2.2.3 二次函数y=ax^2与y=a(x-h)^2的图象和性质课件

(共26张PPT)
数学北师大版

九年级
二次函数的图象与性质
第3课时 y=ax2与y=a(x-h)2的二次函数的图象和性质.
1.函数 的图象的顶点坐标是 ；
开口方向是 ；最 值是 .
2.函数y=-2x2+3的图象可由函数y=-2x2的图象向 平移 个单位得到.
3.把函数y=-3x2的图象向下平移2个单位可得到函数
__________的图象.
(0,3)
向上
小
3
上
3
y=-3x2-2
二次函数y=ax2与y=ax2+c的图象有什么关系？

二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象
当c > 0 时 向上平移c个单位得到.
当c < 0 时 向下平移-c个单位得到.



函数
y=ax2+c

y=ax2
开口方向
a>0时,向上
a<0时,向下
对称轴
y轴
y轴
顶点坐标
（0,0）
（0,c）
a>0时,向上
a<0时,向下
上正下负
1、完成下表
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y=3x?
y=3(x-1)?
　 　 　 　 　 　 　
27 12 3 0 3 12 27

函数y=3(x-1)?的图像是什么?
它与y=3x?的图像有什么关系？
比较y=3x?和y=3(x-1)?的值,它们之间有什么关系?

y=3(x-1)?的值比y=3x?的值落后
想一想:
27
27
12
12
3
3
0
0
12
12
27
27
新知导入

在下列平面直角坐标系中，做出y=3x?和y=3（x-1）?的图像
x -2 -1 0 1 2 3
y=3x? 12 3 0 3 12
y=3(x-1)? 12 3 0 3 12
(1)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?
把y=3x?的图像沿x轴向右平移1个单位就得到y=3(x-1)?的图像

新知讲解
y=3x?,y=3（x-1）?的开口方向,对称轴,顶点坐标分别是什么?
抛物线 y=3x? y=3（x-1）?
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向上
y轴或说x=0
x=1
(0,0)
(1,0)
当x取哪些值时, y随着x的增大而增大.
当x取哪些值时, y随着x的增大而增大.
y=3x?,x>0，
y=3（x-1）?，x>1
y=3x?,x<0，
y=3（x-1）?，x<1

思考:把y=3x?图象向左移1个单位应得到什么函数?
y=（3x-1）?
y=3x?
y=3（x+1）?

y=（3x-1）?
y=3x?
y=3x?,y=3（x-1）?，y=3（x+1）?
这三个函数图象有什么相同点?有什么不同点?
二次函数y=3x?,y=3（x-1）?，
y=（3x+1）?
的图象都是抛物线，并且形状相同，
只是位置不同.将函数y=3x?的图象向右平移1个单位长度，就得到函数y=（3x-1）?的图象;将的数y=3x?的图象向左平移1个单位长度，就得到函效y=（3x+1）?的图象.

将函数 y=2x?的图象向右平移1个单位, 就得到 y=2(x-1)?的图象;
若向左平移2个单位,得到函数 y=2(x+1)?的图象.
相同点: (1)图像都是抛物线,形状、大小相同,开口方向相同.
(2)都是轴对称图形.
(3)顶点都是最低点.
(4) 在对称轴左侧,都随 x 的增大而减小,在对称轴 右侧,都随 x 的增大而增大.
(5)它们的增长速度相同.
不同点: (1)对称轴不同. (2)顶点不同.
比较y=2x?， y=2(x-1)?,y=2(x+1)?的图象;
(6)最小值不同.
可得到函数y=a（x-h）2的图象
对称轴是直线x=h ；
顶点是（h ，0）
函数y=ax2的图象
向右平移h（h﹥0）个单位
(向左平移︱h︱（h﹤0）个单位)
函数y=a（x-h）2的图象：








0
x
y
（h ，0）
函数y=ax2与y=a(x-h)2的图象关系：
【归纳小结】
（h ，0）
左加右减
1.抛物线y=3x2－4与抛物线y =3x2 的_______相同，
_________不同.
2.抛物线y =3(x－1)2与抛物线y =3x2 的______相同，
_________不同.
3.抛物线y =3x2+5的开口_______，对称轴是______，
顶点坐标是____________.
4.抛物线y =－2(x+1)2的开口__________，对称轴是___________，顶点坐标是_____________.
形状
形状
位置
位置
向上
向下
y 轴
直线x =－1
(0，5)
(－1，0)
【跟踪训练】
5.将抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）.


o
y
x




1、画出二次函数y=3（x-1）2+2的图象，

2、并与二次函数y=3x2的图象进行比较，说明它们之间的关系.
函数y=3x2 的图象
向上平移
2个单位

函数y=3x2+2 的图象
向右平移
1个单位

向右平移
1个单位

函数y=3(x-1)2 的图象
向上平移
2个单位

函数y=3(x-1)2 +2的图象
再看下课本上的：在同一坐标系中作出二次函数y=2x?-1/2, y=2(x+3)2和y=2(x+3)2-1/2的图象.
二次函数y=2x?-1/2 , y=2(x+3)2和y=2(x+3)2-1/2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?

















1.
2.
3.
-1
-2
-3.
0.
1.
2.
3.
4.
-1
x
y
5
y=2(x+3)2
y=2x2

y=2(x+3)2 -1/2



















1.
2.
3.
-1
-2
-3.
0.
1.
2.
3.
4.
-1
x
y
5
y=2(x+3)2

y=2x2


y=2(x+3)2 -1/2
函数y=3x?的图象


o
y
x




向上平移2个单位
向右平移1个单位

练一练： 由二次函数y=3x?的图象,你能得到二次函数y=3x?+2，
y=3（x-1）?，y=3（x-2）?-5的图象吗？
y=3x?+2的图象
y=（3x-1）?的图象
y=3x?向右移平移2个单位，
再向下平移5个单位
可得y=3（x-2）?-5的图象
y=3x?向下平移5个单位
再向右移平移2个单位，
可得y=3（x-2）?-5的图象
对称轴：直线x= h
顶点： (h，k)
【规律方法】
（当k,h都大于0时）的图象特点
y=ax2的图象
向右平移
h个单位
y=a(x-h)2的图象
向上平移
k 个单位
y=a(x-h)2+k的图象
y=ax2+k的图象
向上平移
k 个单位
向右平移
h个单位
y=a(x-h)2+k的图象一条抛物线，
a>0开口向上，a<0开口向下
议一议：二次函数y=a(x-h)2+k 的图象与y=ax2 有什么关系？
y=ax2+bx+c的二次函数平移时,a的大小不会变
顶点坐标
对称轴
开口方向
抛物线














向上
向上
向上
向上
向上
向下
向下
y 轴(或x=0)
y 轴(x=0)
直线x=－1
直线x=1
直线x=1
直线x=－1
直线x=h
(h ，k)
(1，2)
(－1，－2)
(1，－2)
(－1，2)
(0，2)
(0，0)
【跟踪训练】
y=x2
y=3x2
y=5x2+2
y=(x-1)2+2
y=2(x+1)2+2
y=-(x-1)2+2
y=a(x-h)2+k
(a<0)
y=a(x-h)2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标
a＞0
a＜0
向上
直线x=h
(h,k)
向下
直线x=h
(h,k)
1.y=a(x-h)2+k的图象的特征.
2.y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系.
上加下减
左加右减
　　 抛物线 　　　　　　 有如下特点：
　　（1）当 a＞0 时，开口向上；当 a＜0 时，开口向下．
　　（2）对称轴为直线 x = h．
　　（3）顶点坐标（h，k）．
　　（4）如果 a＞0，当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞h 时，y 随 x 的增大而增大；
如果 a＜0，当 x＜h 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞h 时，y 随 x 的增大而减小．
（5）当 a＞0 时，y 有最小值k（即y ≥k）；当 a＜0 时，y 有最大值k（即y ≤k）
y = a（x - h）2 + k
课后作业
1. 已知二次函数y=-（x-4）2+4.
（1）写出其图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（2）x取何值时，①y=0，②y＞0，③y＜0.
解：（1）∵二次函数y=-（x-4）2+4中，a=-1＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=4，
顶点坐标为（4，4）.
（2）当y=0时，-（x-4）2+4=0，
解得x=2或x=6.
①x=2或x=6时，y=0；
②2＜x＜6时，y＞0；③x＜2或x＞6时，y＜0.
2.如图X2-2-6，抛物线y=2(x-2)2-6的顶点为C，且一次函数y=-kx＋3的图象经过点C，求这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积．
解：根据题意，得点C的坐标为(2，-6),
由y=-kx＋3的图象经过点C，
得-6=-2k＋3，解得k= ，∴y=- x＋3.

从而得此一次函数图象与两坐标轴的
交点坐标分别为 ，(0，3)，
∴一次函数图象与两坐标轴所围成三角形的面积为 ×3=1.
3. 已知二次函数y= （x+1）2+4.
（1）写出抛物线的开口方向，顶点坐标和对称轴.
（2）画出此函数的图象，并说出此函数图象与y= x2的图象的关系.
解：（1）抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（-1，4），对称轴为直线x=-1.
（2）如答图X2-2-4.

将二次函数y= （x+1）2+4的图象向右平移1个单位，再向下平移4个单位可得到y= x2的图象.
谢谢
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