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第二章 二次函数
北师版
2．1 二次函数
C
B
3．(绵阳期末)若y＝(m2＋m)xm2－2m－1－x＋3是关于x的二次函数，则( )
A．m＝－1或m＝3
B．m≠1且m≠0
C．m＝－1
D．m＝3
D
4．二次函数y＝2(3x－1)(2－x)化为一般式为y＝ _______________，
其中a＝ ____，b＝____，c＝_____.
5．二次函数y＝x2－2x－4，当x＝2时，函数值y＝ _____；
当x＝__________时，函数y的值为－1.
－6x2＋14x－4
－6
14
－4
－4
3或－1
6．已知函数y＝(m2－1)x2＋(m－1)x＋3.
(1)当m为何值时，此函数是二次函数？
(2)当m为何值时，此函数是一次函数？
解：(1)m≠±1 (2)m＝－1
7．下列关系中，为二次函数的是( )
A．大米每千克4元，购买数量x千克与所付钱数y元
B．圆的面积S(cm2)与半径r(cm)
C．矩形的面积为20(cm2)，两邻边长x(cm)与y(cm)
D．气温T(℃)随时间t(时)的变化
B
A
9．已知矩形的周长为80 cm，设它的一边长为x cm，那么矩形的面积y(cm2)与x(cm)之间的函数关系式为____________，自变量x的取值范围是________.
10．某商店1月份的利润是2500元，3月份的利润达到y元，
若设这两个月的平均月增长率为x，
则利润y元与月增长率x之间的函数关系式为_______________.
y＝－x2＋40x
0＜x＜40
y＝2500(x＋1)2
11．正方形的边长为5 cm，若正方形的边长增加x cm时，其面积增加y cm2.
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)当正方形的边长分别增加2 cm，3 cm时，正方形的面积分别增加多少？
解：(1)y＝(5＋x)2－52＝x2＋10x
(2)当x＝2时，y＝22＋10×2＝24；
当x＝3时，y＝32＋10×3＝39.
所以当正方形的边长分别增加2 cm，3 cm时，
正方形的面积分别增加24 cm2，39 cm2
D
D
10
15.(遂宁期中)如图，用长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场ABCD，已知墙长为14 m，设边AD的长为x(m)，矩形ABCD的面积为y(m2)．
(1)求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)当y＝108时，求x的值．
解：(1)y＝－2x2＋30x(8≤x＜15) (2)x＝9
16．跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程s(m)与所经过的时间t(s)之间的关系为s＝at2.
(1)根据表中的数据，写出s关于t的函数表达式；
(2)完成上面自变量t与函数值s的对应值表；
(3)如果跳伞运动员从5100 m的高空跳伞，为确保安全，必须在离地面600 m之前打开降落伞．问运动员在空中不打开降落伞的时间至多有几秒？
解：(1)s＝5t2 (2)5 20 80
(3)由题意得s＝5t2＝5100－600，∴t2＝900.
∵t＞0，∴t＝30.∴运动员在空中不打开降落伞的时间至多有30 s
t(s) 0 1 2 3 4 …
s(m) 0 45 …
17．某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x元(x>50)，每月销售这种篮球获利y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价应定为多少元？
解：(1)y＝[500－10(x－50)](x－40)＝
－10x2＋1400x－40000(50＜x＜100)
(2)当y＝8000时，x＝60或80.
结合题意，要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元
1．形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数且a≠0)的函数叫做二次函数．
2．二次函数应满足三个条件：
①函数式是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为零．
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第二章 二次函数
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2.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y＝±x2的图象与性质
A
1．下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是( )
2．关于y＝x2的图象下列描述错误的是( )
A．图象的形状是抛物线 B．开口方向向上
C．关于x轴对称 D．有最低点(0，0)
C
3．(广州中考)已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而____．
(填“增大”或“减小”)
增大
4．(1)画y＝x2的图象；
(2)根据图象，求出当y＝1时，x的值；
(3)根据图象，写出当x取何值时，y≥4.
解：(1)画图略
(2)x＝±1
(3)由图象知，当y≥4时，x≥2或x≤－2
5．抛物线y＝－x2不具有的性质是( )
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．与y轴不相交 D．最高点是原点
6．抛物线y＝－x2，当－1≤x≤3时，y的取值范围是( )
A．－1≤y≤9 B．－9≤y≤0
C．－9≤y≤－1 D．－1≤y≤3
C
B
7．关于二次函数y＝x2与y＝－x2的图象，下列叙述正确的有( )
①它们的图象都是抛物线；
②它们的图象的对称轴都是y轴；
③它们的图象都经过点(0，0)；
④二次函数y＝x2的图象开口向上，二次函数y＝－x2的图象开口向下．
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
A
8．点A(3，m)是抛物线y＝－x2上的一点，则m＝ _____，
点A关于y轴的对称点B的坐标是 __________，也在抛物线y＝－x2上．
－9
(－3，－9)
10．已知a＜－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)
都在函数y＝x2的图象上，则( )
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
C
11.如图，从y＝－x2的图象上可看出当－3函数y的取值范围是_____________.
－9＜y≤0
12．已知函数y＝(m＋2)xm2＋4m＋5是关于x的二次函数．求：
(1)满足条件的m的值；
(2)m为何值时，抛物线具有最高点？求出这个最高点，
此时，当x为何值时，y随x的增大而增大？
解：(1)依题意，得m2＋4m＋5＝2且m＋2≠0，解得m＝－1或－3
(2)当m＝－1时，y＝x2，当m＝－3时，y＝－x2，
∴当m＝－3时，抛物线有最高点，
最高点的坐标为(0，0)，此时，当x＜0时，y随x的增大而增大
(2)
14．已知抛物线y＝－x2与直线y＝3x＋m都经过点(2，n)．
(1)画出y＝－x2的图象，并求出m，n的值；
(2)两者是否存在另一个交点？若存在，请求出这个点的坐标；
若不存在，请说明理由．
解：(1)画图略，把点(2，n)的坐标代入y＝－x2中，得n＝－22＝－4，
把点(2，－4)的坐标代入y＝3x＋m中，得－4＝3×2＋m，∴m＝－10
15．如图，在抛物线y＝－x2上取三点A，B，C.
设点A，B的横坐标分别为a(a＞0)，a＋1，直线BC与x轴平行．
(1)把△ABC的面积S用a表示；
(2)当△ABC的面积S为15时，求a的值；
(3)当△ABC的面积S为15时，在线段BC上求一点D，使△ACD的面积为7.
1．y＝x2，y＝－x2的图象都是一条抛物线，且顶点为(0，0)，对称轴为y轴．
2．y＝x2的图象开口向上，当x<0时，y随x增大而减小，当x>0时，y随x增大而增大，y最小值＝0.
3．y＝－x2的图象开口向下，当x<0时，y随x增大而增大，当x>0时，y随x增大而减小，y最大值＝0.
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第二章 二次函数
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2.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y＝ax2及y＝ax2＋c的图象与性质
B
C
③①②④
C
B
7．坐标平面上有一函数y＝24x2－48的图象，其顶点坐标为( )
A．(0，－2) B．(1，－24)
C．(0，－48) D．(2，48)
8．把抛物线y＝ax2＋c向上平移2个单位，得到抛物线y＝x2，
则a，c的值分别为( )
A．1，2 B．1，－2
C．－1，2 D．－1，－2
C
B
9．(1)抛物线y＝x2－1的开口方向____，有最___值，
在对称轴的右侧y随x的增大而_____；
(2)(淮安中考)将二次函数y＝x2－1的图象向上平移3个单位长度，
得到的图象所对应的函数表达式是______________.
上
小
增大
y＝x2＋2
11．(南充期中)函数y＝ax2－a与y＝ax－a(a≠0)
在同一坐标系中的图象可能是( )
C
12．已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，
下列说法中正确的是( )
A．若y1＝y2，则x1＝x2
B．若x1＝－x2，则y1＝－y2
C．若0y2
D．若x1y2
D
13．二次函数y＝－x2＋2的图象关于x轴对称的抛物线的表达式为( )
A．y＝－x2－2 B．y＝x2＋2
C．y＝x2－2 D．y＝－x2＋2
14．已知函数y＝ax2＋c的图象与函数y＝－3x2－2的图象关于x轴对称，
则a＝___，c＝___.
C
3
2
17．(衡阳中考改编)如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x＋1相交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM，BM.
(1)求抛物线的解析式；
(2)判断△ABM的形状，并说明理由．
1．y＝ax2中|a|越大，开口越小．
2．将抛物线y＝ax2向上平移k个单位得到y＝ax2＋k，
向下平移k个单位得到y＝ax2－k.
3．若两条抛物线形状相同，则二次项系数的绝对值相等，
若两条抛物线开口方向相反，则二次项系数异号．
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第二章 二次函数
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2.2 二次函数的图象与性质
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
1．二次函数y＝(x－1)2的大致图象是( )
2．抛物线y＝(x－1)2与y轴的交点坐标为( )
A．(1，0) B．(－1，0)
C．(0，－1) D．(0，1)
A
D
C
4．函数y＝(x＋2)2图象的开口方向_____，对称轴是_______，
顶点坐标是_________，当x______时，y随x的增大而增大；
当x______时，y随x的增大而减小；函数y＝(x＋2)2有最____值，为___.
向上
x＝－2
(－2，0)
＞－2
＜－2
小
0
5．已知抛物线y＝a(x－3)2经过点(1，－2)．
(1)求a的值；
(2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
6．(岳阳中考)抛物线y＝3(x－2)2＋5的顶点坐标是( )
A．(－2，5) B．(－2，－5)
C．(2，5) D．(2，－5)
7．(成都中考)将抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为( )
A．y＝(x＋2)2－3 B．y＝(x＋2)2＋3
C．y＝(x－2)2＋3 D．y＝(x－2)2－3
C
A
8．二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图，
则一次函数y＝mx＋n的图象经过( )
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、三、四象限
C
9．抛物线y＝－2(x－1)2－3的开口方向_____，
其顶点坐标是________，对称轴是直线_____，
当x>1时，函数值y随自变量x的值的增大而_____．
向下
(1，－3)
x＝1
减小
C
12．(天津中考)已知二次函数y＝(x－h)2＋1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为( )
A．1或－5 B．－1或5
C．1或－3 D．1或3
B
14．已知抛物线y＝a(x＋2)2过点(1，－3)．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)指出抛物线的对称轴、顶点坐标；
(3)当x取何值时，y随x的增大而增大？
(2)对称轴是直线x＝－2，顶点坐标为(－2，0)
(3)当x＜－2时，y随x的增大而增大
1．y＝a(x－h)2＋k图象顶点为(h，k)，对称轴为x＝h，
当a>0时，开口向上，y最小值＝k.当a<0时，开口向下，y最大值＝k.
2．抛物线在坐标平面内移动规律：上加下减，左加右减．
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第二章 二次函数
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2.2 二次函数的图象与性质
第4课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
C
2．(成都中考)关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是( )
A．图象与y轴的交点坐标为(0，1)
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为－3
D
3．已知二次函数y＝－2x2－8x－6，
当x_____时，y随x的增大而增大；
当x＝ ____时，y有最大值是____.
＜－2
－2
2
－3
5．已知二次函数y＝x2＋2x－1.
(1)画出函数的图象；
(2)指出该函数图象的开口方向、顶点坐标及对称轴．
解：(1)略 (2)开口向上，顶点坐标为(－1，－2)，对称轴为直线x＝－1
6．(兰州中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，
点C在y轴的正半轴上，且OA＝OC，则( )
A．ac＋1＝b B．ab＋1＝c
C．bc＋1＝a D．以上都不是
7．若二次函数y＝ax2＋bx＋c经过原点和第一、二、三象限，则( )
A．a>0，b>0，c＝0 B．a>0，b<0，c＝0
C．a<0，b>0，c＝0 D．a<0，b<0，c＝0
A
A
8．(巴中中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，下列结论：
①abc＜0；②2a＋b＝0；③a－b＋c＞0；④4a－2b＋c＜0.
其中正确的是( )
A．①② B．只有①
C．③④ D．①④
D
B
10．(德州中考)如图，函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( )
11．(绍兴中考)若抛物线y＝x2＋ax＋b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )
A．(－3，－6) B．(－3，0)
C．(－3，－5) D．(－3，－1)
B
12．(兰州中考)点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是______________.
y1＝y2＞y3
13．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m－2.
(1)当m为何值时，它的图象经过坐标原点？
(2)当m在什么范围内取值时，该函数的图象的顶点在第四象限内？
解：(1)由题意得m2＋m－2＝0，∴m＝－2或m＝1
解：(1)A点坐标为(4，0)，D点坐标为(－2，0)，C点坐标为(0，－3)
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第二章 二次函数
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2.3 确定二次函数的表达式
第1课时 已知两个条件求二次函数的表达式
C
1．已知二次函数y＝x2＋bx－2的图象与x轴的一个交点为点(1，0)，
则该二次函数的表达式为( )
A．y＝x2－2x B．y＝x2＋x－1
C．y＝x2＋x－2 D．y＝x2－x－2
2．二次函数y＝ax2＋c的图象经过点(1，－6)和(2，3)，
则对应的抛物线的表达式为( )
A．y＝3x2－9 B．y＝3x2＋9
C．y＝－3x2－9 D．y＝－3x2＋9
A
3．二次函数y＝x2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，
则m的值为_____.
4.如果抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0，－2)，B(－1，1)两点，
那么此抛物线经过第_____________象限．
－1
二、三、四
x －2 －1 0 1 2 3 4
y 7 2 －1 －2 m 2 7
5．(宜宾期末)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过坐标原点，
并与x轴交于点A(2，0)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若抛物线上有一点B，使S△OAB＝3，求B点的坐标．
解：(1)把(0，0)，(2，0)两点坐标代入y＝x2＋bx＋c可得b＝－2，c＝0.
∴抛物线的表达式是y＝x2－2x
6．已知抛物线y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是(－1，－2)，则b与c的值分别为( )
A．－1，－2 B．4，－2 C．－4，0 D．4，0
D
C
8．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，
则抛物线的函数表达式为_________________.
y＝－x2＋4x－3
A
9．抛物线y＝x2＋bx＋c(其中b，c是常数)，过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y＝0(1≤x≤3)有交点，则c的值不可能是( )
A．4 B．6 C．8 D．10
10．已知b<0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列四个图象之一，
试根据图象分析，a的值应等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
C
11．开口向下的抛物线y＝(m2－2)x2＋2mx＋1的
对称轴经过点(－1，3)，则m＝____.
－1
13．(衢州中考改编)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式；
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
1．已知二次函数某项系数及点的坐标确定表达式时，将点的坐标代入即可．
2．已知二次函数顶点坐标确定表达式时一般设顶点式求表达式．
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第二章 二次函数
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2.3 确定二次函数的表达式
第2课时 已知三个条件求二次函数的表达式
D
1．二次函数的图象经过(0，3)，(－2，－5)，(1，4)三点，
则它的表达式为( )
A．y＝x2＋6x＋3 B．y＝－x2－2x＋3
C．y＝2x2＋8x＋3 D．y＝－x2＋2x＋3
2．若抛物线经过点(3，0)和(2，－3)，且以直线x＝1为对称轴，
则该抛物线的表达式为( )
A．y＝－x2－2x－3 B．y＝x2－2x＋3
C．y＝x2－2x－3 D．y＝－x2＋2x－3
C
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，
则这个二次函数的表达式为_______________.
4．抛物线y＝x2＋bx＋c图象向右平移3个单位再向下平移4个单位，
所得图象的表达式为y＝x2－2x－4，则b＝___，c＝___.
y＝x2－x－2
4
3
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；
当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的表达式．
6．已知某二次函数的图象如图所示，则该函数表达式为( )
A．y＝－x2＋2x＋3
B．y＝x2－2x－3
C．y＝－x2－2x＋3
D．y＝－x2－2x－3
A
7．二次函数图象经过(－1，0)，(3，0)和(4，2)三点，
则这个函数表达式为__________________．
8．已知抛物线与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)．
(1)求出这个二次函数表达式；
(2)并求出抛物线的对称轴和顶点坐标．
解：(1)由题意可设y＝a(x＋2)(x－1)，把点C(2，8)代入表达式中得a＝2，
∴二次函数表达式为y＝2(x＋2)(x－1)＝2x2＋2x－4
9．(海南中考)如图，抛物线y＝ax2－6x＋c与x轴交于点A(－5，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C(0，－5)，点P是抛物线上的动点，连接PA，PC，PC与x轴交于点D.
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)若点P的坐标为(－2，3)，请求出此时△APC的面积．
解：(1)设抛物线解析式为y＝a(x＋5)(x＋1)，
把C(0，－5)代入，得a·5·1＝－5，解得a＝－1，
∴抛物线的解析式为y＝－(x＋5)(x＋1)＝－x2－6x－5
10．(自贡期末)若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是( )
A.y＝x2－4x＋3 B．y＝x2－3x＋4
C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋8
A
x －1 0 1
ax2 1
ax2＋bx＋c 8 3
11．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，12)，(0，5)，
且当x＝2时，y＝－3，则a＋b＋c的值为( )
A．1 B．0 C．－2 D．4
12．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，
(3，0)和(0，2)，当x＝2时，y的值为____.
B
2
14．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)设二次函数与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标．
(2)令y＝0，得x1＝2，x2＝－1，∴P的坐标为(－1，0)
15．(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式．
①y随x变化的部分数值规律如下表：
②有序实数对(－1，0)，(1，4)，(3，0)满足y＝ax2＋bx＋c；
③已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分如图所示；
(2)直接写出(1)中二次函数y＝ax2＋bx＋c的三个性质．
x －1 0 1 2 3
y 0 3 4 3 0
(2)抛物线y＝－x2＋2x＋3的性质：
①开口向下；②对称轴为直线x＝1；③当x＝1时，函数有最大值为4；④与x轴有2个交点；⑤当x＜1时，y随x的增大而增大；⑥与y轴正半轴相交
16．如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过
点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；
(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、
对称轴和y轴围成的图形的面积S.(图②中的阴影部分)
解：(1)y＝x2－4x＋3 (2)顶点坐标为(2，－1)，对称轴为直线x＝2 (3)2
1．若已知三点坐标确定二次函数表达式时，
应设二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋c.
2．若已知抛物线与x轴两交点坐标为(x1，0)和(x2，0)
求二次函数表达式时，
设二次函数为y＝a(x－x1)(x－x2)的形式确定表达式较易．
(共19张PPT)
第二章 二次函数
北师版
2．4 二次函数的应用
第2课时 实际问题中的最大利润问题
1．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，
已知该商品单价每上涨2元，其销售量就减少10个．
设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是( )
A．y＝(x－35)(400－5x)
B．y＝(x－35)(600－10x)
C．y＝(x＋5)(200－5x)
D．y＝(x＋5)(200－10x)
A
2．童装专卖店销售一种童装，已知这种童装每天所获得的利润y(元)与童装的销售单价x(元)之间满足关系式：y＝－x2＋50x－100，则要想每天获得最大利润，单价需定为( )
A．25元 B．20元
C．30元 D．40元
A
3．某文具店出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(12－x)个，
则当x＝____时，一天出售这种文具盒的总利润y最大．
6
4．(淮安中考)某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．
(1)当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为________件；
(2)当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．
解：(1)由题意得200－10×(52－50)＝200－20＝180(件)，故答案为180
(2)由题意得y＝(x－40)[200－10(x－50)]＝－10x2＋1100x－28000＝
－10(x－55)2＋2250，
∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元
5．(达州中考)“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．
(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？
(2)若该型号自行车的进价不变，按(1)中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？
解：(1)设进价为x元，则标价是1.5x元，由题意得1.5x×0.9×8－8x＝
(1.5x－100)×7－7x，解得x＝1000，1.5×1000＝1500(元)，
答：进价为1000元，标价为1500元
6．某产品每件的成本是120元，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的月销售量y(件)满足当x＝130时，y＝70；当x＝150时，y＝50，且y是x的一次函数，为获得最大销售利润，每件产品的售价应定为_____元．
160
7．(十堰中考)为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x(元)和游客居住房间y(间)的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象如图所示：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？
解：(1)当y＝15时，15＝－5x2＋20x，解得，x1＝1，x2＝3，
答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是1 s或3 s
(2)当y＝0时，0＝－5x2＋20x，解得x1＝0，x2＝4，∵4－0＝4，
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s
(3)y＝－5x2＋20x＝－5(x－2)2＋20，∴当x＝2时，y取得最大值，
此时y＝20，
答：在飞行过程中，小球飞行高度第2 s时最大，最大高度是20 m
12．(绍兴中考)例题：有一个窗户形状如图①，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6 m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35 m时，透光面积最大值约为1.05 m2.
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料总长仍为6 m，利用图③，解答下列问题：
(1)若AB为1 m，求此时窗户的透光面积；
(2)与例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
1．利用二次函数求几何图形的最大面积的基本方法：
(1)引入自变量；
(2)用含自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量；
(3)根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积；
(4)根据函数关系式，求出最大值及取得最大值时自变量的值．
(共21张PPT)
第二章 二次函数
北师版
2．4 二次函数的应用
第2课时 实际问题中的最大利润问题
1．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，
已知该商品单价每上涨2元，其销售量就减少10个．
设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是( )
A．y＝(x－35)(400－5x)
B．y＝(x－35)(600－10x)
C．y＝(x＋5)(200－5x)
D．y＝(x＋5)(200－10x)
A
2．童装专卖店销售一种童装，已知这种童装每天所获得的利润y(元)与童装的销售单价x(元)之间满足关系式：y＝－x2＋50x－100，则要想每天获得最大利润，单价需定为( )
A．25元 B．20元
C．30元 D．40元
A
3．某文具店出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(12－x)个，
则当x＝____时，一天出售这种文具盒的总利润y最大．
6
4．(淮安中考)某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．
(1)当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为________件；
(2)当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．
解：(1)由题意得200－10×(52－50)＝200－20＝180(件)，故答案为180
(2)由题意得y＝(x－40)[200－10(x－50)]＝－10x2＋1100x－28000＝
－10(x－55)2＋2250，
∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元
5．(达州中考)“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．
(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？
(2)若该型号自行车的进价不变，按(1)中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？
解：(1)设进价为x元，则标价是1.5x元，由题意得1.5x×0.9×8－8x＝
(1.5x－100)×7－7x，解得x＝1000，1.5×1000＝1500(元)，
答：进价为1000元，标价为1500元
6．某产品每件的成本是120元，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的月销售量y(件)满足当x＝130时，y＝70；当x＝150时，y＝50，且y是x的一次函数，为获得最大销售利润，每件产品的售价应定为_____元．
160
7．(十堰中考)为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x(元)和游客居住房间y(间)的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象如图所示：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？
(2)设合作社每天获得的利润w元，
w＝x(－0.5x＋110)－20(－0.5x＋110)＝－0.5x2＋120x－2200＝
－0.5(x－120)2＋5000，∵60≤x≤150，
∴当x＝120时，w取得最大值，此时w＝5000，
答：房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元
8．(温州中考)温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排x人生产乙产品．
(1)根据信息填表：
产品种类 每天工人
数(人) 每天产量
(件) 每件产品可
获利润(元)
甲 ______ ______ 15
乙 x x ______
(2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，
求每件乙产品可获得的利润；
(3)该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙(每人每天只能生产一件产品)，丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W(元)的最大值及相应的x值．
解：(1)65－x 130－2x 130－2x
(1)李明第几天生产的粽子数量为280只？
(2)如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？(利润＝出厂价－成本)
解：(1)设李明第x天生产的粽子数量为280只，
由题意可知：20x＋80＝280，解得x＝10.
答：第10天生产的粽子数量为280只
求解最大利润问题的一般步骤：
(1)引入自变量；
(2)用含有自变量的代数式分别表示销售单价或销售量及销售收入；
(3)用函数表示利润，根据总利润＝总收入－总成本或总利润＝单价利润×销售数量，列出二次函数关系式；
(4)利用二次函数关系式求出最值及取得最值时自变量的值．
(共20张PPT)
第二章 二次函数
北师版
2．5 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程根的关系
知识点1：二次函数与一元二次方程根的关系
1．小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( )
A．无解
B．x＝1
C．x＝－4
D．x1＝－1，x2＝4
D
A
D
4．(自贡中考)若函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为___________.
5．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1＝1，x2＝2，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标分别为_______________________.
6．(黔南州中考)已知：二次函数y＝ax2＋bx＋c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为______________________.
－1
(1，0)，(2，0)
x1＝－1，x2＝3
x … －1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
知识点2：二次函数与一元二次方程的应用
7．二次函数y＝x2－2(m＋1)x＋4m的图象与x轴的关系是( )
A．没有交点 B．只有一个交点
C．只有两个交点 D．至少有一个交点
8．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A．c＞－1
B．b＞0
C．2a＋b≠0
D．9a2＋c＞3b
D
D
9．(天津中考)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)经过点(－1，0)，(0，3)，其对称轴在y轴右侧．有下列结论：
①抛物线经过点(1，0)；②方程ax2＋bx＋c＝2有两个不相等的实数根；③－3＜a＋b＜3.其中，正确结论的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
C
10．(达州期末)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的对称轴是直线x＝1.
(1)求证：2a＋b＝0；
(2)若关于x的方程ax2＋bx－8＝0的一个根为4，求方程的另一个根．
11．若二次函数y＝x2＋bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2＋bx＝5的解为( )
A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝1，x2＝5
C．x1＝1，x2＝－5 D．x1＝－1，x2＝5
D
12．如图是函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是_____________________．
有两个相等的实根
13．在体育测试时，九(1)班一名同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图，如果这个男同学出手处A点的坐标为(0，2)，铅球经过路线的最高处B的坐标为(6，5)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求铅球掷出的最远距离．
14．(黄冈中考)已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.
(1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点；
(2)设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k＝－2时，求△OAB的面积．
15．已知关于x的方程kx2＋(2k＋1)x＋2＝0.
(1)求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；
(2)当抛物线y＝kx2＋(2k＋1)x＋2与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P(a，y1)，Q(1，y2)是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；
(3)已知抛物线y＝kx2＋(2k＋1)x＋2恒过定点，求出定点坐标．
∴当y1＞y2时，a＜－4或a＞1 (3)∵y＝kx2＋(2k＋1)x＋2，∴(x2＋2x)k＋x＋2－y＝0，即(x2＋2x)k＝y－x－2.∵此抛物线恒过定点，∴x2＋2x＝0，且y－x－2＝0，∴x＝0，y＝2或x＝－2，y＝0.故抛物线y＝kx2＋(2k＋1)x＋2恒过定点(0，2)与(－2，0)
1．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴两交点的横坐标x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实根．
2．Δ＝b2－4ac的值分别大于0，等于0，小于0时，抛物线与x轴的交点个数分别为两个，一个和零个．
(共21张PPT)
第二章 二次函数
北师版
2．5 二次函数与一元二次方程
第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
知识点1：用图象法求一元二次方程的近似根
1．根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解( )
A．x2－1＝－3x B．x2＋3x＋1＝0
C．3x2＋x－1＝0 D．x2－3x＋1＝0
A
2．根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解的范围是( )
A.3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
C
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标(－1，－3.2)及部分图象(如图所示)，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝____________.
－3.3
4．利用二次函数的图象求方程x2－x－6＝0的根．
解：函数y＝x2－x－6的图象如下：列表如下：
从图象可以看到抛物线与x轴的交点是(－2，0)，(3，0)，∴方程x2－x－6＝0的根是x1＝3，x2＝－2
知识点2：利用图象求相应一元二次不等式的解集
5．(广元月考)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是( )
A．x＜2
B．x＞－3
C．－3＜x＜1
D．x＜－3或x＞1
C
6．二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是( )
A．x＜－1
B．x＞2
C．－1＜x＜2
D．x＜－1或x＞2
C
7．如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A(3，0)，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________________________.
x＜－1或x＞3
8．如图所示，y1＝ax2＋bx＋c与y2＝mx＋n的图象交于两点，根据图象信息回答下列问题：
(1)x为何值时，y1＜y2?
(2)x为何值时，y1＝y2?
(3)x为何值时，y1＞y2?
解：(1)当－2＜x＜1时，y1＜y2
(2)x＝－2或x＝1时，y1＝y2
(3)当x＜－2或x＞1时，y1＞y2
9．(定西中考改编)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)图象的一部分，与x轴的交点A在点(2，0)和(3，0)之间，对称轴是x＝1.对于下列说法：①ab＜0；②2a＋b＝0；③3a＋c＞0；④当－1＜x＜3时，y＞0.其中正确的是( )
A．①②
B．①②④
C．②③
D．③④
A
10．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则ax2＋bx＋c＞0时，x的取值范围是x＞3或x＜－1，ax2＋bx＋c＜－1时，x的取值范围是0＜x＜2.
11．抛物线y＝－x2＋(m－1)x＋m与y轴交于点(0，3)．
(1)求出m的值，并画出该函数的图象；
(2)求抛物线与x轴的交点和顶点坐标；
(3)当x取什么值时，抛物线在x轴上方？
(4)当x取什么值时，y的值随x的增大而减小．
解：(1)∵抛物线y＝－x2＋(m－1)x＋m与y轴交于点(0，3)，∴m＝3.图象如图所示.
(2)抛物线与x轴的交点为(－1，0)，(3，0)，顶点坐标为(1，4)
(3)当－1＜x＜3时，抛物线在x轴上方
(4)当x＞1时，y的值随x的增大而减小
12．如图，一次函数y1＝kx＋b与二次函数y2＝ax2的图象交于A，B两点．
(1)利用图中条件，求两个函数的表达式；
(2)根据图象写出使y1＞y2的x的取值范围．
13．如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，2)．
(1)求m的值和抛物线的表达式；
(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集(直接写出答案)；
(3)若M(a，y1)，N(a＋1，y2)两点都在抛物线y＝x2＋bx＋c上，试比较y1与y2的大小．
1．利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的方法：
(1)先画出函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象；
(2)确定抛物线与x轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间；
(3)列表，在(2)中的两整数之间取值，从而利用计算器确定方程的近似根．
2．数形结合是利用图象求相应一元二次不等式的解集的关键．
