≥1+?=?,当且
仅当t=?,即t=9时等号成立.
二、解答题(共30分)
9.(2019淮安五校联考,17)某水库的蓄水容量为30万亿立方米.某年该水库从年初起到6月份末,
在原有蓄水量为12万亿立方米的基础上,每月再调进水库m万亿立方米水.设x表示月份,前x个
月调出去的水为p=ax2+5x(万亿立方米),且前两个月调出去的水为14万亿立方米.
(1)若用f(x)(万亿立方米)表示每月水库的总蓄水量,试写出y=f(x)的函数关系式;
(2)要使6个月内每月水库的水总能满足用水需求,且每月水调出后,水库中的水的剩余量不超
过水库的容量,试确定m的取值范围.
解析 (1)依题意,当x=2时,p=a·22+5×2=14,
解得a=1,所以p=x2+5x.?(2分)
故f(x)=12+mx-p=12+mx-x2-5x(1≤x≤6,且x∈N*).?(4分)
(2)由题意知0≤f(x)≤30对1≤x≤6,且x∈N*恒成立.
①由f(x)≤30得m≤x+?+5.?(6分)
因为x+?≥2?=6?,当且仅当x=?,即x=3?时取等号,(8分)
又因为x∈N*,所以当x=4时,x+?+5的值最小,且最小值为13.5,
所以m≤13.6.?(10分)
②由f(x)≥0得m≥x-?+5.
设h(x)=x-?+5,
则h'(x)=1+?,
所以h'(x)>0,
所以h(x)在[1,6]上递增,?(12分)
所以当x=6时,h(x)max=9,
所以m≥9.
综上,m∈[9,13.5].?(14分)
10.(2018南通第一次调研,18)如图,某小区中央广场由两部分组成,一部分是边长为80 cm的正
方形ABCD,另一部分是以AD为直径的半圆,其圆心为O.规划修建的3条直道AD,PB,PC将广场
分为6个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ,其中Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域(图中阴影部分),Ⅱ、Ⅳ、
Ⅵ为休闲区域,其中点P在半圆弧上,AD分别与PB,PC相交于点E,F.(道路宽度忽略不计)
(1)若PB经过圆心,求点P到AD的距离;
(2)设∠POD=θ,θ∈?.
①试用θ表示EF的长度f(θ)(单位:cm);
②当sin θ为何值时,绿化区域面积之和最大?
?
解析 (1)如图,以AD所在直线为x轴,线段AD的中垂线为y轴建立平面直角坐标系.设P(x,y),易
求得直线PB的方程为y=2x,
半圆O的方程为x2+y2=402(y≥0),
由?
得y=16?.
所以点P到AD的距离为16?cm.
?
(2)①由题意,得P(40cos θ,40sin θ).
直线PB的方程为y+80=?(x+40),
令y=0,得xE=?-40=?.
直线PC的方程为y+80=?(x-40),
令y=0,得xF=?+40=?.
所以,EF的长度为xF-xE=? cm?.
故f(θ)=?,θ∈?.
②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为S1=?×?×80=? cm2,
区域Ⅱ的面积为S2=?×EF×40sin θ=?×?×40sin θ=? cm2,
所以S1+S2=? cm2?.
设sin θ+2=t,
则2则S1+S2=?=1 600×?≥1 600×(2?-4)=6 400(?-1) cm2.
当且仅当t=2?,
即sin θ=2?-2时“=”成立.
答:当sin θ=2?-2时,休闲区域的面积之和最小,即绿化区域的面积之和最大.
第七章 不等式 ６５
§ ７．２ 简单的线性规划
对应学生用书起始页码 Ｐ１０９
考 点 简单的线性规划
１．在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ ＝
０（Ａ，Ｂ 不同时为 ０）分成三类：①满足 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ ＝ ０ 的点；②满足
Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＞０ 的点；③满足 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＜０ 的点．
２．在平面直角坐标系中，Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＞０（或 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＜０）表示
直线 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ ＝ ０ 某一侧的所有点组成的平面区域，且不含边
界，作图时边界应画成虚线；在平面直角坐标系中，画 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ
≥０（或 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ≤０）表示的平面区域时，边界应画成实线．
注意：（１）在画二元一次不等式（组）表示的平面区域时，一
定注意边界线的虚实问题以及直线的倾斜程度．
（２）对线性目标函数 ｚ ＝ Ａｘ＋Ｂｙ 中的 Ｂ 的符号一定要注意，
当 Ｂ＞０ 时，直线 ｚ＝Ａｘ＋Ｂｙ 过可行域且在 ｙ 轴上截距最大时，ｚ 值
最大，在 ｙ 轴上截距最小时，ｚ 值最小；当 Ｂ＜０ 时，直线 ｚ ＝ Ａｘ＋Ｂｙ
过可行域且在 ｙ 轴上截距最大时，ｚ 值最小；在 ｙ 轴上截距最小
时，ｚ 值最大．
????
????
????
????
????
????
????
????
对应学生用书起始页码 Ｐ１０９
一、二元一次方程（组）表示的平面区域及应用
１．二元一次不等式（组）表示的平面区域的判断方法：
（１）特殊点判断法：判断 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＞０（或 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＜０）表示
的区域时，若 Ｃ≠０，一般取原点（０，０）进行检验，当原点坐标使
Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＞０（或 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＜０）成立，则 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＞０（或 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ
＜０）就表示直线 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝ ０ 的含原点的那一侧区域，否则表示
另一侧不含原点的区域；若 Ｃ ＝ ０，一般取（０，１）或（１，０）进行
检验．
（２）系数判断法：对于 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＞０ 表示的区域，当 Ｂ＞０ 时，
区域在直线 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝ ０ 的上方，当 Ｂ＜０ 时，区域在直线 Ａｘ＋Ｂｙ＋
Ｃ＝ ０ 的下方．
２．二元一次不等式组表示的平面区域的应用主要包括求平
面区域的面积和已知平面区域的相关条件求参数的取值或范围．
对于求面积问题，可以先画出平面区域，然后判断其形状，求得
相应的交点坐标、相关的线段长度等，利用面积公式进行求解；
对于求参问题，一般需根据区域的形状判断动直线的位置，从而
确定参数的取值或范围．
（１）在平面直角坐标系中，已知平面区域 Ａ＝ ｛（ ｘ，ｙ） ｜ ｘ
＋ｙ≤１，且 ｘ≥０，ｙ≥０｝，则平面区域 Ｂ＝｛（ｘ＋ｙ，ｘ－ｙ） ｜ （ ｘ，ｙ）∈Ａ｝
的面积为 ．
（２）若不等式组
ｘ－ｙ≥０，
２ｘ＋ｙ≤２，
ｙ≥０，
ｘ＋ｙ≤ａ
ì
?
í
?
?
?
?
表示的平面区域的形状是三角
形，则 ａ 的取值范围是 ．
解题导引
（ １ ） 令 ｍ＝ ｘ＋ｙ，ｎ＝ ｘ－ｙ → 得 ｘ＝
ｍ＋ｎ
２
，ｙ＝
ｍ－ｎ
２ →
利用 ｘ，ｙ 所满足的条件
得出 ｍ，ｎ 满足的条件
→
画出相应的
平面区域
→ 得面积
（２）
画出不含 ａ 的不等式所组成的
不等式组表示的平面区域
→
画出动直线 ｘ＋ｙ＝ａ，并判断原不
等式组所表示的区域的形状
→ 结论
解析 （１）对于集合 Ｂ，令 ｍ＝ ｘ＋ｙ，ｎ＝ ｘ－ｙ，则 ｘ ＝
ｍ＋ｎ
２
，ｙ ＝
ｍ－ｎ
２
，由于（ｘ，ｙ）∈Ａ，所以有
ｍ＋ｎ
２
＋ｍ
－ｎ
２
≤１，
ｍ＋ｎ
２
≥０，
ｍ－ｎ
２
≥０，
ì
?
í
?
?
?
?
?
?
即
ｍ≤１，
ｍ＋ｎ≥０，
ｍ－ｎ≥０，
{ 因此平
面区域 Ｂ 的面积即为不等式组
ｍ≤１，
ｍ＋ｎ≥０，
ｍ－ｎ≥０
{ 所对应的平面区域的
面积，画出图形可知该平面区域的面积为 ２×
１
２
×１×１( ) ＝ １．
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
６６ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
（２）作出不等式组
ｘ－ｙ≥０，
２ｘ＋ｙ≤２，
ｙ≥０
{ 表示的平面区域（如图中阴影
部分） ．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角
形，只需动直线 ｌ：ｘ＋ｙ＝ａ 在 ｌ１、ｌ２ 之间（包含 ｌ２，不包含 ｌ１）或在 ｌ３
上方（包含 ｌ３） ．故 ０＜ａ≤１ 或 ａ≥
４
３
．
答案 （１）１ （２）０＜ａ≤１ 或 ａ≥
４
３
１－１ 不等式组
ｘ＋ｙ≥２，
２ｘ－ｙ≤４，
ｘ－ｙ≥０
{ 所围成的平面区域的面积
为 ．
１－１ 答案 ３
解析 如图，不等式组所围成的平面区域为图中阴影部
分，其中 Ａ（２，０），Ｂ（４，４），Ｃ（１，１），则所求平面区域的面积为
Ｓ△ＡＢＯ－Ｓ△ＡＣＯ ＝
１
２
×（２×４－２×１）＝ ３．
１－２ 若不等式组
ｘ＋ｙ－２≤０，
ｘ＋２ｙ－２≥０，
ｘ－ｙ＋２ｍ≥０
{ 表示的平面区域为三角形，
且其面积等于
４
３
，则 ｍ 的值为 ．
１－２ 答案 １
解析 如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则
－２ｍ＜２，即 ｍ＞－１，所围成的区域为△ＡＢＣ，Ｓ△ＡＢＣ ＝Ｓ△ＡＤＣ－Ｓ△ＢＤＣ ．
点 Ａ 的纵坐标为 １＋ｍ，点 Ｂ 的纵坐标为
２
３
（１＋ｍ），Ｃ，Ｄ 两点
的横坐标分别为 ２，－２ｍ，
所以 Ｓ△ＡＢＣ ＝
１
２
（２＋２ｍ） （１＋ｍ） －
１
２
（２＋２ｍ）·
２
３
（１＋ｍ） ＝
１
３
（１＋ｍ） ２ ＝
４
３
，
解得 ｍ＝－３（舍去）或 ｍ＝ １．
１－３ 设动点 Ｐ（ ｘ，ｙ）在区域 Ω：
ｘ≥０，
ｙ≥ｘ，
ｘ＋ｙ≤４
{ 上，过点 Ｐ 任作直
线 ｌ，设直线 ｌ 与区域 Ω 的公共部分为线段 ＡＢ，则以 ＡＢ 为直径的
圆的面积的最大值为 ．
１－３ 答案 ４π
解析 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所
示，则根据图形可知，以 ＡＢ 为直径的圆的面积最大，最大值为 π
× ４
２( )
２
＝ ４π．
????
????
????
????
????
????
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????
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????
二、目标函数最值（范围）问题的求解方法
１．求线性目标函数的最值的步骤
（１）作图———画出约束条件所确定的平面区域和目标函数
所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；
（２）平移———将直线平行移动，以确定最优解的对应点的
位置；
（３）求值———解方程组求出对应点坐标（即最优解），代入
目标函数，即可求出最值．
２．常见的目标函数
（１）截距型：形如 ｚ＝ａｘ＋ｂｙ，可以转化为 ｙ ＝ －
ａ
ｂ
ｘ＋
ｚ
ｂ
，利用
直线在 ｙ 轴上的截距大小确定目标函数的最值；
（２）点到点的距离型：形如 ｚ＝ （ｘ－ａ） ２＋（ｙ－ｂ） ２，表示区域内
的动点（ｘ，ｙ）与定点（ａ，ｂ）的距离的平方；
（３）斜率型：形如 ｚ ＝
ｙ－ｂ
ｘ－ａ
，表示区域内的动点（ ｘ，ｙ）与定点
（ａ，ｂ）连线的斜率；
（４）点到直线的距离型：形如 ｚ＝ ｜ Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ ｜ ，表示区域内的
动点（ｘ，ｙ）到直线 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝ ０ 的距离的 Ａ２＋Ｂ２ 倍．
若 ｘ，ｙ 满足约束条件
ｘ＋ｙ≥１，
ｘ－ｙ≥－１，
２ｘ－ｙ≤２．
{
（１）求目标函数 ｚ＝
１
２
ｘ－ｙ＋
１
２
的最值；
（２）若目标函数 ｚ＝ａｘ＋２ｙ 仅在点（１，０）处取得最小值，求 ａ
的取值范围．
解析 （１）作出可行域如图中阴影部分，可求得 Ａ（３，４），
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
第七章 不等式 ６７
Ｂ（０，１），Ｃ（１，０）．
由图可知当目标函数线经过 Ａ（３，４）时 ｚ 取最小值－２，经过
Ｃ（１，０）时 ｚ 取最大值 １．
所以 ｚ 的最大值为 １，最小值为－２．
（２）由图可知－１＜－
ａ
２
＜２，解得－４＜ａ＜２．
故所求 ａ 的取值范围为（－４，２） ．
２－１ 已知实数 ｘ，ｙ 满足
２ｘ－ｙ－６≥０，
ｙ≥
１
２
ｘ－３，
ｘ＋４ｙ≤１２，
ì
?
í
?
?
??
则 ｚ＝
ｙ－３
ｘ－２
的取值范围
为 ．
２－１ 答案 －∞ ，－
１
３( ]
解析 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所
示，ｚ＝
ｙ－３
ｘ－２
表示点 Ｄ（２，３）与可行域内的点（ ｘ，ｙ）之间连线的斜
率．易得 Ｂ（８，１），Ｃ（２，－２），因点 Ｄ（２，３）与 Ｂ（８，１）连线的斜率
为－
１
３
，Ｃ 的坐标为 （ ２， － ２），故由图知 ｚ ＝
ｙ－３
ｘ－２
的取值范围
为 －∞ ，－
１
３( ] ．
２－２ （２０１８ 泰州中学二模，９）设不等式组
２ｘ－ｙ－２≤０，
ｘ＋ｙ－１≥０，
ｘ－ｙ＋１≥０
{ 表
示的平面区域为 Ｄ，Ｐ（ ｘ，ｙ）是区域 Ｄ 上任意一点，则 ｜ ｘ－ ２ ｜ －
｜ ２ｙ ｜的最小值是 ．
２－２ 答案 －７
解析 作出不等式组表示的平面区域如图，
设 ｚ＝ ｜ ｘ－２ ｜ － ｜ ２ｙ ｜ ，由图知 ｙ≥０，则 ｚ＝ ｜ ｘ－２ ｜ －２ｙ，
即 ｙ＝
１
２
｜ ｘ－２ ｜ －
１
２
ｚ，
作出 ｙ＝
１
２
｜ ｘ－２ ｜的图象，平移 ｙ＝
１
２
｜ ｘ－２ ｜的图象，
由图知当 ｙ＝
１
２
｜ ｘ－２ ｜ －
１
２
ｚ 的图象经过点 Ａ 时，－
１
２
ｚ 最大，
由
２ｘ－ｙ－２＝ ０，
ｘ－ｙ＋１＝ ０{ 得
ｘ＝ ３，
ｙ＝ ４，{ ∴ Ａ（３，４），
故 ｚｍｉｎ ＝ ｜ ３－２ ｜ －２×４＝ １－８＝－７．
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
???? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????
???? 本题主要考查线性规划的应用，正确作出可行域
是解决本题的关键．
２－３ 已知 ｘ，ｙ 满足
２ｘ－ｙ≤０，
ｘ－３ｙ＋５≥０，
ｘ≥０，
ｙ≥０，
ì
?
í
?
?
?
?
则 ｚ ＝ ８－ｘ·
１
２( )
ｙ
的最小
值为 ．
２－３ 答案
１
３２
解析 根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示．
而 ｚ＝ ８－ｘ·
１
２( )
ｙ
＝ ２－３ｘ－ｙ，设 ｚ′＝－３ｘ－ｙ，欲使 ｚ 最小，只需使
ｚ′＝－３ｘ－ｙ 最小即可．由图知当 ｘ ＝ １，ｙ ＝ ２ 时，ｚ′ ＝ －３ｘ－ｙ 的值最
小，且最小值为－３×１－２＝－５，此时 ２－３ｘ－ｙ ＝
１
３２
．
２－４ 变量 ｘ，ｙ 满足约束条件
ｙ≥－１，
ｘ－ｙ≥２，
３ｘ＋ｙ≤１４，
{ 若使 ｚ＝ａｘ＋ｙ 取得
最大值的最优解有无穷多个，则实数 ａ 的取值集合是 ．
２－４ 答案 ｛－１，３｝
解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．
易知直线 ｚ＝ａｘ＋ｙ 与 ｘ－ｙ＝ ２ 或 ３ｘ＋ｙ＝ １４ 平行时取得最大值
的最优解有无穷多个，即－ａ＝ １ 或－ａ ＝ －３，∴ ａ ＝ －１ 或 ａ ＝ ３．则实
数 ａ 的取值集合是｛－１，３｝ ．
２－５ 已知实数 ｘ，ｙ 满足
３ｘ＋２ｙ－１２≤０，
ｘ≥２，
ｙ≥
３
２
，
ì
?
í
?
?
??
则
ｘｙ
ｘ２＋ｙ２
的取值范
围是 ．
２－５ 答案
２
５
，
１
２[ ]
????
????
????
????
????
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????
????
????
６８ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图：
由图可知
ｙ
ｘ
的最小值为 ｋＯＢ，最大值为 ｋＯＡ，
由
ｘ＝ ２，
３ｘ＋２ｙ－１２＝ ０，{ 可得 Ａ（２，３），
由
ｙ＝
３
２
，
３ｘ＋２ｙ－１２＝ ０，
{ 可得 Ｂ ３， ３２( ) ，
∴ ｋＯＢ ＝
１
２
，ｋＯＡ ＝
３
２
．
ｘｙ
ｘ２＋ｙ２
＝ １
ｘ
ｙ
＋ ｙ
ｘ
，
令 ｔ＝
ｙ
ｘ
，则 ｔ∈
１
２
，
３
２[ ] ，
令 ｇ（ ｔ）＝
１
ｔ
＋ｔ，则 ｇ（ ｔ）＝
１
ｔ
＋ｔ≥２，
等号成立的条件是 ｔ＝ １，１∈
１
２
，
３
２[ ] ，
当 ｔ＝
１
２
时，ｇ
１
２( ) ＝ ５２ ，
当 ｔ＝
３
２
时，ｇ
３
２( ) ＝ １３６ ，
∴ ｇ（ ｔ）∈ ２，
５
２[ ] ．
∴
ｘｙ
ｘ２＋ｙ２
＝ １
ｘ
ｙ
＋ ｙ
ｘ
＝ １
ｇ（ ｔ）
∈
２
５
，
１
２[ ] ．
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????
????
????
????
????
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???? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????
????
????
????
????
????
????
????
???? 线性规划问题多与函数、平面向量、数列、概率、解
析几何等问题综合在一起考查，使数学问题的解答变得更加
新颖别致．
常见的命题角度有：
（１）求线性目标函数的最值（范围）；
（２）求非线性目标函数的最值（范围）；
（３）线性规划中的参数问题．
????
????
????
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????
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????
????
(共67张PPT)
五年高考
A组????自主命题·江苏卷题组
考点 简单的线性规划
(2016江苏,12,5分)已知实数x,y满足?则x2+y2的取值范围是 ????.
答案?????
解析 不等式组?表示的可行域如图所示,
?
由x-2y+4=0及3x-y-3=0得A(2,3),由x2+y2表示可行域内的点(x,y)与点(0,0)的距离的平方可得(x2+
y2)max=22+32=13,(x2+y2)min=d2=?=?,其中d表示点(0,0)到直线2x+y-2=0的距离,所以x2+y2的取
值范围为?.
解后反思 对于线性规划问题,要正确作出可行域,并理解目标函数的几何意义,分清常规的
“距离型”“斜率型”与“截距型”是解题的关键.
名师点睛 线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线
还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,最后结合图形确定目标函数的范围(或最值).
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点 简单的线性规划
1.(2019浙江改编,3,4分)若实数x,y满足约束条件?则z=3x+2y的最大值是 ????.
答案 10
解析 本题考查简单的线性规划问题,考查学生的运算求解的能力;体现了数学运算的核心素
养.
根据题意画出不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分所示),画出直线l0:3x+2y=0,平移l0可
知,当l0经过点C(2,2)时,z取最大值,即zmax=3×2+2×2=10.
?
一题多解 根据线性约束条件得出平面区域为△ABC及其内部(如上图所示),其中A(-1,1),B(1,
-1),C(2,2),经检验,知目标直线经过点C(2,2)时,z取最大值10.
2.(2019天津理改编,2,5分)设变量x,y满足约束条件?则目标函数z=-4x+y的最大值为
????.
答案 5
解析 本题主要考查简单的线性规划.通过求线性目标函数的最大值考查学生的运算求解能
力,体现了数形结合的素养要素.
作出可行域(如图中阴影部分),
?
平移直线-4x+y=0可知,目标函数z=-4x+y在点P处取最大值.
由?得P(-1,1).
∴zmax=-4×(-1)+1=5.
解题反思 对于目标函数z=Ax+By,若B>0,则目标直线向上平移时z变大;若B<0,则目标直线向
下平移时z变大.
3.(2019北京理改编,5,5分)若x,y满足|x|≤1-y,且y≥-1,则3x+y的最大值为 ????.
答案 5
解析 本题考查线性规划与绝对值不等式;考查学生的运算能力、数形结合思想的应用;考查
的核心素养为直观想象与数学运算.
|x|≤1-y,且y≥-1等价于?表示的平面区域如图中阴影部分所示.
?
令3x+y=z,则y=-3x+z,当z=0时,方程y=-3x+z表示直线l,当直线l向右上方平移时,z逐渐增大,当直
线过点A(2,-1)时,z=3x+y取最大值,为3×2-1=5.
疑难突破 解决本题的关键是利用绝对值的性质,将|x|≤1-y等价转化为?
4.(2019课标全国Ⅱ文,13,5分)若变量x,y满足约束条件?则z=3x-y的最大值是 ????
????.
答案 9
解析 本题考查简单的线性规划问题;以二元一次不等式组作为约束条件考查学生数形结合
思想及运算求解能力;考查数学运算的核心素养.
作出可行域(如图阴影部分所示).
?
易得A(3,0),B(1,2),C(0,2).
将z=3x-y化为y=3x-z,由图知,当直线y=3x-z经过点A(3,0)时,截距-z取得最小值,从而z取得最大
值.
zmax=3×3=9.
易错警示 因为目标函数中y的系数为负值,所以容易理解为在点C处取得最大值,导致错误.
5.(2018北京理,12,5分)若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y-x的最小值是 ????.
答案 3
解析 本题主要考查简单的线性规划问题.
由x+1≤y≤2x作出可行域,如图中阴影部分所示.
设z=2y-x,则y=?x+?z,
当直线y=?x+?z过A(1,2)时,z取得最小值3.
?
方法总结 解决简单的线性规划问题的方法
先利用线性约束条件作出可行域,然后利用变形后的目标函数所对应的直线找到最优解,从而
求得最值.
6.(2018课标全国Ⅱ理,14,5分)若x,y满足约束条件?则z=x+y的最大值为 ????.
答案 9
解析 本题考查简单的线性规划.
由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示).
?
当直线x+y-z=0经过点A(5,4)时,z=x+y取得最大值,最大值为9.
7.(2018浙江,12,6分)若x,y满足约束条件?则z=x+3y的最小值是 ????,最大值是????
????.
答案 -2;8
解析 本题考查简单的线性规划.
由约束条件得可行域是以A(1,1),B(2,2),C(4,-2)为顶点的三角形区域(含边界),如图.
?
当直线y=-?x+?过点C(4,-2)时,z=x+3y取得最小值-2,过点B(2,2)时,z=x+3y取得最大值8.
思路分析 (1)作出可行域,并求出顶点坐标.
(2)平移直线y=-?x,当在y轴上的截距最小时,z=x+3y取得最小值,当在y轴上的截距最大时,z=x+
3y取得最大值.
8.(2017课标全国Ⅰ,14,5分)设x,y满足约束条件?则z=3x-2y的最小值为 ????.
答案 -5
解析????
本题考查线性规划问题,考查学生对数形结合思想的应用能力.
由约束条件作出可行域,如图阴影部分所示.
平移直线3x-2y=0可知,目标函数z=3x-2y在A点处取最小值,又由?解得?即A(-1,
1),所以zmin=3×(-1)-2×1=-5.
温馨提醒 在求解直线型目标函数z=Ax+By的最值时,一定要注意y前系数B的符号.
9.(2016课标全国Ⅱ,14,5分)若x,y满足约束条件?则z=x-2y的最小值为 ????.
答案 -5
解析 由约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示(包括边界).当直线x-2y-z=0过点B(3,4)时,
z取得最小值,zmin=3-2×4=-5.
?
10.(2015课标全国Ⅰ,15,5分)若x,y满足约束条件?则?的最大值为 ????.
答案 3
解析 由约束条件画出可行域,如图.
?
?的几何意义是可行域内的点(x,y)与原点O连线的斜率,所以?的最大值即为直线OA的斜率,
又由?得点A的坐标为(1,3),则?=kOA=3.
解题关键 分析出?的几何意义是可行域内点(x,y)与原点O连线的斜率是解题的关键.
名师点睛 (1)解决线性规划问题要利用数形结合的思想方法求解,一定要画出可行域,不可直
接代点求解,因为可行域不一定是三角形;(2)将目标函数进行有效变形是解题的关键.
C组 教师专用题组
考点 简单的线性规划
1.(2019北京文,10,5分)若x,y满足?则y-x的最小值为 ????,最大值为 ????.
答案 -3;1
解析 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的思想方法.核心素养体现了直观想象.
由线性约束条件画出可行域,为图中的△ABC及其内部.易知A(-1,-1),B(2,-1),C(2,3).设z=y-x,平
移直线y-x=0,当直线过点C时,zmax=3-2=1,当直线过点B时,zmin=-1-2=-3.
?
解题关键 正确画出可行域是求解的关键.
2.(2018天津文改编,2,5分)设变量x,y满足约束条件?则目标函数z=3x+5y的最大值为
????.
答案 21
解析 本题主要考查线性目标函数最值的求解.
由变量x,y满足的约束条件画出可行域(如图阴影部分所示).
?
作出基本直线l0:3x+5y=0,平移直线l0,当经过点A(2,3)时,z取最大值,zmax=3×2+5×3=21.
方法总结 线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略:
(1)求线性目标函数的最值.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,所以
对于一般的线性规划问题,我们可以直接求出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相
应的数值,从而确定目标函数的最值.
(2)由目标函数的最值求参数.求解线性规划中含参问题的基本方法有两种:一是把参数当常数
用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式
求解参数的值或取值范围;二是先分离含有参数的式子,通过观察确定含参的式子所满足的条
件,确定最优解的位置,从而求出参数.
3.(2018课标全国Ⅰ文,14,5分)若x,y满足约束条件?则z=3x+2y的最大值为 ????
????.
答案 6
解析 本题主要考查线性规划.
由x,y满足的约束条件画出对应的可行域(如图中阴影部分所示).
?
由图知当直线3x+2y-z=0经过点A(2,0)时,z取得最大值,zmax=2×3=6.
4.(2018课标全国Ⅲ文,15,5分)若变量x,y满足约束条件?则z=x+?y的最大值是 ????
????.
答案 3
解析 本题考查简单的线性规划.
解法一:根据约束条件作出可行域,如图所示.
?
z=x+?y可化为y=-3x+3z.
求z的最大值可转化为求直线y=-3x+3z纵截距的最大值,
显然当直线y=-3x+3z过A(2,3)时,纵截距最大,
故zmax=2+?×3=3.
解法二:画出可行域(如解法一所示),由图知可行域为三角形区域,易求得顶点坐标分别为(2,3),
(2,-7),(-2,1),将三点坐标代入,可知zmax=2+?×3=3.
5.(2017课标全国Ⅱ理改编,5,5分)设x,y满足约束条件?则z=2x+y的最小值是 ????
????.
答案 -15
解析 本题考查简单的线性规划问题.
根据线性约束条件画出可行域,如图.
?
作出直线l0:y=-2x.平移直线l0,当经过点A时,目标函数取得最小值.
由?得点A的坐标为(-6,-3).
∴zmin=2×(-6)+(-3)=-15.
6.(2017课标全国Ⅲ,13,5分)若x,y满足约束条件?则z=3x-4y的最小值为 ????.
答案 -1
解析 本题考查简单的线性规划.
画出约束条件所表示的平面区域,如图中阴影部分所示(包括边界).
?
可得目标函数z=3x-4y在点A(1,1)处取得最小值,zmin=3×1-4×1=-1.
7.(2016课标全国Ⅲ,13,5分)设x,y满足约束条件?则z=2x+3y-5的最小值为 ????.
答案 -10
解析 可行域如图所示(包括边界),直线2x-y+1=0与x-2y-1=0相交于点(-1,-1),当目标函数线过
(-1,-1)时,z取最小值,zmin=-10.
?
评析 本题考查了简单的线性规划问题,正确画出可行域是求解的关键.
8.(2016四川改编,7,5分)设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y满足?则p是q的 ????
????条件.(填“必要不充分”“充分不必要”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 必要不充分
解析 如图作出p,q表示的区域,其中☉M及其内部为p表示的区域,△ABC及其内部(阴影部分)
为q表示的区域,故p是q的必要不充分条件.
?
9.(2016课标全国Ⅰ,16,5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产
一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料
0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现
有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和
的最大值为 ????元.
答案 216 000
解析 设生产产品A x件,生产产品B y件,利润之和为z元,则z=2 100x+900y.
根据题意得?即?
作出可行域(如图中整点).
?
由?得?
当直线2 100x+900y-z=0过点A(60,100)时,z取得最大值,zmax=2 100×60+900×100=216 000.
故所求的最大值为216 000元.
10.(2015浙江,14,4分)若实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是 ????.
答案 3
解析 ∵x2+y2≤1,∴6-x-3y>0,令t=|2x+y-2|+|6-x-3y|,当2x+y-2≥0时,t=x-2y+4.点(x,y)可取区域Ⅰ
内的点(含边界).
?
通过作图可知,当直线t=x-2y+4过点A?时,t取最小值,∴tmin=?-?+4=3.
当2x+y-2<0时,t=8-3x-4y,点(x,y)可取区域Ⅱ内的点(不含线段AB).
通过作图可知,此时t>8-3×?-4×?=3.
综上,tmin=3,即|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是3.
11.(2014浙江,13,4分)当实数x,y满足?时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是
????.
答案?????
解析 不等式组构成以A(1,0),B?,C(2,1)为顶点的三角形区域(包含边界).又1≤x≤2,所以1
≤ax+y≤4转化为?≤-a≤?恒成立.
而k1=?表示可行域内点P(x,y)与定点(0,4)连线的斜率,其最大值为-?.
同理,k2=?表示可行域内点P(x,y)与定点(0,1)连线的斜率,其最小值为-1,故有-?≤-a≤-1,
即1≤a≤?.
12.(2014安徽改编,5,5分)x,y满足约束条件?若z=y-ax取得最大值的最优解?,
则实数a的值为 ????.
答案 2或-1
解析 作出可行域(如图),为△ABC内部(含边界).由题设z=y-ax取得最大值的最优解不唯一可
知:线性目标函数对应的直线与可行域某一边界重合.由kAB=-1,kAC=2,kBC=?可得a=-1或a=2或a=
?,
验证:a=-1或a=2时,成立;a=?时,不成立.
?
13.(2013江苏,9,5分)抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形
内部与边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x+2y的取值范围是 ????.
答案?????
解析 ∵y=x2,∴y'|x=1=2x|x=1=2.
故抛物线y=x2在x=1处的切线方程为2x-y-1=0,设其与x轴,y轴交于A,B两点,则A?,B(0,-1),区
域D为如图中阴影部分,
?
令z=x+2y,即y=-?x+?z,易知直线y=-?x+?z分别过A、B两点时z取最大、最小值,
∴zmax=?+2×0=?,zmin=0+2×(-1)=-2,
∴x+2y的取值范围是?.
14.(2012江苏,14,5分)已知正数a,b,c满足:5c-3a≤b≤4c-a,cln b≥a+cln c,则?的取值范围是????
????.
答案 [e,7]
解析 ∵cln b≥a+cln c,∴ln b≥?+ln c,
∴ln?≥?,令?=x,?=y,则ln y≥x?y≥ex.
∵5c-3a≤b≤4c-a,∴5-?≤?≤4-?,
即5-3x≤y≤4-x,由?确定可行域如图,而?=?=?表示可行域内的点P(x,y)与原点
(0,0)连线的斜率,?显然在?处取得,∴?=7,?为函数y=ex图象的过原点的切
线的斜率,
?
设切点为(x0,?),则?=??x0=1,切点为(1,e),在可行域内成立,∴?=e,∴?∈[e,7].
三年模拟
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
考点 简单的线性规划
1.(2019如皋期末,7)设实数x,y满足约束条件?则z=2x-y的最大值是 ????.
答案 1
解析 根据实数x,y满足约束条件?画出可行域,如图:
?
由?解得A(0,-1).可知当目标函数所对应的直线经过点A时z取最大值,即zmax=2×0-(-1)=
1.
思路分析 根据题意画出约束条件表示的可行域,平移直线,找到最大值点,再将该点的坐标代
入即可求得答案.
2.(2019南通通州、海门联考,7)已知实数x,y满足?则z=2x+y的最大值为 ????.
答案 7
解析 作出不等式组表示的可行域,如图所示:
?
联立?得A(2,3),
由题题得,当直线y=-2x+z经过点A(2,3)时,直线的纵截距z最大,zmax=2×2+3=7,所以z=2x+y的最大
值为7.
3.(2019如皋一模,7)已知变量x,y满足约束条件|2x+y-2|≤1,x≥0,y≥0,则x-2y+1的最大值为 ????
????.
答案?????
解析 ∵|2x+y-2|≤1,∴?
作出?表示的平面区域,如图.
?
易得直线2x+y-3=0与x轴的交点为A?.设t=x-2y+1,
当直线t=x-2y+1经过A点时,t取最大值,tmax=?-0+1=?.
故x-2y+1的最大值为?.
4.(2018扬州期末,8)若实数x,y满足?则x2+y2的取值范围是 ????.
答案?????
解析 不等式组所表示的平面区域如图所示:
?
x2+y2表示区域中的点与原点距离的平方,其中原点到直线3x+4y-12=0的距离为?=?,原
点到A(4,3)的距离为5,所以x2+y2的取值范围是?.
评析 本题是距离型的目标函数求取值范围,在可行域内求点到原点的距离平方的取值范围.
属于基础题.
5.(2018南京十校联考,9)若不等式组?所表示的平面区域被直线y=kx+4分为面积相等
的两部分,则k的值为 ????.
答案 -?
解析 不等式组所表示的平面区域为如图所示的三角形ABC及其内部,
?
由?得?故点C?.
易得A(0,2),B(0,4),设AC的中点为D,则D?.
由题意可知,当D点在直线y=kx+4上时,直线把不等式组所表示的区域分为面积相等的两部分,
解得k=-?.
6.(2017无锡期末,7)设不等式组?表示的平面区域为M,若直线y=kx-2上存在M内的点,
则实数k的取值范围是 ????.
答案 [2,5]
解析 由约束条件?作出可行域如图,
?
直线y=kx-2恒过点A(0,-2),且斜率为k,
由图知,当直线y=kx-2过点B时,k取最大值,
由?得B(1,3),∴kmax=?=5,
当直线y=kx-2过点C时,k取最小值,
由?得C(2,2),∴kmin=?=2.
故实数k的取值范围为[2,5].
方法总结 若直线y=kx-2上存在M内的点,则直线与不等式组表示的可行域有公共点,而这条
直线经过(0,-2),所以就是求区域内的点与(0,-2)连线的斜率的取值范围.
7.(2017盐城三模,8)设x,y满足?则z=x+y的最大值为 ????.
答案 1
方法总结 若直线y=kx-2上存在M内的点,则直线与不等式组表示的可行域有公共点,而这条
直线经过(0,-2),所以就是求区域内的点与(0,-2)连线的斜率的取值范围.
7.(2017盐城三模,8)设x,y满足?则z=x+y的最大值为 ????.
答案 1
解析 作出可行域如图:
?
由图可知,当直线y=-x+z过A时,直线在y轴上的截距最大,由?可得A?,所以z的最大
值为?+?=1.
8.(2017苏北三市三模)已知实数x,y满足?则?的取值范围是 ????.
答案?????
解析 画出不等式组表示的平面区域(如图),?表示可行域内的点与坐标原点连线的斜率,易
得A(3,2),B(3,-1),则kOA=?,kOB=-?,由图易知?的取值范围为?.
?
填空题(每小题5分,共50分)
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
(时间：30分钟 分值：50分)
1.(2019连云港期中,8)已知实数x,y满足?则当2x-y取得最小值时,x2+y2的值为 ????
????.
答案 5
解析 不等式组所表示的平面区域如图所示,
?
令z=2x-y,当直线z=2x-y过点B(1,2)时,z取得最小值,此时x2+y2的值为5.
2.(2019南通、如皋二模,8)已知实数x,y满足?则z=?的取值范围是 ????.
答案?????
解析 不等式组表示的平面区域如图,
?
z=?=?,可看成是平面区域内任一点P(x,y)与点Q(0,-1)的连线的斜率,由图可知,直线
AQ的斜率最小,z无最大值.
易得点A的坐标为(3,1),kAQ=?=?,
所以z=?的取值范围是?.
3.(2019徐州检测,8)已知x,y满足约束条件?则z=?的取值范围为 ????.
答案?????
解析 不等式组所表示的平面区域如图所示.
?
z=?=?,等价于平面区域内任一点P(x,y)与点D(-2,0)连线的斜率的倒数.
易得A(1,2),C?,
所以kDA=?,kDC=?,所以斜率倒数的范围为?,
所以z=?的取值范围为?.
4.(2019南通、扬州、泰州、苏北四市七市一模,7)若实数x,y满足x≤y≤2x+3,则x+y的最小值
为 ????.
答案 -6
解析 原不等式等价于?作出其表示的平面区域如图所示.
设z=x+y,当直线z=x+y过点A(-3,-3)时,z取得最小值-6.
?
5.(2019扬州中学检测,9)抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三
角形内部和边界).若点P(x,y)是区域D内任意一点,则x+2y的取值范围是 ????.
答案?????
解析 ∵y=x2,∴y'=2x,y'|x=1=2,而当x=1时y=1,即切点为(1,1),∴切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=
0,切线与两坐标轴围成的三角形区域如图.令u=x+2y,由图知,直线u=x+2y经过A?时,u取得
最大值,即umax=?;直线u=x+2y经过B(0,-1)时,u取得最小值,即umin=-2,故x+2y的取值范围是
?.
?
6.(2019启东中学、前黄中学、淮阴中学等七校联考,10)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若1
≤a1≤3,6≤S3≤15,则?的取值范围是 ????.
答案?????
解析 设等差数列的公差为d,则?=?=1+?,所以只需求?的取值范围,根据条件6≤S3≤
15得到2≤a1+d≤5,又1≤a1≤3,作出可行域,如图.
?
易得-?≤?≤4,所以?=1+?∈?.
7.(2018南京、盐城一模,14)若不等式ksin2B+sin Asin C>19sin B·sin C对任意△ABC都成立,则
实数k的最小值为 ????.
答案 100
解析 由正弦定理得k>?-?,
令x=?,y=?,则k>19y-xy,
由?得?即?
令z=19y-xy,可得y=?.
画出可行域如图,当y=?的图象与直线y=x+1相切时,z取最大值,易求得zmax=100.
∴k的最小值是100.
8.(2017常州第一学期调研,11)在平面直角坐标系中,点P是由不等式组?所确定的平
面区域内的动点,M,N是圆x2+y2=1的一条直径的两端点,则?·?的最小值为 ????.
答案 7
解析 因为M,N是圆x2+y2=1的一条直径的两端点,所以两点关于原点对称,可设M(x1,y1),则N(-x1,
-y1),设P(x,y),则?·?=(x1-x,y1-y)·(-x1-x,-y1-y)=x2-?+y2-?,由M,N在圆x2+y2=1上,得?·?=x2+y
2-1.
点P是不等式组?所确定的平面区域内的动点,画出可行域,可得?·?=x2+y2-1≥
?-1=7,
即?·?的最小值为7.
思路分析????M,N是圆x2+y2=1的一条直径的两端点,所以两点关于原点对称,可设M(x1,y1),则N(-x1,
-y1),设P(x,y),求出?·?=x2-?+y2-?,再利用M,N在圆x2+y2=1上及x2+y2的几何意义求解.
9.(2017无锡期中)已知x,y满足?若z=3x+y的最大值为M,最小值为m,且M+m=0,则实数a
的值为 ????.
答案 -1
解析 不等式组?表示的平面区域如图所示,
?
由?可得A(a,a),
由?可得B(1,1).
结合图形可以看出:当动直线y=-3x+z经过点A(a,a)和B(1,1)时,z=3x+y分别取最小值m=4a和最
大值M=4,所以4a+4=0,所以a=-1.
10.(2017扬州中学高三月考,9)已知点P(x,y)满足?则点Q(x+y,y)构成的图形的面积
为 ????.
答案 2
解析 令x+y=a,y=b,则(a,b)满足?建立如下直角坐标系,并画出可行域如图所示,它
是一个平行四边形,故其面积为S=?×2×1×2=2.
?
第七章 不等式
真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
２０１９ 江苏，４ ５ 分 填空题 易 一元二次不等式 一元二次不等式的解法 直接法 数学运算
２０１９ 江苏，１０ ５ 分 填空题 易 基本不等式及应用 基本不等式的应用
直接法
公式法
数学运算
２０１８ 江苏，１３ ５ 分 填空题 易 基本不等式及其应用 利用基本不等式求最小值
面积法
解析法
三角法
直观想象
数学抽象
数学运算
２０１７ 江苏，７ ５ 分 填空题 易 一元二次不等式 解一元二次不等式
直接法
公式法
数学运算
２０１７ 江苏，１０ ５ 分 填空题 易 基本不等式及其应用 基本不等式的实际应用
直接法
公式法
数学运算
数学建模
２０１７ 江苏，１１ ５ 分 填空题 中 一元二次不等式 解一元二次不等式 直接法 数学运算
２０１６ 江苏，５ ５ 分 填空题 易 一元二次不等式 解一元二次不等式 直接法 数学运算
２０１６ 江苏，１２ ５ 分 填空题 易 简单的线性规划 距离型问题 数形结合 数学运算
２０１６ 江苏，１４ ５ 分 填空题 中 基本不等式及其应用 利用基本不等式求最小值 直接法 数学运算
２０１６ 江苏，１９ １６ 分 解答题 难 基本不等式 基本不等式的应用 求导法
数学运算
数学抽象
２０１５ 江苏，７ ５ 分 填空题 易 一元二次不等式 解一元二次不等式 直接法 数学运算
命题规律与趋势
０１ 考查内容
本章为高考必考内容，主要考查不等式的
性质与解法，基本不等式，线性规划问题及
不等式的综合应用．
０２ 命题特点
基本不等式常与其他知识综合考查，有一
定难度．不等式解法常在函数的综合解答
题中出现，是解决导数综合问题的必选方
法．线性规划问题的考查难度不大．
０３ 解题方法
特值法、直接法、数形结合法、综合法与分
析法．
０４ 关联考点
在小题中，不等式可与集合、函数、三角函数、
数列、解析几何结合考查；在大题中，常与解
析几何、导数、绝对值不等式相结合考查．
０５ 命题趋势
高考对本章的考查，有时考简单的线性规
划，常考基本不等式，有一定的综合性．
０６ 核心素养
本章主要考查的核心素养为数学运算及逻
辑推理．
０７ 备考建议
高考对线性规划以及不等式的综合应用的
考查难度变化不大，建议复习时以基础题
为主，同时要注意不等式与其他章节的综
合题，关注创新和实际应用题目．
第七章 不等式 ６３
§ ７．１ 一元二次不等式
对应学生用书起始页码 Ｐ１０６
２ ０ １ ５ — ２ ０ １ ９
对应学生用书起始页码 Ｐ１０６
统一命题、省（区、市）卷题组
对应学生用书起始页码 Ｐ１０６
考 点 一元二次不等式及其解法 高频考点
１．不等式 ａｘ＞ｂ 的解集：若 ａ＞０，解集为 ｘ ｘ＞
ｂ
ａ{ } ；若 ａ＜０，
解集为 ｘ ｘ＜
ｂ
ａ{ } ；若 ａ＝ ０，当 ｂ≥０ 时，解集为?，当 ｂ＜０ 时，解
集为 Ｒ．
２．三个“二次”间的关系
判别式
Δ＝ ｂ２－４ａｃ
Δ＞０ Δ＝ ０ Δ＜０
二次函数
ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ
（ａ＞０）的图象
一元二次方程
ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ ０
（ａ＞０）的根
有两相异实根
ｘ１，ｘ２（ｘ１＜ｘ２）
有两相等实根
ｘ１ ＝ ｘ２ ＝－
ｂ
２ａ
没有实数根
ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０
（ａ＞０）的解集
｛ｘ ｜ ｘ＜ｘ１
或 ｘ＞ｘ２｝
ｘ ｘ≠－
ｂ
２ａ{ } Ｒ
ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜０
（ａ＞０）的解集
｛ｘ ｜ｘ１＜ｘ＜ｘ２｝ ? ?
３．分式不等式的解法
（１）
ｆ（ｘ）
ｇ（ｘ）
＞０（＜０）?ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ）＞０（＜０）；
（２）
ｆ（ｘ）
ｇ（ｘ）
≥０（≤０）?
ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ）≥０（≤０），
ｇ（ｘ）≠０．{
１．对于不等式 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞０（≥０）或 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜０（≤０）的
求解，要联系：①函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ 的图象与 ｘ 轴的交点；②方
程 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ ０ 的根，同时注意 ａ 是不是零．
２．含参数的不等式求解，需要分类讨论，讨论时要做到
“不重”“不漏”“最简”三原则．
３．不等式组的解集是使各不等式同时成立的解的范围，
即各不等式解集的交集．
４．要注意体会数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想
的应用．
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
对应学生用书起始页码 Ｐ１０６
一元二次不等式恒成立问题的解法
１．形如 ｆ（ｘ）＞０ 或 ｆ（ｘ）＜０（ｘ∈Ｒ）的一元二次不等式确定参
数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．
２．形如 ｆ（ｘ）＞０ 或 ｆ（ｘ）＜０（ｘ∈［ａ，ｂ］）的不等式确定参数的
范围时，要根据函数 ｆ（ｘ）的单调性，求其最小值（或最大值），使
最小值大于 ０（或最大值小于 ０），从而求参数的范围．
３．形如 ｆ（ｘ）＞０ 或 ｆ（ｘ）＜０（参数 ｍ∈［ａ，ｂ］）的不等式确定 ｘ
的范围时，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主
元，求谁的范围，谁就是参数．
已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｘ２－２ａｘ－１＋ａ，ａ∈Ｒ．
（１）若 ａ＝ ２，试求函数 ｙ＝
ｆ（ｘ）
ｘ
（ｘ＞０）的最小值；
（２）?ｘ∈［０，２］，不等式 ｆ（ｘ）≤ａ 成立，试求 ａ 的取值范围．
解析 （１）依题意得 ｙ＝
ｆ（ｘ）
ｘ
＝ ｘ
２－４ｘ＋１
ｘ
＝ ｘ＋
１
ｘ
－４．
因为 ｘ＞０，所以 ｘ＋
１
ｘ
≥２，
当且仅当 ｘ＝
１
ｘ
，即 ｘ＝ １ 时，等号成立．
所以 ｙ≥－２．
所以当 ｘ＝ １ 时，ｙ＝
ｆ（ｘ）
ｘ
取最小值，为－２．
（２）因为 ｆ（ｘ）－ａ＝ ｘ２－２ａｘ－１，
所以要使“?ｘ∈［０，２］，不等式 ｆ（ｘ）≤ａ 成立”，
只要“ｘ２－２ａｘ－１≤０ 在［０，２］上恒成立” ．
不妨设 ｇ（ｘ）＝ ｘ２－２ａｘ－１，
则只要 ｇ（ｘ）≤０ 在［０，２］上恒成立即可，
所以
ｇ（０）≤０，
ｇ（２）≤０，{ 即 ０
－０－１≤０，
４－４ａ－１≤０，{ 解得 ａ≥ ３４ ．
则 ａ 的取值范围是
３
４
，＋∞[ ) ．
１－１ 已知不等式 ｍｘ２ －２ｘ－ｍ＋１＜０，是否存在实数 ｍ 对所
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
６４ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
有的实数 ｘ，不等式恒成立？ 若存在，求出 ｍ 的取值范围；若不
存在，请说明理由．
１－１ 解析 不存在．理由如下：
设 ｆ（ｘ）＝ ｍｘ２－２ｘ－ｍ＋１．
要使不等式 ｍｘ２－２ｘ－ｍ＋１＜０ 恒成立，即函数 ｆ（ ｘ）＝ ｍｘ２ －２ｘ
－ｍ＋１ 的图象在 ｘ 轴下方．
当 ｍ＝ ０ 时，１－２ｘ＜０，则 ｘ＞
１
２
，不满足题意；
当 ｍ≠０ 时，函数 ｆ（ｘ）＝ ｍｘ２－２ｘ－ｍ＋１ 为二次函数，
则
ｍ＜０，
Δ＝ ４－４ｍ（１－ｍ）＜０，{
不等式组的解集为空集，
综上，不存在满足题意的实数 ｍ 使不等式恒成立．
１－２ 设函数 ｆ（ｘ）＝ ｍｘ２－ｍｘ－１（ｍ≠０），若对任意的 ｘ∈［１，
３］， ｆ（ｘ）＜－ｍ＋５ 恒成立，求 ｍ 的取值范围．
１－２ 解析 要使 ｆ（ｘ）＜－ｍ＋５ 在［１，３］上恒成立，
则 ｍｘ２－ｍｘ＋ｍ－６＜０，即 ｍ ｘ－
１
２( )
２
＋ ３
４
ｍ－６＜０ 在 ｘ∈［１，３］
上恒成立．
令 ｇ（ｘ）＝ ｍ ｘ－
１
２( )
２
＋ ３
４
ｍ－６，ｘ∈［１，３］ ．
当 ｍ＞０ 时，ｇ（ｘ）在［１，３］上是增函数，
所以 ｇ（ｘ） ｍａｘ ＝ｇ（３）＝ ７ｍ－６＜０，
所以 ｍ＜
６
７
，则 ０＜ｍ＜
６
７
；
当 ｍ＜０ 时，ｇ（ｘ）在［１，３］上是减函数，
所以 ｇ（ｘ） ｍａｘ ＝ｇ（１）＝ ｍ－６＜０，所以 ｍ＜６，即 ｍ＜０．
综上所述，ｍ 的取值范围是（－∞ ，０）∪ ０，
６
７( ) ．
１－３ 对任意 ｍ∈［－１，１］，函数 ｆ（ ｘ）＝ ｘ２ ＋（ｍ－４） ｘ＋４－２ｍ
的值恒大于零，求 ｘ 的取值范围．
１－３ 解析 ｆ（ｘ）＝ ｘ２＋（ｍ－４）ｘ＋４－２ｍ＝（ｘ－２）ｍ＋ｘ２－４ｘ＋４，
令 ｇ（ｍ）＝ （ｘ－２）ｍ＋ｘ２－４ｘ＋４．
由题意知在［－１，１］上，ｇ（ｍ）的值恒大于零，
若 ｘ＝ ２，则 ｇ（ｍ）＝ ０，不符合题意，∴ ｘ≠２，
∴
ｇ（－１）＝ （ｘ－２）×（－１）＋ｘ２－４ｘ＋４＞０，
ｇ（１）＝ ｘ－２＋ｘ２－４ｘ＋４＞０，{
解得 ｘ＜１ 或 ｘ＞３．
故当 ｘ＜１ 或 ｘ＞３ 时，对任意的 ｍ∈［－１，１］，函数 ｆ（ ｘ）的值
恒大于零．
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
(共27张PPT)
统一命题、省(区、市)卷题组
考点 一元二次不等式及其解法
五年高考
1.(2019天津文,10,5分)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为 ????.
答案?????
解析 3x2+x-2<0?(x+1)(3x-2)<0,所以-1方法总结 求解一元二次不等式,常借助二次函数图象,首先确定图象与x轴的交点,然后由图
象位于x轴上方或下方的部分确定不等式的解集.
2.(2018天津文,14,5分)已知a∈R,函数f(x)=?若对任意x∈[-3,+∞), f(x)≤|x|恒
成立,则a的取值范围是 ????.
答案?????
解析 本题主要考查不等式恒成立问题.
①当x∈[-3,0]时,因为f(x)≤|x|恒成立,所以x2+2x+a-2≤-x,参变量分离得a≤-x2-3x+2,令y=-x2-3x+
2=-?+?,所以当x=0或x=-3时,y取得最小值,为2,所以a≤2.
②当x∈(0,+∞)时,因为f(x)≤|x|恒成立,所以-x2+2x-2a≤x,参变量分离得a≥-?x2+?x,令y=-?x2+
?x=-??+?,所以当x=?时,y取得最大值,为?,
所以a≥?.由①②可得?≤a≤2.
方法技巧 用分离参变量法求解不等式恒成立问题的技巧.
若不等式f(x,λ)≥0(x∈D,λ为实参数)恒成立,则将f(x,λ)≥0转化为λ≥g(x)或λ≤g(x)(x∈D)恒成
立,进而转化为λ≥g(x)max或λ≤g(x)min(x∈D),求g(x)(x∈D)的最值即可.该方法适用于参数与变
量能分离,函数最值易求的题目.
3.(2016浙江理改编,1,5分)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(?RQ)= ????
????.
答案 (-2,3]
解析 ∵Q=(-∞,-2]∪[2,+∞),∴?RQ=(-2,2),∴P∪(?RQ)=(-2,3].
4.(2015湖北改编,10,5分)设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得[t]=1,[t2]=2,…,
[tn]=n同时成立,则正整数n的最大值是 ????.
答案 4
解析 若n=3,则?即?
得9≤t6<16,∴当?≤t∴n=3符合题意.
若n=4,则?即?得34≤t12<53,
∴当?≤t故n=4符合题意.
若n=5,则?即? ①
∵63<35,∴?∴n=5不符合题意,则正整数n的最大值为4.
教师专用题组
考点 一元二次不等式及其解法
1.(2014江苏,10,5分)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的
取值范围是 ????.
答案?????
解析 要满足f(x)=x2+mx-1<0对于任意x∈[m,m+1]恒成立,
只需?即?
解得-?2.(2013四川,14,5分)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时, f(x)=x2-4x.那么,不等式f(x+2)<5
的解集是 ????.
答案 (-7,3)
解析 ∵ f(x)是偶函数,∴f(x)=f(|x|).
又x≥0时, f(x)=x2-4x,
∴不等式f(x+2)<5?f(|x+2|)<5
?|x+2|2-4|x+2|<5?(|x+2|-5)(|x+2|+1)<0
?|x+2|-5<0?|x+2|<5?-5故解集为(-7,3).
评析 本题综合考查函数的奇偶性以及不等式等知识,考查灵活应用知识的能力及转化与化
归思想.
3.(2012江苏,13,5分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f (x)解集为(m,m+6),则实数c的值为 ????.
答案 9
解析 解法一:∵f(x)=x2+ax+b的值域为[0,+∞),
∴Δ=a2-4b=0.①
又∵f(x)∴m,m+6是对应方程x2+ax+b-c=0的两个根,∴?
由②得,a2=4m2+24m+36,④
由③得,4b-4c=4m2+24m,⑤
由①④⑤可得4m2+24m+36=4m2+24m+4c,解得c=9.
解法二:因为函数f(x)的值域为[0,+∞),所以当x2+ax+b=0时有Δ=a2-4b=0,即b=?,所以f(x)=x2+ax
+b=x2+ax+?=?,由f(x)=?(x)评析 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0),ax2+bx+c>0的解集是(-
∞,x1)∪(x2,+∞);ax2+bx+c≤0的解集是[x1,x2].注意当a<0时,可转化为a>0的情况进行求解.
4.(2010江苏,11,5分)已知函数f(x)=?则满足不等式=f(1-x2)>f(2x)的x的取值范围是????
????.
答案 (-1,?-1)
解析 画出f(x)=?的图象,
?
由图可知,若f(1-x2)>f(2x),则?
即?得x∈(-1,?-1).
三年模拟
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
考点 一元二次不等式及其解法
1.(2019七大市三模,6)已知函数f(x)=?则不等式f(x)>f(-x)的解集为 ????
????.
答案 (-2,0)∪(2,+∞)
解析 当x>0时, f(x)>f(-x)?x2-2x>-x2+2x,∴x>2或x<0,又x>0,∴x>2;
当x<0时, f(x)>f(-x)?-x2-2x>x2+2x,∴-2综上, f(x)>f(-x)的解集为(-2,0)∪(2,+∞).
评析 本题考查分段函数、一元二次不等式的解法,要解不等式,必须对x进行分类讨论,是基
础题.
2.(2019苏州期中,8)已知二次函数f(x)=-x2+2x+3,不等式f(x)≥m的解集的区间长度为6(规定:闭
区间[a,b]的长度为b-a),则实数m的值是 ????.
答案 -5
解析????f(x)=-x2+2x+3≥m即x2-2x-3+m≤0,
对于方程x2-2x-3+m=0,设其根为x1,x2,则有x1+x2=2,x1x2=m-3,依题意,得|x1-x2|=6,即|x1-x2|=?
=?=?=6,解得m=-5.
一题多解????f(x)=-x2+2x+3≥m即x2-2x+m-3≤0,
令h(x)=x2-2x+m-3,易知其函数图象开口向上,设x2-2x+m-3=0的解为x1,x2,不妨令x1∴不等式的解集为[x1,x2],
又x1=?,x2=?,
∴x2-x1=?=?=6,
即?=6×1,∴m=-5.
3.(2019苏锡常镇四市教学情况调查二,10)已知偶函数f(x)的定义域为R,且在[0,+∞)上为增函
数,则不等式f(3x)>f(x2+2)的解集为 ????.
答案 (-2,-1)∪(1,2)
解析????f(x)为R上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,
∴f(3x)>f(x2+2)等价于f(|3x|)>f(|x2+2|),
∴|3x|>x2+2,∴x2-3|x|+2<0,
∴(|x|-1)(|x|-2)<0,
∴1<|x|<2,∴1所以所求解集为(-2,-1)∪(1,2).
4.(2019海安高级中学期中,9)关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-1,2),则关于x的不等式
?+c>bx的解集为 ????.
答案 (-∞,0)
解析 ∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-1,2),
∴?
∴不等式?+c>bx可化为?-2a>-ax,
又a<0,∴?-2<-x,∴?<0,
解得x<0,故答案为(-∞,0).
一题多解 ∵ax2+bx+c>0的解集为(-1,2),
∴ax2+bx+c=a(x+1)(x-2)=a(x2-x-2)=ax2-ax-2a,
∴?
∴?+c>bx可化为?<0,
∴x<0.故答案为(-∞,0).
5.(2019苏北三市(徐州、连云港、淮安)期末,10)已知a>0,b>0,且a+3b=?-?,则b的最大值为????
????.
答案?????
解析 由a+3b=?-?可得?-3b=a+?≥2(当且仅当a=1时取等号),即3b2+2b-1≤0,解得-1≤b≤
?,又b>0,所以0方法总结 本题利用基本不等式得到关于b的不等式,求解b的范围,从而解出b的最大值.
6.(2018南京金陵中学月考,5)不等式?<3的解集为 ????.
答案 (-∞,0)∪?
解析 ∵?<3,∴?<0,∴x(2x-1)>0,解得x<0或x>?,∴x∈(-∞,0)∪?.
易错警示 解分式不等式要移项通分,等价变形,不能简单去分母,如果要去分母,就必须讨论x
的范围.
7.(2018海安高三上学期第一次质量测试,9)关于x的不等式x+?+b≤0(a,b∈R)的解集为{x|3≤x
≤4},则a+b的值为 ????.
答案 5
解析 ∵关于x的不等式x+?+b≤0(a,b∈R)的解集为{x|3≤x≤4},即?≤0(a,b∈R)的
解集为{x|3≤x≤4},∴3和4是方程x2+bx+a=0的两个实数根,∴3+4=-b,3×4=a,∴a=12,b=-7,∴a+
b=5.
一、填空题(每小题5分,共30分)
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
(时间：30分钟 分值：45分)
1.(2019徐州检测,12)已知正实数x,y满足?+?=1,则x+y的最小值为 ????.
答案?????
解析?????+?=1可化为?+?=1,
令m=2(x+y),得?+?=1,
去分母,得m+y+4(m-y)=m2-y2,即m2-5m=y2-3y,
所以m2-5m+?=?≥0,
由题意得m>1,所以m≥?,
即2(x+y)≥?,所以x+y≥?,
即x+y的最小值为?.
一题多解 设m=2x+y,n=2x+3y,则m>0,n>0,x+y=?,
原等式可化为?+?=1,
则x+y=?=?·?
=??≥?×(5+4)=?,
当且仅当?=?,即n=2m时,取“=”.
2.(2019七市第二次调研,12)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为{x|3?的最小值为 ????.
答案 4?
解析 依题意,得a<0,且?即?
∴?=?=?≥?=4?,
当且仅当144a2=5,即a=-?时,取等号.
3.(2018苏北四市高三一模,13)已知函数f(x)=?函数g(x)=f(x)+f(-x),则不等式g(x)≤
2的解集为 ????.
答案 [-2,2]
解析????f(x)=?则f(-x)=?
故g(x)=?
当x>1时,g(x)≤2?x2-3x+4≤2?1当-1≤x≤1时,g(x)=2≤2恒成立,
当x<-1时,g(x)≤2?x2+3x+4≤2?-2≤x<-1.
综上,x∈[-2,2].
思路分析 本题是一道分段函数的问题,写出f(x)和f(-x)的解析式,相加得到g(x)的解析式,然后
分段解不等式即可.
4.(2018盐城中学高三期末,13)已知函数f(x)=x2+(1-a)x-a,若关于x的不等式f(f(x))<0的解集为空
集,则实数a的取值范围是 ????.
答案 -3≤a≤2?-3
解析????f(x)=x2+(1-a)x-a=(x-a)(x+1)<0,
当a=-1时, f(x)=(x+1)2<0无解,符合题意;
当a>-1时, f(x)<0的解集为-1(1-a)x-2a≥0恒成立,所以只需Δ=a2+6a+1≤0,解得-2?-3≤a≤2?-3,又a>-1,所以-13;
当a<-1时, f(x)<0的解集为a(1-a)x-a+1≥0恒成立,所以只需Δ=a2+2a-3≤0,解得-3≤a≤1,又a<-1,所以-3≤a<-1.
综上,-3≤a≤2?-3.
5.(2017苏北三市三模)已知对于任意的x∈(-∞,1)∪(5,+∞),都有x2-2(a-2)x+a>0,则实数a的取值
范围是 ????.
答案 (1,5]
解析 令f(x)=x2-2(a-2)x+a,则当Δ=4(a-2)2-4a<0,即10在R上恒成立,符合题意;当Δ
≥0,即a≤1或a≥4时,要满足题意,只需函数f(x)的两个零点都在[1,5]上,则
?解得4≤a≤5.
故实数a的取值范围是(1,5].
6.(2017如皋联考,14)若实数x,y满足4x2-2?xy+4y2=13,则x2+4y2的取值范围是 ????
????.
答案 [10-4?,10+4?]
解析 由4x2-2?xy+4y2=13得?(4x2-2?xy+4y2)=1,
令s=x2+4y2,则s=x2+4y2=?,令?=k,
则s=?,可得(4s-52)k2-2?sk+4s-13=0,
由题意知上述关于k的方程有解,
所以(-2?s)2-4(4s-52)(4s-13)≥0,
即s2-20s+52≤0,故10-4?≤s≤10+4?.
一题多解 设s2=x2+4y2,x>0,
则?代入4x2-2?xy+4y2=13得,
4s2cos2θ-2?scos θ·?sin θ+s2sin2θ=13,
∴s2=?=?,
∵5+3cos 2θ-?sin 2θ∈[5-2?,5+2?],
∴s2∈?,
即x2+4y2的取值范围是[10-4?,10+4?].
二、解答题(共15分)
7.(2019无锡期末,17)十九大提出对农村要坚持精准扶贫,至2020年年底全面脱贫.现有扶贫工
作组到某山区贫困村实施脱贫工作.经摸底排查,该村现有贫困农户100家,他们均从事水果种
植,2017年年底该村平均每户年纯收入为1万元,扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品
种改良,提高产量;另一方面,抽出部分农户从事水果包装、销售工作,其人数必须小于种植的
人数.从2018年年初开始,若该村抽出5x户(x∈Z,1≤x≤9)从事水果包装、销售工作.经测算,剩
下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高?,而从事包装、销售农户的年纯收
入每户平均为?万元.(参考数据:1.13=1.331,1.153≈1.521,1.23=1.728)
(1)至2020年年底,为使从事水果种植农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元),至少
抽出多少户从事包装、销售工作?
(2)至2018年年底,该村每户年均纯收入能否达到1.35万元?若能,请求出从事包装、销售的户
数;若不能,请说明理由.
解析 (1)由题意得1×?≥1.6,
∵5x<100-5x,∴x<10且x∈Z.?(2分)
∵y=?在x∈[1,9]上单调递增,
由数据知,1.153≈1.521<1.6,1.23=1.728>1.6,
∴?≥0.2,解得x≥4.?(5分)
又x<10且x∈Z,故x=4,5,6,7,8,9.
答:至少抽出20户从事包装、销售工作.?(7分)
(2)假设该村每户年均纯收入能达到1.35万元,由题意得,
??≥1.35,?(8分)
化简整理得,3x2-30x+70≤0.?(10分)
∴-?≤x-5≤?,?(11分)
∵3答:至2018年年底,该村每户年均纯收入能达到1.35万元,此时从事包装、销售的户数为20户,25
或30户.?(15分)
