１０４ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
§ １３．２ 直线与圆、圆与圆的位置关系
对应学生用书起始页码 Ｐ１７９
考 点 直线与圆、圆与圆的位置关系 高频考点
一、直线与圆的位置关系
１．直线与圆的位置关系的判定
设直线 ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝ ０（Ａ２＋Ｂ２≠０），圆 Ｃ：（ ｘ－ａ） ２ ＋（ ｙ－ｂ） ２ ＝
ｒ２（ ｒ＞０），ｄ 为圆心（ａ，ｂ）到直线 ｌ 的距离，联立直线和圆的方程，
消元后得到的一元二次方程的判别式为 Δ．
位置
关系
判断方法
代数法 几何法
公共点个数
相交 Δ＞０ ｄ＜ｒ ２
相切 Δ＝ ０ ｄ＝ ｒ １
相离 Δ＜０ ｄ＞ｒ ０
２．与圆的切线有关的结论
（１）过圆 ｘ２＋ｙ２ ＝ ｒ２（ ｒ＞０）上一点 Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线方程为 ｘ０ｘ
＋ｙ０ｙ＝ ｒ２；
（２）过圆（ｘ－ａ） ２＋（ｙ－ｂ） ２ ＝ ｒ２（ ｒ＞０）上一点 Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线
方程为（ｘ０－ａ）（ｘ－ａ）＋（ｙ０－ｂ）（ｙ－ｂ）＝ ｒ２；
（３）过圆 ｘ２＋ｙ２ ＝ ｒ２（ ｒ＞０）外一点 Ｐ（ｘ０，ｙ０）作圆的两条切线，
切点为 Ａ，Ｂ，则过 Ａ、Ｂ 两点的直线方程为 ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ ｒ２；
（４）过圆 ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ ＝ ０（Ｄ２ ＋Ｅ２ －４Ｆ＞０）外一点 Ｐ（ ｘ０，
ｙ０ ） 引 圆 的 切 线， 切 点 为 Ｔ， 则 切 线 长 为 ｜ ＰＴ ｜
＝ ｘ２０＋ｙ２０＋Ｄｘ０＋Ｅｙ０＋Ｆ ．
３．与圆的弦长有关的计算
直线与圆相交时，若 ｌ 为弦长，ｄ 为弦心距，ｒ 为半径，则有 ｒ２
＝ｄ２＋
ｌ
２( )
２
，即 ｌ ＝ ２ ｒ２－ｄ２ ，求弦长或已知弦长求半径或弦心
距时，一般用上述公式求解．
二、圆与圆的位置关系
１．两圆的位置关系的判定
设圆 Ｏ１ 的方程为（ｘ－ａ１） ２＋（ｙ－ｂ１） ２ ＝Ｒ２（Ｒ＞０），圆 Ｏ２ 的方
程为（ｘ－ａ２） ２＋（ｙ－ｂ２） ２ ＝ ｒ２（ ｒ＞０），其中 Ｒ＞ｒ．
位置
关系
判断方法
几何法（判断圆心距
｜Ｏ１Ｏ２ ｜与Ｒ，ｒ 的关系）
代数法（联立两圆方
程，判断解的个数）
公共点
个数
公切线
条数
外离 ｜Ｏ１Ｏ２ ｜ ＞Ｒ＋ｒ 无解 ０ ４
外切 ｜Ｏ１Ｏ２ ｜ ＝Ｒ＋ｒ 一解 １ ３
相交 Ｒ－ｒ＜ ｜Ｏ１Ｏ２ ｜ ＜Ｒ＋ｒ 两解 ２ ２
内切 ｜Ｏ１Ｏ２ ｜ ＝Ｒ－ｒ 一解 １ １
内含 ０≤ ｜Ｏ１Ｏ２ ｜ ＜Ｒ－ｒ 无解 ０ ０
２．圆系方程
（１）同心圆系方程：（ ｘ－ａ） ２ ＋（ ｙ－ｂ） ２ ＝ ｒ２（ ｒ＞０），其中 ａ，ｂ 是
定值，ｒ 是参数；
（２）过直线 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝ ０ 与圆 ｘ２ ＋ｙ２ ＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ ＝ ０（Ｄ２ ＋Ｅ２ －
４Ｆ＞０）交点的圆系方程：ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＋λ（Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ）＝ ０（λ∈
Ｒ）；
（３）过圆 Ｃ１：ｘ２ ＋ｙ２ ＋Ｄ１ｘ＋Ｅ１ｙ＋Ｆ１ ＝ ０（Ｄ２１ ＋Ｅ２１ －４Ｆ１ ＞０）和圆
Ｃ２：ｘ２＋ｙ２＋Ｄ２ｘ＋Ｅ２ｙ＋Ｆ２ ＝ ０（Ｄ２２＋Ｅ２２－４Ｆ２＞０）交点的圆系方程：ｘ２＋
ｙ２＋Ｄ１ｘ＋Ｅ１ｙ＋Ｆ１＋λ（ｘ２＋ｙ２ ＋Ｄ２ｘ＋Ｅ２ｙ＋Ｆ２）＝ ０（λ≠－１） ．该圆系不
含圆 Ｃ２，解题时，注意检验圆 Ｃ２ 是否满足题意，以防丢解．
３．求两圆公共弦所在直线的方程的方法
（１）联立两圆方程，通过解方程组求出两交点坐标，再利用
两点式求出直线方程；
（２）将两圆的方程相减得到的方程就是所求的直线的方程．
注意应用上述两种方法的前提是两圆必须相交．
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对应学生用书起始页码 Ｐ１８０
一、有关圆的切线问题的解法
１．求过圆上的一点（ｘ０，ｙ０）的切线方程
先求切点与圆心连线所在直线的斜率，当斜率不存在时，切
线方程为 ｙ＝ ｙ０；当斜率存在时，设为 ｋ，①ｋ≠０ 时由垂直关系知
切线斜率为－
１
ｋ
，由点斜式求切线方程；②ｋ ＝ ０ 时切线方程为 ｘ
＝ ｘ０ ．
２．求过圆外一点（ｘ０，ｙ０）的圆的切线方程
（１）几何法：当切线斜率存在时，设为 ｋ，切线方程为 ｙ－ｙ０ ＝
ｋ（ｘ－ｘ０），即 ｋｘ－ｙ＋ｙ０ －ｋｘ０ ＝ ０．由圆心到直线的距离等于半径，即
可得出切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程：ｘ
＝ ｘ０ ．
（２）代数法：当斜率存在时，设为 ｋ，则切线方程为 ｙ－ｙ０ ＝ ｋ（ｘ
－ｘ０），即 ｙ＝ ｋｘ－ｋｘ０＋ｙ０，代入圆的方程，得到一个关于 ｘ 的一元二
次方程，由 Δ＝ ０，求得 ｋ，切线方程即可求出．若切线斜率不存在，
则由图形写出切线方程：ｘ＝ ｘ０ ．
已知点 Ｐ（ ２ ＋１，２－ ２ ），Ｍ（３，１），圆 Ｃ：（ ｘ－１） ２ ＋（ ｙ－
２） ２ ＝ ４．
（１）求过点 Ｐ 的圆 Ｃ 的切线方程；
（２）求过点 Ｍ 的圆 Ｃ 的切线方程，并求出切线长．
解题导引
（１）
判断点 Ｐ 与圆 Ｃ
的位置关系
→
利用切线性质
求切线斜率
→
写出切线
方程
（２） 判断点 Ｍ 与圆 Ｃ 的位置关系 → 分类讨论切线的斜率
→ 写出切线方程，利用勾股定理求得切线长
解析 由题意得圆心为 Ｃ（１，２），半径 ｒ＝ ２．
（１）∵ （ ２ ＋１－１） ２＋（２－ ２ －２） ２ ＝ ４，
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第十三章 平面解析几何初步 １０５
∴ 点 Ｐ 在圆 Ｃ 上．
又 ｋＰＣ ＝
２－ ２ －２
２ ＋１－１
＝－１，
∴ 切线的斜率 ｋ＝－
１
ｋＰＣ
＝ １．
∴ 过点 Ｐ 的圆 Ｃ 的切线方程是 ｙ－（２－ ２ ）＝ ｘ－（ ２ ＋１），即
ｘ－ｙ＋１－２ ２ ＝ ０．
（２）∵ （３－１） ２＋（１－２） ２ ＝ ５＞４，
∴ 点 Ｍ 在圆 Ｃ 外部．
当过点 Ｍ 的直线的斜率不存在时，直线方程为 ｘ ＝ ３，即 ｘ－３
＝ ０．
又点 Ｃ（１，２）到直线 ｘ－３＝ ０ 的距离 ｄ＝ ３－１＝ ２＝ ｒ，
所以直线 ｘ－３＝ ０ 是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为 ｙ－１＝ ｋ（ｘ－３），
即 ｋｘ－ｙ＋１－３ｋ＝ ０，
则圆心 Ｃ 到切线的距离 ｄ＝
｜ ｋ－２＋１－３ｋ ｜
ｋ２＋１
＝ ｒ＝ ２，
解得 ｋ＝
３
４
．
∴ 切线方程为 ｙ－１＝
３
４
（ｘ－３），
即 ３ｘ－４ｙ－５＝ ０．
综上可得，过点 Ｍ 的圆 Ｃ 的切线方程为 ｘ－３＝ ０ 或 ３ｘ－４ｙ－５
＝ ０．
∵ ｜ＭＣ ｜ ＝ （３－１） ２＋（１－２） ２ ＝ ５ ，
∴ 过点 Ｍ 的圆 Ｃ 的切线长为 ｜ＭＣ ｜ ２－ｒ２ ＝ ５－４ ＝ １．
１－１ （２０１７ 常州一中质量检测，１０）已知点 Ｐ 为圆 Ｃ：ｘ２＋ｙ２
－２ｘ－４ｙ＋１＝ ０ 上的动点，点 Ｐ 到直线 ｌ 的最大距离为 ６．若点 Ａ 在
直线 ｌ 上，过 Ａ 作圆 Ｃ 的切线 ＡＢ，切点为 Ｂ，则 ｜ ＡＢ ｜ 的最小
值是 ．
１－１ 答案 ２ ３
解析 圆 Ｃ 的方程可化为（ｘ－１） ２ ＋（ ｙ－２） ２ ＝ ４，画出示意
图，可以得出当点 Ａ 到圆心 Ｃ 的距离最小时， ｜ ＡＢ ｜最小，此时 Ａ、
Ｃ、Ｐ 三点共线．由已知得 ｜ ＣＡ ｜ ｍｉｎ ＝ ４，又 ｜ ＣＢ ｜ ＝ ２，所以 ｜ ＡＢ ｜ ｍｉｎ ＝
４２－２２ ＝ ２ ３ ．
１－２ 已知点 Ｐ（１，２）和圆 Ｃ：ｘ２＋ｙ２＋ｋｘ＋２ｙ＋ｋ２ ＝ ０，过点 Ｐ 作
圆 Ｃ 的切线有两条，则 ｋ 的取值范围是 ．
１－２ 答案 －２ ３
３
，
２ ３
３
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è
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?
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÷
解析 ∵ 方程 ｘ２＋ｙ２＋ｋｘ＋２ｙ＋ｋ２ ＝ ０ 表示圆，
∴ ｋ２＋４－４ｋ２＞０，
即 ｋ２＜
４
３
，
∴ －
２ ３
３
＜ｋ＜
２ ３
３
．①
又∵ 过点 Ｐ 可以作圆 Ｃ 的两条切线，
∴ 点 Ｐ 应落在圆 Ｃ 外部．
∴ １２＋２２＋ｋ＋４＋ｋ２＞０，
即 ｋ２＋ｋ＋９＞０．
解得 ｋ∈Ｒ．②
综上所述，ｋ 的取值范围为 －２ ３
３
，
２ ３
３
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è
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?
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÷ ．
１－３ （２０１９ 泰州期末，１１）在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中，过圆
Ｃ１：（ｘ－ｋ） ２＋（ｙ＋ｋ－４） ２ ＝ １ 上任一点 Ｐ 作圆 Ｃ２：ｘ２ ＋ｙ２ ＝ １ 的一条
切线，切点为 Ｑ，则当线段 ＰＱ 长最小时，ｋ＝ ．
１－３ 答案 ２
解析 如图，因为 ＰＱ 为圆 Ｃ２ 的切线，所以 ＰＱ⊥Ｃ２Ｑ，由
勾股定理，得 ｜ＰＱ ｜ ＝ ｜ＰＣ２ ｜ ２－１ ，要使 ｜ＰＱ ｜最小，则 ｜ＰＣ２ ｜最小，
显然当点 Ｐ 为 Ｃ１Ｃ２ 与圆 Ｃ１ 的交点时， ｜ＰＣ２ ｜最小，
此时， ｜ＰＣ２ ｜ ＝ ｜Ｃ１Ｃ２ ｜ －１，
｜Ｃ１Ｃ２ ｜ ＝ ｋ２＋（－ｋ＋４） ２ ＝ ２（ｋ－２） ２＋８≥２ ２ ．
当 ｋ＝ ２ 时， ｜Ｃ１Ｃ２ ｜最小，同时 ｜ＰＱ ｜最小．
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二、有关圆的弦长问题的解法
（１） 几何法：设圆的半径为 ｒ，弦心距为 ｄ，弦长为 Ｌ，则
Ｌ
２( )
２
＝ ｒ２－ｄ２ ．
（２）代数法：设直线 ｙ＝ ｋｘ＋ｂ 与圆（ｘ－ｘ０） ２＋（ｙ－ｙ０） ２ ＝ ｒ２ 相交
于 Ａ （ ｘ１， ｙ１ ）， Ｂ （ ｘ２， ｙ２ ） 两 点， 列 方 程 组
ｙ＝ ｋｘ＋ｂ，
（ｘ－ｘ０） ２＋（ｙ－ｙ０） ２ ＝ ｒ２，{ 消 ｙ 后得关于 ｘ 的一元二次方程，从而
求得 ｘ１＋ｘ２，ｘ１ｘ２，则弦长 ｜ ＡＢ ｜ ＝ （１＋ｋ２）［（ｘ１＋ｘ２） ２－４ｘ１ｘ２］ ．
已知圆心为 Ｃ 的圆，满足下列条件：圆心 Ｃ 位于 ｘ 轴正
半轴上，与直线 ３ｘ－４ｙ＋７ ＝ ０ 相切，且被 ｙ 轴截得的弦长为２ ３ ，
圆 Ｃ 的面积小于 １３．
（１）求圆 Ｃ 的标准方程；
（２）设过点 Ｍ（０，３）的直线 ｌ 与圆 Ｃ 交于不同的两点 Ａ，Ｂ，
以 ＯＡ，ＯＢ 为邻边作平行四边形 ＯＡＤＢ．是否存在这样的直线 ｌ，
使得直线 ＯＤ 与 ＭＣ 恰好平行？ 如果存在，求出 ｌ 的方程；如果
不存在，请说明理由．
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１０６ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
解析 （１）设圆 Ｃ：（ｘ－ａ） ２＋ｙ２ ＝ ｒ２（ａ＞０，ｒ＞０），
由题意知
｜ ３ａ＋７ ｜
３２＋（－４） ２
＝ ｒ，
ａ２＋３ ＝ ｒ，
ì
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í
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解得 ａ＝ １ 或 ａ＝
１３
８
，
又 Ｓ＝πｒ２＜１３，∴ ａ＝ １，ｒ＝ ２，
∴ 圆 Ｃ 的标准方程为（ｘ－１） ２＋ｙ２ ＝ ４．
（２）不存在．理由如下：
当直线 ｌ 的斜率不存在时，直线 ｌ 的方程为 ｘ ＝ ０，不满足
题意．
当直线 ｌ 的斜率存在时，设直线 ｌ：ｙ ＝ ｋｘ＋ ３（ ｋ≠０），Ａ（ ｘ１，
ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），
联立得
ｙ＝ ｋｘ＋３，
（ｘ－１） ２＋ｙ２ ＝ ４，{
消去 ｙ 得（１＋ｋ２）ｘ２＋（６ｋ－２）ｘ＋６＝ ０，
∴ Δ＝（６ｋ－２） ２－２４（１＋ｋ２）＝ １２ｋ２－２４ｋ－２０＞０，
解得 ｋ＜１－
２ ６
３
或 ｋ＞１＋
２ ６
３
．
则 ｘ１＋ｘ２ ＝－
６ｋ－２
１＋ｋ２
，则 ｙ１＋ｙ２ ＝ ｋ（ｘ１＋ｘ２）＋６＝
２ｋ＋６
１＋ｋ２
，
ＯＤ→＝ＯＡ→＋ＯＢ→＝（ｘ１＋ｘ２，ｙ１＋ｙ２），ＭＣ→＝（１，－３），
假设ＯＤ→∥ＭＣ→，则－３（ｘ１＋ｘ２）＝ ｙ１＋ｙ２，
∴ ３·
６ｋ－２
１＋ｋ２
＝ ２ｋ
＋６
１＋ｋ２
，
解得 ｋ＝
３
４
? －∞ ，１－
２ ６
３
?
è
?
?
?
÷ ∪ １＋
２ ６
３
，＋∞
?
è
?
?
?
÷ ，假设不成立，
∴ 不存在这样的直线 ｌ．
２－１ （２０１７ 淮阴中学第一学期期中，１３）如图，已知点 Ａ 为
圆 Ｏ：ｘ２＋ｙ２ ＝ ９ 与圆 Ｃ：（ｘ－５） ２＋ｙ２ ＝ １６ 在第一象限内的交点，过
点 Ａ 的直线 ｌ 被圆 Ｏ 和圆 Ｃ 所截得的弦分别为 ＮＡ，ＭＡ（Ｍ，Ｎ 不
重合），若 ｜ＮＡ ｜ ＝ ｜ＭＡ ｜ ，则直线 ｌ 的斜率是 ．
２－１ 答案
７
２４
解析 联立
ｘ２＋ｙ２ ＝ ９，
（ｘ－５） ２＋ｙ２ ＝ １６，{ 解得
ｘ＝
９
５
，
ｙ＝±
１２
５
，
ì
?
í
??
??
则 Ａ
９
５
，
１２
５( ) ，经验证，直线 ｌ 的斜率存在，设斜率为 ｋ，则直线 ｌ
的方程为 ｙ－
１２
５
＝ ｋ ｘ－
９
５( ) ，即 ５ｋｘ－５ｙ＋１２－９ｋ＝ ０，
由于 ｜ＮＡ ｜ ＝ ｜ＭＡ ｜ ，
所以 ９－
（１２－９ｋ） ２
２５ｋ２＋２５
＝ １６－
（１６ｋ＋１２） ２
２５ｋ２＋２５
，解得 ｋ＝
７
２４
．
思路分析 联立两圆的方程可求得 Ａ 的坐标，经验证直
线 ｌ 的斜率存在，设为 ｋ，可求得直线 ｌ 的方程，结合 ｜ＮＡ ｜ ＝ ｜ＭＡ ｜
可得结果．
２－２ （２０１９ 扬州期末，１０）已知直线 ｌ：ｙ＝－ｘ＋４ 与圆 Ｃ：（ｘ－
２） ２＋（ｙ－１） ２ ＝ １ 相交于 Ｐ，Ｑ 两点，则ＣＰ→·ＣＱ→＝ ．
２－２ 答案 ０
解析 由题意知 Ｃ（２，１），
联立得
ｙ＝－ｘ＋４，
（ｘ－２） ２＋（ｙ－１） ２ ＝ １，{ 解得 ｘ
＝ ２，
ｙ＝ ２{ 或 ｘ
＝ ３，
ｙ＝ １，{
即 Ｐ（２，２），Ｑ（３，１），
∴ ＣＰ→·ＣＱ→＝（０，１）·（１，０）＝ ０．
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三、“隐形圆”问题的求解方法
１．有些题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题
目中，要通过分析、转化，发现圆（或圆的方程），从而利用圆的知
识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．
２．常见解题策略
（１）利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确
定隐形圆；
（２）动点 Ｐ 与两定点 Ａ，Ｂ 连线的张角是 ９０°（ ｋＰＡ·ｋＰＢ ＝ －１
或ＰＡ→·ＰＢ→＝ ０）确定隐形圆；
（３）两定点 Ａ，Ｂ 与动点 Ｐ 满足ＰＡ→·ＰＢ→＝λ（λ∈Ｒ）确定隐形圆；
（４）两定点 Ａ，Ｂ 与动点 Ｐ 满足 ＰＡ２＋ＰＢ２ 是定值确定隐形圆；
（５）两定点 Ａ、Ｂ 与动点 Ｐ 满足
ＰＡ
ＰＢ
＝ λ（λ＞０，λ≠１）确定隐
形圆．
（６）由圆周角的性质确定隐形圆．
（１）（２０１８ 南京、盐城一模，１２）在平面直角坐标系 ｘＯｙ
中，若直线 ｙ＝ ｋ（ｘ－３ ３ ）上存在一点 Ｐ，圆 ｘ２＋（ｙ－１） ２ ＝ １ 上存在
一点 Ｑ，满足 ＯＰ→＝ ３ ＯＱ→，则实数 ｋ 的最小值为 ．
（２）（２０１８ 高邮中学阶段考试，１３）在平面直角坐标系 ｘＯｙ
中，圆 Ｏ：ｘ２＋ｙ２ ＝ １，Ｐ 为直线 ｌ：ｘ ＝
４
３
上一点，若存在过点 Ｐ 的直
线交圆 Ｏ 于点 Ａ，Ｂ，且 Ｂ 恰为线段 ＡＰ 的中点，则点 Ｐ 纵坐标的
取值范围是 ．
解析 （１）设点 Ｐ（ｘ，ｙ），由 ＯＰ→＝ ３ ＯＱ→，可得 Ｑ ｘ
３
，
ｙ
３( ) ．
因为 Ｑ 在圆 ｘ２＋（ ｙ－１） ２ ＝ １ 上，所以
ｘ
３( )
２
＋ ｙ
３
－１( ) ２ ＝ １，
即 ｘ２＋（ｙ－３） ２ ＝ ９，所以 Ｐ 在圆 ｘ２＋（ｙ－３） ２ ＝ ９ 上，又 Ｐ 在直线 ｙ＝
ｋ（ｘ－３ ３ ）上，所以直线与圆有交点．
所以圆心（０，３）到直线 ｙ＝ ｋ（ｘ－３ ３ ）的距离 ｄ ＝
｜ －３－３ ３ ｋ ｜
ｋ２＋１
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第十三章 平面解析几何初步 １０７
≤３，解得－ ３≤ｋ≤０，所以 ｋ 的最小值为－ ３ ．
（２）设点 Ｐ 的坐标为
４
３
，ｙ０( ) ，Ａ（ ｘ，ｙ），则Ｂ ｘ＋
４
３
２
，
ｙ＋ｙ０
２
?
è
??
?
?
÷÷ ，
因为点 Ａ、Ｂ 均在圆 Ｏ 上，所以有
ｘ２＋ｙ２ ＝ １，
ｘ＋
４
３( )
２
＋（ｙ＋ｙ０） ２ ＝ ４，{ 该方程
组有解，即圆 ｘ２＋ｙ２ ＝ １ 与圆 ｘ＋
４
３( )
２
＋（ ｙ＋ｙ０） ２ ＝ ４ 有公共点，于
是 １≤
１６
９
＋ｙ２０ ≤３，解得－
６５
３
≤ｙ０≤
６５
３
，即点 Ｐ 纵坐标的取
值范围是 － ６５
３
，
６５
３
é
?
êê
ù
?
úú ．
答案 （１）－ ３ （２） － ６５
３
，
６５
３
é
?
êê
ù
?
úú
３－１ 已知圆 Ｃ：（ ｘ－３） ２ ＋（ｙ－４） ２ ＝ １ 和两点 Ａ（ －ｍ，０），
Ｂ（ｍ，０）（ｍ＞０），若圆上存在点 Ｐ，使得∠ＡＰＢ＝ ９０°，则 ｍ 的取值
范围是 ．
３－１ 答案 ［４，６］
解析 圆 Ｃ：（ｘ－３） ２＋（ｙ－４） ２ ＝ １ 的圆心为 Ｃ（３，４），半径
ｒ＝ １，
设 Ｐ（ａ，ｂ），则 ＡＰ→＝（ａ＋ｍ，ｂ），ＢＰ→＝（ａ－ｍ，ｂ），
∵ ∠ＡＰＢ＝ ９０°，∴ ＡＰ→⊥ＢＰ→，
∴ ＡＰ→·ＢＰ→＝（ａ＋ｍ）（ａ－ｍ）＋ｂ２ ＝ ０，
∴ ｍ２ ＝ａ２＋ｂ２ ＝ ｜ＯＰ ｜ ２（Ｏ 为坐标原点），
∴ ｜ＯＰ ｜的最大值为 ５＋１＝ ６，最小值为 ５－１＝ ４，
∴ ｍ 的取值范围是［４，６］ ．
３－２ 在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中，已知圆 Ｃ：（ｘ－ａ） ２＋（ ｙ－ａ＋
２） ２ ＝ １，点 Ａ（０，２），若圆 Ｃ 上存在点 Ｍ，满足 ＭＡ２ ＋ＭＯ２ ＝ １０，则
实数 ａ 的取值范围是 ．
３－２ 答案 ［０，３］
解析 设 Ｍ（ｘ，ｙ），∴ ＭＡ２＋ＭＯ２ ＝ ｘ２＋（ｙ－２） ２＋ｘ２＋ｙ２ ＝ １０，
∴ ｘ２＋（ｙ－１） ２ ＝ ４，
∵ 圆 Ｃ 上存在点 Ｍ，满足 ＭＡ２＋ＭＯ２ ＝ １０，
∴ 两圆相交或相切，
∴ １≤ ａ２＋（ａ－３） ２ ≤３，∴ ０≤ａ≤３．
３－３ 已知实数 ａ，ｂ，ｃ 成等差数列，点 Ｐ（－３，０）在动直线
ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝ ０（ａ，ｂ 不同时为零）上的射影为点 Ｍ，若点 Ｎ 的坐标为
（２，３），则 ｜ＭＮ ｜的取值范围是 ．
３－３ 答案 ５－ ５≤ ｜ＭＮ ｜≤５＋ ５
解析 因为实数 ａ，ｂ，ｃ 成等差数列，所以 ２ｂ＝ａ＋ｃ，则方程
ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝ ０ 变形为 ２ａｘ＋（ａ＋ｃ） ｙ＋２ｃ ＝ ０，整理得 ａ（２ｘ＋ｙ） ＋ｃ（ ｙ＋
２）＝ ０，
所以
２ｘ＋ｙ＝ ０，
ｙ＋２＝ ０，{ 解得 ｘ
＝ １，
ｙ＝－２，{ 因此直线 ａｘ＋ｂｙ＋ ｃ ＝ ０ 过定点
（１，－２），设 Ｑ（１，－２），
易得∠ＰＭＱ＝ ９０°， ｜ＰＱ ｜ ＝ ２ ５ ，
故点 Ｍ 在以 ＰＱ 为直径的圆上运动，设圆心为 Ｆ，则线段
ＭＮ 的长度满足 ｜ＦＮ ｜ － ５≤ ｜ＭＮ ｜ ≤ ｜ ＦＮ ｜ ＋ ５ ，即 ５－ ５≤ ｜ＭＮ ｜
≤５＋ ５ ．
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(共79张PPT)
五年高考
A组????自主命题·江苏卷题组
考点 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB
为直径的圆C与直线l交于另一点D.若?·?=0,则点A的横坐标为 ????.
答案 3
解析 解法一:设A(a,2a),a>0,则C?,
∴圆C的方程为?+(y-a)2=?+a2,
由?得?或?
故D(1,2).
∴?·?=(5-a,-2a)·?=?+2a2-4a=0,∴a=3或a=-1,又a>0,∴a=3,∴点A的横
坐标为3.
?
解法二:由B(5,0),l:y=2x,∠ODB=90°,得OB=5,tan∠BOD=2,sin∠BOD=?,cos∠BOD=?,则OD
=?,BD=2?.
因为?·?=0,所以AD=BD=2?.
故OA=3?,所以点A的横坐标为OAcos∠BOD=3.
解法三:由题意易得∠BAD=∠ABD=45°.
设直线DB的倾斜角为θ,则tan θ=-?,
∴tan∠ABO=-tan(θ-45°)=3,
∴kAB=-tan∠ABO=-3.
∴AB的方程为y=-3(x-5),
由?得xA=3.
评析 本题综合考查了《考试说明》中三个C级要求,涉及三个知识点:直线方程、圆的标准
方程及平面向量的数量积.主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、向量的数量积等基础
知识,考查灵活运用数学知识综合解决问题的能力.
解后反思????解决直线方程和圆的方程的问题,首先要理清相关的知识和基本方法,如点到直线
的距离、直线与直线的位置关系、直线与圆的位置关系(相切问题、弦长问题)、圆与圆的位
置关系等;其次要在解题中注意数形结合,特别是直线与圆的几何性质的应用,同时体会代数与
几何的相互转化的方法等.
2.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若?·?
≤20,则点P的横坐标的取值范围是 ????.
答案 [-5?,1]
解析 本题考查平面向量数量积及其应用,圆的方程的应用及圆与圆相交.
解法一:设P(x,y),则由?·?≤20可得,
(-12-x)(-x)+(-y)(6-y)≤20,
即(x+6)2+(y-3)2≤65,
所以P为圆(x+6)2+(y-3)2=65上或其内部一点.
又点P在圆x2+y2=50上,
联立得?解得?或?
即P为圆x2+y2=50的劣弧MN上的一点(如图),
?
易知-5?≤x≤1.
解法二:设P(x,y),则由?·?≤20,可得(-12-x)(-x)+(-y)(6-y)≤20,即x2+12x+y2-6y≤20,
由于点P在圆x2+y2=50上,
故12x-6y+30≤0,即2x-y+5≤0,
∴点P为圆x2+y2=50上且满足2x-y+5≤0的点,即P为圆x2+y2=50的劣弧MN上的一点(如图),
?
同解法一,可得N(1,7),M(-5,-5),
易知-5?≤x≤1.
3.(2019江苏,18,16分)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有
桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:
线段PB,QA上的所有点到点O的距离均?圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC
和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).
(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;
(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;
(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.
?
解析 本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学
建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
解法一:
(1)过A作AE⊥BD,垂足为E.
由已知条件得,四边形ACDE为矩形,
DE=BE=AC=6,AE=CD=8.
因为PB⊥AB,所以cos∠PBD=sin∠ABE=?=?.
所以PB=?=?=15.
因此道路PB的长为15(百米).
?
(2)不能,理由如下:
①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以
P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处,连接AD,由(1)知AD=?=10,
从而cos∠BAD=?=?>0,所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上,P和Q均不能选在D处.
(3)先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;
当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于
圆O的半径,点P符合规划要求.
设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,
此时P1D=P1Bsin∠P1BD=P1Bcos∠EBA=15×?=9;
当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.
由上可知,d≥15.
再讨论点Q的位置.
由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ=
?=?=3?. 此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上,当PB⊥AB,点Q位于点C右侧,且CQ=3?时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+
CQ=17+3?.
因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3?)百米.
解法二:
(1)如图,过O作OH⊥l,垂足为H.
以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.
因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.
因为AB为圆O的直径,AB=10,
所以圆O的方程为x2+y2=25.
从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为?.
因为PB⊥AB,所以直线PB的斜率为-?,
直线PB的方程为y=-?x-?.
所以P(-13,9),PB=?=15.
因此道路PB的长为15(百米).
?
(2)①若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=4<5,所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),
所以线段AD:y=-?x+6(-4≤x≤4).
在线段AD上取点M?,
因为OM=?所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上,P和Q均不能选在D处.
(3)先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;
当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于
圆O的半径,点P符合规划要求.
设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1(-13,9);
当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.
由上可知,d≥15.
再讨论点Q的位置.
由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由
AQ=?=15(a>4),得a=4+3?,
所以Q(4+3?,9).
此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上,当P(-13,9),Q(4+3?,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+3?-(-13)=17+3?.
因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3?)百米.
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.(2019浙江,12,6分)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A
(-2,-1),则m= ????,r= ????.
答案 -2;?
解析 本题考查直线与圆的位置关系,两条直线的垂直关系等知识点.通过圆的切线的性质考
查学生的直观想象能力,考查学生的数学运算的核心素养.
设直线2x-y+3=0为l,则AC⊥l,又kl=2,
∴kAC=?=-?,解得m=-2,∴C(0,-2),
∴r=|AC|=?=?.
一题多解 由题知点C到直线的距离为?,
r=|AC|=?.
由直线与圆C相切得?=?,解得m=-2,
∴r=?=?.
2.(2019北京文,11,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程
为 ????.
答案 (x-1)2+y2=4
解析 本题考查了圆的方程和抛物线的方程与性质;考查了直线与圆的位置关系.
∵抛物线的方程为y2=4x,∴其焦点坐标为F(1,0),准线l的方程为x=-1.又∵圆与直线l相切,∴圆
的半径r=2,故圆的方程为(x-1)2+y2=4.
易错警示 由抛物线方程求焦点坐标时出错,从而导致错解.
3.(2018课标全国Ⅲ理改编,6,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2
上,则△ABP面积的取值范围是 ????.
答案 [2,6]
解析 本题考查直线与圆的位置关系.
由圆(x-2)2+y2=2可得圆心坐标为(2,0),半径r=?,△ABP的面积记为S,点P到直线AB的距离记为
d,则有S=?|AB|·d.易知|AB|=2?,dmax=?+?=3?,dmin=?-?=?,所以2≤S≤6.
方法总结 与圆有关的最值问题的解题方法
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题,一般利用圆的几何性质数形结合求解.
(2)与圆上点(x,y)有关的代数式的最值的常见类型及解法.①形如u=?的最值问题,可转化为
过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题;②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截
距的最值问题;③形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
4.(2016课标全国Ⅲ,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-?=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l
的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2?,则|CD|= ????.
答案 4
解析 由题意可知直线l过定点(-3,?),该定点在圆x2+y2=12上,不妨设点A(-3,?),由于|AB|=2
?,r=2?,所以圆心到直线AB的距离为d=?=3,又由点到直线的距离公式可得d=
?,∴?=3,解得m=-?,所以直线l的斜率k=-m=?,即直线l的倾斜角为30°.如图,
过点C作CH⊥BD,垂足为H,所以|CH|=2?,在Rt△CHD中,∠HCD=30°,所以|CD|=?=4.
?
思路分析 由弦长|AB|=2?及圆的半径可知圆心到直线的距离为3,利用点到直线的距离公式
可得?=3,进而求得m值,得到直线l的倾斜角,从而可利用平面几何知识在梯形ABDC中
求得|CD|.
5.(2015重庆改编,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-
4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|= ????.
答案 6
解析 圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=22,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直
线l过点C,所以2+a×1-1=0,a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|=?=?=6.
6.(2015课标全国Ⅰ,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N
两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若?·?=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
解析 (1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.
因为l与C交于两点,所以?<1.
解得?
所以k的取值范围为?.?(5分)
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).
将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得
(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.
所以x1+x2=?,x1x2=?.?(7分)
?·?=x1x2+y1y2
=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1
=?+8.
由题设可得?+8=12,解得k=1,
所以l的方程为y=x+1.
故圆心C在l上,所以|MN|=2.?(12分)
7.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.
(1)求圆C1的圆心坐标;
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;
(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不
存在,说明理由.
解析 (1)圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),M(x0,y0),
则x0=?,y0=?.
由题意可知直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx.
将上述方程代入圆C1的方程,化简得(1+t2)x2-6x+5=0.
由题意,可得Δ=36-20(1+t2)>0(*),x1+x2=?,
所以x0=?,代入直线l的方程,得y0=?.
因为?+?=?+?=?=?=3x0,
所以?+?=?.
由(*)解得t2所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为?+y2=??.
(3)由(2)知,曲线C是在区间?上的一段圆弧.
如图,D?,E?,F(3,0),直线L过定点G(4,0).
联立直线L的方程与曲线C的方程,消去y整理得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0.
令判别式Δ=0,解得:k=±?,由求根公式解得交点的横坐标为xH,I=?∈?,由图可知:要使直线
L与曲线C只有一个交点,则k∈[kDG,kEG]∪{kGH,kGI},即k∈?∪?.
?
C组 教师专用题组
考点 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.(2014江苏,9,5分,0.82)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦
长为 ????.
答案?????
解析 易知圆心为(2,-1),r=2,故圆心到直线的距离d=?=?,∴弦长为2?=2
?=?.
2.(2014重庆,13,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC
为等边三角形,则实数a= ????.
答案 4±?
解析 易知△ABC是边长为2的等边三角形,故圆心C(1,a)到直线AB的距离为?,即?=
?,解得a=4±?.经检验均符合题意,则a=4±?.
评析 本题考查过定点的直线与圆相交的弦长问题,以及数形结合的思想方法,对综合能力要
求较高.
3.(2014湖北,12,5分)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2
= ????.
答案 2
解析 由题意知直线l1和l2与单位圆C所在的位置如图.因此?或?故a2+b2=1+1=2.
评析 本题考查了直线和圆的位置关系,考查了直线的斜率和截距,考查了数形结合的思想方
法.正确画出图形求出a和b的值是解题的关键.
4.(2013重庆理改编,7,5分)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的
动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为 ????.
答案 5?-4
解析 圆C1,C2如图所示.
?
设P是x轴上任意一点,则|PM|的最小值为|PC1|-1,同理|PN|的最小值为|PC2|-3,则|PM|+|PN|的最
小值为|PC1|+|PC2|-4.作C1关于x轴的对称点C'1(2,-3),连接C'1C2,与x轴交于点P,连接PC1,根据三角
形两边之和大于第三边可知|PC1|+|PC2|的最小值为|C'1C2|,则|PM|+|PN|的最小值为5?-4.
评析 本题考查了圆的标准方程及圆的几何性质等知识,同时又考查了数形结合思想、转化
思想.
5.(2012江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少
存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是 ????.
答案?????
解析 圆C:(x-4)2+y2=1,如图,要满足直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的
圆与圆C有公共点,只需保证圆心C到y=kx-2的距离小于或等于2即可,
∴?≤2?0≤k≤?.∴kmax=?.
?
评析 本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系,通过数形结合转化为点到直线的距离是关键,
考查学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.
6.(2010江苏,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c
=0的距离为1,则实数c的取值范围是 ????.
答案 (-13,13)
解析 画图可知,圆上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,该圆半径为2,即圆心O(0,
0)到直线12x-5y+c=0的距离d<1,即d=?<1,-137.(2014江苏,18,16分)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.
规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥
两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C
位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=?.
(1)求新桥BC的长;
(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?
?
解析 解法一:(1)如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy.
?
由条件知A(0,60),C(170,0),
直线BC的斜率kBC=-tan∠BCO=-?.
因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率kAB=?.
设点B的坐标为(a,b),
则kBC=?=-?,kAB=?=?.
解得a=80,b=120.
所以BC=?=150(m).
因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m(0≤d≤60).
由条件知,直线BC的方程为y=-?(x-170),即4x+3y-680=0.
由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,即r=?=?.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,
所以?即?
解得10≤d≤35.
故当d=10时,r=?最大,即圆面积最大.
所以当OM=10 m时,圆形保护区的面积最大.
解法二:(1)如图,延长OA,CB交于点F.
?
因为tan∠FCO=?,
所以sin∠FCO=?,cos∠FCO=?.
因为OA=60 m,OC=170 m,
所以OF=OCtan∠FCO=? m,CF=?=? m,从而AF=OF-OA=? m.
因为OA⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO=?.
又因为AB⊥BC,所以BF=AFcos∠AFB=? m,从而BC=CF-BF=150 m.
因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连接MD,
则MD⊥BC,且MD是圆M的半径,并设MD=r m,OM=d m(0≤d≤60).
因为OA⊥OC,所以sin∠CFO=cos∠FCO.
故由(1)知sin∠CFO=?=?=?=?,
所以r=?.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,
所以?即?
解得10≤d≤35.
故当d=10时,r=?最大,即圆面积最大.
所以当OM=10 m时,圆形保护区的面积最大.
解后反思 本题的数学背景是直线与圆,在解题时可以用直线与圆的位置关系求解,还可以用
解三角形的方法加以解决.
8.(2013江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,
圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.
?
解析 (1)由题意知,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.
设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,
由题意得?=1,
解得k=0或-?,
故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.
(2)因为圆心在直线y=2x-4上,
所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.
设点M(x,y),因为MA=2MO,
所以?=2?,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2
为半径的圆上.
由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则2-1≤|CD|≤2+1,
即1≤?≤3.
由5a2-12a+8≥0,得a∈R;
由5a2-12a≤0,得0≤a≤?.
所以点C的横坐标a的取值范围为?.
评析 本题考查直线与圆的方程,直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系等基础知识和
基本技能,考查运用数形结合、待定系数法等数学思想方法分析问题、解决问题的能力.
三年模拟
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
考点 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.(2019苏锡常镇四市教学情况调查二,11)过直线 l:y=x-2上任意一点P作圆C:x2+y2=1的两条切
线,切点分别为A,B,当切线长最小时, △PAB的面积为 ????.
答案?????
解析 设P(t,t-2),则切点弦AB的方程为tx+(t-2)y=1,
即(x+y)t-2y-1=0,则AB过定点M?,
当OM⊥AB时,AB最短,P在直线OM:y=-x上,故P(1,-1),
此时P到直线AB的距离为PM=?=?,
又OM=?,AB=2?=?,
则S△PAB=?×?×?=?.
?
思路分析 本题考查切点弦问题,设出P点坐标,然后得到切点弦的方程(有参数的切线方程,可
求出定点坐标M),当OM与弦AB垂直时,弦长最小.
2.(2019宿迁期末,10)已知点A(-1,0),B(1,0),若圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上存在点M满足?·?=3,
则实数a的取值范围是 ????.
答案 [-2,1]
解析 设M(x,y),因为?·?=3,所以点M的轨迹方程为(-1-x,-y)·(1-x,-y)=3,即x2+y2=4,
又因为点M在圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上,
则两圆有交点,所以2-1≤?≤1+2,
即a2+a-2≤0,a2+a+2≥0,
解得-2≤a≤1.
3.(2019江都中学、扬中高级中学、溧水高级中学联考,11)已知点A(1,1),B(1,3),圆C:(x-a)2+(y+a
-2)2=4上存在点P使得PB2=PA2+32,则实数a的取值范围是 ????.
答案 [6,10]
解析 设P(x,y),∵PB2-PA2=32,∴(x-1)2+(y-3)2-[(x-1)2+(y-1)2]=32,∴y=-6,∴P在直线y=-6上,∵P
在圆C:(x-a)2+(y+a-2)2=4上,∴☉C与直线y=-6有交点,∵圆C:(x-a)2+(y+a-2)2=4的圆心为C(a,-a+
2),r=2,∴☉C与直线y=-6有交点的充要条件是-8≤-a+2≤-4,故6≤a≤10.
解题关键 点P使得PB2=PA2+32成立,即P点在直线y=-6上,原题可转化为研究直线y=-6与圆C
有交点的问题.
4.(2019苏锡常镇四市教学情况调查一,12)若直线l:ax+y-4a=0上存在相距为2的两个动点A,B,圆
O:x2+y2=1上存在点C,使得△ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点),则实数a的范围为 ????
????.
答案?????
解析 ∵△ABC是以C为直角的等腰直角三角形,
∴C在以AB为直径的圆上,
记圆心为M,半径为1,则CM⊥直线l,
又∵点C也在圆O上,
∴C是两圆的交点,
即OM≤2有解.
∴OM=?≤2,
解得-?≤a≤?.
5.(2019南通期末三县联考,12)在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,a),B(3,a+4),若圆x2+y2=9上有
且仅有四个不同的点C,使得△ABC的面积为5,则实数a的取值范围是 ????.
答案?????
解析 直线AB的斜率k=?=?,
|AB|=?=?=5,
设△ABC的边AB上的高为h,
∵△ABC的面积为5,
∴S=?|AB|h=?×5h=5,即h=2,
直线AB的方程为y-a=?x,
即4x-3y+3a=0.
圆心O到直线4x-3y+3a=0的距离d=?=?,
由题意得?<1,即|3a|<5,得-?6.(2019江都中学、华罗庚中学等13校联考,11)已知圆M:(x-1)2+(y-4)2=4,若过x轴上的一点P(a,
0)可以作一条直线与圆M相交于A,B两点,且满足PA=BA,则a的取值范围为 ????.
答案 [1-2?,1+2?]
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵PA=BA,
∴A为PB的中点,
∴?∴?由点B在圆M上得
(2x1-a-1)2+(2y1-4)2=4,
∴?+(y1-2)2=1,
∵A点也在圆M上,
∴圆M与圆?+(y-2)2=1有公共点,
∴1≤?≤3,
则-3≤?≤5,
∴1-2?≤a≤1+2?.
?
7.(2017南通、扬州、泰州三模,13)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-2),点B(1,-1),P为圆x2+
y2=2上一动点,则?的最大值是 ????.
答案 2
解析 设P(x,y),则由已知可得?=?=?,
∵P(x,y)在圆x2+y2=2上,
∴?=?=?.
令?=t,则x+(2t-1)y+3t-2=0,
圆心到直线x+(2t-1)y+3t-2=0的距离应满足?≤?,解得0≤t≤4,故?≤4,
∴?的最大值为2.
8.(2019扬州第一学期期中,17)在平面直角坐标系xOy中,已知直线x-3y-10=0与圆O:x2+y2=r2(r>
0)相切.
(1)直线l过点(2,1)且被圆O截得的弦长为2?,求直线l的方程;
(2)已知直线y=3与圆O交于A,B两点,P是圆上异于A,B的任意一点,且直线AP,BP与y轴相交于M,
N点.判断点M、N的纵坐标之积是不是定值.若是,求出该定值;若不是,说明理由.
解析 ∵直线x-3y-10=0与圆O:x2+y2=r2(r>0)相切,
∴圆心O到直线x-3y-10=0的距离为r=?=?.?(2分)
(1)记圆心O到直线l的距离为d,则d=?=2.
当直线l与x轴垂直时,直线l的方程为x=2,满足题意;?(3分)
当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+(1-2k)=0,
所以d=?=2,解得k=-?,此时直线l的方程为3x+4y-10=0.?(6分)
综上,直线l的方程为x=2或3x+4y-10=0.?(7分)
(2)是定值.设P(x0,y0),不妨取A(1,3),B(-1,3),
由题意易知直线PA,PB的斜率均存在.
∴直线PA、PB的方程分别为y-3=?(x-1),y-3=?(x+1),
令x=0,得M?,N?,
则yM·yN=?·?=?.(*)?(13分)
因为点P(x0,y0)在圆C上,所以?+?=10,即?=10-?,代入(*)式得
yM·yN=?=10,为定值.?(15分)
9.(2017海安高级中学阶段检测,17)已知圆O:x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A,点P在直线l:?x+
y-a=0上,过点P作圆O的切线,切点为T.
(1)若a=8,切点T(?,-1),求直线AP的方程;
(2)若PA=2PT,求实数a的取值范围.
解析 (1)由题意,直线PT切圆O于点T,则OT⊥PT,
因为切点T的坐标为(?,-1),
所以kOT=-?,kPT=-?=?,
故直线PT的方程为y+1=?(x-?),即?x-y-4=0.
由?
解得?即P(2?,2),
所以直线AP的斜率k=?=?=?,
故直线AP的方程为y=?(x+2),
即直线AP的方程为x-(?+1)y+2=0.
(2)设P(x,y),由PA=2PT,可得(x+2)2+y2=4(x2+y2-4),
即3x2+3y2-4x-20=0,
满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆:?+y2=?,
该圆的圆心?到直线l的距离d=?≤?,
即?≤?,
解得?≤a≤?.
一、填空题(每小题5分,共35分)
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
(时间：45分钟 分值：65分)
1.(2019姜堰中学、淮阴中学期中,13)已知圆O:x2+y2=1,定点A(3,0),过A点的直线l与圆O相交于
B、C两点,B、C两点均在x轴上方,如图,若OC平分∠AOB,则直线l的斜率为 ????.
?
答案 -?
解析 解法一:设C(cos θ,sin θ),则B(cos 2θ,sin 2θ),
所以直线l的斜率k=?=?=?,
解得cos θ=?,所以C?,
所以k=?=-?.
解法二:设O到l的距离为d(d>0),
因为S△AOC=?OA·OC·sin∠AOC=?OB·OC·sin∠BOC=S△BOC,所以AC=3BC,
所以AC+?BC=?,则?=7?,解得d=?,
所以sin∠OAC=?=?,易得tan∠OAC=?,所以k=-?.
解法三:由OC平分∠AOB知,?=?=?,
设点B(x1,y1),点C(x,y),
则?=??,即(x-x1,y-y1)=?(3-x,-y),
由向量相等解得x=?,y=?y1.
由点B,C在圆O上得?+?=1,①
x2+y2=?(x1+1)2+??=1,②
由①②解得x1=-?,y1=?(负值舍去),
∴点B?;
∴直线l的斜率kAB=?=-?.
解法四:∵OC是∠AOB的平分线,
∴?=?=?,∴AC=3BC.
如图,设圆x2+y2=1与x轴分别交于点D、E,
则有AC·AB=AD·AE,
则AC·AB=8.
∴12BC2=8,∴BC=?.
所以O点到直线l的距离为d=?=?.
设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-3),则圆心到直线l的距离为?=??k2=?,又k
<0,所以k=-?.
?
2.(2019七市(南通、扬州、泰州、苏北四市)一模,13)在平面直角坐标系xOy中,圆O:x2+y2=1,圆
C:(x-4)2+y2=4.若存在过点P(m,0)的直线l,l被两圆截得的弦长相等,则实数m的取值范围是 ????
????.
答案?????
解析 设直线l的方程为x=my+a,圆O与圆C到直线l的距离分别为d1,d2,圆O与圆C的半径分别为
r,R.由弦长相等得,?=?,
又d1=?,d2=?,r=1,R=2,代入上式,化简得3m2=-8a+13.①
又直线l与两圆相交,所以d1由①②得-4解题关键 由弦长相等去找等量关系是解题的关键.
3.(2019启东中学、前黄中学、淮阴中学等七校联考,13)在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+
y2=1,直线l:y=x+a,过直线l上点P作圆O的切线PA,PB,切点分别为A,B,若存在点P使得?+?=
??,则实数a的取值范围是 ????.
答案 [-2?,2?]
解析 设AB的中点为M,则?+?=2?=??,所以PM=?PO.
因为?=?,所以PA2=PM·PO=?PO2,即PA=?PO,
因为OA=1,且OA⊥PA,所以PO=2,
所以圆心O到直线l的距离d=?≤2,
解得a∈[-2?,2?].
4.(2019南京、盐城二模,11)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0),B(5,0).若圆M:(x-4)2+(y-m)2
=4上存在唯一点P,使得直线PA,PB在y轴上的截距之积为5,则实数m的值为 ????.
答案????±?或±?
解析 设点P(x0,y0),则直线PA的方程为y=?(x+1),令x=0,得PA在y轴上的截距为?,
同理得PB在y轴上的截距为-?,
由截距之积为5,得-?·?=5,
化简,得(x0-2)2+?=9(x0≠-1,且x0≠5),由题意得P的轨迹应与圆M恰有一个公共点.
(1)若两个圆相切,则圆心距等于半径之和或差,即?=5,解得m=±?;或?=1,无解.
(2)若圆M经过B点(圆M不经过A点),解得m=±?,此时P点轨迹与圆M有一个公共点.
5.(2019南通通州、海门联考,13)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B,C为圆O:x2+y2=4上
的两动点,且BC=2?,若圆O上存在点P,使得?+?=m?,m>0,则正数m的取值范围为 ????
????.
答案 [?-1,?+1]
解析 取BC的中点M,连接OM.
∵BC=2?,∴O到BC的距离OM=1,
设M(x0,y0),P(x1,y1),有?+?=1,
由?+?=m?知:
2?=m?,即2(x0-1,y0-1)=m(x1,y1),
∴?
∵P点在圆上,
∴?+?=4,
∴(x0-1)2+(y0-1)2=m2,
说明M点既在圆(x-1)2+(y-1)2=m2上,
又在圆?+?=1上,
则两圆有公共点,
∴|m-1|≤?≤m+1,又m>0,
∴?-1≤m≤?+1.
?
6.(2019苏北三市(徐州、连云港、淮安)期末,13)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:x2+y2+2mx
-(4m+6)y-4=0(m∈R)与以C2(-2,3)为圆心的圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且满足?-?=?-?,则
实数m的值为 ????.
答案 -6
解析????C1(-m,2m+3),C2(-2,3),由?-?=?-?,得?+?=?+?,即OA=OB,故三角形OAB为等腰三
角形,所以线段AB的中垂线经过原点O,
又相交两圆的连心线垂直平分公共弦,
所以两圆的连心线就是线段AB的中垂线,即直线C1C2过原点O,所以?∥?,所以-3m=-2(2m
+3),解得m=-6.
?
评析 由于?-?=?-?与距离公式有关联,所以将其转化成OA=OB,就能确定点O与两个圆的
圆心共线,从而找到解题思路.
7.(2018南通调研,13)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-4,0),B(0,4),从直线AB上一点P向圆x2+
y2=4引两条切线PC,PD,切点分别为C,D.设线段CD的中点为M,则线段AM长的最大值为 ????
????.
答案 3?
解析 解法一:易求得直线AB的方程为y=x+4,所以可设P(a,a+4),
则直线CD的方程为ax+(a+4)y=4,
即a(x+y)=4-4y,
所以直线CD过定点(-1,1),设N(-1,1),
又因为OM⊥CD,所以点M在以ON为直径的圆上(除去原点),
又因为以ON为直径的圆的方程为?+?=?,
所以AM的最大值为3?.
解法二:易求得直线AB的方程为y=x+4,所以可设P(a,a+4),
则直线CD的方程为ax+(a+4)y=4,即a(x+y)=4-4y,得a=?.
又因为O,P,M三点共线,
所以ax-ay+4x=0,得a=?.
所以?=?,所以点M的轨迹方程为?+?=?(除去原点),
所以AM的最大值为3?.
评析 本题考查直线与圆的位置关系、直线过定点问题以及圆的定义及性质,考查数形结合
思想、逻辑推理能力.
二、解答题(共30分)
8.(2019南京三模,17)如图,某摩天轮底座中心A与附近的景观内某点B之间的距离AB为160 m.
摩天轮与景观之间有一建筑物,此建筑物由一个底面半径为15 m的圆柱体与一个半径为15 m
的半球体组成.圆柱的底面中心P在线段AB上,且PB为45 m.半球体球心Q到地面的距离PQ为1
5 m.把摩天轮看作一个半径为72 m的圆C,且圆C在平面BPQ内,点C到地面的距离CA为75 m.
该摩天轮匀速旋转一周需要30 min,若某游客乘坐该摩天轮(把游客看作圆C上一点)旋转一周,
求该游客能看到点B的时长.(只考虑此建筑物对游客视线的遮挡)
?
解析 以点B为坐标原点,BP所在直线为x轴,建立如图所示平面直角坐标系,则B(0,0),Q(45,15),
C(160,75).
过点B作直线l与半圆Q相切,与圆C交于点M,N,过C作CH⊥MN.连接CM、CN.
设l的方程为y=kx,即kx-y=0,
则点Q到l的距离为?=15,
解得k=?或k=0(舍).
所以直线l的方程为y=?x,即3x-4y=0.?(4分)
点C(160,75)到l的距离
CH=?=36.?(6分)
因为在Rt△CHM中,CH=36,CM=72,
所以cos∠MCH=?=?.?(8分)
又因为∠MCH∈?,
所以∠MCH=?,所以∠MCN=2∠MCH=?,?(12分)
所以所求时长为30×?=10 min.?(13分)
答:该游客能看到点B的时长为10 min.?(14分)
?
9.(2017南通高三第二次学情调研)如图所示,已知圆A的圆心在直线y=-2x上,且该圆上存在两
点关于直线x+y-1=0对称,已知圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于
M,N两点,Q是MN的中点,直线l与l1相交于点P.
(1)求圆A的方程;
(2)当|MN|=2?时,求直线l的方程;
(3)(?+?)·?是不是定值?如果是,求出定值;如果不是,请说明理由.
?
解析 (1)由圆A上存在两点关于直线x+y-1=0对称知圆心A在直线x+y-1=0上.
由?得?则A(-1,2).
设圆A的半径为R,因为圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,
所以圆A的半径R=?=2?.
所以圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.
(2)当直线l与x轴垂直时,其方程为x=-2,符合题意;
当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+2),
即kx-y+2k=0,连接AQ,则AQ⊥MN.
∵|MN|=2?,
∴|AQ|=?=1.
由|AQ|=?=1得k=?.
∴直线l的方程为y=?(x+2),即3x-4y+6=0.
∴所求直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.
(3)∵AQ⊥BP,∴?·?=0,
∴(?+?)·?=2?·?=2(?+?)·?=2(?·?+?·?)=2?·?.
当直线l与x轴垂直时,得P?,则?=?.
又?=(1,2),
∴(?+?)·?=2?·?=-10.
当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+2),
由?
解得P?,
∴?=?,
∴(?+?)·?=2?·?=2?=-10.
综上所述,(?+?)·?是定值,定值为-10.
易错警示 求解第(2)、(3)问时不要忘了当直线l与x轴垂直时的情况.
第十三章 平面解析几何初步
真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
２０１９ 江苏，１７ １４ 分 解答题 易
①直线与圆的方程
②直线与椭圆的位置关系
直接法 直观想象 数学运算
２０１９ 江苏，１８ １６ 分 解答题 中 直线与圆的位置关系
①直线的方程、
②圆的方程
③直线与圆的位置关系
直接法
数学建模
数学运算
数学抽象
２０１８ 江苏，１２ ５ 分 填空题 中
①直线的方程
②圆的方程
③直线与圆的位置关系
①求圆的方程
②直线与圆相交
直接法 数学运算
２０１７ 江苏，１３ ５ 分 填空题 中
①圆的方程
②圆与圆的位置关系
①与圆有关的范围问题
②圆与圆相交
直接法 数学运算
２０１６ 江苏，１８ １６ 分 解答题 中
①直线的方程
②圆的方程
③直线与圆的位置关系
①求直线方程、圆的方程
②直线与圆、圆与圆的
位置关系
直接法 数学运算
２０１５ 江苏，１０ ５ 分 填空题 易 圆的方程
①求圆的方程
②直线与圆相切
直接法 数学运算
命题规律与趋势
０１ 考查内容
直线的倾斜角、斜率、直线和圆的方程、直
线与圆的位置关系，弦长和切线问题等．
０２ 命题特点
将直线的斜率、直线方程、圆的方程与圆锥
曲线综合考查，有关直线、圆的知识考查难
度属中等．
０３ 解题方法
公式法、待定系数法、 数形结合法和转
化法．
０４ 核心素养
数学运算、直观想象．
０５ 关联考点
平面向量、方程、不等式、解三角形、圆锥
曲线．
０５ 命题趋势
从近五年考题分析，本章主要考查圆的方
程及性质．主要以填空题的形式出现，解答
题中，单独考查直线与圆的试题不多，与圆
锥曲线相结合的应用题型综合考查较多．
０５ 备考建议
１．“直线的方程”和“圆的方程”是高考的 Ｃ
级考点，考查频率高．
２．要理清相关知识和基本处理方法，如点到直
线的距离，直线与直线的位置关系，直线与
圆的位置关系（相切问题，弦长问题）．
３．要在解题中注意数形结合，特别是直线
与圆的几何性质的应用，同时体会代数
与几何相互转化的方法等．
１００ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
§ １３．１ 直线与圆的方程
对应学生用书起始页码 Ｐ１７２
考点一 直线方程 高频考点
１．直线的倾斜角和斜率的区别和联系
直线 ｌ 的斜率 直线 ｌ 的倾斜角
区
别
直线 ｌ 垂直于 ｘ 轴时，直线 ｌ 的
斜率不存在；斜率 ｋ 的取值范围
为 Ｒ
直线 ｌ 垂直于 ｘ 轴时，直线 ｌ 的
倾斜角是
π
２
；倾斜角的取值范
围为［０，π）
联
系
①当直线不垂直于 ｘ 轴时，直线的斜率和直线的倾斜角是一一对
应关系；
②当直线 ｌ 的倾斜角 α∈ ０，
π
２[ ) 时，α 越大，直线 ｌ 的斜率越大；
当 α∈
π
２
，π( ) 时，α 越大，直线 ｌ 的斜率也越大；
③所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率
２．经过两点 Ｐ１（ｘ１，ｙ１），Ｐ２（ｘ１，ｙ２）（ｘ１≠ｘ２）的直线的斜率公
式为 ｋ＝
ｙ１－ｙ２
ｘ１－ｘ２
＝
ｙ２－ｙ１
ｘ２－ｘ１
，当 ｘ１ ＝ ｘ２ 时，直线的斜率不存在．
３．直线方程
名称 几何条件 方程 局限性
点斜式
过点 （ ｘ０， ｙ０ ），斜率
为 ｋ
ｙ－ｙ０ ＝ ｋ（ｘ－ｘ０）
不含垂直于 ｘ 轴
的直线
斜截式
斜率为 ｋ，在 ｙ 轴上
的截距为 ｂ
ｙ＝ ｋｘ＋ｂ
不含垂直于 ｘ 轴
的直线
两点式
过 两 点 （ ｘ１， ｙ１ ），
（ｘ２，ｙ２ ） （ ｘ１ ≠ ｘ２，ｙ１
≠ｙ２）
ｙ－ｙ１
ｙ２－ｙ１
＝
ｘ－ｘ１
ｘ２－ｘ１
不包括垂直于坐
标轴的直线
截距式
在 ｘ 轴，ｙ 轴上的截
距分别为 ａ， ｂ （ ａ≠
０，ｂ≠０）
ｘ
ａ
＋ ｙ
ｂ
＝ １
不包括垂直于坐
标轴和过原点的
直线
一般式
Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ Ｃ ＝ ０
（Ａ２＋Ｂ２≠０）
４．两直线平行与垂直
（１）若直线 ｌ１ 的方程为 ｙ＝ ｋ１ｘ＋ｂ１，直线 ｌ２ 的方程为 ｙ ＝ ｋ２ｘ＋
ｂ２，则 ｌ１∥ｌ２ 的充要条件是 ｋ１ ＝ ｋ２ 且 ｂ１ ≠ｂ２，ｌ１ ⊥ ｌ２ 的充要条件
是ｋ１ｋ２ ＝－１．
（２）若直线 ｌ１ 的方程为 Ａ１ｘ＋Ｂ１ｙ＋Ｃ１ ＝ ０，直线 ｌ２ 的方程为
Ａ２ｘ＋Ｂ２ｙ＋Ｃ２ ＝ ０，
则 ｌ１∥ｌ２ 的充要条件是 Ａ１Ｂ２－Ａ２Ｂ１ ＝０ 且Ｂ１Ｃ２－Ｂ２Ｃ１≠０ 或 Ａ１Ｃ２
－Ａ２Ｃ１≠０；ｌ１⊥ｌ２ 的充要条件是 Ａ１Ａ２＋Ｂ１Ｂ２ ＝０．
５．距离公式
平面 上 的 两 点 Ｐ１ （ ｘ１， ｙ１ ）、
Ｐ２（ｘ２，ｙ２）间的距离
｜Ｐ１Ｐ２ ｜ ＝ （ｘ１－ｘ２）
２＋（ｙ１－ｙ２）
２
点 Ｐ０（ｘ０，ｙ０）到直线 ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ
＝ ０ 的距离
ｄ＝
｜Ａｘ０＋Ｂｙ０＋Ｃ ｜
Ａ２＋Ｂ２
两条平行线 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ１ ＝ ０ 与 Ａｘ
＋Ｂｙ＋Ｃ２ ＝ ０ 间的距离
ｄ＝
｜Ｃ１－Ｃ２ ｜
Ａ２＋Ｂ２
考点二 圆的方程 高频考点
１．圆的方程
名称 方程 圆心 半径
标准
方程
（ｘ － ａ ） ２ ＋ （ ｙ － ｂ ） ２ ＝ ｒ２
（ｒ＞０）
（ａ，ｂ） ｒ
一般
方程
ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝ ０
（Ｄ２＋Ｅ２－４Ｆ＞０） ( － Ｄ２ ，－ Ｅ２ ) １２ Ｄ２＋Ｅ２－４Ｆ
（１）方程（ｘ－ａ） ２＋（ｙ－ｂ） ２ ＝ ｒ２ 中，若没有给出 ｒ＞０，则圆的半
径为 ｜ ｒ ｜ ，实数 ｒ 可以取负值．
（２）方程 ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝ ０ 中，若 Ｄ２＋Ｅ２－４Ｆ＝ ０，方程表示
点 －
Ｄ
２
，－
Ｅ
２( ) ；若 Ｄ２＋Ｅ２－４Ｆ＜０，方程不表示任何图形．
（３）圆的一般方程的形式特点：
①ｘ２ 和 ｙ２ 的系数相等且大于 ０；
②没有含 ｘｙ 的二次项；
③Ａ＝Ｃ≠０ 且 Ｂ＝ ０ 是二元二次方程 Ａｘ２ ＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２ ＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋
Ｆ＝ ０ 表示圆的必要不充分条件．
（４）已知 Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ ｘ２，ｙ２），则以 ＰＱ 为直径的圆的方程
为（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）＋（ｙ－ｙ１）（ｙ－ｙ２）＝ ０．
２．点 Ｐ（ｘ０，ｙ０）与圆（ｘ－ａ） ２＋（ｙ－ｂ） ２ ＝ ｒ２ 的位置关系
（１）若（ｘ０－ａ） ２＋（ｙ０－ｂ） ２＞ｒ２，则点 Ｐ 在圆外；
（２）若（ｘ０－ａ） ２＋（ｙ０－ｂ） ２ ＝ ｒ２，则点 Ｐ 在圆上；
（３）若（ｘ０－ａ） ２＋（ｙ０－ｂ） ２＜ｒ２，则点 Ｐ 在圆内．
平面上定点 Ａ 与圆 Ｐ 上动点 Ｂ 之间距离的最大值为 ｜ ＰＡ ｜ ＋
ｒ；最小值为 ｜ ｜ＰＡ ｜ －ｒ ｜ （其中 ｒ 为圆 Ｐ 的半径） ．
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对应学生用书起始页码 Ｐ１７３
一、求直线方程的方法
１．要确定直线方程，只需找到直线上的两个定点坐标或一
个点及直线的斜率即可．在求直线方程时，应选择适当的形式，并
注意各种形式的适用条件．
２．点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用
（若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应
判断截距是不是零） ．
３．当所求直线经过两条已知直线的交点时，常用直线系方
程求解．
４．与直线 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝ ０ 平行的直线方程可设为 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｍ ＝ ０
（Ｍ≠Ｃ），与直线 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝ ０ 垂直的直线方程可设为 Ｂｘ－Ａｙ＋Ｎ
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第十三章 平面解析几何初步 １０１
＝ ０，这是经常用的解题技巧．
（２０１９ 镇江期中，１７）如图，已知点 Ａ（１，１），Ｂ（－１，１），
过点 Ａ 作直线 ｌ，使得直线 ｌ 与 ｙ 轴正半轴交于点 Ｃ，与射线 ＢＯ
交于点 Ｄ．
（１）若直线 ｌ 的斜率为－３．
①求ＯＡ→·ＢＣ→的值；
②若ＯＤ→＝λ ＯＡ→＋μ ＯＣ→，求实数 λ－μ 的值；
（２）求△ＯＣＤ 面积的最小值及此时直线 ｌ 的方程．
解析 （１）因为直线 ｌ 过 Ａ（１，１），且斜率为－３，
所以直线 ｌ：ｙ－１＝－３（ｘ－１），即 ｙ＝－３ｘ＋４． （１ 分）
令 ｘ＝ ０，得 Ｃ（０，４）；令 ｙ＝－ｘ，得 Ｄ（２，－２） ． （２ 分）
①因为ＯＡ→＝（１，１），ＢＣ→＝（１，３），
所以ＯＡ→·ＢＣ→＝ １×１＋１×３＝ ４． （４ 分）
②因为ＯＤ→＝λ ＯＡ→＋μ ＯＣ→，所以（２，－２）＝ λ（１，１）＋μ（０，４），
（５ 分）
所以 ２＝λ，－２＝λ＋４μ，则 λ＝ ２，μ＝－１， （６ 分）
所以 λ－μ＝ ３． （７ 分）
（２）由题意得直线 ｌ 的斜率存在，设为 ｋ，ｋ＜－１， （８ 分）
则直线 ｌ：ｙ－１＝ ｋ（ｘ－１） ．
令 ｘ＝ ０，得 Ｃ（０，１－ｋ）；令 ｙ＝－ｘ，得 Ｄ
ｋ－１
ｋ＋１
，
１－ｋ
ｋ＋１( ) ． （９ 分）
则 Ｓ△ＯＣＤ ＝
１
２
ＯＣ·｜ ｘＤ ｜ ＝
１
２
·
（１－ｋ） ２
－１－ｋ
＝ １
２
（－ｋ－１）＋
４
－ｋ－１
＋４[ ]
≥
１
２ ２ （－ｋ－１）·
４
（－ｋ－１）
＋４é
?
êê
ù
?
úú ＝ ４， （１３ 分）
当且仅当－ｋ－１＝
４
－ｋ－１
，即 ｋ＝－３ 时取等号，故（Ｓ△ＯＣＤ） ｍｉｎ ＝ ４．
此时直线 ｌ：ｙ＝－３ｘ＋４． （１４ 分）
１－１ 已知直线 ｌ 经过直线 ｌ１：３ｘ＋２ｙ－１＝ ０ 和 ｌ２：５ｘ＋２ｙ＋１ ＝
０ 的交点，且垂直于直线 ｌ３：３ｘ － ５ｙ ＋ ６ ＝ ０，则直线 ｌ 的方程
是 ．
１－１ 答案 ５ｘ＋３ｙ－１＝ ０
解析 解法一：解方程组
３ｘ＋２ｙ－１＝ ０，
５ｘ＋２ｙ＋１＝ ０{ 得 ｘ
＝－１，
ｙ＝ ２，{ 故 ｌ１，ｌ２
的交点坐标为（－１，２） ．由 ｌ３ 的斜率为
３
５
得出 ｌ 的斜率为－
５
３
，故
直线 ｌ 的方程为 ｙ－２＝－
５
３
（ｘ＋１），整理得 ５ｘ＋３ｙ－１＝ ０．
解法二：由于 ｌ⊥ｌ３，故 ｌ 是直线系 ５ｘ＋３ｙ＋Ｃ ＝ ０ 中的一条，同
解法一知直线 ｌ１，ｌ２ 的交点坐标为（－１，２），
由 ｌ 过 ｌ１，ｌ２ 的交点，得 ５×（－１）＋３×２＋Ｃ ＝ ０，可得 Ｃ ＝ －１，故
直线 ｌ 的方程为 ５ｘ＋３ｙ－１＝ ０．
解法三：由于 ｌ 过 ｌ１， ｌ２ 的交点，故 ｌ 是直线系 ３ｘ＋ ２ｙ－ １＋
λ（５ｘ＋２ｙ＋１）＝ ０ 中的一条，
将其整理得（３＋５λ）ｘ＋（２＋２λ）ｙ＋（－１＋λ）＝ ０．
又 ｌ 与 ｌ３ 垂直，故－
３＋５λ
２＋２λ
＝－ ５
３
，解得 λ＝
１
５
，
故 ｌ 的方程为 ５ｘ＋３ｙ－１＝ ０．
思路点拨 可先求出两条直线的交点坐标，再用点斜式
求解；也可用与直线垂直的直线系方程或过两条直线交点的直
线系方程求解．
１－２ 已知直线 ｌ 经过点 Ａ（－５，２），且在 ｘ 轴上的截距等于
在 ｙ 轴上截距的 ２ 倍，则直线 ｌ 的方程是 ．
１－２ 答案 ２ｘ＋５ｙ＝ ０ 或 ｘ＋２ｙ＋１＝ ０
解析 当直线不过原点时，设所求直线方程为
ｘ
２ａ
＋ ｙ
ａ
＝ １
（ａ≠０），将（－５，２）代入所设方程，解得 ａ＝－
１
２
，所以直线方程为
ｘ＋２ｙ＋１＝ ０；当直线过原点时，设直线方程为 ｙ ＝ ｋｘ（ ｋ≠０），将
（－５，２）代入，得－５ｋ＝ ２，解得 ｋ＝－
２
５
，所以直线方程为 ｙ＝－
２
５
ｘ，
即 ２ｘ＋５ｙ＝ ０．
故所求直线方程为 ２ｘ＋５ｙ＝ ０ 或 ｘ＋２ｙ＋１＝ ０．
１－３ 已知 Ａ（４，－３），Ｂ（２，－１）和直线 ｌ：４ｘ＋３ｙ－２ ＝ ０，在坐
标平面内求一点 Ｐ，使 ＰＡ＝ＰＢ，且点 Ｐ 到直线 ｌ 的距离为 ２．
１－３ 解析 设点 Ｐ 的坐标为（ａ，ｂ），线段 ＡＢ 的中点为 Ｍ，
∵ Ａ（４，－３），Ｂ（２，－１），∴ Ｍ 的坐标为（３，－２） ．
而直线 ＡＢ 的斜率 ｋＡＢ ＝
－３＋１
４－２
＝ －１，
∴ 线段 ＡＢ 的垂直平分线方程为 ｙ＋２＝ ｘ－３，即 ｘ－ｙ－５＝ ０．
由题意知点 Ｐ（ａ，ｂ）在直线 ｘ－ｙ－５＝ ０ 上，
∴ ａ－ｂ－５＝ ０．①
又点 Ｐ（ａ，ｂ）到直线 ｌ：４ｘ＋３ｙ－２＝ ０ 的距离为 ２，
∴
｜ ４ａ＋３ｂ－２ ｜
５
＝ ２，即 ４ａ＋３ｂ－２＝±１０，②
由①②联立可得
ａ＝ １，
ｂ＝－４{ 或
ａ＝
２７
７
，
ｂ＝－
８
７
．
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í
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∴ 所求点 Ｐ 的坐标为（１，－４）或
２７
７
，－
８
７( ) ．
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二、求圆的方程的方法
１．方程选择的原则
（１）已知条件多与圆心、半径有关，或与切线、弦长、弧长、圆
心角、距离等有关，则设圆的标准方程：（ ｘ－ａ） ２ ＋（ ｙ－ｂ） ２ ＝ ｒ２（ ｒ＞
０）；
（２）已知圆上的三个点的坐标，则设圆的一般方程：ｘ２ ＋ｙ２ ＋
Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝ ０（Ｄ２＋Ｅ２－４Ｆ＞０） ．
２．求圆的方程的方法
（１）待定系数法：①根据题意，选择方程形式（标准方程或一
般方程）；②根据条件列出关于 ａ，ｂ，ｒ 或 Ｄ、Ｅ、Ｆ 的方程组；③解
出 ａ，ｂ，ｒ 或 Ｄ、Ｅ、Ｆ，代入所选的方程中即可．
（２）几何法：在求圆的方程过程中，常利用圆的一些性质或
定理直接求出圆心和半径，进而可写出标准方程．常用的几何性
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１０２ ５年高考 ３年模拟 Ｂ版（教师用书）
质有：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任一弦
的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心在一条直
线上．
在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中，若二次函数 ｆ（ｘ）＝ ｘ２＋２ｘ＋ｂ
（ｘ∈Ｒ）的图象与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记
为 Ｃ．
（１）求实数 ｂ 的取值范围；
（２）求圆 Ｃ 的方程；
（３）问圆 Ｃ 是否经过定点（其坐标与 ｂ 的值无关）？ 请证明
你的结论．
解析 （１）令 ｘ＝ ０，得抛物线与 ｙ 轴的交点坐标是（０，ｂ）；
令 ｆ（ｘ）＝ ｘ２＋２ｘ＋ｂ＝ ０，由题意知 ｂ≠０ 且 Δ＝ ４－４ｂ＞０，解得 ｂ＜
１ 且 ｂ≠０．
故实数 ｂ 的取值范围为 ｂ＜１ 且 ｂ≠０．
（２）解法一：设二次函数 ｆ（ｘ）＝ ｘ２＋２ｘ＋ｂ 的图象与 ｘ 轴的交
点分别为 Ａ（－１－ １－ｂ ，０），Ｂ（－１＋ １－ｂ ，０），与 ｙ 轴的交点为
Ｍ（０，ｂ） ．
因为圆心 Ｃ 在 ＡＢ 的垂直平分线（抛物线的对称轴） ｘ ＝ －１
上，故可设圆心 Ｃ 的坐标为（－１，ｙ０） ．
因为 ｜ＣＭ ｜ ＝ ｜ＣＢ ｜ ，所以 ｜ ＣＭ ｜ ２ ＝ ｜ ＣＢ ｜ ２，由两点间的距离公
式得 １＋（ｙ０－ｂ） ２ ＝（ １－ｂ ） ２ ＋ｙ２０，由于 ｂ≠０，所以 ｙ０ ＝
ｂ＋１
２
，故圆
心 Ｃ 的坐标为 －１，
ｂ＋１
２( ) ， 所以 ｒ２ ＝ ｜ ＣＭ ｜ ２ ＝ １ ＋ （ ｙ０ － ｂ） ２
＝ ｂ
２－２ｂ＋５
４
，
故圆 Ｃ 的方程为（ｘ＋１） ２＋ ｙ－
ｂ＋１
２( )
２
＝ ｂ
２－２ｂ＋５
４
，
即 ｘ２＋ｙ２＋２ｘ－（ｂ＋１）ｙ＋ｂ＝ ０．
解法二：设二次函数 ｆ（ｘ）＝ ｘ２＋２ｘ＋ｂ 的图象与 ｘ 轴的两个交
点分别为 Ａ（－１－ １－ｂ ，０），Ｂ（－１＋ １－ｂ ，０），与 ｙ 轴的交点为
Ｍ（０，ｂ） ．
因为圆心 Ｃ 是 ＡＢ 的垂直平分线（抛物线的对称轴） ｘ ＝ －１
和 ＭＢ 的垂直平分线的交点，
而 ｋＢＭ ＝
ｂ
１－ １－ｂ
，ＭＢ 的中点坐标为 １－ｂ －１
２
，
ｂ
２
?
è
?
?
?
÷ ，所以
ＭＢ 的垂直平分线的方程为 ｙ－
ｂ
２
＝ １
－ｂ －１
ｂ ｘ－
１－ｂ －１
２
?
è
?
?
?
÷ ．
将 ｘ＝－１ 代入得 ｙ ＝
ｂ＋１
２
，故圆心 Ｃ 的坐标为 －１，
ｂ＋１
２( ) ．下
同解法一．
解法三：二次函数 ｆ（ｘ）＝ ｘ２＋２ｘ＋ｂ 的图象与坐标轴的交点坐
标是（－１＋ １－ｂ ，０），（－１－ １－ｂ ，０），（０，ｂ） ．
设圆 Ｃ 的一般方程为 ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ ＝ ０（Ｄ２ ＋Ｅ２ －４Ｆ＞０），
圆 Ｃ 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆 Ｃ 的方程，得
（－１＋ １－ｂ ） ２＋Ｄ（－１＋ １－ｂ ）＋Ｆ＝ ０．①
（－１－ １－ｂ ） ２＋Ｄ（－１－ １－ｂ ）＋Ｆ＝ ０．②
ｂ２＋Ｅｂ＋Ｆ＝ ０．③
①－②得，２Ｄ １－ｂ －４ １－ｂ ＝ ０，因为 ｂ＜１，所以 Ｄ＝ ２．
将 Ｄ＝ ２ 代入①解得 Ｆ＝ ｂ．
将 Ｆ＝ ｂ 代入③解得 Ｅ＝－（ｂ＋１） ．
所以圆 Ｃ 的方程为 ｘ２＋ｙ２＋２ｘ－（ｂ＋１）ｙ＋ｂ＝ ０．
（３）圆 Ｃ 经过定点（０，１），（－２，１） ．证明如下：
将圆 Ｃ 的方程整理得（１－ｙ）ｂ＋ｘ２ ＋ｙ２ ＋２ｘ－ｙ ＝ ０，要使这个方
程对 所 有 满 足 ｂ ＜ １ 且 ｂ ≠ ０ 的 实 数 ｂ 都 成 立， 则
１－ｙ＝ ０，
ｘ２＋ｙ２＋２ｘ－ｙ＝ ０，{ 解得 ｘ
＝ ０，
ｙ＝ １{ 或 ｘ
＝－２，
ｙ＝ １．{ 经检验，点（０，１），（ －２，
１）均在圆 Ｃ 上，所以圆 Ｃ 经过定点（０，１），（－２，１） ．
２－１ （２０１８ 镇江期末统考，１１）已知圆 Ｃ 与圆 ｘ２＋ｙ２ ＋１０ｘ＋
１０ｙ＝ ０ 相切于原点，且过点 Ａ （ ０， － ６），则圆 Ｃ 的标准方程
为 ．
２－１ 答案 （ｘ＋３） ２＋（ｙ＋３） ２ ＝ １８
解析 将 ｘ２＋ｙ２＋１０ｘ＋１０ｙ＝ ０ 化为标准方程为（ ｘ＋５） ２＋（ ｙ
＋５） ２ ＝ ５０，
易知圆心 Ｃ 在 ＡＯ 的垂直平分线 ｙ＝－３ 上，
又圆心 Ｃ 在（－５，－５）与原点的连线 ｙ＝ ｘ 上，
所以点 Ｃ 的坐标为（－３，－３），则圆 Ｃ 的半径 ｒ＝ ３ ２ ．
所以圆 Ｃ 的方程为（ｘ＋３） ２＋（ｙ＋３） ２ ＝ １８．
２－２ （ ２０１７ 淮阴中学第一学期期中，１２） 已知函数 ｙ ＝
２ ｓｉｎ
π
４
ｘ－
３π
４( ) 的部分图象如图所示，则过 Ａ，Ｂ，Ｃ 三点的圆的
方程为 ．
２－２ 答案 （ｘ－５） ２＋（ｙ＋１） ２ ＝ ５
解析 易得 Ａ（３，０），Ｂ（７，０），Ｃ（６，１），则线段 ＡＢ 垂直平
分线的方程为 ｘ＝ ５，可得直线 ＡＣ 的方程为 ｙ ＝
１
３
（ ｘ－３），所以
ＡＣ 的垂直平分线的方程为 ３ｘ＋ｙ－１４ ＝ ０，所以所求圆的圆心为
（５，－１），半径为 （５－３） ２＋（－１－０） ２ ＝ ５ ，所以所求圆的方程为
（ｘ－５） ２＋（ｙ＋１） ２ ＝ ５．
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三、对称问题的处理方法
１．中心对称问题的两个类型及求解方法
（１）点关于点对称：
若点 Ｍ（ｘ１，ｙ１）、Ｎ（ｘ，ｙ）关于 Ｐ（ａ，ｂ）对称，则由中点坐标公
式得
ｘ＝ ２ａ－ｘ１，
ｙ＝ ２ｂ－ｙ１，
{ 进而求解．
（２）直线关于点的对称，主要求解方法如下：
①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于
已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到
所求直线方程．
２．轴对称问题的两个类型及求解方法
（１）点关于直线的对称：
若两点 Ｐ１（ｘ１，ｙ１）与 Ｐ２（ ｘ２，ｙ２）关于直线 ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ ＝ ０ 对
称，由方程组
Ａ
ｘ１＋ｘ２
２
?
è
?
?
?
÷ ＋Ｂ
ｙ１＋ｙ２
２
?
è
?
?
?
÷ ＋Ｃ＝ ０，
ｙ２－ｙ１
ｘ２－ｘ１
· －
Ａ
Ｂ( ) ＝－１
ì
?
í
?
?
??
可得到点 Ｐ１ 关于 ｌ
对称的点 Ｐ２ 的坐标（ｘ２，ｙ２）（其中 Ｂ≠０，ｘ１≠ｘ２） ．
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第十三章 平面解析几何初步 １０３
（２）直线关于直线的对称：
一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已
知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．
已知直线 ｌ：２ｘ－３ｙ＋１＝ ０，点 Ａ（－１，－２），求：
（１）点 Ａ 关于直线 ｌ 的对称点 Ａ′的坐标；
（２）直线 ｍ：３ｘ－２ｙ－６＝ ０ 关于直线 ｌ 的对称直线 ｍ′的方程；
（３）直线 ｌ 关于点 Ａ（－１，－２）对称的直线 ｌ′的方程．
解析 （１）设 Ａ′（ｘ，ｙ），
由已知得
ｙ＋２
ｘ＋１
·
２
３
＝－１，
２·
ｘ－１
２
－３·
ｙ－２
２
＋１＝ ０，
ì
?
í
??
??
解得
ｘ＝－
３３
１３
，
ｙ＝
４
１３
．
ì
?
í
??
??
∴ Ａ′ －
３３
１３
，
４
１３( ) ．
（２）在直线 ｍ 上任取一点 Ｍ（２，０），
则 Ｍ（２，０）关于直线 ｌ 的对称点必在 ｍ′上．
设 Ｍ 关于直线 ｌ 的对称点为 Ｍ′（ａ，ｂ），
则
２×
ａ＋２
２( ) －３× ｂ＋０２( ) ＋１＝ ０，
ｂ－０
ａ－２
·
２
３
＝－１，
ì
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í
??
??
解得
ａ＝
６
１３
，
ｂ＝
３０
１３
，
ì
?
í
??
??
故 Ｍ′
６
１３
，
３０
１３( ) ．
设 ｍ 与 ｌ 的交点为 Ｎ，
则由
２ｘ－３ｙ＋１＝ ０，
３ｘ－２ｙ－６＝ ０{ 得 Ｎ（４，３） ．
又∵ ｍ′经过点 Ｎ（４，３），
∴ 由两点式得直线 ｍ′的方程为 ９ｘ－４６ｙ＋１０２＝ ０．
（３）设 Ｐ（ｘ，ｙ）为 ｌ′上任意一点，
则 Ｐ（ｘ，ｙ）关于点 Ａ（－１，－２）的对称点为 Ｐ′（－２－ｘ，－４－ｙ），
∵ Ｐ′在直线 ｌ 上，∴ ２（－２－ｘ）－３（－４－ｙ）＋１＝ ０，
化简得 ２ｘ－３ｙ－９＝ ０，∴ 直线 ｌ′的方程为 ２ｘ－３ｙ－９＝ ０．
３－１ 若将一张坐标纸折叠一次，使得点（０，２）与点（４，０）
重合，点（７，３）与点（ｍ，ｎ）重合，则 ｍ＋ｎ＝ ．
３－１ 答案
３４
５
解析 由题可知纸的折痕所在直线垂直平分以点（０，２）
与点（４，０）为端点的线段，可得折痕所在直线为 ｙ＝ ２ｘ－３，
又折痕所在直线垂直平分以点（７，３）与点（ｍ，ｎ）为端点的
线段，
∴
３＋ｎ
２
＝ ２·
７＋ｍ
２
－３，
ｎ－３
ｍ－７
＝－ １
２
，
ì
?
í
??
??
解得
ｍ＝
３
５
，
ｎ＝
３１
５
，
ì
?
í
??
??
∴ ｍ＋ｎ＝
３４
５
．
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(共75张PPT)
五年高考
A组????自主命题·江苏卷题组
1.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相
切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 ????.
答案 (x-1)2+y2=2
解析 由mx-y-2m-1=0可得m(x-2)=y+1,由m∈R知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2
m-1=0的距离的最大值为?=?,故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.
2.(2016江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=
0及其上一点A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;
(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得?+?=?,求实数t的取值范围.
?
解析 圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,
所以圆心为M(6,7),半径为5.
(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).
因为圆N与x轴相切,与圆M外切,
所以0于是圆N的半径为y0,
从而7-y0=5+y0,解得y0=1.
因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.
(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为?=2.
设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,
则圆心M到直线l的距离
d=?=?.
因为BC=OA=?=2?,
而MC2=d2+?,
所以25=?+5,解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
?
(3)解法一:?+?=?,即?=?-?=?,即|?|=|?|,
因为|?|=?,又0<|?|≤10,
所以0对于任意t∈[2-2?,2+2?],欲使?=?,此时0<|?|≤10,只需要作直线TA的平行线,使圆心
到直线的距离为?,必然与圆交于P,Q两点,此时|?|=|?|,
即?=?,
因此对于任意t∈[2-2?,2+2?],均满足题意.
故t∈[2-2?,2+2?].
解法二:设P(x1,y1),Q(x2,y2).
因为A(2,4),T(t,0),?+?=?,
所以??①
因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.?②
将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.
于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,
从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,
所以5-5≤?≤5+5,
解得2-2?≤t≤2+2?.
因此,实数t的取值范围是[2-2?,2+2?].
解后反思 1.根据已知条件求圆的方程,一般地,可采用两种不同的方法:一是待定系数法,即先
根据条件用圆的标准式或一般式设出方程,再根据条件来确定参数的值;二是通过几何图形的
性质来确定圆心的位置或坐标及半径,进而求得圆的方程.
2.已知直线与圆相交来确定弦长的问题,通常要利用圆心到直线的距离d,圆的半径r以及弦长l
之间的关系l=2?来进行求解.
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 直线方程
1.(2018北京理改编,7,5分)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.
当θ,m变化时,d的最大值为 ????.
答案 3
解析 解法一:由点到直线的距离公式得d=?,
cos θ-msin θ=??,
令sin α=?,cos α=?,
∴cos θ-msin θ=?sin(α-θ),
∴d≤?=?=1+?,
∴当m=0时,dmax=3.
解法二:∵cos2θ+sin2θ=1,∴P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆,又x-my-2=0表示过点(2,0)且斜
率不为0的直线,
如图,可得点(-1,0)到直线x=2的距离即为d的最大值.
名师点睛 解法一:利用点到直线的距离公式求最值.
解法二:首先得出P点的轨迹是单位圆,x-my-2=0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线,然后利用数
形结合思想轻松得到答案.
2.(2016四川改编,10,5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)=?图象上点P1,P2处的切线,l1与l
2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是 ????.
答案 (0,1)
解析 设l1是y=-ln x(01)的切线,切点P2(x2,y2),
l1:y-y1=-?(x-x1),①
l2:y-y2=?(x-x2),②
①-②得xP=?,
易知A(0,y1+1),B(0,y2-1),
∵l1⊥l2,∴-?·?=-1,
∴x1x2=1,
∴S△PAB=?|AB|·|xP|=?|y1-y2+2|·?
=?·?=?·?
=?·?=?·?=?,
又∵01,x1x2=1,
∴x1+x2>2?=2,
∴03.(2015课标全国Ⅰ,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=?与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两
点.
(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;
(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.
解析 (1)由题设可得M(2?,a),N(-2?,a)或M(-2?,a),N(2?,a).
又y'=?,故y=?在x=2?处的导数值为?,C在点(2?,a)处的切线方程为y-a=?(x-2?),即
?x-y-a=0.
y=?在x=-2?处的导数值为-?,C在点(-2?,a)处的切线方程为y-a=-?(x+2?),即?x+y+
a=0.
故所求切线方程为?x-y-a=0和?x+y+a=0.?(5分)
(2)存在符合题意的点,证明如下:
设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.
将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.
故x1+x2=4k,x1x2=-4a.
从而k1+k2=?+?=?=?.
当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P
(0,-a)符合题意.?(12分)
疑难突破 要使∠OPM=∠OPN,只需直线PM与直线PN的斜率互为相反数.
考点二 圆的方程
1.(2018天津文,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 ????
????.
答案????x2+y2-2x=0
解析 本题主要考查圆的方程.
解法一:易知以(0,0),(1,1),(2,0)为顶点的三角形为等腰直角三角形,其外接圆的圆心为(1,0),半
径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.
解法二:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
由已知条件可得?解得?
所以所求圆的方程为x2+y2-2x=0.
方法总结 常见的求圆的方程的方法:
(1)利用圆的几何特征,求出圆心坐标和半径长,从而写出圆的标准方程.
(2)利用待定系数法.若利用所给条件易求圆心的坐标和半径长,则常用标准方程求解;若所给
条件与圆心、半径关系不密切或涉及圆上多点,则常用一般方程求解.
2.(2016北京改编,5,5分)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为 ????.
答案?????
解析 由题意知圆心坐标为(-1,0),将直线y=x+3化成一般形式为x-y+3=0,故圆心到直线的距离
d=?=?.
易错警示 在应用点到直线的距离公式d=?时,一定要将直线方程化成一般形式,
正确写出A,B,C的值,此处符号易出现错误.
评析 本题考查圆的标准方程及点到直线的距离公式,属中档题.
3.(2016课标全国Ⅱ改编,6,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a= ????
????.
答案 -?
解析 由圆的方程可知圆心为(1,4).由点到直线的距离公式可得?=1,解得a=-?.
易错警示 圆心的坐标容易误写为(-1,-4)或(2,8).
思路分析 将圆的方程化成标准形式,从而得出圆心坐标,进而利用点到直线的距离公式列出
关于a的方程,解方程即可求得a的值.
评析 本题考查了圆的方程、点到直线的距离公式.
4.(2016天津,12,5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,?)在圆C上,且圆心到直线2x-y=
0的距离为?,则圆C的方程为 ????.
答案 (x-2)2+y2=9
解析 设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a>0),
由题意可得?解得?
所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.
方法总结 待定系数法是求解圆方程的常用方法,一般步骤为:①设出圆的方程;②列出关于系
数的方程组,并求出各系数的值;③检验各值是否符合题意,并写出满足题意的圆的方程.
评析 本题主要考查点与圆的位置关系,点到直线的距离公式以及圆的方程的求法,考查方程
思想方法的应用,注意圆心的横坐标的取值范围是解决本题的关键.
5.(2015课标全国Ⅱ改编,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|= ????
????.
答案 4?
解析 设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b=?=-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|
PA|=?=5,于是圆P的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2?,则|MN|=|(-2+2
?)-(-2-2?)|=4?.
思路分析 根据圆的几何性质及已知条件求得圆心,从而求得半径,写出圆的标准方程,令x=0,
求出y,进而可得|MN|的值.
名师点睛 在解决有关圆的问题时,注意多考虑圆的几何性质的应用,从而简化运算过程.
6.(2015课标全国Ⅱ改编,7,5分)已知三点A(1,0),B(0,?),C(2,?),则△ABC外接圆的圆心到原
点的距离为 ????.
答案?????
解析 在平面直角坐标系xOy中画出△ABC,易知△ABC是边长为2的正三角形,其外接圆的圆
心为D?.因此|OD|=?=?=?.
7.(2015课标全国Ⅰ,14,5分)一个圆经过椭圆?+?=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则
该圆的标准方程为 ????.
答案?????+y2=?
解析 由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB的垂直平分线
的方程为2x-y-3=0.令y=0,得x=?,所以圆心坐标为?,则半径r=4-?=?.故该圆的标准方程为
?+y2=?.
评析 本题考查圆和椭圆的方程,求出圆心坐标是解题关键.
8.(2018课标全国Ⅱ理,19,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交
于A,B两点,|AB|=8.
(1)求l的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
解析 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0),
设A(x1,y1),B(x2,y2).
由?得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故x1+x2=?.
所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=?.
由题设知?=8,解得k=-1(舍去)或k=1,
因此l的方程为y=x-1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则
?解得?或?
因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
方法总结 有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重
利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.
9.(2017课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段
AB为直径的圆.
(1)证明:坐标原点O在圆M上;
(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.
解析 (1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.
由?可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.
又x1=?,x2=?,故x1x2=?=4.
因此OA的斜率与OB的斜率之积为?·?=?=-1,所以OA⊥OB.
故坐标原点O在圆M上.
(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.
故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=?.
由于圆M过点P(4,-2),因此 ?·?=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,
即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.
由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.
所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-?.
当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为?,圆M的方程为(x-3)2+(y
-1)2=10.
当m=-?时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为?,圆M的半径为?,圆M的方程为
?+?=?.
解后反思 直线与圆锥曲线相交问题,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与
系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)表
示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
C组 教师专用题组
考点一 直线方程
1.(2014江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+?(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲
线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是 ????.
答案 -3
解析 ∵y=ax2+?,∴y'=2ax-?,
由题意可得?解得?
∴a+b=-3.
2.(2013课标全国Ⅱ改编,5分)已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面
积相等的两部分,则b的取值范围是 ????.
答案?????
解析 (1)当直线y=ax+b与AB、BC相交时,如图①所示.
?
图①
易求得:xM=-?,yN=?.
由已知条件得:?·?=1,∴a=?.
∵点M在线段OA上,∴-1<-?<0,∴0∵点N在线段BC上,∴0由?解得?(2)当直线y=ax+b与AC、BC相交时,如图②所示.
?
图②
设MC=m,NC=n,则S△MCN=?mn=?,∴mn=1.
显然,0又0设D到AC、BC的距离为t,则?=?,?=?,
∴?+?=?+?=1.
∴t=?,∴?=?+?=?+m.
而f(m)=m+??的值域为?,
即2∵b=1-CD=1-?t,
∴1-?综合(1)(2)可得:1-?思路分析 由于a>0,所以直线l可能与AB、BC相交,也可能与AC、BC相交,因此应进行分类讨
论.根据题意在每类情况下构造关于b的不等式进行求解.
考点二 圆的方程
1.(2014课标全国Ⅱ,16,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取
值范围是 ????.
答案 [-1,1]
解析 解法一:当x0=0时,M(0,1),由圆的几何性质得在圆上存在点N(-1,0)或N(1,0),使∠OMN=45
°.当x0≠0时,过M作圆的两条切线,切点为A、B.
若在圆上存在N,使得∠OMN=45°,
应有∠OMB≥∠OMN=45°,∴∠AMB≥90°,
∴-1≤x0<0或0?
解法二:过O作OP⊥MN,P为垂足,则OP=OM·sin 45°≤1,
∴OM≤?,∴OM2≤2,∴?+1≤2,∴?≤1,∴-1≤x0≤1.
思路分析 解法一:利用切线的性质及数形结合思想得出x0的取值范围;解法二:过O作OP⊥
MN(垂足为P),在Rt△OPM中利用三角函数的定义得出OP与OM的关系,利用OP的范围得出
OM的范围,从而求得x0的取值范围.
2.(2012湖北改编,5,5分)过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部
分的面积之差最大,则该直线的方程为 ????.
答案????x+y-2=0
解析 设过P点的直线为l,当OP⊥l时,过P点的弦最短,所对的劣弧最短,此时,得到的两部分的
面积之差最大.易求得该直线的方程为x+y-2=0.
3.(2010课标理,15,5分)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为 ????
????.
答案 (x-3)2+y2=2
解析 解法一:设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
圆心(a,b)到直线x-y-1=0的距离d=?=r,①
又圆C过点A(4,1),B(2,1),
∴(4-a)2+(1-b)2=r2,②
(2-a)2+(1-b)2=r2,③
由①②③,得a=3,b=0,r=?,
∴圆的方程为(x-3)2+y2=2.
解法二:∵圆C过A、B两点,∴圆心C在线段AB的中垂线上,
而kAB=?=0,AB中点坐标为(3,1).
∴AB的中垂线方程为x=3.
又∵圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),
∴圆心C在过点B且与x-y-1=0垂直的直线x+y-3=0上,
由?得圆心C(3,0),
∴r=|CA|=?=?,
∴圆的方程为(x-3)2+y2=2.
评析 考查利用点、直线和圆的位置关系的特征求解的能力,也考查直线和圆的基本知识.
4.(2009江苏,18,14分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.
(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2?,求直线l的方程;
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C
2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的
坐标.
解析 (1)设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,
由垂径定理,得圆心C1到直线l的距离d=?=1,
由点到直线的距离公式,得?=1,
化简得24k2+7k=0,解得k=0或k=-?,
故直线l的方程为y=0或y=-?(x-4),
即y=0或7x+24y-28=0.
(2)设点P坐标为(m,n),直线l1、l2的方程分别为
y-n=k(x-m),y-n=-?(x-m),
即kx-y+n-km=0,-?x-y+n+?m=0,
因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,两圆半径相等.由垂径定理,得圆
心C1到直线l1与C2到直线l2的距离相等.
故有?=?,
化简得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5,
由题意得?或?
解得?或?
故点P的坐标为?或?.
三年模拟
A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组
考点一 直线方程
1.(2019苏州中学期初,9)若直线x=?是函数y=asin x+bcos x图象的一条对称轴,则直线ax+by+c=
0的倾斜角为 ????.
答案?????
解析????y=asin x+bcos x=sin(x+φ),其中tan φ=?.
∵直线x=?是y=asin x+bcos x图象的一条对称轴,
∴φ+?=?+kπ,k∈Z,故φ=?+kπ,k∈Z.
∴tan φ=?,即b=?a.
由题意,直线的斜率为-?=-?.
∴直线的倾斜角为?.
2.(2019淮安五校联考,6)已知直线l1:x+ay+6=0和l2:(a-2)x+3y+2a=0,若l1∥l2,则a= ????.
答案 -1
解析 因为l1∥l2,根据l2的方程知道,斜率必定存在,所以k1=k2,即-?=-?,∴a=-1或a=3,经检
验,当a=3时两条直线重合,所以a=-1.
3.(2019扬州期末,7)若直线l1:x-2y+4=0与l2:mx-4y+3=0平行,则两平行直线l1,l2间的距离为 ????
????.
答案?????
解析 因为两直线平行,所以?=?,解得m=2,经检验,符合题意.
在直线x-2y+4=0上取一点(0,2),该点到直线l2:2x-4y+3=0的距离为d=?=?,即两平行
直线l1,l2间的距离为?.
4.(2017泰州中学期初,10)点P为直线y=?x上任意一点,F1(-5,0),F2(5,0),则||PF1|-|PF2||的取值范围
是 ????.
答案 [0,8)
解析 设点F1(-5,0)关于直线y=?x的对称点为M(x,y),则?解得M?,
则|PM|=|PF1|,易知直线y=?x与直线MF2平行,所以0≤||PF1|-|PF2||<|MF2|,易得|MF2|=
?=8,所以0≤||PF1|-|PF2||<8.
考点二 圆的方程
1.(2019淮安五校联考,10)已知过点(-2,-3)的直线l被圆x2+y2+2x-4y-5=0截得的弦长为6,则直线l
的方程是 ????.
答案 12x-5y+9=0或x=-2
解析 圆x2+y2+2x-4y-5=0化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=10,因为直线l被圆截得的弦长为6,所以
圆心到直线的距离d=?=1.当直线斜率不存在时,过点(-2,-3)垂直于x轴的直线符合题意;
当斜率存在时,设直线l:y+3=k(x+2),由d=1=?解得k=?,则直线方程为12x-5y+9=0.所以直
线l的方程为12x-5y+9=0或x=-2.
易错警示 解得d=1后,容易忽视直线的斜率不存在的情况,从而漏解.
2.(2019苏州期末,10)在平面直角坐标系xOy中,过点A(1,3),B(4,6),且圆心在直线x-2y-1=0上的圆
的标准方程为 ????.
答案 (x-5)2+(y-2)2=17
解析 设所求圆的圆心为(a,b),半径为R,则
?化为?解得?R2=17,
所以,圆的标准方程为(x-5)2+(y-2)2=17.
一题多解 设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由于圆经过A、B两点,所以圆心在AB的
中垂线y=-x+7上,又圆心在直线x-2y-1=0上,所以有?解得?圆心为(5,2),半径为
?,则圆的方程为(x-5)2+(y-2)2=17.
3.(2019镇江期末,13)已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x-a)2+(y-2)2=2.若圆M上存在点P,过点P作圆O的两
条切线,切点为A,B,使得PA⊥PB,则实数a的取值范围为 ????.
答案 [-2,2]
解析 如图,因为PA⊥PB,所以四边形PAOB为矩形,又OA=OB,所以四边形PAOB为正方形,
则OP=?,因为圆M的半径为?,所以根据三角形两边之和大于第三边,得|OM|≤2?,即a2+4
≤8,解得-2≤a≤2.
?
4.(2019海安期末,11)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-3,0),B(-1,-2),若圆(x-2)2+y2=r2(r>0)上
有且仅有一对点M,N,使得△MAB的面积是△NAB的面积的2倍,则r的值为 ????.
答案?????
解析 由题意知kAB=-1,直线AB的方程为y=-x-3,
圆上有且仅有一对点M,N,使得△MAB的面积是△NAB的面积的2倍,即圆上有且仅有一对点M,
N,使得M到直线AB的距离是N到直线AB的距离的2倍,
显然,MN为直径,且MN⊥AB,即圆心(2,0)到直线AB的距离为3r,所以3r=?=?,所以r=
?.
?
5.(2019连云港期中,18)规定:在桌面上,用母球击打目标球,使目标球运动,球的位置是指球心的
位置,我们说球A是指该球的球心点A.两球碰撞后,目标球在两球的球心所确定的直线上运动,
目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都
简化为平面上半径为1的圆,且母球与目标球有公共点时,目标球就开始运动,在桌面上建立平
面直角坐标系,解决下列问题:
(1)如图1,设母球A的位置为(0,0),目标球B的位置为(4,0),要使目标球B向C(8,-4)处运动,求母球
A球心运动的直线方程;
(2)如图2,若母球A的位置为(0,-2),目标球B的位置为(4,0),能否让母球A击打目标球B后,使目标
球B向(8,-4)处运动?
(3)当A的位置为(0,a)时,使得母球A击打目标球B时,目标球B(4?,0)运动方向可以碰到目标球
C(7?,-5?),求a的最小值(只需要写出结果即可).
图1 图2
解析 (1)点B(4,0)与点C(8,-4)所在的直线方程为x+y-4=0,
依题意,知两球碰撞时,母球A的球心在直线x+y-4=0上,且在第一象限,
此时|AB|=2,设两球碰撞时母球A的球心坐标为(a,b),
则有?解得a=4-?,b=?,
即两球碰撞时,母球A的球心坐标为A'(4-?,?),
所以,母球A球心运动的直线方程为y=?x=?x.
?
(2)因为?=(4-?,2+?),?=(-?,?),
而?·?=(4-?,2+?)·(-?,?)=4-2?>0,
所以∠AA'B是锐角,
所以点B(4,0)到线段AA'的距离小于2,即母球A的球心不到直线BC上时,就会与目标球B碰撞,故
目标球B不可能向(8,-4)处运动.
?
(3)a的最小值为-2?.
要使得a最小,临界条件为母球A从目标球B的左上方A'处撞击球B后,球B从球C的右上方B'处撞
击球C.如图所示,设点B'(x,y)是球B的所有路径中最远离BC的那条路径上离球C最近的点,则有
?
则?解得B'(8?,-4?),
所以直线CB'的倾斜角为45°,所以直线A'B的倾斜角为135°.易得A'(3?,?).
过A'(3?,?)作倾斜角为45°的直线,交y轴于点A,
易得A(-2?,0)就是一个符合题意的初始位置.
若a<-2?,则母球A会在到达A'(3?,?)之前就与目标球B碰撞,不合题意.
因此a的最小值为-2?.
?
一、填空题(每小题5分,共30分)
B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组
(时间：40分钟 分值：50分)
1.(2019南京三模,13)在平面直角坐标系xOy中,已知MN是☉C:(x-1)2+(y-2)2=2的一条弦,且CM⊥
CN,P是MN的中点.当弦MN在圆C上运动时,直线l:x-3y-5=0上存在两点A,B,使得∠APB≥?恒
成立,则线段AB长度的最小值是 ????.
答案 2?-2
解析 圆心C的坐标为(1,2),半径为?,
易知PC=1,点P的轨迹方程为(x-1)2+(y-2)2=1.
圆心(1,2)到直线l的距离d=?=?,
由大边对大角知AB最小时,∠APB=?.
故当∠APB=?,且P在AB的中垂线上时,线段AB长度最小.
易知ABmin=2?-2.
?
2.(2019如皋检测,11)如图,已知△ABC为等腰直角三角形,其中∠BAC=90°,且AB=2,光线从AB
边上的中点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(反射点分别为Q,R),则光线经过的路径总长PQ+
QR+RP= ????.
?
答案?????
解析 建立如图所示的直角坐标系,则P(1,0).设点P关于直线BC的对称点为P',点P关于直线
AC的对称点为P″.
?
易知P(1,0),直线BC的方程为y=-x+2,设点P'(a,b),
则??P'(2,1),又P″(-1,0),
∴PQ+QR+RP=P'Q+QR+RP″=P'P″=?=?.
3.(2019如皋检测,13)在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=4,过点P(1,1)的直线l交圆O于A,B
两点,且AP=2PB,则满足上述条件的所有直线斜率之和为 ????.
答案 -?
解析 取AB的中点C,设CP=x,x>0,
∵AP=2BP,
∴AC+CP=2(CB-CP),
∴3CP=AC=BC,
∴BC=AC=3x,BP=2x.
由勾股定理得????x2=?,∵x>0,∴x=?.
∴AB=3,OC2=?.
设lAB:y=k(x-1)+1,即kx-y+1-k=0.
∴?=?,
整理得3k2+8k+3=0,Δ=64-4×3×3>0,k1+k2=-?,所以所有直线斜率之和为-?.
一题多解 设点A(x1,y1),B(x2,y2),因为过点P(1,1)的直线l交圆O于A,B两点,且AP=2PB,所以?=
2?,即?得x2=?,y2=?,又?+?=4,且?+?=4,故A?或A
?,又因为P(1,1),直线斜率为-?或-?,斜率之和为-?.
4.(2019南京、盐城期末,10)设N={(x,y)|3x+4y≥7},点P∈N,过点P引圆(x+1)2+y2=r2(r>0)的两条
切线PA,PB,若∠APB的最大值为?,则r的值为 ????.
答案 1
解析 设圆(x+1)2+y2=r2的圆心为M.
根据题意得N={(x,y)|3x+4y≥7}表示直线3x+4y=7及其上方的部分.
若∠APB最大,必有MP长度最小,即为点M到直线3x+4y=7的距离.
|MP|min=?=2,
∠APM=?×?=?,则r=1.
?
5.(2019南京期初调研,13)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(1,-1),点P为圆(x-4)2+y2=4上
任意一点,记△OAP和△OBP的面积分别为S1和S2,则?的最小值是 ????.
答案 2-?
解析 易得OA=?,直线OA的方程为x-y=0,S1=S△OAP=?×?d1;OB=?,直线OB的方程为x+y=0,
S2=S△OBP=?×?d2.(其中d1,d2分别为点P到直线OA,OB的距离)
设P(x,y),
则?=?=?=?.
令?=k?(k-1)x+(k+1)y=0.
又P(x,y)在圆C上,
∴?≤2,
解得2-?≤k≤2+?,
∴?=2-?.
6.(2017常州一中质量检测,11)动直线2ax+(a+c)y+2c=0(a∈R,c∈R)过定点(m,n),x1+x2+m+n=15
且x1>x2,则?的最小值为 ????.
答案 16
解析 由直线2ax+(a+c)y+2c=0(a∈R,c∈R)得a(2x+y)+c(y+2)=0,
因为a,c∈R,所以?解得?
所以动直线2ax+(a+c)y+2c=0(a∈R,c∈R)过定点(1,-2),即m=1,n=-2,∴m+n=-1,又x1+x2+m+n=15,
所以x1+x2=16,所以?=?=?,因为x1>x2,所以?=
?=?+?≥2?=2?=16(当且仅当x1=16,x2=0时,取等号),
故?的最小值为16.
思路分析 要求?的最小值,由x1>x2,可考虑把表达式转化为关于x1-x2的表达式,利用x1+x2+
m+n=15及?+?=?[(x1-x2)2+(x1+x2)2],结合不等式知识可求得结果.
二、解答题(共30分)
7.(2019七大市三模,18)南通风筝是江苏传统手工艺品之一.现用一张长2 m,宽1.5 m的长方形
牛皮纸ABCD裁剪出面积为4? m2的风筝面,裁剪方法如下:分别在边AB,AD上取点E,F,将三
角形AEF沿直线EF翻折到三角形A'EF处,点A'落在牛皮纸上,沿A'E,A'F裁剪并展开,得到风筝面
AEA'F,如图1.
(1)若点E恰好与点B重合,且点A'在BD上,如图2,求风筝面ABA'F的面积;
(2)当风筝面AEA'F的面积为? m2时,求点A'到AB距离的最大值.
?
? ?????
解析 (1)解法一:建立如图所示的直角坐标系.
则B(2,0),D?,直线BD的方程为3x+4y-6=0.?(2分)
设F(0,b)(b>0),
因为点F到AB与BD的距离相等,
所以b=?,解得b=?或b=-6(舍去).?(4分)
所以△ABF的面积为?×2×?=? m2,
所以四边形ABA'F的面积为? m2.
答:风筝面ABA'F的面积为? m2.?(6分)
?
解法二:设∠ABF=θ,则∠ABA'=2θ,θ∈?.
在直角△ABD中,tan 2θ=?=?,?(2分)
所以?=?,解得tan θ=?或tan θ=-3(舍去).
所以AF=ABtan θ=? m.?(4分)
所以△ABF的面积为?×2×?=? m2,
所以四边形ABA'F的面积为? m2.
答:风筝面ABA'F的面积为? m2.?(6分)
(2)解法一:建立如图所示的直角坐标系.
设AE=a m,AF=b m,A'(x0,y0),
则直线EF的方程为bx+ay-ab=0,
因为点A,A'关于直线EF对称,
所以?
解得y0=?.?(10分)
因为四边形AEA'F的面积为? m2,所以ab=?,
所以y0=?=?.
因为0设f(a)=a+?,?≤a≤2.
f '(a)=1-?=?,
令f '(a)=0,得a=?或a=-?(舍去).
列表如下:
a ? ? (?,2]
f '(a) - 0 +
f(a) 单调递减 极小值 单调递增
当a=?时, f(a)取得极小值,即最小值, f(?)=?,
所以y0的最大值为?,此时点A'在CD上,a=?,b=1.
答:点A'到AB距离的最大值为? m.?(15分)
解法二:设AE=a m,∠AEF=θ,
则AF=atan θ m.
因为四边形AEA'F的面积为? m2,所以AE·AF=?,
即a2tan θ=?,所以tan θ=?.
过点A'作AB的垂线A'T,垂足为T,
则A'T=A'E·sin 2θ=AE·sin 2θ=asin 2θ
=a·?=a·?=a·?=?.?(10分)
因为0(下同解法一)
8.(2019南通基地学校三月联考,18)某鲜花小镇圈定一块半径为1百米的圆形荒地,准备建成各
种不同鲜花景观带.为了便于游客观赏,准备修建三条道路AB,BC,CA,其中A,B,C分别为圆上的
三个进出口,且A,B分别在圆心O的正东方向与正北方向上,C在圆心O南偏西某一方向上.在道
路AC与BC之间修建一条直线型水渠MN种植水生观赏植物黄鸢尾(其中点M,N分别在BC和CA
上,且M在圆心O的正西方向上,N在圆心O的正南方向上),并在区域MNC内种植柳叶马鞭草.
(1)求水渠MN长度的最小值;
(2)求种植柳叶马鞭草区域MNC面积的最大值(水渠宽度忽略不计).
?
解析 (1)以圆心O为原点,百米为长度单位,建立平面直角坐标系,则圆O的方程为x2+y2=1,
设点C(cos θ,sin θ),θ∈?.?(2分)
直线AC的方程为y=?(x-1),令x=0,得N?.
直线BC的方程为y=?x+1,
令y=0,得M?.?(4分)
所以MN2=?+?
=?+?.
令f(θ)=?+?,θ∈?,
即f(θ)=-2+?+?,θ∈?,
则f '(θ)=?,
令f '(θ)=0,得θ=?.?(6分)
当θ∈?时, f '(θ)<0,则f(θ)单调递减;
当θ∈?时, f '(θ)>0,则f(θ)单调递增;
所以当θ=?时, f(θ)min=6-4?.
所以MNmin=2-?.
答:水渠MN长度的最小值为(2-?)百米.?(8分)
(2)解法一:由(1)可知,M?,N?,
则S△CMN=S△CMO+S△CNO-?OM·ON
=?sin θcos θ·?.?(12分)
设t=sin θ+cos θ,因为θ∈?,所以-?≤t<-1.
所以S△CMN=-?,-?≤t<-1.
所以当t=-?时,(S△CMN)max=?.
答:种植柳叶马鞭草区域MNC面积的最大值为?平方百米.?(15分)
解法二:因为∠AOB=90°,所以∠ACB=45°,?(10分)
由CM=?=?,
CN=?=?,
所以S△CMN=?CM·CN·sin 45°
=?·?·?
=?·?.?(12分)
下同解法一.
C组 2017—2019年高考模拟·应用创新题组
1.(2019 5·3高考考前原创预测卷三文,16)在△ABC中,BC=3,点D在边BC上,且BC=3DC,AB2+AD2
=5,则△ABC面积的最大值为 ????.
答案?????
解析 解法一:由AB2+AD2=5,知A点的轨迹是以线段BD的中点为圆心,?为半径的圆(不包括
该圆与直线BC相交的两点),设△ABC中,BC边上的高为h,则S△ABC=?·BC·h取最大值时,h=?,即
(S△ABC)max=?×3×?=?.
解法二:由BC=3,BC=3DC可得BD=2,设△ABC中,BC边上的高为h,在△ABD中,AB2+AD2=5,设∠
BAD=α,由余弦定理可得cos α=?,即AB·AD=?>0,可知α∈?,则S△ABD=?·
AB·AD·sin α=?·BD·h,可得h=?,又?=2·AB·AD≤AB2+AD2=5,当且仅当AB=AD时取“=”,
所以cos α≥?,又α∈?,从而tan α≤2?,所以S△ABC=?·BC·h=?≤?,即(S△ABC)max=??.
2.(2019 5·3高考考前原创预测卷七文,16)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,他的主要研究成果
集中在代表作《圆锥曲线论》一书中,其中阿波罗尼斯圆是研究成果之一.已知动点M与两定
点A,B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是关于点A,B的阿波罗尼斯圆.我们据此来
研究一个相关问题:已知圆O:x2+y2=9和点A(-1,0),点B(3,1),M为圆O上一动点,则3|MA|+|MB|的最
小值为 ????.
答案?????
解析 令3|MA|=|MC|,则?=?,由题意可得圆x2+y2=9是关于点A,C的阿波罗尼斯圆,且λ=?.
设M(x,y),C(m,n),则(x-m)2+(y-n)2=9[(x+1)2+y2].
整理得8x2+8y2+(2m+18)x+2ny=m2+n2-9,
由题意得该方程等价于x2+y2=9,
由对应项系数相等可得m=-9,n=0,
即点C的坐标为(-9,0),
∴3|MA|+|MB|=|MC|+|MB|≥|BC|=?,当M在线段BC与圆O的交点处时取等号.
