(共16张PPT)
1. 二次函数
北师版·九年级数学·下册
1.能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围.
2.注重学生参与,联系实际,丰富学生的感性认识,培养学生的良好的学习习惯.
重点：能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围.
难点：确定函数的自变量的取值范围.
阅读课本内容，了解本节主要内容.
全体实数
x
y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，
有意义
a≠0)
欣赏下面两幅图片：
篮球和水珠在空中走过一条曲线,在曲线的各个位置上,篮球(水珠)的竖直高度h与它距离投出位置(喷头)的水平距离x之间有什么关系?上面问题中变量之间的关系可以用二次函数来表示.
某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可销出约100件,该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销量可增加10件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大？
1.商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系？
[利润=(售价－进价)×销售量］
2.如果不降低售价,该商品每件利润是多少元？一天总的利润是多少元？
［10－8=2(元),(10－8)×100=200(元)］
3.若每件商品降价x元,则每件商品的利润是多少元？一天可销售约多少件商品？
［(10－8－x)；(100＋100x)］
某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可销出约100件,该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销量可增加10件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大？
4. x的值是否可以任意取？如果不能任意取,请求出它的范围。
［x的值不能任意取,其范围是0≤x≤2］
5.若设该商品每天的利润为y元,求y与x的函数关系式。
［y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)］
将函数关系式y=x(20－2x)(0＜x＜10)化为：
y=－2x2＋20x(0＜x＜10)………………(1)
(1)函数关系式①和②的自变量各有几个？(各有1个)
(2)多项式－2x2＋20x和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式？
(3)函数关系式①和②有什么共同特点？
自变量x为何值时,函数y取得最大值。
观察函数关系式①和②,并思考以下问题：
y=－2x2＋20x(0＜x＜10)……………①
y=－100x2＋100x＋200(0≤x≤2)……②
(分别是二次项式)
(都是用自变量的二次多项式来表示的)
二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数,a叫做二次项的系数,b叫做一次项的系数,c叫作常数项。
B
D
y＝x2＋6x
C
y＝πx2＋2πRx（x≥0）
例1：m取哪些值时,函数y=(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是以x为自变量的二次函数？
解析：
若函数y=(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是二次函数,则m2－m≠0.
若函数y=(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是二次函数,须满足的条件是：m2－m≠0.
解：
解得m≠0,且m≠1.
因此,当m≠0,且m≠1时,函数
y=(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)是二次函数.
例2：写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数.
(1)写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm)之间的函数关系；
(2)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间函数关系；
(3)某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金,若不计利息,求本息和y(元)与所存年数x之间的函数关系；
(4)菱形的两条对角线的和为26cm,求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系.
解：
(1)由题意,得S=6a2(a＞0),其中S是a的二次函数；
(2)由题意,得
(x＞0),其中y是x的二次函数；
(3)由题意,得y=10000＋1.98%x·10000(x≥0且是正整数),其中y是x的一次函数；
(4)由题意,得
(0＜x＜26),其中S是x的二次函数。
例3：正方形铁片边长为15cm,在四个角上各剪去一个边长为x(cm)的小正方形,用余下的部分做成一个无盖的盒子.
(1)求盒子的表面积S(cm2)与小正方形边长x(cm)之间的函数关系；
(2)当小正方形边长为3cm时,求盒子的表面积.
解：
(1)S=152－4x2=225－4x2
(2)当x=3cm时,S=225－4×32=189(cm2).
D
B
y＝－2x2＋12x－16
－2
12
-16
2
解：
10.如图所示,矩形的长为4cm,宽为3cm,如果矩形的长与宽都增加xcm,那么面积增加ycm2.
(1)写出y关于x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围；
(2)当矩形的长与宽都分别增加2cm、3cm时,矩形的面积各增加多少？
(3)要使矩形的面积增加为18cm2,长和宽
都增加多少米？
1.二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数,a叫做二次项的系数,b叫做一次项的系数,c叫作常数项.
2.许多实际问题可以转化为二次函数来解决,请你联系生活实际,编一道二次函数应用题,并写出函数关系式.
(共17张PPT)
2. 二次函数的图象与性质
北师版·九年级数学·下册
第一课时
1.使学生会用描点法画出y=x2的图象,理解抛物线的有关概念.
2.使学生经历、探索二次函数y=x2图象性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.
重点：使学生理解抛物线的有关概念,会用描点法画出二次函数y=x2的图象.
难点：用描点法画出二次函数y=x2图象以及探索二次函数性质.
阅读课本内容，了解本节主要内容.
抛物线
上
列表
描点
连线
y轴
(0,0)
低
增大
减小
x轴
1.同学们可以回想一下,一次函数的性质是如何研究的?
(先画出一次函数的图象,然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)
2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢？如果可以,应先研究什么？
(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质,应先研究二次函数的图象)
3.一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么？
画二次函数y=x2的图象.
(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点；
解：
(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：
-3 -2 -1 0 1 2 3
9 4 1 0 1 4 9
(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.
x … …
y … …
画二次函数y=x2的图象.
归纳：它有一条对称轴,且对称轴和图象有一点交点.
观察这个函数的图象,它有什么特点?
抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线.
顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
在同一直角坐标系中,画出函数据y=x2与y=－x2的图象,观察并比较两个图象,你发现有什么共同点？又有什么区别？
观察y=x2、y=－x2图象,填空：
当a＞0时,抛物线y=ax2开口________,在对称轴的左边,曲线自左向右________；在对称轴的右边,曲线自左向右________, ________是抛物线上位置最低的点.
讨论：当a＜0时,抛物线y=ax2开口向上,在对称轴的左边,曲线自左向右上升；在对称轴的右边,曲线自左向右下降,顶点是抛物线上位置最高的点.图象的这些特点,反映了当a＜0时,函数y=ax2的性质；当x＜0时,函数值y随x的增大而增大；与x＞0时,函数值y随x的增大而减小,当x=0时,函数值y=ax2取得最大值,最大值是y=0.
C
B
D
<
(-3,-9)和(2,-4)
D
例1：在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并指出它们有何共同点？有何不同点？
(1)y=2x2 (2)y=－2x2
列表：
解：
分别描点、连线,画出这两个函数的图象,这两个函数的图象都是抛物线,如图所示:
-3 -2 -1 0 1 2 3
9 4 1 0 1 4 9
-18 -8 -2 0 -2 -8 -18
y=2x2
y=-2x2
共同点：都以y轴为对称轴,顶点都在坐标原点.
不同点：y=2x2的图象开口向上,顶点是抛物线的
最低点,在对称轴的左边,曲线自左向右下降；在对称
轴的右边,曲线自左向右上升.y=－2x2的图象开口向下,
顶点是抛物线的最高点,在对称轴的左边,曲线自左向
右上升；在对称轴的右边,曲线自左向右下降.
x … …
y=2x2 … …
y=-2x2 … …
例2：已知y=(k＋2)xk2＋k－4是二次函数,且当x＞0时,y随x的增大而增大.
(1)求k的值；
(2)求顶点坐标和对称轴.
解：
(1)由题意,得
k2＋k－4=2
k＋2＞0,
解得k=2;
(2)二次函数为y=4x2,则顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴.
例3：已知正方形周长为Ccm,面积为Scm2.
(1)求S和C之间的函数关系式,并画出图象；
(2)根据图象,求出S=1cm2时,正方形的周长；
(3)根据图象,求出C取何值时,S≥4cm2.
解析：
此题是二次函数实际应用问题,解这类问题时要注意自变量的取值范围;画图象时,自变量C取值应在取值范围内.
(1)由题意,得
解：
列表：
描点、连线,图象如图.
(2)根据图象得S=1cm2时,正方形的周长是4cm.
(3) 根据图象得,当C≥8cm时,S≥4cm2.
C 2 4 6 8 …
…
C
C
解：
9. 已知函数y＝(m-1)xm2-2m＋2是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的m的值；
(2)m为何值时,抛物线有最低点？求出这个最低点.当x为何值时,y随x的增大而增大？
(1)由题意,得
m2-2m+2=2
m-1≠0,
解得
m=0或m=2
m≠0,
∴当m＝0或m＝2时原函数为二次函数.
(2)当m＝2时,y＝x2,抛物线有最低点,
这个最低点为抛物线的顶点,其坐标为（0,0）,
当x＞0时,y随x的增大而增大.
1.如何画出函数y=x2的图象?
2.函数y=x2具有哪些性质?
3.函数y=x2和函数y=－x2的图象有什么关系?
(共14张PPT)
2. 二次函数的图象与性质
北师版·九年级数学·下册
第二课时
1.使学生能利用描点法正确作出函数y=ax2,y=ax2＋c的图象.
2.让学生经历二次函数y=ax2,y=ax2＋c性质探究的过程,理解二次函数y=ax2＋c的性质及它与函数y=ax2的关系.
阅读课本内容，了解本节主要内容.
y轴
>0
上
(0,0)
<0
(0,0)
大
上
0
小
0
y轴
<0
下
>0
0
0
下
1.二次函数y=x2的图象是_____,它开口向_____,顶点坐标是_____,对称轴是_____,在对称轴的左侧,y随x的增大而_____,在对称轴的右侧,y随x的增大而_____.函数y=－x2在x= _____时,取最值_____,其最值是_____.
2.二次函数y=2x2＋1的图象与二次函数y=2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？
动手做一做,初步了解二次函数y=ax2+c图像的性质.
单击此处演示
问题1：对于前面提出的第2个问题,你将采取什么方法加以研究？
(2) 描点：用表里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点；
解：
(1)列表：
-3 -2 -1 0 1 2 3
8 2 0 2 8 18
19 9 3 1 3 9 19
(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点,得到函数y=2x2的图象和y=2x2＋1的图象.
(画出函数y=2x2和函数y=2x2＋1的图象,并加以比较)
问题2：你能在同一直角坐标系中,画出函数y=2x2与y=2x2＋1的图象吗？
y=2x2
y=2x2+1
X
y
x … …
y=2x2 … …
y=2x2+1 … …
问题3：函数y=2x2＋1和y=2x2的图象有什么联系？
问题5：你能由函数y=2x2的性质,得到函数y=2x2＋1的一些性质吗？
学生观察两个函数图象,说出函数y=2x2＋1与y=2x2的图象开口方向、对称轴相同,但顶点坐标不同,函数y=2x2的图象的顶点坐标是(0,0),而函数y=2x2＋1的图象的顶点坐标是(0,1).
完成填空：当x_____时,函数值y随x的增大而减小；当x _____时,函数值y随x的增大而增大,当x ____时,函数取得最___值,最值y= __.
(函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)
问题4：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗？
y=2x2
y=2x2+1
X
y
C
D
②④③①
C
C
下
y轴
(0,2)
0
大
>0
<0
例1：在同一直角坐标系中,画出函数y=－x2＋1与
y=－x2－1的图象,并说明,通过怎样的平移,可以由抛物线y=－x2＋1得到抛物线y=－x2－1.
列表：
解：
描点、连线,画出这两个函数的图象, 如图所示:
-3 -2 -1 0 1 2 3
-8 -3 0 1 0 -3 -8
-10 -5 -2 -1 -2 -5 -10
可以看出,抛物线y=－x2－1是由抛物线y=－x2＋1向下平移两个单位得到的.
-
y=-x2+1
y=-x2-1
x … …
y=-x2+1 … …
y=-x2-1 … …
例2：一条抛物线的开口方向、对称轴与
解：
由题意可得,所求函数开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标为(0,－2),
因此所求函数关系式可看作y=ax2－2(a＞0),又抛物线经过点(1,1),
相同,顶点纵坐标是－2,且抛物线经过点(1,1),求这条抛物线的函数关系式.
所以,1=a·12－2,解得a=3.
故所求函数关系式为y=3x2－2.
A
B
1
-3
4
解：
9.已知二次函数y＝2x2－1.
（1）A（1,a）、B（－2,b）均在二次函数图象上,比较a、b的大小,并说明理由；
（2）M、N是二次函数y＝2x2－1的图象上的点,它们的横坐标分别为2和 ,在y轴上找一点P,使得PM＋PN最小.
（1）B（－2,b）与B′（2,b）关于y轴对称,
A、B’均在对称轴的右侧,函数值y随x的增大而增大,故a＜b.
（2）易得点M、N的坐标为（2,7）、
图形如图,
在抛物线上M（2,7）关于y轴（对称轴）对称的点的坐标
为M′（－2,7）,
则过M′与N
的直线的函数表达
式为y＝－3x＋1,它与y轴的交点P（0,1）即为所求点.
1. 在同一直角坐标系中,函数y=ax2＋c的图象与函数y=ax2的图象具有什么关系?
2.你能说出函数y=ax2,y=ax2＋c具有哪些性质.
(共18张PPT)
2. 二次函数的图象与性质
北师版·九年级数学·下册
第三课时
1.使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x－h)2的图象.
2.让学生经历二次函数y=a(x－h)2性质探究的过程,理解函数y=a(x－h)2的性质,理解二次函数y=a(x－h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系.
阅读课本内容，了解本节主要内容.
正
直线
x=h
>h
h
小
0
左
右
右
左
1.在同一直角坐标系内,画出二次函数
的图象,并回答：
(1)两条抛物线的位置关系；
(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标；
(3)说出它们所具有的公共性质.
动手做一做,初步了解二次函数y=ax2+c图像的性质.
单击此处演示
2.二次函数y=2(x－1)2的图象与二次函数y=2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗？这两个函数的图象之间有什么关系？
动手做一做,初步了解二次函数y=a(x-h)2图像的性质.
单击此处演示
问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题？
(2)让学生在直角坐标系画出图来.
(1) 让学生完成下表填空.
-3 -2 -1 0 1 2 3
(画出二次函数y=2(x－1)2和二次函数y=2x2的图象,并加以观察)
问题2：你能在同一直角坐标系中,画出二次函数y=2x2与y=2(x－1)2的图象吗？
x … …
y=2x2
y=2(x-1)2
问题3：现在你能回答前面提出的问题吗？
归纳：函数y=2(x－1)2与y=2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y=2(x－1)2的图象可以看作是函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的,它的对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,0).
观察画出的两个函数图象.根据所画出的图象,完成以下填空：
开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2x2
y=2(x-1)2
问题4:你可以由函数y=2x2的性质,得到函数y=2(x-1)2的性质吗?
1.回顾二次函数y=2x2的性质,并观察二次函数y=2(x-1)2的图象；
2. 完成以下填空：
当x_____时,函数值y随x的增大而减小；当x _____时,函数值y随x的增大而增大；当x= _____时,函数取得最_____值y= _____.
A
B
C
B
C
例1：在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.
列表：
解：
并指出它们的开口方向、对
它们开口方向都向上：对称轴分别是y轴、直线x=－2
和直线x=2；顶点坐标分别是(0,0),(－2,0),(2,0).
称轴和顶点坐标.
描点、连线,画出这三个函数的图象,如图所示.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… …
… …
… …
例1：在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.
回顾与反思：
并指出它们的开口方向、对
,当x_____时,
称轴和顶点坐标.
对于抛物线
函数值y随x的增大而减小；当x _____时,函数值y随x的增大而增大；当x _____时,函数取得最_____值,最值y= _____.
例2：不画出图象,你能说明抛物线y=－3x2与
y=－3(x＋2)2之间的关系吗?
解：
抛物线y=－3x2的顶点坐标为(0,0)；
抛物线y=－3(x＋2)2的顶点坐标为(－2,0).
因此,抛物线y=－3x2与y=－3(x＋2)2形状相同,开口方向都向下,对称轴分别是y轴和直线x=－2.
抛物线y=－3(x＋2)2是由y=－3x2向左平移2个单位而得的.
y=-(x-3)2
-4
-3
A
解：
9.在直角坐标系中画出函数
（1）对称轴是直线x＝－3,顶点坐标为（－3,0）
的图象.
（1）指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）根据图象回答,当x取何值时,y随x的增大而减小？当x取何值时,y随x的增大而增大？当x取何值时,y取最大值或最小值？
（3）怎样平移函数
的图象得到函数
的图象.
（2）当x＜－3时,y随x的增大而减小；当x＞－3时,y随x的增大而增大；当x＝－3时,y取最小值.
（3）向左平移3个单位.
1.在同一直角坐标系中,函数y=a(x－h)2的图象与函数y=ax2的图象有什么联系和区别?
2.你能说出函数y=a(x－h)2图象的性质吗?
3.谈谈本节课的收获和体会.
(共15张PPT)
2. 二次函数的图象与性质
北师版·九年级数学·下册
第四课时
1.使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系.
2.会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
3.让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程,理解函数y=a(x－h)2＋k的性质.
重点：确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系,理解函数y=a(x－h)2＋k的性质.
难点：正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质.
阅读课本内容，了解本节主要内容.
下
直线x=h
(x,h)
>h
h
大
k
相同
不同
右
上
左
下
1. 函数y=2x2+1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系？
(函数y=2x2+1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)
2.函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?
(函数y=2(x－1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的)
3.函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系？函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?
问题1：你能填写下表吗？
问题2：从上表中,你能分别找到函数y=2(x－1)2+1与函数y=2(x－1)2、y=2x2图象的关系吗?
问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质？
归纳：
函数y=2(x-1)2+1的图象可以看成是将函数y=2(x-1)2的图象向上平移1个单位得到的,也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的.
当x＜1时,函数y随x的增大而减小,当x＞时,函数值y随x的增大而增大；当x=1时,函数取得最小值,最小值y=1.
y＝2x2的图像 向右平移
1个单位 再向上平
移1个单位
开口方向 向上
对称轴 y轴
顶点 (0,0)
C
C
(2,5)
>
C
D
例1：在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.
列表：
解：
并指出它们的开口方向、对
它们开口方向都向___,对称轴分别是___、___、___,
顶点坐标分别为___、___、___.
称轴和顶点坐标.
描点、连线,画出这三个函数的图象,如图所示.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… …
… …
… …
例1：在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.
回顾与反思：
并指出它们的开口方向、对
称轴和顶点坐标.
二次函数的图象的上下平移,只影响二次函数y=a(x－h)2＋k中k的值；左右平移,只影响h的值,抛物线的形状不变,所以平移时,可根据顶点坐标的改变,
确定平移前、后的函数关系式及平移的
路径.此外,图象的平移与平移的顺序无关.
探索：
你能说出函数y=a(x－h)2＋k(a、h、
k是常数,a≠0)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表.
y=a(x-h)2+k 开口方向 对称轴 顶点标
a>0
a<0
例2：把抛物线y=x2＋bx＋c向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线y=x2,求b、c的值.
解析：
抛物线y=x2的顶点为(0,0),只要求出抛物线y=x2+bx+c的顶点,根据顶点坐标的改变,确定平移后的函数关系式,从而求出b、c的值.
解：
向上平移2个单位,得到
再向左平移4个单位,得到
其顶点坐标是
而抛物线y=x2的顶点为(0,0),则
解得
b=-8
c=14
例2：把抛物线y=x2＋bx＋c向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线y=x2,求b、c的值.
解析：
抛物线y=x2的顶点为(0,0),只要求出抛物线y=x2+bx+c的顶点,根据顶点坐标的改变,确定平移后的函数关系式,从而求出b、c的值.
探索：
把抛物线y=x2＋bx＋c向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线y=x2,也就意味着把抛物线y=x2向下平移2个单位,再向右平移4个单位,得到抛物线y=x2＋bx＋c.那么,本题还可以用更简洁的方法来解,请你试一试.
y=-(x+1)2-2
y=-2(x+1)2+7
B
D
解：
10. 把二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象先向左平移2个单位,再向上平移4个单位,得到二次函数
(1)原二次函数表达式为
的图象.
（1）试确定a、h、k的值；
（2）指出二次函数y＝a（x－h）2＋k的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(2)它的开口向上,对称轴为x＝1,顶点坐标为（1,－5）.
(共18张PPT)
2. 二次函数的图象与性质
北师版·九年级数学·下册
第五课时
1.使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象.
2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
3.让学生经历探索二次函数y=ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程,理解二次函数y=ax2＋bx＋c的性质.
重点：用描点法画出二次函数y=ax2＋bx＋c的图象
和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标.
难点：理解二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及
它的对称轴和顶点坐标分别是
阅读课本内容，了解本节主要内容.
上
下
1.你能说出函数y=－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
[函数y=－4(x－2)2＋1图象的开口向下,对称轴为直线x=2,顶点坐标是(2,1)]
2.函数y=－4(x－2)2＋1图象与函数y=－4x2的图象有什么关系？
[函数y=－4(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y=－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的]
3.函数y=－4(x－2)2＋1具有哪些性质？
4.不画出图象,你能直接说出函数
[因为
5.你能画出函数
的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
所以这个函数
的图象开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,－2)]
的图象,并说明这个
函数具有哪些性质吗？
由以上第4个问题的解决,我们已经知道函数
的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.根据这些特点,可以采
用描点法作图的方法作出函数
的图象,进而
解：
(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：
(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点.
观察得到这个函数的性质.
(3) 连线:用光滑的曲线顺次连接各点,得到函数
的图象.
说明:(1)列表时,应根据对称轴是x=1,以1为中心,对称地选取自变量的值,求出相应的函数值.相应的函数值是相等的；
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … …
说明：
(2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定,且允许x轴、y轴选取的长度单位不同.所以要根据具体问题,选取造当的长度单位,使画出的图象美观.
观察函数图象,发表意见,互相补充,得到这个函数韵性质：
当x＜1时,函数值y随x的增大而增大；当x＞1时,函数值y随x的增大而减小；当x=1时,函数取得最大值,最大值y=－2.
(1)列表时,应根据对称轴是x=1,以1为中心,对称地选取自变量的值,求出相应的函数值.相应的函数值是相等的；
以上讲的,是给出一个具体的二次函数,来研究它的图象与性质.那么,对于任意一个二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0),如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？
归纳：
当a＞0时,开口向上,当a＜0时,开口向下,对称轴是
D
A
A
5
C
y=-x2+2x+1
C
例1：通过配方,确定抛物线y=－2x2＋4x＋6的开口方向、对称轴和顶点坐标,再描点画图.
y=－2x2＋4x＋6
解：
由对称性列表：
因此,抛物线开口向下,对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,8).
=－2(x2－2x)＋6
=－2(x2－2x＋1－1)＋6
=－2(x－1)2－1］＋6
=－2(x－1)2＋8
描点、连线,如图所示.
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y=-2x2+4x+6 … -10 0 6 8 6 0 -10 …
例2：已知抛物线y=x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上,求a的值.
解析：
顶点在坐标轴上有两种可能：(1)顶点在x轴上,则顶点的纵坐标等于0；(2)顶点在y轴上,则顶点的横线坐标等于0.
解：
则抛物线的顶点坐标是
当顶点在y轴上时,有
当顶点在x轴上时,有
解得a=－2.
解得a=4或a=－8.
所以,当抛物线y=x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上时,a有三个值,分别是－2,4,8.
y1>y3>y2
C
B
B
解：
对称轴是x＝－1,
当x＝－1时,
(2)y＝2(x＋3)2-18,对称轴是x＝-3,顶点坐标(- 3, -18)；
当x＝－3时,y最小值＝－18.
1.会用描点法画出函数y=ax2＋bx＋c的图象.
2.会用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
3.要掌握二次函数y=ax2＋bx＋c的性质.
(共18张PPT)
3.确定二次函数的表达式
北师版·九年级数学·下册
1.会根据不同的条件,利用待定系数法求二次函数的函数关系式.
重点：用待定系数法求二次函数关系式.
难点：用待定系数法求二次函数关系式.
阅读课本内容，了解本节主要内容.
ax2+bx+c
=a(x-h)2+k
a(x-x1)+(x-x2)
一般地,函数关系式中有几个独立的系数,那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式。
例如：我们在确定一次函数y=kx+b(k≠0)的关系式时,通常需要两个独立的条件,如果要确定二次函数y=ax2+c,y=ax2+bx+c(a≠0)的关系式,又需要几个条件呢？
如图是一名学生推铅球时,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的图象,你能求出其表达式吗？
解：
想一想:
确定二次函数的表达式需要几个条件？
问题1：已知二次函数
y=ax2＋c的图象经过点(2,3)和
(-1,-3),求出这个二次函数的表达式.
将点(2,3)和(－1,－3)分别代入二次函数y=ax2＋c中,得
解这个方程组,得
3=4a＋c,
－3=a＋c.
a=2,
c=－5.
∴所求二次函数表达式：y=2x2－5.
y=-x2+4x-3
D
y=2x2-4x+4
D
A
例1：根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.
(1)已知二次函数的图象经过点A(0,－1)、B(1,0)、C(－1,2)；
解析：
(1)设二次函数关系式为y=ax2＋bc＋c,由已知,这个函数的图象过(0,－1),可以得到c=－1.
(1)根据二次函数的图象经过三个已知点,可设函数关系式y=ax2＋bx＋c的形式；
又由于其图象过点(1,0)、(－1,2)两点,可以得到
解：
a+b=1,
a-b=3.
解这个方程组,得a=2,b=－1.
所以,所求二次函数的关系式是y=2x2－x－1；
例1：根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.
(2)已知抛物线的顶点为(1,－3),且与y轴交于点(0,1)；
解析：
(2)因为抛物线的顶点为(1,－3),所以设二次函数的关系式为y=a(x－1)2－3,
(2)根据已知抛物线的顶点坐标,可设函数关系式为y=a(x－1)2－3,再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；
又由于抛物线与y轴交于点(0,1),可以得到
解：
1=a(0－1)2－3
解得a=4.
所以,所求二次函数的关系式是y=4(x-1)2-3=4x2-8x＋1；
例1：根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.
(3)已知抛物线与x轴交于点M(－3,0)、(5,0),且与y轴交于点(0,－3)；
解析：
(3)因为抛物线与x轴交于点M(－3,0)、(5,0),
(3)根据抛物线与x轴的两个交点的坐标,可设函数关系式为y=a(x＋3)(x－5),再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；
所以设二次函数的关系式为y=a(x＋3)(x－5).
解：
－3=a(0＋3)(0－5).
解得
所以,所求二次函数的关系式是:
又由于抛物线与y轴交于点(0,3),可以得到
例1：根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.
(4)已知抛物线的顶点为(3,－2),且与x轴两交点间的距离为4.
解析：
(4)根据前面的分析,本题已转化为与(2)相同的题型,请同学们自己完成.
(4)根据已知抛物线的顶点坐标(3,－2),可设函数关系式为y=a(x－3)2－2,同时可知抛物线的对称轴为x=3,再由与x轴两交点间的距离为4,可得抛物线与x轴的两个交点为(1,0)和(5,0),任选一个代入y=a(x－3)2－2,即可求出a的值.
解：
例2：有一个二次函数的图象,三位同学分别说出了它的一些特点.甲：对称轴为直线x=4;乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数;丙：与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个点为顶点的三角形面积为3.
解析：
本题是开放性题目,综合考查数形结合、待定系数法及抛物线与x轴、y轴的交点坐标等有关知识,根据题中二次函数图象的特点,用数形结合法画出其示意图,对称轴为x=4,可由面积来求.
解：
设抛物线与x轴交于A(x1,0),B(x2,0),与y轴交于C(0,c),则x1、x2、c都是整数,4－x1=x2－4,
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数关系式.
即x1＋x2=8.分情况讨论：
(1)若A(3,0),B(5,0),则
∴c=±3.
设抛物线y=a(x－3)(x－5).
把(0,3)或(0,－3)代入得
例2：有一个二次函数的图象,三位同学分别说出了它的一些特点.甲：对称轴为直线x=4;乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数;丙：与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个点为顶点的三角形面积为3.
解析：
本题是开放性题目,综合考查数形结合、待定系数法及抛物线与x轴、y轴的交点坐标等有关知识,根据题中二次函数图象的特点,用数形结合法画出其示意图,对称轴为x=4,可由面积来求.
解：
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数关系式.
(2)若A(1,0),B(7,0),是
∴|c|=1, ∴c= ±3.
设抛物线y=a(x-1)(x-7),
把(0,1)或(0,-1)代入得
抛物线的函数关系式为：
设抛物线与x轴交于A(x1,0),B(x2,0),与y轴交于C(0,c),则x1、x2、c都是整数,4－x1=x2－4,
即x1＋x2=8.分情况讨论：
y=-x2-2x+3
C
y=-x2+4x+3(形如y=ax2-4ax+3且a<0即可)
解：
(1)设二次函数表达式为:y=ax2+bx+c
10.求符合条件的二次函数表达式：
(1)二次函数图象经过点(－1,0)、(1,2)、(0,3)；
(2)二次函数图象的顶点坐标为(－3,6）,且经过点(－2,10)；
(3)二次函数图象与x轴的交点坐标为(－1,0)、(3,0),与y轴交点的纵坐标为9.
把点(-1,0),(1,2),(0,3)
∴抛物线的函数关系式为：y=-2x2+x+3;
(2)∵二次函数图象的顶点坐标为(－3,6）,
∴设二次函数表达式为：y=a(x+3)2+6
∵二次函数图象经过点(－2,10),
可以得到a(-2+3)2+6=10
解得a=4.
所以二次函数表达式为：y=4(x+3)2+6＝4x2+24x+42;
(3)∵二次函数图象与x轴的交点坐标为(－1,0)、(3,0),
∴设二次函数表达式为：y=a(x+1)(x-3)
由与y轴交点的纵坐标为9可得到9=a(0+1)(0-3).
代入得a=-2,b=1,c=3；
解得a=-3.
∴二次函数图像为：y=-3(x+1)(x-3)=-3x2+6x+9.
解：
(1)由题意知,点B的坐标为(1,3);
把A(-3,1)、B(1,3)、C(0,0)三点分别代入函数y=ax2+bx+c，可以得到
11.在平面直角坐标系中,△AOB的位置如图所示,已知∠AOB＝90°,AO＝BO,点A的坐标为（－3,1）.
（1）求点B的坐标；
（2）求过A、O、B三点的抛物线的表达式.
(2)设抛物线为y=ax2+bx+c
9a-3b+c=1
a+b+c=3
c=0
解得
本节课我们学习了根据不同的条件,利用待定系数法求二次函数的函数表达式.
(共15张PPT)
4.二次函数的应用
北师版·九年级数学·下册
第一课时
1.经历数学建模的基本过程.
2.会运用二次函数求实际生活中的最值问题.
3.体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型,感受数学的应用价值.
重点：二次函数在最优化问题中的应用.
难点：从现实问题中建立二次函数模型.
阅读课本内容，了解本节主要内容.
自变量
二次函数
取值范围
由本节的第1个问题引入：在第1个问题中,要使围成的矩形ABCD面积y最大,那么它的边长AB(x)应是多少？它的最大面积是多少？
问题分析：这是一个求最值的问题,要想解决这个问题,就要首先将实际问题转化成数学问题.
在前面的学习中我们已经知道,这个问题中的边长
AB(x)与面积y之间的满足函数关系式
通过配方,得到
所以,当围成的矩形边长AB为20m,AD为15m时,它的面积最大,最大面积是300m2.
总结得出解这类题的一般步骤：
(1)列出二次函数的解析式,并根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围；
(2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.
数的图像是一条开口向下的抛物线,其定点坐标是(20,300).所以,当x=20m时,函数取得最大值,为y最大值=300(m2).
由此可看出,这个函
B
C
C
D
例1：如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=8,
点D在斜边AB上,分别作DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为
E、F,得四边形DECF,设DE=x,DF=y.
(1)用含y代数式表示AE；
(2)求y与x之间的函数关系式,并求出x的取值范围；
(3)设四边形DECF的面积为S,求S与x之间的函数关
系,并求出S的最大值.
(1)由题意可知,四边形DECF为矩形,因此AE=AC-DF=8-y；
(2)由DE∥BC,得
解：
所以y=8－2x,x的取值范围是0＜x＜4；
(3) S=xy=x(8－2x)=－2x2＋8x=－2(x－2)2＋8,
所以,当x=2时,S有最大值8.
例1:某居民小区要在一块一边靠墙
(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD.
花园一靠墙,另外三边用总长为40m的栅栏
围成(如图所示).若设花园的BC边长为x(m),
花园的面积为y(m2).
解析：
(1)根据题意,得
第(1)问是一个函数建模,根据矩形的面积公式建立一个二次函数,并求出自变量的取值范围；第(2)问应根据题意建立一个方程,求出x的值,然后判断x的值是否符合实际；
(2)不能达到200m2,理由如下：
解：
(1)求y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围；
(2)满足条件的花园面积能达到200m2吗?若能,求出此时x的值；若不能,请说明理由；
即x2－40x＋400=0,解得x=20.
例1:某居民小区要在一块一边靠墙
(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD.
花园一靠墙,另外三边用总长为40m的栅栏
围成(如图所示).若设花园的BC边长为x(m),
花园的面积为y(m2).
解析：
第(3)问是运用第(1)问的函数来进行探索,利用函数的性质求解.
图象是开口向下的抛物线,对称轴为直线x=20,
解：
(3)根据(1)中求得的函数解析式,描述其图象的变化趋势,并结合题意判断当x取何值时,花园的面积最大?最大面积为多少?
∴当0＜x≤15时,y随x的增大而增大.
∴当x=15时,y有最大值,
∴当x=15时,花园的面积最大,最大面积为187.5m2.
800m2
20m
2
D
解：
(1)三角形的一条边为x,则这条边的高为40-x,
9.小磊要制作一个三角形的钢架模型,在这个三角形中,长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40cm,这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化.
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)当x是多少时,这个三角形面积S最大？最大面积是多少？
∴三角形的面积为
由此可看出，这个函数的图像是一条开口向下的抛物线，其顶点坐标是(20,200).
所以,当x=20cm时,函数取得最大值，
为S最大值=200(cm2)
本节课,我们将实际问题转化为数学模型,利用二次函数的知识解决了实际生活中的最值问题.
(共19张PPT)
4.二次函数的应用
北师版·九年级数学·下册
第二课时
1.通过图形之间的关系列出函数解析式.
2.用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题.
重点：用二次函数的知识分析解决有关抛物线型问题的实际问题.
难点：通过图形之间的关系列出函数表达式.
阅读课本内容，了解本节主要内容.
坐
标
如图,悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索,其形状可近似的看做抛物线,水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.若两端主塔之间水平距离为900m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m.
(1)若以桥面所
在直线为x轴,抛物
线的对称轴为y轴,
如图,求这条抛物线的函数关系式；
第(1)题的关键是设立合适的函数解析式,根据题意可知抛物线的顶点为(0,0.5),且关于y轴对称,则可以设函数关系式为y=ax2＋0.5,再将(450,81.5)带入解析式中,即可求出a的值.
解析：
(1)设抛物线的函数关系式为y=ax2＋0.5,
解：
将(450,81.5)代入,得81.5=a·4502＋0.5.
因而,所求抛物线的函数关系式为
如图,悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索,其形状可近似的看做抛物线,水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.若两端主塔之间水平距离为900m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m.
(2)计算距离桥
两端主塔分别为
100m、50m处垂
直钢索的长.(精确到0.1m).
第(2)题要注意不能直接将100、50当做横坐标代入.
解析：
(2)当x=450-100=350(m)时,得
解：
当x=450－50=400(m)时,得
因而, 距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长分别约为49.5m、64.5m。
A
15m
例1：卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分,在大桥截面1：11000的比例图上,跨度AB=5cm,拱高OC=0.9cm,线段DE表示大桥拱内桥长,DE∥AB,如图(一)在比例图上,以直线AB为x轴、抛物线的对称轴为y轴,以1cm作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系：如图(二).
(1)由图(二)建立直角坐标系,可知C(0,0.9),A(-2.5,0),
B(2.5,0).
设函数表达式为y=a(x－2.5)(x＋2.5),
解：
(1)求出图(一)上的这一
部分抛物线的图象的函数
表达式,写出函数的自变量
取值范围；
将(0,0.9)代入,得
∴所求函数关系式为
例1：卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分,在大桥截面1：11000的比例图上,跨度AB=5cm,拱高OC=0.9cm,线段DE表示大桥拱内桥长,DE∥AB,如图(一)在比例图上,以直线AB为x轴、抛物线的对称轴为y轴,以1cm作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系：如图(二).
(2)∵
解：
(2)如果DE与AB的距离
OM=0.45cm,求卢浦大桥拱
内实际桥长.(备用数据：
∴点D的坐标为
≈1.4,结果精确到1米)
因此卢浦大桥拱内实际桥长为
例2：施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM为12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示).
(1) M(12,0),P(6,6)
(2)(方法1)设这条抛物线的函数解析式为：y=a(x－6)2＋6,
解：
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
(2)求出这条抛物线的函数解析式；
∵抛物线过O(0,0),∴a(0－6)2＋6=0,
∴这条抛物线的函数解析式为：
(方法2)设这条抛物线的函数解析式为：y=ax2＋bx＋c,
∵抛物线过O(0,0),M(12,0),
P(6,6)三点,
∴
c=0
a·62+b·6+c=6
a·122+b·12+c=0,
解得：
例2：施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM为12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示).
(3)设点A的坐标为
解：
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB,使A,D点在抛物线上,B、C点在地面OM上.为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木杆AB,AD,DC的长度之和的最大值是多少?请你帮施工队计算一下.
根据抛物线的轴对称,可得:OB=CM=m,
∴BC=12－2m,AD=12－2m,
∴当m=3,即OB=3米时,三根木杆长度之和l最大值为15米.
例3：心理学家研究发现：一般情况下,学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系式：
(1)讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第
25分钟时比较,何时学生的注意力更集中?
(2)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能持续多少分钟?
解：
－x2＋24x＋100(0≤x≤10)
240(10＜x≤20)
－7x＋380(20＜x≤40)
(1)当x=5时,y=－52＋24×5＋100=175
当x=25时,y=－7×25＋380=205
y=
所以,讲课开始25分钟后,学生的注意力更集中；
(2)由图像可知,讲课开始后10分钟,学生的注意力最集中,能持续10分钟；
例3：心理学家研究发现：一般情况下,学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系式：
(3)一道数学难题,需要讲解24分钟,为
了效果较好,要求学生的注意力最低达
到180,那么经过适当安排,老师范能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
解：
－x2＋24x＋100(0≤x≤10)
240(10＜x≤20)
－7x＋380(20＜x≤40)
(3)若0≤x≤10,当y=180时180=-x2+24x+100,
解方程得x1=4,x2=20,
y=
由于0≤x≤10,所以x2=20不合题意,舍去；
若20≤x≤40,当y=180时,
180=－7x＋380,
∴学生注意力的持
续时间为
大于讲题所需的时间,
所以,老师经过适当安
排,能在学生注意力不低于180的状态下讲解完这道题目.
9m
48
解：
以大门地面为x轴,它的中垂线为y轴建立直角坐标系.
则抛物线过(－4,0),(4,0),(－3,4)三点.
∵抛物线关于y轴对称,可设表达式为
y＝ax2＋c.
则
16a＋c＝0,
9a＋c＝4.
解得
8.如图所示,有一座抛物线拱桥,桥下面在正常水位AB时,宽20m,水位上升3m就达到警戒线CD,这时水面宽度为10m.
（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；
（2）若洪水到来时,水位以每小时0.2m的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小时才能到达拱桥顶？
解：
(1)设所求抛物线的解析式为y＝ax2,
设D（5,b）,则B（10,b－3）,
∴25a＝b,100a＝b－3,
(2) ∵b＝－1,
∴再持续5小时到达拱桥顶.
解得
(共14张PPT)
4.二次函数的应用
北师版·九年级数学·下册
第三课时
1.建立二次函数模型解决销售中的最大利润问题,让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程.
重点：建立二次函数模型解决销售中的最大利润问题.
难点：根据实际问题确定二次函数表达式.
阅读课本内容，了解本节主要内容.
销售单价
单件成本
销售总额
总成本
单件利润
销
售量
二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔,我们来看这样一个生活中常见的问题：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米1000元,设矩形一边长为x米,面积为S平方米,请你设计一个方案,使获得的设计费最多,并求出这个费用,你能解决它吗？类似的问题,我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解决.
某公司推出了一种高效环保洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到赢利的过程.
下面的二次函数图象(部分)刻画了该公
司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)
之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间
的关系).
根据图象提供的信息,解答下列问题：
(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的之间的函数关系式；
(2)求截止到几个月末公司累积利润可达到30万元；
(3)求第8个月公司所获利润是多少万元？
B
A
B
A
例1：某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克,购进价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价定为70元时,日均销售60千克；单价每降低1元,日均多售出2千克.在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按整天计算).设销售单价为x元,日均获利为y元.
(1)求y关于x的二次函数关系式,并注明x的取值范围；
(2)将(1)中所求出的二次函数配方成
的形式,写出顶点坐标；在直角坐标系画出草图；观察图象,指出单价定为多少元时日均获利最多?最多是多少？
若销售单价为x元,则每千克降低(70－x)元,日均多售出2(70－x)千克,日均销售量为［60＋2(70－x)］千克,每千克获利为(x－30)元,从而可列出函数关系式.
解析：
解：
(1)依题意,得y=(x-30)[60+2(70-x)]-500=-2x2+260x-6500(30≤x≤70)
(2) y=-2x2＋260x-6500=-2(x-65)2＋1950.
顶点坐标为(65,1950
二次函数草图略.
经观察知,当单价定为65元时,日均获利最多,是1950元.
例2：某公司生产的某种产品,它的成本是2元,售价是3元,年销售量为100万件,为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告,根据经验,每年投入的广告费是x(十万元)时,产品的年销售量将是原销售量的y倍,且y是x的二次函数,它们的关系如下表：
(1)求y与x的函数关系式；
(2)如果把利润看作是销售
总额减去成本费和广告费,试写出年利润S(十万元)与广告费x(十万元)的函数关系式；
(1)设二次函数关系式为y=ax2＋bx＋c.由表中数据,得
解：
解得
∴
c=1
a＋b＋c=1.5
4a＋2b＋c=1.8,
所以所求二次函数关系式为:
(2)根据题意,得S=10y×(3-2)-x=-x2＋5x＋10.
x（十万元） 0 1 2 …
y 1 1.5 1.8 …
例2：某公司生产的某种产品,它的成本是2元,售价是3元,年销售量为100万件,为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告,根据经验,每年投入的广告费是x(十万元)时,产品的年销售量将是原销售量的y倍,且y是x的二次函数,它们的关系如下表：
(3)如果投入的年广告费为
10~30万元,问广告费在什么范
围内,公司获得的年利润随广告费的增大而增大?
(3) S=－x2＋5x＋10
解：
由于1≤x≤3,
所以当1≤x≤2.5时,S随x的增大而增大.
x（十万元） 0 1 2 …
y 1 1.5 1.8 …
5.（2014,荆州）我国中东部地区雾霾天气趋于严重,环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要,代理销售某种家用空气净化器,其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内,当售价是400元/台时,可售出200台,且售价每降低10元,就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台,代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务.
（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式,并求出自变量x的取值范围；
（2）当售价x（元/台）定为多少时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
解：
∴y＝－5x＋2200（300≤x≤350）
(2)由(1)得w＝(x-200) ·y＝(x-200)(-5x＋2200)=-5(x-320)2＋72000,
∵
x≥300
－5x＋2200≥450,
∵x＝320在300≤x≤350内,
∴当x＝320时,W最大＝72000.
即售价定为320元/台时,可获得最大利润为72000元.
6.某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满,当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x元(x为10的整数倍).
(1)设一天订住的房间数为y,直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)设宾馆一天的利润为w元,求w与x的函数关系式；
(3)一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大?最大利润是多少元?
解：
当x＜170时,w随x增大而增大,且0≤x≤160,
w最大＝10880,
当x＝160时,
本节课我们学习了建立二次函数模型解决销售中的最大利润问题.
(共24张PPT)
5.二次函数与一元二次方程
北师版·九年级数学·下册
第一课时
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.
2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.
重点：
1.体会方程与函数之间的联系.
2.理解何时方程有两个不等的实根,两个相等的实数和没有实根.
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.
难点：
1.探索方程与函数之间的联系的过程.
2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.
阅读课本内容，了解本节主要内容.
横
两个相等
两个不相等
无
无
1.一元二次方程－5x2＋40x=0的根为：_____.
2.一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根的判别式△= _____.当△＞0方程根的情况是： _____ ；当△=0时,方程__________ ；当△＜0时,方程__________.
3.二次函数y=ax2＋bx＋c(a、b、c是常数,且a≠0)图象是一条_____,它与x轴的交点有几种可能的情况?
二次函数①y=x2＋2x,②y=x2－2x＋1,③y=x2－2x＋2图象如下图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点?
(2)一元二次方程x2＋2x=0,x2－2x＋1=0有几个根?解方程验证下：一元二次方程x2－2x＋2=0有根吗?
(3)二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根有什么关系?
二次函数①y=x2＋2x,②y=x2－2x＋1,③y=x2－2x＋2图象如下图所示.
(1)二次函数y=x2＋2x,y=x2－2x＋1,y=x2－2x＋2的图象与x轴分别有两个交点,一个交点,没有交点；
(2) 一元二次方程x2＋2x=0有两个根0,－2；方程x2－2x＋1=0有两个相等的根1或一个根1；方程x2－2x＋2=0没有实数根；
二次函数①y=x2＋2x,②y=x2－2x＋1,③y=x2－2x＋2图象如下图所示.
(3) 从观察图象和讨论中可知,二次函数y=x2＋2x的图象与x轴有两个交点,交点的坐标分别为(0,0),(－2,0),方程x2＋2x=0有两个根0,－2；二次函数y=x2－2x＋1的图象与x轴有一个交点,交点坐标为(1,0),方程x2－2x＋1有两个相等的实数根(或一个根)1；二次函数y=x2－2x＋2的与x轴没有交点,方程x2－2x＋2=0没有实数根.
二次函数①y=x2＋2x,②y=x2－2x＋1,③y=x2－2x＋2图象如下图所示.
由此可知,二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.
二次函数①y=x2＋2x,②y=x2－2x＋1,③y=x2－2x＋2图象如下图所示.
二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根 一元二次方程ax2＋bx＋c=0根的判别式△=b2－4ac
有两个交点 有两个相异的实数根 b2－4ac>0
没有交点 没有实数根 b2－4ac<0
二次函数①y=x2＋2x,②y=x2－2x＋1,③y=x2－2x＋2图象如下图所示.
二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、 没有交点.当二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.
总结：
B
A
B
D
例1：利用函数的图象,求下列的方程的解：
(1)x2＋2x－3=0：
(2)2x2－5x＋2=0.
上面甲乙两位同学的解法都是可行的,但乙
的方法要来得简便,因为画抛物线远比画直线困
难,所以只要事先画好一条抛物线y=x2的图象,再根据待解的方程,画出相应的直线,交点的横坐标即为方程的解.
解析：
解：
(1)在同一直角坐标系中画出函数y=x2和y=－2x＋3的图象,如
则方程x2＋2x-3=0的解为-3,1；
(2)先把方程2x2-5x＋2=0化为
然后在同一直角坐标系中画出函数y=x2和
的图象,如图(2),得到它们的交点
图(1),得到它们的交点(-3,9)、(1,1),
则方程2x2－5x＋2=0的解为
例2：(1)已知抛物线y=2(k＋1)x2＋4kx＋2k－3,当k=____时,抛物线与x轴相交于两点；
(2)已知二次函数y=(a－1)x2＋2ax＋3a－2的图象的最低点在x轴上,则a=____；
(3)已知抛物线y=x2－(k－1)x－3k－2与x轴交于两点A(α,0),B(β,0),且α2＋β2=17,则k的值是____.
(1)抛物线y=2(k＋1)x2＋4kx＋2k－3与x轴相交于两点,相当于方程2(k＋1)x2＋4kx＋2k－3=0有两个不相等的实数根,即根的判别式△＞0；
解析：
(2)二次函数y=(a-1)x2+2ax+3a-2的图象的最低点在x轴上,也就是说,方程(a-1)x2+2ax+3a-2=0的两个实数根相等,即△=0；
例2：(1)已知抛物线y=2(k＋1)x2＋4kx＋2k－3,当k=____时,抛物线与x轴相交于两点；
(2)已知二次函数y=(a－1)x2＋2ax＋3a－2的图象的最低点在x轴上,则a=____；
(3)已知抛物线y=x2－(k－1)x－3k－2与x轴交于两点A(α,0),B(β,0),且α2＋β2=17,则k的值是____.
二次函数的图象与x轴有无交点的问题,可以转化为一元二次方程有无实数根的问题,这可从计算的判别式入手.
回顾与反思：
例3：已知二次函数y=－x2＋(m－2)x＋m＋1.
(1)试说明：不论m取任何实数,这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；
(2)m为何值时,这两个交点都在原点的左侧?
(3)m为何值时,这个二次函数的图象的对称轴是y轴?
(1)要说明不论m取任何实数,二次函数y=-x2+(m-2)x+m+1的图象必与x轴有两个交点,只要说明方程-x2+(m-2)x+m+1=0有两个不相等的实数根,即△＞0；
(1) △=(m－2)2－4×(－1)×(m＋1)=m2＋8,
解：
由m2≥0,得m2＋8＞0,
所以△＞0,即不论m取任何实数,这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；
解析：
例3：已知二次函数y=－x2＋(m－2)x＋m＋1.
(1)试说明：不论m取任何实数,这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；
(2)m为何值时,这两个交点都在原点的左侧?
(3)m为何值时,这个二次函数的图象的对称轴是y轴?
(2)两个交点都在原点的左侧,也就是方程－x2＋(m－2)x＋m＋1=0有两个负实数根,因而必须符合条件①△＞0,②x1＋x2＜0,③x1·x2＞0.综合以上条件,可解得所求m的值的范围；
(2)由x1＋x2=m－2＜0,得m＜2；
解：
由x1·x2=－m－1＞0,得m＜－1；
又由(1)△＞0,因此,当m＜－1时,两个交点都在原点的左侧；
解析：
例3：已知二次函数y=－x2＋(m－2)x＋m＋1.
(1)试说明：不论m取任何实数,这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；
(2)m为何值时,这两个交点都在原点的左侧?
(3)m为何值时,这个二次函数的图象的对称轴是y轴?
(3)二次函数的图象的对称轴是y轴,说明方程－x2＋(m－2)x＋m＋1=0有一正一负两个实数根,且两根互为相反数,因而必须符合条件①△＞0,②x1＋x2=0.
(3)由x1＋x2=m－2=0,得m=2,
解：
因此,当m=2时,二次函数的图象的对称轴是y轴.
解析：
0或-1
4
2
B
C
10.(2014,南京)已知二次函数y＝x2－2mx+m2+3(m是常数).
(1)求证：不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点；
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数图象与x轴只有一个公共点？
解：
(1)∵Δ＝(-2m)2-4×1×(m2＋3)＝4m2-4m2-12＝-12＜0,
∴方程x2－2mx＋m2＋3＝0没有实数解,
即不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点.
(2) y＝x2－2mx＋m2＋3＝(x－m)2＋3,
把函数y＝(x－m)2＋3的图象延y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y＝(x－m)2的图象, 它的顶点坐标是(m,0),
因此,这个函数的图象与x轴只有一个公共点,
所以,把函数y＝x2－2mx＋m2＋3的图象延y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.
二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.当二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.
(共16张PPT)
5.二次函数与一元二次方程
北师版·九年级数学·下册
第二课时
1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根,进一步发展估算能力.
2.利用图象法求一元二次方程的近似根,重要的是让学生懂得这种求解方程的思路体验数形结合思想.
重点：1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.
2.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
难点：利用函数的图象求一元二次方程的近似根.
阅读课本内容，了解本节主要内容.
整数
y=ax2+bx+c(a≠0)
整数
1.上节课我们学习了二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根的关系,懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标,就是y=0时的一元二次方程的根,于是,我们在不解方程的情况下,只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可.但是在图象上我们很难准确地求出方程的解,所以要进行估算.本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根.
用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的解(精确到0.1).
下图是函数y=x2＋2x－1的图象.
从图象上看,可以估计x的取值是－2.4或者－2.5,利用计算器进行探索,如下表：
从上表可知,当x取－2.4或－2.5时,对应
y的值由负变正,可见在－2.4和－2.5之间一
定有一个x的值使y=0,即有方程x2＋2x-1=0的一个根.由于题目只要求精确到0.1,所以这是去x=-2.4或x=-2.5作为根都符合要求.但是当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接0.所以选x=-2.4.
有了上面的分析和结果,求另一个近似根就不困难了,请大家继续.(学生自行研究)另一根为x=0.4.
x … -2.4 -2.5 …
y … -0.04 0.25 …
用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的解(精确到0.1).
下图是函数y=x2＋2x－1的图象.
还有没有其他的解决办法?
将方程变形为x2=－2x＋1,从而将问题转化为求函数y=x2和y=－2x＋1的交点横坐标,培养学生利用数形结合解题的思想.
如下右图如示：
函数y=x2和y=-2x＋1交于A、B两点,这两点的横坐标就是我们要求的根.你能否结合二次函数的图象,求出使y=x2＋2x-1＞0和y=x2＋2x-1＜0时,x的取值范围？
由图象知,y=x2+2x-1＞0的图象位于x轴上方,图象位于x轴上方的自变量x取值范围是x<-2.4或x>0.4；y=x2+2x-1<0的图象位于x轴下方,图象位于轴下方的的自变量x取值范围是-2.4x1=2.4, x2=0.6
C
D
C
例1：画出函数y=x2-2x-3的图象,根据图象回答下列问题.
(1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？
(2)当x取何值时,y=0?这里x取值与方程x2-2x-3=0有什么关系?
(3)x取什么值时,函数值y大于0？x取什么值时,函数y小于0？
解：
(1)图象如图(1)图象与x轴的交点为(-1,0)、
(3,0),与y轴的交点坐标为(0,－3)；
(2)当x=－1时或x=3时,y=0,x的取值与方程x2－2x－3=0的解相同；
(3)当x＜－1或x＞3时,y＞0；当－1＜x＜3时,y＜0.
例2：二次函数y=ax2＋bx＋c的图象恒在x轴上方的条件是( )
A.a＞0,b2－4ac＞0 B.a＞0,b2－4ac＜0
C.a＜0,b2－4ac＞0 D.a＜0,b2－4ac＜0
y=ax2＋bx＋c的图象恒在x轴上方,需要满足两个条件①开口向上；②图象与x轴无交点.
解析：
B.
解：
例3：已知二次函数y=2x2－(m＋1)x＋m－1
(1)求证：不论m为何值,函数的图象与x轴总有交点,并指出当m为何值时,只有一个交点；
(2)当m为何值时,函数的图象经过原点；
(3)在(2)的图象中,求出y＜0时x的取值范围及y＞0时x的取值范围.
要说明与x轴必有交点,即说明b2－4ac≥0即可,寻找y＜0或y＞0时x的取值范围可利用其图象回答.
(1)∵b2-4ac=[-(m＋1)]2-4×2(m-1)=(m-3)2≥0.
解：
∴无论m取何值时,抛物线与x轴总有交点,且当m=3时,有一个交点；
解析：
(2)∵函数的图象经过(0,0),
∴0=2×02-(m+1)×0+m-1,解得m=1.
∴当m=1时,函数的图象经过原点.
(3)由(2),得,y=2x2-2x,其图象如图所示,
由图象可知,当y＜0时,0＜x＜1；当y＞0时,x＜0或x＞1.
C
B
D
C
9.已知关于x的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象经过点C(0,1),且与x轴交于不同的两点A、B,点A的坐标是(1,0).
(1)求c的值；
(2)求a的取值范围.
解：
(1)把点C（0,1）代入函数y＝ax2＋bx＋c得，c=1.
(2) ∵图象过C(0,1),A(1,0),
∴a＋b＋1＝0,
∴b＝－a－1,
由b2－4ac＞0,可得(－a－1)2－4a＞0,即(a－1)2＞0,
故a≠1,又a＞0,∴a＞0且a≠1.
1.经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会了方程与函数之间的联系.
2.经历了用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得了用图象法求方程近似根的体验.
