(共30张PPT)
2 二次函数的图象与性质
第1课时
【知识再现】
一次函数的图象是一条_________；形如y=kx(k≠0)的
函数是___________函数.?
直线
正比例
【新知预习】
解决下列问题
通过对y=x2与y=-x2，进行列表、描点、画线，
会发现它们的图象是___________.?
抛物线
【新知识记】二次函数y=x2与y=-x2的图象与性质
向上
向下 ?
函数 y=x2 y=-x2
图象
开口方向 _________? __________
(0，0)
(0，0)
函数 y=x2 y=-x2
顶点坐标 ___________? _________?
对称轴 y轴 y轴
增大
减小
减小
增大
函数 y=x2 y=-x2
函数变化 当x>0时，y随x的
增大而_____；?
当x<0时，y随x的
增大而_________? 当x>0时，y随x的增
大而_________；?
当x<0时，y随x的增
大而_________?
最大
(小)值 当x=0时，y最小值=
0 当x=0时，y最大值=
0
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.关于y=x与y=x2的说法正确的是 ( )
A.y=x的图象是一条直线，y=x2的图象是一条抛物线
B.y=x与y=x2都满足y随x的增大而增大
C.都有顶点和最大值
D.它们的图象都经过(0，0)，且都经过第一、二象限
A
2.在平面直角坐标系中，如果点(m，4)在抛物线y=x2
上，则m= ______.?
3.在直角坐标系中，如果点A(-1，y1)，B(3，y2)在抛
物线y=-x2上，则y1______y2(填“>”“=”或“<”).?
±2
>
知识点一 二次函数y=x2与y=-x2的图象与性质(P33“议一议(3)”拓展)
【典例1】已知点A(1，y1)，B(-3，y2)，C(-2，y3)在二次函数y=x2的图象上，试比较y1，y2，y3的大小.
【自主解答】∵二次函数y=x2的对称轴是y轴，
∴A关于y轴的对称点为A′(-1，y1).
∵对于y=x2的图象，当x<0时，y随x的增大而减小，且-3<-2<-1，
∴y1【学霸提醒】
比较y=x2与y=-x2的图象上若干个点的纵坐标大小的“三个步骤”
(1)比大小：比较各点横坐标与0之间的大小关系.
(2)定位置：确定这些点是在对称轴的左边还是右边.
(3)下结论：根据y=x2 或y=-x2的增减性确定各点纵坐标的大小.
【题组训练】
1.下列函数中，满足y的值随x的值增大而增大的是
( )
A.y=-2x B.y=3x-1
C.y= D.y=x2
B
★2.二次函数y=-x2和一次函数y=x-1在同一坐标系的
大致图象为 ( )
A
★★3.若二次函数y=-x2的图象过A(-2，y1)，B(-1，y2)，C(5，y3)三点，判断y1，y2，y3的大小关系.
解：方法一：根据增减性，因为-2<-1<0，所以y1︱-2︱，所以y3方法二：把x=-2，-1，5分别代入y=-x2，可得y1=-4，y2=-1，y3=-25，所以y3知识点二 二次函数y=x2与y=-x2图象与性质的应用
(P34习题2.2T2补充)
【典例2】已知：如图，直线y=3x+4与抛物线y=x2交于
A，B两点，求出A，B两点的
坐标，并求出两交点与原点
所围成的三角形的面积.
【规范解答】由题意得 ………建立方程组
解得 …………解二元一次方程组
∴直线y=3x+4与抛物线y=x2的交点坐标为A(4，16)
和B(-1，1). …………确定点的坐标
如图，连接AO，BO.
∵直线y=3x+4与y轴相交于
点C(0，4)，
∴CO=4.∴S△ACO= ·CO·4=8，S△BOC= ×4×1=2，
∴S△ABO=S△ACO+S△BOC=10. …………面积和法
【学霸提醒】
利用二次函数的图象解决问题
1.借助二次函数的轴对称性、增减性等解决问题.
2.结合一次函数与二次函数交点求解面积问题.
【题组训练】
1.如图所示，A，B分别为抛物线y=x2上两点，且线段
AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为 ( )
A.y=3 B.y=6
C.y=9 D.y=36
C
★2.直线y=x-6与抛物线y=-x2的交点坐标是________
_________________.?
★★3.已知点P在抛物线y=x2上，在x轴上有一点
A( ，0)，若OP=OA，求点P的坐标.
略
(-3，
-9)和(2，-4)
【一题多解】
若二次函数y=x2的图象过A(-1，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)三点，判断y1，y2，y3的大小关系.
【方法一】根据增减性，因为A，B两点关于y轴对称，
∴y1=y2，
∵0<1<3，且x>0时y随x的增大而增大，
∴y2【方法二】比较函数值法，
把x=-1，1，3分别代入y=x2，可得y1=1，y2=1，y3=9，所以y2=y1【一题多变】
直线y=kx+b与抛物线y=x2都经过点A，B，且A，B的横坐标分别为-1和3.
求：(1)这条直线的表达式.
(2)△OAB的面积.
解：(1)当x=-1时，y=x2=1，
当x=3时，y=x2=9，
所以A(-1，1)，B(3，9)，
代入直线方程y=kx+b中，得k=2，b=3，
所以，直线的表达式为y=2x+3.
(2)设直线AB与y轴交于C点，则C(0，3)，
所以S△OAB=S△AOC+S△BOC
= ×3×1+ ×3×3=6.
【母题变式】
(变换条件)直线y=x+2与抛物线y=x2都经过点A，B，求△OAB的面积.
解：由题意得
解方程组得
所以A(-1，1)，B(2，4)，
设直线AB与y轴交于C点，则C(0，2)，
所以S△OAB=S△AOC+S△BOC
= ×2×1+ ×2×2=3.
(共31张PPT)
2 二次函数的图象与性质
第2课时
【知识再现】
二次函数y=x2和y=-x2的图象是___________，顶点是
___________，对称轴是________.?
抛物线
(0，0)
y轴
【新知预习】
阅读教材P35【议一议】，解决下列问题
二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质：
向上
(0，
0)
增大
减小
减小
增大
0
向下
y轴
c
c
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值
y=
ax2 a>0时，开
口_____；
a<0时，开
口向下 y轴 _____
___ (1)a>0：
x>0时，y随x的增
大而________；x<0时，y随x的增
大而_______；?
(2)a<0：
x>0时，y随x的增
大而_______；x<0时，y随x的增
大而_______ ? a>0，y最小值
=______；?
a<0，y最大值
=0
y=
ax2
+c a>0时，开
口向上；
a<0时，开
口_____ ____ (0，
c) a>0，y最小值
=______；?
a<0，y最大值
=______?
上
下
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值
y=ax2+c与y=ax2的图象的关系 y=ax2+c的图象可以看成是由y=ax2的图
象整体上下移动得到的，当c>0时，向
_______移动|c|个单位长度，当c<0时，
向_______移动|c|个单位长度，简记为：
“上加下减”.?
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.二次函数y= x2的图象的顶点坐标是 ( )
A.(1，0) B.(0，0)
C.(-1，0) D.
B
2.抛物线y=7x2的开口方向是 ( )
A.向上 B.向下
C.向左 D.向右
A
3.若抛物线y=ax2(a≠0)过点(-1，3)，则a等于
( )
A.3 B.-3
C. D.
A
4.已知二次函数y=-x2-3，则其顶点坐标为________，
函数有最_______值.?
(0，-3)
大
知识点一 二次函数y=ax2的图象与性质(P35“示例”延伸)
【典例1】已知二次函数y=ax2的图象经过点P(-2，5).
(1)求a的值.
(2)点M(4，m)在这个图象上，求m的值.
【规范解答】
(1)∵二次函数y=ax2的图象经过点P(-2，5)，
∴a×(-2)2=5， …………代入点的坐标
解得a= . …………解一元一次方程
(2)由(1)得二次函数表达式为y= x2
…………确定函数表达式
∵点M(4，m)在这个图象上，
∴m= ×42=20. …………代入求值
【题组训练】
1.已知二次函数y=ax2的图象经过点(-2，6)，则下列
点中不在该函数图象上的是 ( )
A.(2，6) B.(1，1.5)
C.(-1，1.5) D.(2，8)
D
★2.对于函数y=5x2，下列结论正确的是 ( )
A.y随x的增大而增大
B.图象开口向下
C.图象关于y轴对称
D.无论x取何值，y的值总是正的
C
★3.已知抛物线y=ax2(a>0)过A(-2，y1)，B(1，y2)两
点，则下列表达式一定正确的是 ( )
A.y1>0>y2 B.y2>0>y1
C.y1>y2>0 D.y2>y1>0
C
★★4.如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的
是①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2.则a，b，c，
d的大小关系为____________.
a>b>d>c
【我要做学霸】
二次函数y=ax2的“两关系四对等”
1.a>0?开口向上?有最小值?
2.a<0?开口向下?有最大值?
知识点二 二次函数y=ax2+c的图象与性质(P36随堂练习T1延伸)
【典例2】已知抛物线y=ax2+n与抛物线y=-2x2的形状相同，且其图象上与x轴最近的点到x轴的距离为3.
(1)求a，n的值.
(2)在(1)的情况下，指出抛物线y=ax2+n的开口方向、对称轴及顶点坐标.
【自主解答】(1)∵抛物线y=ax2+n与抛物线y=-2x2的形状相同，∴a=±2.∵其图象上与x轴最近的点到x轴的距离为3，∴n=±3.
(2)当a=2，n=3时，抛物线为y=2x2+3，开口向上，对称轴是直线x=0，顶点坐标是(0，3)；
当a=-2，n=-3时，抛物线为y=-2x2-3，开口向下，对称轴是直线x=0，顶点坐标是(0，-3).
【学霸提醒】
二次函数y=ax2+c的应用三步骤
【题组训练】
1.(2019·沈阳模拟)二次函数y=2x2+3的图象经过
( )
A.第一、二象限 B.第三、四象限
C.第一、三象限 D.第二、四象限
A
★2.函数y= x2+1与y= x2+2的图象的不同之处是
( )
A.对称轴 B.开口方向
C.顶点 D.形状
C
★3.(分类讨论题)a≠0，函数y= 与y=-ax2+a在同一
直角坐标系中的大致图象可能是 ( )
D
★★4.将二次函数y=2x2-1的图象沿y轴向上平移2个单
位长度，所得图象对应的函数表达式为___________.
y=2x2+1
【火眼金睛】
当ab>0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是( )
正解：选D. ∵ab>0，∴a，b同号，当a>0时，b>0，即二次函数图象开口向上，一次函数图象过第一、二、三象限；当a<0时，b<0，即二次函数图象开口向下，一次函数图象过第二、三、四象限，所以D选项符合题意.
【一题多变】
已知点P(1，-2a)在二次函数y=ax2+6的图象上，并且
点P关于x轴的对称点在反比例函数y= 的图象上.
(1)求二次函数和反比例函数的表达式.
(2)点(-1，4)是否同时在(1)中的两个函数的图象上？
略
【母题变式】
如图，抛物线y=ax2+1与y轴交于点A，过点A与x轴平行
的直线交抛物线y=4x2于点B，C，则线段BC的长为
____.?
1
(共26张PPT)
2 二次函数的图象与性质
第3课时
【知识再现】
二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象是___________，顶点坐
标是___________，对称轴是________.?
抛物线
(0，c)
y轴
【新知预习】
阅读教材P40，解决下列问题
1.y=a(x-h)2的图象及性质.
2.y=a(x-h)2+k的图象与性质.
(h，k)
h
上
下
抛物线 y=a(x-h)2+k(a>0) y=a(x-h)2+k(a<0)
顶点坐标 ___________?
对称轴 直线x=______?
开口方向 向_______? 向_______?
减
小
增大
增
大
减小
小
大
抛物线 y=a(x-h)2+k(a>0) y=a(x-h)2+k(a<0)
增减性 在对称轴的左侧，y
随着x的增大而___
___；在对称轴的右侧，y随着x的增大
而_________? 在对称轴的左侧，y
随着x的增大而___
___；在对称轴的右
侧，y随着x的增大
而_________?
最值 当x=h时，有最_____值，为k? 当x=h时，有最_____值，为k?
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.抛物线y=3(x-1)2+1的顶点坐标是 ( )
A.(1，1) B.(-1，1)
C.(-1，-1) D.(1，-1)
A
2.抛物线y=-(x+2)2-3向右平移了3个单位长度，那么平
移后抛物线的顶点坐标是 ( )
A.(-5，-3) B.(-2，0)
C.(-1，-3) D.(1，-3)
D
3.抛物线y=-2(x+5)2-3的顶点坐标是_____________.?
4.已知二次函数y=(x-2)2+3，当x_______时，y随x的
增大而减小.?
(-5，-3)
<2
知识点一 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质(P38随堂练习拓展)
【典例1】已知抛物线y=a(x+2)2过点(1，-3).
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)指出抛物线的对称轴、顶点坐标.
(3)当x取何值时，y随x的增大而增大？
【规范解答】(1)∵抛物线经过点(1，-3)，
∴-3=9a， …………将点的坐标代入表达式
a=- ， …………解方程
∴抛物线的函数表达式为y=- (x+2)2.
(2)对称轴是直线x=-2，顶点坐标为(-2，0).
…………直接由表达式确定
(3)∵a=- <0，∴当x<-2时，y随x的增大而增大.
…………二次函数的增减性
【题组训练】
1.下列抛物线中，顶点坐标是(-2，0)的是( )
A.y=x2+2 B.y=x2-2
C.y=(x+2)2 D.y=(x-2)2
C
★2.在平面直角坐标系中，二次函数y=a(x-h)2(a≠0)
的图象可能是 ( )
D
★★3.试分别说明将下列抛物线的图象通过怎样的平移得到y=x2的图象：
(1)y=(x+1)2. (2)y=(x-1)2.
(3)y=x2+1. (4)y=x2-1.
解：(1)把抛物线y=(x+1)2的图象向右平移1个单位得到抛物线y=x2的图象.
(2)把抛物线y=(x-1)2向左平移1个单位得到抛物线y=x2的图象.
(3)把抛物线y=x2+1的图象向下平移1个单位得到抛物线y=x2的图象.
(4)把抛物线y=x2-1的图象向上平移1个单位得到抛物线y=x2的图象.
【我要做学霸】
y=ax2的图象左右平移规律的“四字诀”
左加：y=ax2向_______平移h(h>0)个单位?y=a(x+h)2.?
右减：y=ax2向_______平移h(h>0)个单位?y=a(x-h)2.?
左
右
知识点二 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质(P39习题2.4T3拓展)
【典例2】若抛物线y=(x-1)2+c过点(2，-1)，且向左平移4个单位，求所得新抛物线的表达式.
【尝试解答】∵抛物线y=(x-1)2+c过点(2，-1)，
∴__-1__=__(2-1)2__+c，?
…………将点的坐标代入求c
解得：c=__-2__， …………解方程?
∴抛物线的表达式是y=(x-1)2__-2__?
…………将c代入表达式
∵抛物线向左平移4个单位，
∴所得新抛物线的表达式为：y=(x-1__+4__)2-2，即y=(x__+3__)2-2.?
【题组训练】
1.(2019·武汉黄陂区期中)二次函数y=2(x-1)2+3的图
象是一条抛物线，则下列说法错误的是 ( )
A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴是直线x=1
C.抛物线的顶点坐标是(1，3)
D.当x>1时，y随x的增大而减小
D
2.已知二次函数y=(x+m)2-n的图象如图所示，则一次
函数y=mx+n与反比例函数y= 的图象可能是 ( )
世纪金榜导学号
C
3.(2019·哈尔滨中考)二次函数y=-(x-6)2+8的最大值
是______.?
★4.将抛物线y=-x2平移，使它的顶点移到点P(-2，3)，
平移后新抛物线的表达式为_______________.
8
y=-(x+2)2+3
【我要做学霸】
抛物线平移变换规律
1.上加下减：即向_______平移，直接在表达式后面加
平移的单位；向_______平移，直接在表达式后面减平
移的单位.?
上
下
2.左加右减：即向_______平移，直接在x的基础上减平
移的单位；向_______平移，直接在x的基础上加平移的
单位.?
右
左
(共32张PPT)
2 二次函数的图象与性质
第4课时
【知识再现】
二次函数y=2(x+1)2+3的顶点是____________，对称轴
是x= _______，开口方向_________，有最_______值3，
当x>-1时，y随x的增大而_________；它可以看作y=2x2
向左平移______个单位，向上平移______个单位所得.?
(-1，3)
-1
向上
小
增大
1
3
【新知预习】
阅读教材P40，解决下列问题
1.二次函数y=ax2+bx+c的对称轴与顶点坐标
二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条___________，对
称轴是直线x=____，顶点坐标是?__________.?
抛物线
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
(1)当a>0时，①开口向___；②对称轴为直线x=____；
③顶点坐标为_____________；
④增减性：当x< 时，y随着x的增大而_________，
当x> 时，y随着x的增大而_________；?
上
减小
增大
⑤最值：当x= 时，y有最_______值为________.?
(2)当a<0时，①开口向___；②对称轴为直线x=____；
③顶点坐标为____________ ；④增减性：当x<
时，y随着x的增大而_____，当x> 时，y随着x的增
大而_____；⑤最值：当x= 时，y有最___值为_____.
小
下
增大
减小
大
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.已知二次函数的图象如图所示，那么此函数的表达
式只可能是 ( )
C
A.y=-x2+x+3
B.y=-x2-x-3
C.y=-x2-x+3
D.y=x2+x+3
2.已知点(-2，y1)，(1，0)，(3，y2)都在二次函数y=x2
+bx-3的图象上，则y1，0，y2的大小关系是 ( )
A.0B.y2<0C.y1D.y1<0D
3.已知二次函数y=x2+8x-5，其顶点坐标是__________.?
(-4，-21)
知识点一 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(P39例1拓展)
【典例1】(2019·上海虹口区一模)已知抛物线y=2x2-4x-6.
(1)请用配方法求出顶点的坐标.
(2)如果该抛物线沿x轴向左平移m(m>0)个单位后经过原点，求m的值.
【规范解答】(1)y=2x2-4x-6=2(x2-2x)-6
…………提二次项系数
=2(x-1)2-8， …………配方
故该函数的顶点坐标为：(1，-8).
…………求顶点坐标.
(2)当y=0时，0=2(x-1)2-8， …………构建方程
解得：x1=-1，x2=3，即图象与x轴的交点坐标为：
(-1，0)，(3，0)， …………求原抛物线与x轴的交点
故该抛物线沿x轴向左平移3个单位后经过原点，即m=3.
【学霸提醒】
确定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标
的“两种方法”
(1)利用配方法把y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式.
(2)直接代入公式x= ，y= 求解.
【题组训练】
★1.关于二次函数y=2x2+4x-1，下列说法正确的是
( )
A.图象与y轴的交点坐标为(0，1)
B.图象的对称轴在y轴的右侧
C.当x<0时，y的值随x值的增大而减小
D.y的最小值为-3
D
★2.当x=______时，二次函数y=x2-2x+6 有最小值
______.?
★★3.把拋物线y=2x2-4x+3向左平移1个单位长度，
得到的抛物线的表达式为_____________.?
1
5
y=2x2+1
知识点二 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a，b，c的关系(P40例2拓展)
【典例2】抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，部分图象如图所示，下列判断中：
①abc>0；②b2-4ac>0；③9a-3b+c=0；④若点(-0.5，y1)，(-2，y2)均在抛物线上，则y1>y2；⑤5a-2b+c<0.其中正确的个数为_______.?
【规范解答】由开口向上知a>0，
…………开口方向定a的正负
∵图象交y轴于负半轴，∴c<0，
…………与y轴交点定c的正负
由对称轴x= =-1<0，
∴b>0， …………对称轴的位置定b的正负
∴abc<0，故①不正确；
由图象与x轴有两个交点知b2-4ac>0，
故②正确； ………… 交点个数定b2-4ac的正负
由对称性知，与x轴的另一交点是(-3，0)，
故③9a-3b+c=0正确； …………抛物线对称性
∵(-0.5，y1)与(-1.5，y1)关于y轴对称，
-2<-1.5， …………抛物线对称性
∴y1∵由交x轴于(1，0)知a+b+c=0，又 =-1，
∴b=2a， …………特殊点与对称轴
∴3a+c=2a+(a+c)=0，∴a+c<0，
∴5a-2b+c=a+c<0， …………不等式的性质
故⑤正确.
答案：3
【学霸提醒】
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与a，b，c的符号关系
字母符号 图象的特征
b=0 对称轴为y轴
ab>0 对称轴在y轴左侧
ab<0 对称轴在y轴右侧
c=0 经过原点
c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
【题组训练】
★1.(易错警示题)(2019·广州白云区
一模)若一次函数y=kx+b的图象如图所
示，则下列结论中，正确的有
( )
B
①二次函数y=x2+kx+b的图象一定经过点(0，2)
②二次函数y=x2+kx+b的图象开口向上
③二次函数y=x2+kx+b的图象的对称轴在y轴左侧
④二次函数y=x2+kx+b的图象不经过第二象限
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
★2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例
函数y= 与一次函数y=ax+b在同一坐标系内的大致图
象是 ( )
C
★★3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象如图所示，下列结论：①2a
+b=0；②a+c>b；③抛物线与x轴的
另一个交点为(3，0)；④abc>0.其中正确的结论是
_________(填写序号). ?
①④
【火眼金睛】
求函数y=x2-2x-3(x≥4)的最值.
正解：∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4，∴a=1>0.
对称轴是x=1，且x>1时y随x的增大而增大，
∴当x=4时，y最小，∴最小值是5.
一题多解
(2019·广州白云区一模)把二次函数y=x2+2x+3的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，就得到二次函数_____________的图象.?
【解析】方法一：化为顶点式：
∵y=x2+2x+3=(x+1)2+2，∴抛物线y=x2+2x+3先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，平移后的函数表达式是：y=(x+1+1)2+2-1，即y=(x+2)2+1=x2+4x+5.
答案：y=x2+4x+5
方法二：直接加减法：
略
