2019年华侨、港澳、台联考高考数学真题试卷 解析版

2019年港澳、华侨、台联考高考数学试卷
一、选择题：
1．设集合P＝{x|x2﹣2＞0}，Q＝{1，2，3，4}，则P∩Q的非空子集的个数为（　　）
A．8 B．7 C．4 D．3
2．复数z＝在复平面内对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若直线x＝5与圆x2+y2﹣6x+a＝0相切，则a＝（　　）
A．13 B．5 C．﹣5 D．﹣13
4．经过点（1，﹣1，3）且与平面2x+y﹣z+4＝0平行的平面方程为（　　）
A．2x+y﹣z+2＝0 B．2x+y+z﹣6＝0 C．2x+y+z﹣4＝0 D．2x+y﹣z﹣3＝0
5．下列函数中，为偶函数的是（　　）
A．y＝（x+1）2 B．y＝2﹣x
C．y＝|sinx| D．y＝lg（x+1）+lg（x﹣1）
6．（2+1）6的展开式中x的系数是（　　）
A．120 B．60 C．30 D．15
7．若x2+2除x4+3x3+a的余式为﹣6x，则a＝（　　）
A．16 B．8 C．4 D．﹣4
8．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0），过C的左焦点且垂直于x轴的直线交C于M，N两点，若以MN为直径的圆经过C的右焦点，则C的离心率为（　　）
A．+1 B．2 C． D．
9．3+33+35+…+32n+1＝（　　）
A．（9n﹣1） B．（9n+1﹣1） C．（9n﹣1） D．（9n+1﹣1）
10．已知tanA＝2，则＝（　　）
A． B． C．3 D．5
11．在Rt△ABC中，AB＝BC，在BC边上随机取点P，则∠BAP＜30°的概率为（　　）
A． B． C． D．
12．正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形，E，F分别是AB，BC的中点，则PB与平面PEF所成角的正弦为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
13．若函数f（x）＝eax+ln（x+1），f'（0）＝4，则a＝　 　．
14．已知向量＝（1，m），＝（3，1），若⊥，则m＝　 　．
15．若5个男生和2个女生随机排成一行，则两端都是女生的概率为　 　．
16．若log（4x﹣1）＞﹣2，则x的取值范围是　 　．
17．已知平面α截球O的球面所得圆的面积为π，O到α的距离为3，则球O的表面积为　 　．
18．已知f（x）＝，若f（a）+f（﹣2）＝0，则a＝　 　
三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．已知函数f（x）＝2sin2x﹣4cos2x+1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）设g （x）＝f（），求g（x）在区间[0，]的最大值与最小值．
20．已知点A1（﹣2，0），A2（2，0），动点P满足PA1与PA2的斜率之积等于﹣，记P的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）设过坐标原点的直线1与C交于M，N两点，且四边形MA1NA2的面积为2，求l的方程．
21．数列{an}中，a1＝，2an+1an+an+1﹣an＝0．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求满足a1a2+a2a3+…+an﹣1an＜的n的最大值．
22．已知函数f（x）＝（x2﹣ax）．
（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间[0，2]的最小值为﹣，求a．




参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合P＝{x|x2﹣2＞0}，Q＝{1，2，3，4}，则P∩Q的非空子集的个数为（　　）
A．8 B．7 C．4 D．3
解：；
∴P∩Q＝{2，3，4}；
∴P∩Q的非空子集的个数为：个．
故选：B．
2．复数z＝在复平面内对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：∵z＝＝，
∴z在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），在第三象限．
故选：C．
3．若直线x＝5与圆x2+y2﹣6x+a＝0相切，则a＝（　　）
A．13 B．5 C．﹣5 D．﹣13
解：根据题意，圆x2+y2﹣6x+a＝0即（x﹣3）2+y2＝9﹣a，
其圆心为（3，0），半径r＝，
若直线x＝5与圆x2+y2﹣6x+a＝0相切，则圆的半径r＝5﹣3＝2，
则有＝2，
解可得：a＝5；
故选：B．
4．经过点（1，﹣1，3）且与平面2x+y﹣z+4＝0平行的平面方程为（　　）
A．2x+y﹣z+2＝0 B．2x+y+z﹣6＝0 C．2x+y+z﹣4＝0 D．2x+y﹣z﹣3＝0
解：设与平面2x+y﹣z+4＝0平行的平面方程为2x+y﹣z+k＝0，
代入点（1，﹣1，3），得2×1﹣1﹣3+k＝0，解得k＝2，
则所求的平面方程为2x+y﹣z+2＝0．
故选：A．
5．下列函数中，为偶函数的是（　　）
A．y＝（x+1）2 B．y＝2﹣x
C．y＝|sinx| D．y＝lg（x+1）+lg（x﹣1）
解：A．函数关于x＝﹣1对称，函数为非奇非偶函数，
B．函数的减函数，不具备对称性，不是偶函数，
C，f（﹣x）＝|sin（﹣x）|＝|﹣sinx|＝|sinx|＝f（x），
则函数f（x）是偶函数，满足条件．
D．由得得x＞1，函数的定义为（1，+∞），定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，
故选：C．
6．（2+1）6的展开式中x的系数是（　　）
A．120 B．60 C．30 D．15
解：由二项式（2+1）6的展开式的通项为Tr+1＝（2）6﹣r＝26﹣rx，
令＝1，
解得r＝4，
则（2+1）6的展开式中x的系数是22＝60，
故选：B．
7．若x2+2除x4+3x3+a的余式为﹣6x，则a＝（　　）
A．16 B．8 C．4 D．﹣4
解：x4+3x3+a＝（x2+2）（x2+3x﹣2）﹣6x+a+4，
∵x2+2除x4+3x3+a的余式为﹣6x，
∴a+4＝0，∴a＝﹣4．
故选：D．
8．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0），过C的左焦点且垂直于x轴的直线交C于M，N两点，若以MN为直径的圆经过C的右焦点，则C的离心率为（　　）
A．+1 B．2 C． D．
解：设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，
∵以MN为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，∴|F1M|＝|F1F2|，
∴＝2c，
∴c2﹣a2＝2ac，
∴e2﹣2e﹣1＝0，
∴e＝±1，
∵e＞1，
∴e＝+1，
故选：A．
9．3+33+35+…+32n+1＝（　　）
A．（9n﹣1） B．（9n+1﹣1） C．（9n﹣1） D．（9n+1﹣1）
解：数列3，33，35，…，32n+1是首项为3，公比为32的等比数列；
且32n+1是第n+1项；
∴＝．
故选：D．
10．已知tanA＝2，则＝（　　）
A． B． C．3 D．5
解：tanA＝2，
则＝＝＝．
故选：B．
11．在Rt△ABC中，AB＝BC，在BC边上随机取点P，则∠BAP＜30°的概率为（　　）
A． B． C． D．
解：

在Rt△ABC中，AB＝BC，Rt△ABC为等腰直角三角形，令AB＝BC＝1，则：AC＝；
在BC边上随机取点P，当∠BAP＝30°时，BP＝tan30°＝，
在BC边上随机取点P，则∠BAP＜30°的概率为：p＝＝，
故选：B．
12．正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形，E，F分别是AB，BC的中点，则PB与平面PEF所成角的正弦为（　　）
A． B． C． D．
解：∵正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形，E，F分别是AB，BC的中点，
∴以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，
设PA＝PB＝PC＝2，
则A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，2），E（1，1，0），F（0，1，1），
＝（0，2，0），＝（1，1，0），＝（0，1，1），
设平面PEF的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，﹣1，1），
设PB与平面PEF所成角为θ，
则sinθ＝＝＝．
∴PB与平面PEF所成角的正弦值为．
故选：C．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
13．若函数f（x）＝eax+ln（x+1），f'（0）＝4，则a＝　3　．
解：由f（x）＝eax+ln（x+1），得f'（x）＝，
∵f'（0）＝4，∴f'（0）＝a+1＝4，
∴a＝3．
故答案为：3．
14．已知向量＝（1，m），＝（3，1），若⊥，则m＝　﹣3　．
解：∵；
∴；
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
15．若5个男生和2个女生随机排成一行，则两端都是女生的概率为　　．
解：5个男生和2个女生随机排成一行，总共有种A77排法；
两端都是女生的排法有：A21A55A11种；
由古典概型可得两端都是女生的概率为：P＝＝；
故答案为：P＝；
16．若log（4x﹣1）＞﹣2，则x的取值范围是　　．
解：log（4x﹣1）＞﹣2＝，
∴，∴，
∴x的取值范围为．
故答案为：．
17．已知平面α截球O的球面所得圆的面积为π，O到α的距离为3，则球O的表面积为　40π　．
解：∵平面α截球O的球面所得圆的面积为π，则圆的半径为1，
该平面与球心的距离d＝3，
∴球半径R＝．
∴球的表面积S＝4πR2＝40π．
故答案为：40π．
18．已知f（x）＝，若f（a）+f（﹣2）＝0，则a＝　2　
解：（1）若a＜0，则：f（a）+f（﹣2）＝2a﹣4＝0；
解得a＝2，不满足a＜0，这种情况不存在；
（2）若a≥0，则：f（a）+f（﹣2）＝a2﹣4＝0；
∴a＝2；
综上得，a＝2．
故答案为：2．
三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．已知函数f（x）＝2sin2x﹣4cos2x+1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）设g （x）＝f（），求g（x）在区间[0，]的最大值与最小值．
解：f（x）＝2sin2x﹣4cos2x+1＝1﹣cos2x﹣2（1+cos2x）+1＝﹣3cos2x．
（1）f（x）的最小正周期T＝；
（2）g （x）＝f（）＝，
∵x∈[0，]，
∴﹣3cosx∈[﹣3，]．
即g（x）在区间[0，]的最大值为﹣，最小值为﹣3．
20．已知点A1（﹣2，0），A2（2，0），动点P满足PA1与PA2的斜率之积等于﹣，记P的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）设过坐标原点的直线1与C交于M，N两点，且四边形MA1NA2的面积为2，求l的方程．
解：（1）设P（x，y），由题意可得k?k＝?＝﹣，
化为+y2＝1（x≠±2），
可得C的方程为+y2＝1（x≠±2）；
（2）当直线l的斜率不存在，即直线方程为x＝0，
可得四边形MA1NA2的面积为×4×2＝4，不符题意，舍去；
设直线l方程为y＝kx，代入方程+y2＝1，可得x2＝，y2＝，
由M，N关于原点对称，可得四边形MA1NA2的面积为|yM﹣yN|?|A1A2|＝?2?4＝2，
解得k＝±，
即有直线l的方程为y＝±x．
21．数列{an}中，a1＝，2an+1an+an+1﹣an＝0．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求满足a1a2+a2a3+…+an﹣1an＜的n的最大值．
解：（1）∵2an+1an+an+1﹣an＝0．
∴，又，
∴数列{}是以3为首项，2为公差的等差数列，
∴，∴；
（2）由（1）知，＝，
∴a1a2+a2a3+…+an﹣1an＝＝，
∵a1a2+a2a3+…+an﹣1an＜，∴＜，
∴4n+2＜42，∴n＜10，∵n∈N*，
∴n的最大值为9．
22．已知函数f（x）＝（x2﹣ax）．
（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间[0，2]的最小值为﹣，求a．
解：（1）当a＝1时，f（x）＝（x2﹣x），
则f'（x）＝（x≥0），令f'（x）＝0，则x＝，
∴当0＜x＜时，f'（x）＜0；当x＞时，f'（x）＞0．
∴f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）f'（x）＝（0≤x≤2），令f'（x）＝0，则x＝，
当a≤0时，f'（x）＞0，∴f（x）在[0，2]上单调递增，∴，不符合条件；
当时，，则当0＜x＜时，f'（x）＜0；当时，f（x）＞0，
∴f（x）在上单调递减，在上单调递增，
∴，∴a＝，符合条件；
当a＞时，，则当0＜x＜2时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，2）上单调递减，
∴，∴a＝，不符合条件．
∴f（x）在区间[0，2]的最小值为﹣，a的值为．