第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
一、知识梳理
1．任意角的概念
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的分类
按旋转方向 正角 按逆时针方向旋转而成的角
负角 按顺时针方向旋转而成的角
零角 射线没有旋转
按终边位置 前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合
象限角 角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角
其他 角的终边落在坐标轴上
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制
(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝
角度与弧度的换算 1°＝rad，1 rad＝°≈57°18′
弧长公式 l＝|α|·r
扇形面积公式 S＝l·r＝|α|·r2
3.任意角的三角函数
三角函数 正弦 余弦 正切
定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α
各象限符号 Ⅰ 正 正 正
Ⅱ 正 负 负
Ⅲ 负 负 正
Ⅳ 负 正 负
口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦
三角函数线
有向线段MP为正弦线，有向线段OM为余弦线，有向线段AT为正切线
常用结论
1．象限角
2．轴线角
3．三角函数定义的推广
设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.
二、习题改编
1．(必修4P10A组T7改编)角－225°＝ 弧度，这个角在第 象限．
答案：－ 二
2．(必修4P15练习T2改编)设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝ ．
答案：
3．(必修4P10A组T6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为 弧度．
答案：
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( )
(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．( )
(3)不相等的角终边一定不相同．( )
(4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( )
(5)若α∈，则tan α＞sin α.( )
(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√
二、易错纠偏
(1)终边相同的角理解出错；
(2)三角函数符号记忆不准；
(3)求三角函数值不考虑终边所在象限．
1．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
解析：选C.由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为＋2kπ或k·360°＋45°(k∈Z).
2．若sin α＜0，且tan α＞0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选C.由sin α＜0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tan α＞0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．故选C.
3．已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α＜0，则tan α＝ ．
解析：如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tan α＝＝＝－1.
答案：－1
象限角及终边相同的角(典例迁移)
(1)集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
(2)若角α是第二象限角，则是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
【解析】 (1)当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，n∈Z，此时α的终边和≤α≤的终边一样；当k＝2n＋1时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α的终边和π＋≤α≤π＋的终边一样．故选C.
(2)因为α是第二象限角，所以＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．
【答案】 (1)C (2)C
【迁移探究】 (变问法)在本例(2)的条件下，判断2α为第几象限角？
解：因为α是第二象限角，所以90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，则180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，所以2α可能是第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．
(1)表示区间角的三个步骤
①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间；
③起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
(2)象限角的两种判断方法
①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；
②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
[提醒] 注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角．
1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为 ．
解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：
β＝45°＋k×360°(k∈Z)，
则令－720°≤45°＋k×360°<0°，
得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－，
从而得k＝－2和k＝－1，
代入得β＝－675°和β＝－315°.
答案：－675°和－315°
2．若sin α·tan α<0，且<0，则α是第 象限角．
解析：由sin α·tan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角；由<0，可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．
答案：三
扇形的弧长、面积公式(师生共研)
已知扇形的圆心角是α ，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【解】 (1)α＝60°＝，l＝10×＝(cm)．
(2)由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R，0
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5时，S取得最大值25，
此时l＝10 cm，α＝2 rad.
弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．
(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．
[提醒] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度．
1．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是( )
A．4 B．2
C．8 D．1
解析：选A.设扇形的弧长为l，则l·2＝8，
即l＝8，所以扇形的圆心角的弧度数为＝4.
2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为 ．
解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为α，则＝，所以α＝.所以扇形的弧长与圆周长之比为＝＝.
答案：
三角函数的定义(多维探究)
角度一 利用三角函数定义求值
(1)函数y＝loga(x－3)＋2(a＞0且a≠1)的图象过定点P，且角α的终边过点P，则sin α＋cos α的值为( )
A. B.
C. D．
(2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则tan α＝ ．
【解析】 (1)因为函数y＝loga(x－3)＋2的图象过定点P(4，2)，且角α的终边过点P，所以x＝4，y＝2，r＝2，所以sin α＝，cos α＝，所以sin α＋cos α＝＋＝.故选D.
(2)因为角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，所以cos α＝＝－，即x＝.
所以P，所以tan α＝.
【答案】 (1)D (2)
三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法
(1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值
方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值
方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．
(3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值
方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．
角度二 判断三角函数值的符号
若sin αcos α>0，cos αtan α<0，则α的终边落在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 由sin αcos α>0，得α的终边落在第一或第三象限，由cos αtan α＝cos α·＝sin α<0，得α的终边落在第三或第四象限，综上α的终边落在第三象限．故选C.
【答案】 C
三角函数值的符号及角的位置的判断
已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．
1．点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )
A. B.
C. D．
解析：选A.由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos＝－，y＝sin＝.
所以Q点的坐标为.
2．若角α的终边落在直线y＝－x上，则＋＝ ．
解析：因为角α的终边落在直线y＝－x上，所以角α的终边位于第二或第四象限．当角α的终边位于第二象限时，＋＝＋＝0；当角α的终边位于第四象限时，＋＝＋＝0.所以＋＝0.
答案：0
核心素养系列9 数学建模——求扇形的面积
数学建模就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题．
(2019·高考北京卷)如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )
A．4β＋4cos β B．4β＋4sin β
C．2β＋2cos β D．2β＋2sin β
【解析】 如图，设点O为圆心，连接PO，OA，OB，AB，在劣弧上取一点C，则阴影部分面积为△ABP和弓形ACB的面积和．因为A，B是圆周上的定点，所以弓形ACB的面积为定值，故当△ABP的面积最大时，阴影部分面积最大．又AB的长为定值，故当点P为优弧的中点时，点P到弦AB的距离最大，此时△ABP的面积最大，即当P为优弧的中点时，阴影部分面积最大．下面计算当P为优弧的中点时阴影部分的面积．
因为∠APB为锐角，且∠APB＝β，所以∠AOB＝2β，∠AOP＝∠BOP＝180°－β，则阴影部分的面积S＝S△AOP＋S△BOP＋S扇形OAB＝2××2×2sin(180°－β)＋×22×2β＝4β＋4sin β，故选B.
【答案】 B
从本题的解析中可以得到，无论∠APB是锐角，还是直角或钝角，都是当P为优弧的中点时，阴影部分的面积最大．
在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中，用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？
解：因为△AOB是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形，
所以A＝B＝30°＝，AM＝BN＝1，AD＝2，
所以方案一中扇形的弧长＝2×＝；方案二中扇形的弧长＝1×＝；
方案一中扇形的面积＝×2×2×＝，方案二中扇形的面积＝×1×1×＝.
由此可见：两种方案中利用废料面积相等，方案一中切割时间短．因此方案一最优．
[基础题组练]
1．给出下列四个命题：
①－是第二象限角；
②是第三象限角；
③－400°是第四象限角；
④－315°是第一象限角．
其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C.－是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.由题意知tan α＜0，cos α＜0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B.
3．若圆弧长度等于圆内接正方形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )
A. B.
C. D．
解析：选D.设圆的直径为2r，则圆内接正方形的边长为r，
因为圆的圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，
所以圆弧的长度为r，
所以圆心弧度为＝.
4．若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为( )
A．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}
B．{α|α＝k·2π＋，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°＋，k∈Z}
D．{α|α＝k·π－，k∈Z}
解析：选D.由图知，角α的取值集合为{α|α＝2nπ＋，n∈Z}∪{α|α＝2nπ－，n∈Z}
＝{α|α＝(2n＋1)π－，n∈Z}∪{α|α＝2nπ－，n∈Z}
＝{α|α＝kπ－，k∈Z}．
5．与角2 020°的终边相同，且在0°～360°内的角是 ．
解析：因为2 020°＝220°＋5×360°，所以在0°～360°内终边与2 020°的终边相同的角是220°.
答案：220°
6．函数y＝的定义域为 ．
解析：由题意可得sin x－≥0即sin x≥.作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围，故满足条件的角x的集合为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
答案：，k∈Z
7．(2020·许昌调研)设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝ ．
解析：因为α是第二象限角，
所以cos α＝x＜0，即x＜0.
又cos α＝x＝，
解得x＝－3，所以tan α＝＝－.
答案：－
8．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ＋cos θ的值．
解：因为角θ的终边过点(x，－1)(x≠0)，
所以tan θ＝－，又tan θ＝－x，
所以x2＝1，所以x＝±1.
当x＝1时，sin θ＝－，cos θ＝，
此时sin θ＋cos θ＝0；
当x＝－1时，sin θ＝－，cos θ＝－，
此时sin θ＋cos θ＝－.
[综合题组练]
1．(2018·高考北京卷)在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan α
A. B.
C. D．
解析：选C.设点P的坐标为(x，y)，利用三角函数的定义可得0，所以P所在的圆弧是，故选C.
2．若－＜α＜－，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )
A．sin α＜tan α＜cos α B．cos α＜sin α＜tan α
C．sin α＜cos α＜tan α D．tan α＜sin α＜cos α
解析：选C.如图所示，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，因为－＜α＜－，所以角α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT＞OM＞MP，故有sin α＜cos α＜tan α.
3．已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为 ．
解析：由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin ＝，故α＝2kπ－(k∈Z)，所以α的最小正值为.
答案：
4．(综合型)若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为 ．
解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r，R(其中r＜R)，则＝，
所以r∶R＝1∶2，两个扇形的周长之比为＝1∶2.
答案：1∶2
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第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
一、知识梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2x＋cos2x＝1．
(2)商数关系：tan x＝.
2．三角函数的诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 α＋2kπ(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
常用结论
1．同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．
二、习题改编
1．(必修4P19例6改编)已知sin α＝，≤α≤π，则tan α＝( )
A．－2 B．2
C. D．－
解析：选D.因为cos α＝－＝－＝－，所以tan α＝＝－.
2．(必修4P20练习T4改编)化简＝ ．
解析：＝＝sin 2θ.
答案：sin 2θ
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意的角α，β，都有sin2α＋cos2β＝1.( )
(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．( )
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )
(4)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cos θ＝.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
二、易错纠偏
(1)不注意角的范围出错；
(2)诱导公式记忆不熟出错．
1．已知cos(π＋α)＝，则tan α＝( )
A. B.
C．± D．±
解析：选C.因为cos(π＋α)＝，
所以cos α＝－，
则α为第二或第三象限角，
所以sin α＝±＝±.
所以tan α＝＝＝±.
2．若sin(π＋α)＝－，则sin(7π－α)＝ ，cos＝ ．
解析：由sin(π＋α)＝－sin α＝－，得sin α＝，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝，cos＝cos＝cos＝cos＝sin α＝.
答案：
同角三角函数的基本关系式(多维探究)
角度一 公式的直接应用
(1)(2020·北京西城区模拟)已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan α＝( )
A. B．－
C. D．－
(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为 ．
【解析】 (1)因为cos α＝－且α∈(0，π)，
所以sin α＝＝，
所以tan α＝＝－.故选D.
(2)由tan α＝－，
得sin α＝－cos α，且sin α>0，cos α<0，
将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，
所以cos α＝－，sin α＝，
故sin α＋cos α＝－.
【答案】 (1)D (2)－
利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．
角度二 sin α，cos α的齐次式问题
已知＝－1，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin αcos α＋2.
【解】 由已知得tan α＝.
(1)＝＝－.
(2)sin2α＋sin αcos α＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.
关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次
整式的化简求值的解题策略
已知tan α，求关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次整式的值．
角度三 sin α±cos α，sin αcos α之间的关系
已知α∈(－π，0)，sin α＋cos α＝.
(1)求sin α－cos α的值；
(2)求的值．
【解】 (1)由sin α＋cos α＝，
平方得sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，
整理得2sin αcos α＝－.
所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝.
由α∈(－π，0)，知sin α<0，又sin α＋cos α>0，
所以cos α>0，则sin α－cos α<0，
故sin α－cos α＝－.
(2)＝＝
＝＝－.
sin α±cos α与sin αcos α关系的应用技巧
(1)通过平方，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间可建立联系，若令sin α＋cos α＝t，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)．
(2)对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，可以知一求二．
1．(2020·长春模拟)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为( )
A．－ B.
C．－ D．
解析：选B.因为<α<，所以cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，所以cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，所以cos α－sin α＝.故选B.
2．若3sin α＋cos α＝0，则的值为 ．
解析：3sin α＋cos α＝0?cos α≠0?tan α＝－，＝＝
＝＝.
答案：
3．已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝ ．
解析：由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sin θcos θ＝－8cos2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－.
答案：－
诱导公式的应用(典例迁移)
(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＝ ．
(2)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则等于 ．
【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°
＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)
＝－sin 120°cos 210°
＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)
＝sin 60°cos 30°＝×＝.
(2)由题可知tan θ＝3，原式＝＝＝.
【答案】 (1) (2)
【迁移探究】 (变问法)若本例(2)的条件不变，则＝ ．
解析：由题可知tan θ＝3，
原式＝
＝
＝＝＝＝3.
答案：3
(1)诱导公式用法的一般思路
①化负为正，化大为小，化到锐角为止；
②角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．
(2)常见的互余和互补的角
①常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等；
②常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等．
1．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A．cos(A＋B)＝cos C
B．sin(A＋B)＝－sin C
C．cos＝sin
D．sin＝－cos
解析：选C.因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，＝，＝，所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，cos＝cos＝sin ，sin＝sin＝cos.
2．cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝ ．
解析：cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝－cos 1 020°sin 1 050°＝cos 60°sin 30°＝.
答案：
3．已知cos＝a，则cos＋sin的值是 ．
解析：因为cos＝cos
＝－cos＝－a.
sin＝sin＝cos＝a，
所以cos＋sin＝0.
答案：0
核心素养系列10 数学运算——三角函数式的化简与求值
数学运算能让学生进一步发展数学运算能力；能有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯；形成一丝不苟、严谨求实的科学精神．
已知sin α＝，求tan(α＋π)＋的值．
【解】 因为sin α＝＞0，所以α为第一或第二象限角．
tan(α＋π)＋＝tan α＋
＝＋＝.
(1)当α是第一象限角时，cos α＝＝，
原式＝＝.
(2)当α是第二象限角时，cos α＝－＝－，
原式＝＝－.
综合(1)(2)知，原式＝或－.
三角函数运算是重要的“数学运算”，在正确分析条件和所求的基础上明确运算的方向，灵活地选用三角函数公式，完成三角函数运算．
1．已知sin(π＋α)＝－，则tan的值为( )
A．2 B．－2
C. D．±2
解析：选D.因为sin(π＋α)＝－，所以sin α＝，cos α＝±，tan＝＝±2.故选D.
2．化简：＝ ．
解析：＝＝＝cos α.
答案：cos α
[基础题组练]
1．计算：sin ＋cos ＝( )
A．－1 B．1
C．0 D．－
解析：选A.原式＝sin＋cos＝－sin ＋cos＝－－cos ＝－－＝－1.
2．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于( )
A．－ B．－
C. D．
解析：选D.因为sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，
所以－sin θ＝－cos θ，
所以tan θ＝，因为|θ|＜，所以θ＝.
3．已知f(α)＝，则f＝( )
A. B.
C. D．－
解析：选A.f(α)＝＝＝＝cos α，则f＝cos＝.
4．已知sin α＋cos α＝，则tan α＋的值为( )
A．－1 B．－2
C. D．2
解析：选D.因为sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝2，所以sin αcos α＝.所以tan α＋＝＋＝＝2.故选D.
5．设α是第三象限角，tan α＝，则cos(π－α)＝ ．
解析：因为α为第三象限角，tan α＝，
所以cos α＝－，所以cos(π－α)＝－cos α＝.
答案：
6．化简：·sin(α－)·cos(－α)＝ ．
解析：·sin(α－)·cos(－α)＝·(－cos α)·(－sin α)＝－cos2α.
答案：－cos2α
7．已知sincos＝，且0＜α＜，则sin α＝ ，cos α＝ ．
解析：sincos＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝.
因为0＜α＜，所以0＜sin α＜cos α.
又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝，cos α＝.
答案：
8．已知α为第三象限角，
f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos(α－)＝，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝
＝＝－cos α.
(2)因为cos(α－)＝，
所以－sin α＝，
从而sin α＝－.
又α为第三象限角，
所以cos α＝－＝－，
所以f(α)＝－cos α＝.
[综合题组练]
1．已知－＜α＜0，sin α＋cos α＝，则的值为( )
A. B.
C. D．
解析：选B.因为－＜α＜0，
所以cos α＞0，sin α＜0，可得cos α－sin α＞0，
因为(sin α＋cos α)2＋(cos α－sin α)2＝2，
所以(cos α－sin α)2＝2－(sin α＋cos α)2＝2－＝，
cos α－sin α＝，cos2α－sin2α＝×＝，
所以的值为.
2．若k∈Z时，的值为( )
A．－1 B．1
C．±1 D．与α取值有关
解析：选A.当k为奇数时，
＝＝－1；
当k为偶数时，
＝＝－1.
3．化简＝ ．
解析：原式＝
＝
＝＝
＝1.
答案：1
4．若＝2，则cos α－3sin α＝ ．
解析：因为＝2，所以cos α＝2sin α－1，又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋(2sin α－1)2＝1，5sin2α－4sin α＝0，解得sin α＝或sin α＝0(舍去)，所以cos α－3sin α＝－sin α－1＝－.
答案：－
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1
第3讲 简单的三角恒等变换
一、知识梳理
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
cos(α?β)＝cos αcos β±sin αsin β；
tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
3．三角函数公式的关系
常用结论
四个必备结论
(1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1±tan αtan β)，
1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
(4)辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin (x＋φ)，其中tan φ＝.
二、习题改编
1．(必修4P137A组T5改编)已知sin ＝，α∈，则sin α的值为( )
A. B.
C. D．
解析：选D.因为α∈，所以α－∈，cos>0，cos＝＝，所以sin α＝sin＝sincos ＋cossin ＝×＋×＝.故选D.
2．(必修4P131练习T5改编)计算：sin 108°cos 42°－cos 72°·sin 42°＝ ．
解析：原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝.
答案：
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．( )
(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．( )
(3)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝.( )
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )
(5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
二、易错纠偏
(1)不会用公式找不到思路；
(2)不会合理配角出错．
1．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝( )
A．－ B.
C．－ D．
解析：选C.因为cos α＝－，α是第三象限的角，所以sin α＝－＝－，所以sin＝sin α·cos＋cos αsin＝×＋×＝－.
2．sin 15°＋sin 75°的值是 ．
解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝.
答案：
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
三角函数公式的直接应用(师生共研)
(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )
A. B.
C. D．
(2)(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知tan(α－)＝，则tan α＝ ．
【解析】 (1)依题意得4sin αcos α＝2cos2α，由α∈，知cos α>0，所以2sin α＝cos α.又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋4sin2α＝1，即sin2α＝.又α∈，所以sin α＝，选B.
(2)法一：因为tan＝，所以＝，即＝，解得tan α＝.
法二：因为tan＝，所以tan α＝tan＝＝＝.
【答案】 (1)B (2)
利用三角函数公式时应注意的问题
(1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
1．(2020·石家庄市模拟(一))已知cos＝2cos(π－α)，则tan＝( )
A．－3 B．3
C．－ D．
解析：选A.因为cos＝2cos(π－α)，所以－sin α＝－2cos α，所以tan α＝2，所以tan＝＝－3，故选A.
2．已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为( )
A．－ B.
C．－ D．
解析：选A.因为sin α＝＋cos α，即sin α－cos α＝，所以＝＝＝＝－，故选A.
3．(2020·长春市质量监测(二))直线y＝2x绕原点顺时针旋转45°得到直线l，若l的倾斜角为α，则cos 2α的值为( )
A. B.
C．－ D．
解析：选D.设直线y＝2x的倾斜角为β，则tan β＝2，α＝β－45°，
所以tan α＝tan(β－45°)＝＝，
cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝，故选D.
三角函数公式的逆用与变形应用(师生共研)
(1)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为( )
A．－ B.
C. D．－
(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ ．
【解析】 (1)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，
即tan(A＋B)＝－1，又(A＋B)∈(0，π)，
所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.
(2)因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，
所以sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1 ①，
cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0 ②，
①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，
所以sin(α＋β)＝－.
【答案】 (1)B (2)－
(1)三角函数公式活用技巧
①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；
②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题
①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；
②注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．
1．(1－tan215°)cos215°的值等于( )
A. B．1
C. D．
解析：选C.(1－tan215°)cos215°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝.
2．已知sin 2α＝，则cos2＝( )
A．－ B.
C．－ D．
解析：选D.cos2＝＝＋sin 2α＝＋×＝.
3．(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝ ．
解析：(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2.
答案：2
两角和、差及倍角公式的灵活应用(多维探究)
角度一 三角函数公式中变“角”
(2020·黑龙江大庆实验中学考前训练)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝ ．
【解析】 由题意知，α＋β∈，sin(α＋β)＝－<0，所以cos(α＋β)＝，因为β－∈，所以cos＝－，cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－.
【答案】 －
角度二 三角函数公式中变“名”
求值：－sin 10°.
【解】 原式＝－sin 10°
＝－sin 10°·
＝－sin 10°·
＝－2cos 10°＝
＝
＝＝＝.
三角函数公式应用的解题思路
(1)角的转换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等．
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
[提醒] 转化思想是实施三角恒等变换的主导思想，恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．
1．(2020·甘肃、青海、宁夏联考改编)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝ ，tan α＝ ．
解析：因为tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，
所以tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝＝＝－1.
tan α＝tan(α＋β－β)＝＝.
答案：－1
2．求4sin 20°＋tan 20°的值．
解：原式＝4sin 20°＋
＝＝
＝＝.
[基础题组练]
1．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为( )
A. B.
C. D．
解析：选A.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°
＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17°
＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝.
2．(2020·福建五校第二次联考)已知cos＝，则sin 2α＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选C.法一：因为cos＝，所以sin 2α＝sin＝cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝.故选C.
法二：因为cos＝，所以(cos α＋sin α)＝，所以cos α＋sin α＝，平方得1＋sin 2α＝，得sin 2α＝.故选C.
3．(2020·陕西榆林模拟)已知＝3cos(2π＋θ)，|θ|<，则sin 2θ＝( )
A. B.
C. D．
解析：选C.因为＝3cos(2π＋θ)，
所以＝3cos θ.
又|θ|<，故sin θ＝，cos θ＝，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝，
故选C.
4．(2020·武汉模拟)已知cos＝，则cos x＋cos＝( )
A. B．－
C. D．±
解析：选A.因为cos＝，
所以cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x
＝＝cos＝×＝.
故选A.
5．(2020·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C.因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝5，所以log＝log52＝4.故选C.
6．(2020·洛阳统考)已知sin α＋cos α＝，则cos 4α＝ ．
解析：由sin α＋cos α＝，得sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝，从而cos 4α＝1－2sin22α＝1－2×＝.
答案：
7．(2020·安徽黄山模拟改编)已知角θ的终边经过点P(－x，－6)，且cos θ＝－，则sin θ＝ ，tan＝ ．
解析：由题知角θ的终边经过点P(－x，－6)，所以cos θ＝＝－，解得x＝，所以sin θ＝＝－，tan θ＝＝，所以tan＝＝－.
答案：－ －
8．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝ ．
解析：依题意可将已知条件变形为
sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，所以sin β＝－.
又β是第三象限角，因此有cos β＝－，
所以sin＝－sin
＝－sin βcos －cos βsin ＝.
答案：
9．已知tan α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
解：(1)tan＝＝＝－3.
(2)＝
＝＝＝1.
10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
解：(1)由角α的终边过点P，得sin α＝－，所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
(2)由角α的终边过点P，得cos α＝－，
由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α得
cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.
[综合题组练]
1．若α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，
则cos β＝( )
A. B.
C.或－ D．或
解析：选A.因为α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，所以sin α＝，cos(α－β)＝，从而cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝，故选A.
2．(2020·河南百校联盟联考)已知α为第二象限角，且tan α＋tan ＝2tan αtan －2，则sin等于( )
A．－ B.
C．－ D．
解析：选C.tan α＋tan ＝2tan αtan －2?＝－2?tan＝－2，因为α为第二象限角，所以sin＝，cos＝－，则sin＝－sin＝－sin＝cossin －sincos ＝－.
3．已知函数f(x)＝sin，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f的值．
解：(1)f＝sin＝sin＝－.
(2)f＝sin
＝sin＝(sin 2θ－cos 2θ)．
因为cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝，
cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝，
所以f＝(sin 2θ－cos 2θ)
＝×＝.
4．已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈.
(1)求sin 2α和tan 2α的值；
(2)求cos(α＋2β)的值．
解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝，
即1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝.
又2α∈，所以cos 2α＝＝，
所以tan 2α＝＝.
(2)因为β∈，所以β－∈，
又sin＝，所以cos＝，
于是sin 2＝2sin·cos＝.
又sin 2＝－cos 2β，所以cos 2β＝－，
又2β∈，所以sin 2β＝，
又cos2α＝＝，α∈，
所以cos α＝，sin α＝.
所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β
＝×－×
＝－.
PAGE
1
第2课时 简单的三角恒等变换
三角函数式的化简(师生共研)
化简：(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝ ；
(2)·＝ ．
【解析】 (1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)
＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)
＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．
(2)原式＝·
＝·
＝·＝.
【答案】 (1)sin(α＋γ) (2)
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(2)三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
1．(2020·长沙模拟)化简：＝ ．
解析：＝＝
＝4sin α.
答案：4sin α
2．化简：.
解：原式＝
＝
＝
＝cos 2x.
三角函数式的求值(多维探究)
角度一 给角求值
计算＝ ．
【解析】
＝
＝＝
＝＝2.
【答案】 2
角度二 给值求值
已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
【解】 (1)因为tan α＝，tan α＝，所以sin α＝cos α.
因为sin2 α＋cos2 α＝1，所以cos2 α＝，
因此，cos 2α＝2cos2 α－1＝－.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝，所以tan 2α＝＝－，
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.
角度三 给值求角
(一题多解)在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，则2α－β的值为 ．
【解析】 法一：由已知可知cos α＝，sin β＝.
又α，β为锐角，所以sin α＝，cos β＝.
因此cos 2α＝2cos2α－1＝，sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以sin(2α－β)＝×－×＝.
因为α为锐角，所以0＜2α＜π.
又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，
又β为锐角，所以－＜2α－β＜，
又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.
法二：同法一得，cos β＝，sin α＝.
因为α，β为锐角，所以α－β∈.
所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝.
所以sin(α－β)＞0，故α－β∈，
故cos(α－β)＝＝＝.
又α∈，所以2α－β＝α＋(α－β)∈(0，π)．
所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin α·sin(α－β)＝×－×＝.
所以2α－β＝.
【答案】
三角函数求值的3种情况
1．计算：＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D.原式＝－·＝－tan＝－×＝－.
2．已知tan＝，且α为第二象限角，若β＝，则sin(α－2β)cos 2β－cos(α－2β)sin 2β＝( )
A．－ B.
C．－ D．
解析：选D.tan＝＝，所以tan α＝－，又α为第二象限角，所以cos α＝－，所以sin(α－2β)·cos 2β－cos(α－2β)sin 2β＝sin(α－4β)＝sin＝－cos α＝，故选D.
3．(2020·湖南长郡中学模拟改编)若α，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，则cos(α＋β)＝ ，α＋β＝ ．
解析：因为α，β为锐角，sin α＝，sin β＝，所以cos α＝，cos β＝，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.又0＜α＋β＜π，所以cos(α＋β)＝，α＋β＝.
答案：
[基础题组练]
1．已知sin 2α＝，则cos2等于( )
A. B.
C. D．
解析：选A.cos2＝
＝＝，又sin 2α＝，
所以原式＝＝，故选A.
2.＝( )
A. B.
C. D．1
解析：选A.＝
＝＝＝.
3．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为( )
A．－ B.
C. D．
解析：选D.由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝2，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝＝＝.故选D.
4．已知cos＝－，则sin－cos α＝( )
A．± B．－
C. D．±
解析：选D.sin－cos α＝sin αcos ＋cos αsin －cos α＝sin，而cos＝1－2sin2＝－，则sin＝±，所以sin－cos α＝±，故选D.
5．若＝·sin 2θ，则sin 2θ＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C.由题意知＝sin 2θ，
所以2(cos θ＋sin θ)＝sin 2θ，
则4(1＋sin 2θ)＝3sin22θ，
因此sin 2θ＝－或sin 2θ＝2(舍)．
6．已知cos 2θ＝，则sin4θ＋cos4θ＝ ．
解析：法一：因为cos 2θ＝，
所以2cos2θ－1＝，1－2sin2θ＝，
因为cos2θ＝，sin2θ＝，
所以sin4θ＋cos4θ＝.
法二：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－sin22θ
＝1－(1－cos22θ)＝1－×＝.
答案：
7．(2020·贵州黔东南一模改编)已知sin α＋3cos α＝－，则tan 2α＝ ．
解析：因为(sin α＋3cos α)2＝sin2α＋6sin αcos α＋9cos2α＝10(sin2α＋cos2α)，所以9sin2α－6sin αcos α＋cos2α＝0，则(3tan α－1)2＝0，即tan α＝.所以tan 2α＝＝.
答案：
8．tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)等于 ．
解析：tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)
＝·cos 10°
＝·
＝＝＝－1.
答案：－1
9．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．
解：由cos β＝，β∈，
得sin β＝，tan β＝2.
所以tan(α＋β)＝
＝＝1.
因为α∈，β∈，
所以<α＋β<，
所以α＋β＝.
10．已知sin＝，α∈.求：
(1)cos α的值；
(2)sin的值．
解：(1)sin＝，
即sin αcos＋cos αsin＝，
化简得sin α＋cos α＝，①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②解得cos α＝－或cos α＝，
因为α∈.所以cos α＝－.
(2)因为α∈，cos α＝－，
所以sin α＝，
则cos 2α＝1－2sin2α＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝－，
所以sin＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝－.
[综合题组练]
1．(2020·江西省五校协作体试题)若θ∈，且2sin2θ＋sin 2θ＝－，则tan＝ ．
解析：由2sin2θ＋sin 2θ＝－，得1－cos 2θ＋sin 2θ＝－，得cos 2θ－sin 2θ＝，2cos＝，即cos＝，又θ∈，所以2θ＋∈，则tan＝，所以tan＝tan＝＝.
答案：
2．(2019·高考江苏卷)已知＝－，则sin的值是 ．
解析：＝＝－，解得tan α＝2或tan α＝－，当tan α＝2时，sin 2α＝＝＝，cos 2α＝＝＝－，此时sin 2α＋cos 2α＝，同理当tan α＝－时，sin 2α＝－，cos 2α＝，此时sin 2α＋cos 2α＝，所以sin(2α＋)＝(sin 2α＋cos 2α)＝.
答案：
3．(应用型)如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
解：连接OB，设∠AOB＝θ，
则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈.
因为A，D关于原点O对称，
所以AD＝2OA＝40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ
＝400sin 2θ.因为θ∈，
所以当sin 2θ＝1，
即θ＝时，Smax＝400(m2)．
此时AO＝DO＝10(m)．
故当点A，D到圆心O的距离为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
4．(综合型)已知函数f(x)＝Acos(＋)，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
解：(1)因为f＝Acos＝Acos＝A＝，所以A＝2.
(2)由f＝2cos(α＋＋)＝2cos＝－2sin α＝－，
得sin α＝，又α∈，
所以cos α＝.
由f＝2cos(β－＋)＝2cos β＝，
得cos β＝，又β∈，所以sin β＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝－.
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1
第4讲 三角函数的图象与性质
一、知识梳理
1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x|x≠kπ＋，k∈Z}
值域 [－1，1] [－1，1] R
函数的最值 最大值1，当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z；最小值－1，当且仅当x＝2kπ－，k∈Z 最大值1，当且仅当x＝2kπ，k∈Z； 最小值－1，当且仅当x＝2kπ－π，k∈Z 无最大值和最小值
单调性 增区间[k·2π－，k·2π＋](k∈Z)；减区间[k·2π＋，k·2π＋](k∈Z) 增区间[k·2π－π，k·2π](k∈Z)；减区间[k·2π，k·2π＋π](k∈Z) 增区间(k·π－，k·π＋)(k∈Z)
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
周期性 周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π 周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π 周期为kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为π
对称性 对称中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z ，k∈Z
对称轴 x＝kπ＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z 无对称轴
零点 kπ，k∈Z kπ＋，k∈Z kπ，k∈Z
2.周期函数的定义
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为T＝；函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期为T＝.
常用结论
1．函数y＝sin x与y＝cos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，如y＝cos x的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，而不是x＝2kπ(k∈Z)．
2．对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数．
二、习题改编
1．(必修4P46A组T2，3改编)若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则( )
A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2
答案：A
2．(必修4P45练习T3改编)函数y＝tan 2x的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
3．(必修4P38例3改编)函数y＝3－2cos的最大值为 ，此时x＝ ．
答案：5 ＋2kπ(k∈Z)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝cos x在第一、二象限内是减函数．( )
(2)若y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值是k＋1.( )
(3)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．( )
(4)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．( )
(5)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
二、易错纠偏
(1)忽视y＝Asin x(或y＝Acos x)中A对函数单调性的影响；
(2)忽视正、余弦函数的有界性；
(3)不注意正切函数的定义域．
1．函数y＝1－2cos x的单调递减区间是 ．
答案：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)
2．函数y＝－cos2x＋3cos x－1的最大值为 ．
答案：1
3．函数y＝cos xtan x的值域是
答案：(－1，1)
第1课时 三角函数的图象与性质(一)
三角函数的定义域(师生共研)
(1)函数y＝的定义域为 ；
(2)函数y＝ 的定义域为 ．
【解析】 (1)要使函数有意义，必须有
即故函数的定义域为
.
(2)要使函数有意义，则cos x－≥0，即cos x≥，
解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，
所以函数的定义域为.
【答案】 (1)
(2)
三角函数定义域的求法
(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域．
(2)转化为求解简单的三角不等式来求复杂函数的定义域．
1．函数y＝lg(3tan x－)的定义域为 ．
解析：要使函数y＝lg(3tan x－)有意义，
则3tan x－>0，即tan x>.
所以＋kπ答案：，k∈Z
2．函数y＝的定义域为 ．
解析：要使函数有意义，需sin x－cos x≥0，
即sin x≥cos x.
解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，故原函数的定义域为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
三角函数的单调性(多维探究)
角度一 确定三角函数的单调性(单调区间)
(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是( )
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|
(2)函数f(x)＝sin的单调递减区间为 ．
【解析】 (1)A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.
(2)f(x)＝－sin的减区间是f(x)＝sin的增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所给函数的单调递减区间为，k∈Z.
【答案】 (1)A (2)，k∈Z
【迁移探究1】 (变条件)若本例(2)f(x)变为：f(x)＝－cos，求f(x)的单调递增区间．
解：f(x)＝－cos＝－cos，
欲求函数f(x)的单调递增区间，
只需求y＝cos的单调递减区间．
由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
【迁移探究2】 (变条件)本例(2)f(x)变为：f(x)＝sin，试讨论f(x)在区间上的单调性．
解：令z＝2x－，易知函数y＝sin z的单调递增区间是，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝，B＝，易知A∩B＝.
所以，当x∈时，f(x)在区间上单调递增，又因为－＝
求三角函数单调区间的两种方法
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．
(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．
[提醒] 要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．
角度二 利用三角函数的单调性比较大小
已知函数f(x)＝2sin，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．b【解析】 a＝f＝2sin ，b＝f＝2sin ＝2，c＝f＝2sin ＝2sin ，
因为y＝sin x在上单调递增，且<<，所以c【答案】 B
利用单调性比较大小的方法
首先利用诱导公式把已知角转化为同一区间内的角且函数名称相同，再利用其单调性比较大小．
角度三 已知三角函数的单调区间求参数
(一题多解)(2020·湖南师大附中3月月考)若函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx在区间上单调递增，则正数ω的最大值为( )
A. B.
C. D．
【解析】 法一：因为f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋1在区间上单调递增，
所以解得ω≤，所以正数ω的最大值是.故选B.
法二：易知f(x)＝sin 2ωx＋1，可得f(x)的最小正周期T＝，所以解得ω≤.所以正数ω的最大值是.故选B.
【答案】 B
已知函数单调性求参数——
明确一个不同，掌握两种方法
(1)明确一个不同：“函数f(x)在区间M上单调”与“函数f(x)的单调区间为N”两者的含义不同，显然M是N的子集．
(2)抓住两种方法．已知函数在区间M上单调求解参数问题，主要有两种方法：一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间M上的保号性，由此列不等式求解．
角度四 利用三角函数的单调性求值域(最值)
(1)函数f(x)＝3sin在区间上的值域为( )
A. B.
C. D．
(2)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为 ．
【解析】 (1)当x∈时，2x－∈，
sin∈，
故3sin∈，
即此时函数f(x)的值域是.
(2)设t＝sin x－cos x，则－≤t≤，t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，则sin xcos x＝，
所以y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－.
所以函数y的值域为[－－，1]．
【答案】 (1)B (2)[－－，1]
三角函数值域的求法
(1)利用y＝sin x和y＝cos x的值域直接求．
(2)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)的形式求值域．
(3)把sin x或cos x看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域．
(4)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系将原函数转换成二次函数求值域．
1．(2020·广东省七校联考)函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：选B.由－＋kπ＜－＜＋kπ，k∈Z，得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间是，k∈Z，故选B.
2．函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是 ．
解析：f(x)＝sin2x＋cos x－＝1－cos2x＋cos x－＝－＋1，cos x∈[0，1]，当cos x＝时，f(x)取得最大值1.
答案：1
3．(2020·河北省中原名校联盟联考)若函数f(x)＝3sin－2在区间上单调，则实数a的最大值是 ．
解析：法一：令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)在区间上单调递减，所以a的最大值为.
法二：因为≤x≤a，所以＋≤x＋≤a＋，
而f(x)在上单调，
所以a＋≤，即a≤，
所以a的最大值为.
答案：
思想方法系列6 换元法求三角函数的最值(值域)
(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为 ．
【解析】 f(x)＝sin(2x＋)－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝1－2cos2x－3cos x＝－2＋，因为cos x∈[－1，1]，所以当cos x＝1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝－4.
【答案】 －4
换元法求三角函数的值域(最值)的策略
(1)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(2)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
1．已知函数f(x)＝－10sin2x－10sin x－，x∈的值域为，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D．
解析：选B.记t＝sin x，x∈，则函数f(x)可转化为g(t)＝－10t2－10t－＝－10＋2.
因为函数的最大值为2，显然此时t＝－.
令g(t)＝－，得t＝－1或t＝0，
由题意知x∈，当x＝－时，t＝－1，g(－1)＝－，结合g(t)的图象及函数的值域为，可得－≤sin m≤0，
解得－≤m≤0.故选B.
2．函数y＝(4－3sin x)(4－3cos x)的最小值为 ．
解析：y＝16－12(sin x＋cos x)＋9sin xcos x，令t＝sin x＋cos x，则t∈[－，]，且sin xcos x＝，
所以y＝16－12t＋9×＝(9t2－24t＋23)．
故当t＝时，ymin＝.
答案：
[基础题组练]
1．函数y＝|cos x|的一个单调增区间是( )
A．[－，] B．[0，π]
C．[π，] D．[，2π]
解析：选D.将y＝cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D.
2．当x∈[0，2π]，则y＝＋的定义域为( )
A. B.
C. D．
解析：选C.法一：由题意得所以函数y的定义域为.故选C.
法二：当x＝π时，函数有意义，排除A，D；当x＝时，函数有意义，排除B.故选C.
3．函数f(x)＝cos 2x＋sin xcos x．则下列表述正确的是( )
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递增
C．f(x)在上单调递减
D．f(x)在上单调递增
解析：选D.f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝sin，由2x＋∈，k∈Z，解得x∈，k∈Z，当k＝0时，x∈，所以函数f(x)在上单调递增，故选D.
4．已知函数f(x)＝cos2x＋sin2，则( )
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最小正周期为2π
C．f(x)的最大值为
D．f(x)的最小值为－
解析：选A.f(x)＝＋＝＋cos 2x＋－＝cos 2x＋sin 2x＋1＝sin＋1，则f(x)的最小正周期为π，最小值为－＋1＝，最大值为＋1＝.
5．(2020·福州市第一学期抽测)已知函数f(x)＝sin 2x＋2sin2x－1在[0，m]上单调递增，则m的最大值是( )
A. B.
C. D．π
解析：选C.由题意，得f(x)＝sin 2x－cos 2x＝
sin，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，当k＝0时，－≤x≤，即函数f(x)在上单调递增．因为函数f(x)在[0，m]上单调递增，所以0＜m≤，即m的最大值为，故选C.
6．比较大小：sin sin.
解析：因为y＝sin x在上为增函数且－＞－>－，故sin＞sin.
答案：＞
7．已知函数f(x)＝4sin，x∈[－π，0]，则f(x)的单调递增区间是 ．
解析：由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
又因为x∈[－π，0]，
所以f(x)的单调递增区间为和.
答案：和
8．设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为 ．
解析：由于对任意的实数都有f(x)≤f成立，故当x＝时，函数f(x)有最大值，故f＝1，－＝2kπ(k∈Z)，所以ω＝8k＋(k∈Z)，又ω>0，所以ωmin＝.
答案：
9．已知f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
解：(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)当x∈时，≤2x＋≤，所以－1≤sin≤，所以－≤f(x)≤1，所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.
10．已知函数f(x)＝sin.讨论函数f(x)在区间上的单调性并求出其值域．
解：令－≤2x－≤，则－≤x≤.
令≤2x－≤π，则≤x≤.
因为－≤x≤，
所以f(x)＝sin在区间上单调递增，在区间上单调递减．
当x＝时，f(x)取得最大值为1.
因为f＝－所以当x＝－时，f(x)min＝－.
所以f(x)的值域为.
[综合题组练]
1．(2020·武汉市调研测试)已知函数f(x)＝2sin
在区间上单调递增，则ω的最大值为( )
A. B．1
C．2 D．4
解析：选C.法一：因为x∈，所以ωx＋∈，因为f(x)＝2sin在上单调递增，所以＋≤，所以ω≤2，即ω的最大值为2，故选C.
法二：将选项逐个代入函数f(x)进行验证，选项D不满足条件，选项A、B、C满足条件f(x)在上单调递增，所以ω的最大值为2，故选C.
2．已知函数f(x)＝(x－a)k，角A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，则下列判断正确的是( )
A．当k＝1，a＝2时，f(sin A)B．当k＝1，a＝2时，f(cos A)＞f(sin B)
C．当k＝2，a＝1时，f(sin A)＞f(cos B)
D．当k＝2，a＝1时，f(cos A)＞f(sin B)
解析：选D.A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，因为A＋B＞，所以＞A＞－B＞0，所以sin A＞sin＝cos B，cos A＜cos＝sin B，且sin A，sin B，cos A，cos B∈(0，1)．
当k＝1，a＝2时，函数f(x)＝x－2单调递增，所以f(sin A)＞f(cos B)，f(cos A)＜f(sin B)，故A，B错误；
当k＝2，a＝1时，函数f(x)＝(x－1)2在(0，1)上单调递减，所以f(sin A)＜f(cos B)，f(cos A)＞f(sin B)，故C错误，D正确．
3．已知函数f(x)＝cos－2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.
解：(1)f(x)＝cos－2sin xcos x
＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
所以T＝＝π.
(2)证明：令t＝2x＋，因为－≤x≤，
所以－≤2x＋≤，
因为y＝sin t在上单调递增，
在上单调递减，且sin＜sin，
所以f(x)≥sin＝－，得证．
4．已知f(x)＝2sin＋a＋1.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1且x∈[－π，π]的x的取值集合．
解：(1)f(x)＝2sin＋a＋1，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)当x＝时，f(x)取得最大值4，
即f＝2sin＋a＋1＝a＋3＝4，
所以a＝1.
(3)由f(x)＝2sin＋2＝1，
可得sin＝－，
则2x＋＝＋2kπ，k∈Z或2x＋＝π＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z，
又x∈[－π，π]，
解得x＝－，－，，，
所以x的取值集合为.
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第2课时 三角函数的图象与性质(二)
三角函数的周期性与奇偶性(师生共研)
(1)函数f(x)＝2cos2－1是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
(2)(2020·湖北宜昌联考)已知函数y＝2sin(ωx＋θ)(0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，则( )
A．ω＝2，θ＝ B．ω＝，θ＝
C．ω＝，θ＝ D．ω＝2，θ＝
【解析】 (1)因为f(x)＝2cos2－1
＝cos＝cos＝sin 2x.
所以T＝＝π，f(x)＝sin 2x是奇函数．
故函数f(x)是最小正周期为π的奇函数．
(2)因为函数y＝2sin(ωx＋θ)的最大值为2，且其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，所以函数y＝2sin(ωx＋θ)的最小正周期是π.
由＝π得ω＝2.
因为函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，所以θ＝＋kπ，k∈Z.
又0＜θ＜π，所以θ＝，故选A.
【答案】 (1)A (2)A
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为求解．
1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x
解析：选B.y＝sin＝cos 2x是偶函数，不符合题意；y＝cos＝－sin 2x是T＝π的奇函数，符合题意；同理C，D均不是奇函数．
2．(2020·石家庄市质量检测)设函数f(x)＝sin
的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )
A．f(x)在上单调递增
B．f(x)在上单调递减
C．f(x)在上单调递减
D．f(x)在上单调递增
解析：选A.f(x)＝sin，因为f(x)的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin.f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，所以φ－＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ＋(k∈Z)．因为|φ|＜，所以φ＝－，所以f(x)＝－cos 2x，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，故选A.
三角函数的对称性(师生共研)
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，它的最小正周期为π，则函数f(x)图象的一个对称中心是( )
A. B.
C. D．
【解析】 由题意可得＝π，所以ω＝2，
可得f(x)＝Asin(2x＋φ)，
再由函数图象关于直线x＝对称，
故f＝Asin＝±A，故可取φ＝－.
故函数f(x)＝Asin，令2x－＝kπ，k∈Z，
可得x＝＋，k∈Z，故函数的对称中心为，k∈Z.
所以函数f(x)图象的一个对称中心是.
【答案】 B
三角函数图象的对称轴和
对称中心的求解思路和方法
(1)思路：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y＝sin x图象的对称轴和对称中心求解．
(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y＝Atan(ωx＋φ)的图象无对称轴)．
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝( )
A．2 B.
C．1 D．
解析：选A.依题意得函数f(x)的最小正周期T＝＝2×(－)＝π，解得ω＝2，选A.
2．已知函数f(x)＝|sin x||cos x|，则下列说法错误的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝对称
B．f(x)的周期为
C．(π，0)是f(x)的一个对称中心
D．f(x)在区间上单调递减
解析：选A.f(x)＝|sin x||cos x|＝|sin xcos x|＝·|sin 2x|，则f＝|sin π|＝0，则f(x)的图象不关于直线x＝对称，故A错误；函数周期T＝×＝，故B正确；f(π)＝|sin 2π|＝0，则(π，0)是f(x)的一个对称中心，故C正确；当x∈时，2x∈，此时sin 2x＞0，且sin 2x为减函数，故D正确．
三角函数的图象与性质的综合问题(师生共研)
已知函数f(x)＝sin(2π－x)·sin－cos2x＋.
(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)当x∈时，求f(x)的最小值和最大值．
【解】 (1)由题意，得f(x)＝(－sin x)(－cos x)－cos2x＋＝sin xcos x－cos2x＋＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π；
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)，
故所求图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)当0≤x≤时，－≤2x－≤，
由函数图象(图略)可知，－≤sin≤1，即0≤sin(2x－)＋≤.
故f(x)的最小值为0，最大值为.
解决三角函数图象与性质综合问题的方法
先将y＝f(x)化为y＝asin x＋bcos x的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
已知函数f(x)＝2sin.
(1)求函数的最大值及相应的x值的集合；
(2)求函数f(x)的图象的对称轴方程与对称中心．
解：(1)当sin＝1时，2x－＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝kπ＋，k∈Z，此时函数取得最大值为2；
故f(x)的最大值为2，使函数取得最大值的x的集合为.
(2)由2x－＝＋kπ，k∈Z，
得x＝＋kπ，k∈Z.
即函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z.
由2x－＝kπ，k∈Z得x＝＋kπ，k∈Z，
即对称中心为，k∈Z.
[基础题组练]
1．函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为( )
A. B.
C．π D．2π
解析：选C.因为y＝2＝
2sin，所以T＝＝π.
2．f(x)＝tan x＋sin x＋1，若f(b)＝2，则f(－b)＝( )
A．0 B．3
C．－1 D．－2
解析：选A.因为f(b)＝tan b＋sin b＋1＝2，
即tan b＋sin b＝1.
所以f(－b)＝tan(－b)＋sin(－b)＋1
＝－(tan b＋sin b)＋1＝0.
3．若是函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C.因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，
由题意，知f＝sin＝0，所以＋＝kπ(k∈Z)，即ω＝8k－2(k∈Z)，当k＝1时，ω＝6.
4．关于函数y＝tan(2x－)，下列说法正确的是( )
A．是奇函数
B．在区间(0，)上单调递减
C．(，0)为其图象的一个对称中心
D．最小正周期为π
解析：选C.函数y＝tan(2x－)是非奇非偶函数，A错；在区间(0，)上单调递增，B错；最小正周期为，D错；由2x－＝，k∈Z得x＝＋，当k＝0时，x＝，所以它的图象关于(，0)中心对称，故选C.
5．已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( )
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称
解析：选B.函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，所以ω＝，即f(x)＝2sin.函数f(x)的对称轴为＋＝＋kπ，解得x＝π＋2kπ(k∈Z)；令k＝0得x＝π.函数f(x)的对称中心的横坐标为＋＝kπ，解得x＝2kπ－π(k∈Z)，令k＝1得f(x)的一个对称中心.
6．若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为 ．
解析：由题意知＋＝kπ＋(k∈Z)?ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，所以ωmin＝2.
答案：2
7．(2020·无锡期末)在函数①y＝cos|2x|；②y＝|cos 2x|；③y＝cos；④y＝tan 2x中，最小正周期为π的所有函数的序号为 ．
解析：①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；②y＝cos 2x，最小正周期为π，由图象知y＝|cos 2x|的最小正周期为；③y＝cos的最小正周期T＝＝π；④y＝tan 2x的最小正周期T＝.因此①③的最小正周期为π.
答案：①③
8．已知函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为 ．
解析：由函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，
所以ω＝k＋，又ω∈(1，2)，所以ω＝，从而得函数f(x)的最小正周期为＝.
答案：
9．已知函数f(x)＝2cos2＋2sin·sin.求函数f(x)的最小正周期和图象的对称中心．
解：因为f(x)＝2cos2＋2sin·sin
＝cos＋1＋2sinsin
＝cos＋2sincos＋1
＝cos 2x＋sin 2x＋sin＋1
＝sin 2x－cos 2x＋1
＝sin＋1，
所以f(x)的最小正周期为＝π，图象的对称中心为，k∈Z.
10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；
(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．
解：由f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，所以ω＝2，
所以f(x)＝sin(2x＋φ)．
(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)．
所以sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)，
展开整理得sin 2xcos φ＝0，
已知上式对?x∈R都成立，
所以cos φ＝0.因为0<φ<，所以φ＝.
(2)因为f＝，所以sin＝，
即＋φ＝＋2kπ或＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
故φ＝2kπ或φ＝＋2kπ(k∈Z)，
又因为0<φ<，所以φ＝，
即f(x)＝sin，
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)得
kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
[综合题组练]
1．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(x∈R)，又f(α)＝2，f(β)＝2，且|α－β|的最小值是，则正数ω的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D.函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin.
由f(α)＝2，f(β)＝2，且|α－β|的最小值是，
所以函数f(x)的最小正周期T＝，
所以ω＝＝4.
2．(2020·江西八所重点中学联考)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0，1)，且关于直线x＝对称，则下列结论正确的是( )
A．f(x)在上是减函数
B．若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则一定有f′(x0)≠0
C．f(x)≥1的解集是，k∈Z
D．f(x)图象的一个对称中心是
解析：选D.由f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0，1)，得sin φ＝，又|φ|＜，所以φ＝，则f(x)＝2sin.因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以存在m∈Z使得ω＋＝mπ＋，得ω＝＋(m∈Z)，又0＜ω＜1，所以ω＝，则f(x)＝2sin.令2nπ＋≤x＋≤2nπ＋，n∈Z，得4nπ＋≤x≤4nπ＋，n∈Z，故A错误；若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则f(x)在x＝x0处取得极值，所以一定有f′(x0)＝0，故B错误；由f(x)≥1得4kπ≤x≤4kπ＋，k∈Z，故C错误；因为f＝0，所以是其图象的一个对称中心，故D正确．选D.
3．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在上的单调性．
解：(1)因为f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，且T＝π，所以ω＝2.于是，f(x)＝sin.令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．注意到x∈，所以令k＝0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；同理，其单调递减区间为.
4．已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x＋.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；
(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．
解：(1)f(x)＝cos xsin x－(2cos2x－1)
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.
(2)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为x＝π＋kπ(k∈Z)，
所以当x∈(0，π)时，对称轴为x＝π.
又方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2.
所以x1＋x2＝π，则x1＝π－x2，
所以cos(x1－x2)＝cos＝sin，
又f(x2)＝sin＝，
故cos(x1－x2)＝.
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第5讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
一、知识梳理
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x － － －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.三角函数图象变换的两种方法(ω＞0)
常用结论
1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标．
二、习题改编
1．(必修4P55练习T2改编)为了得到函数y＝2sin
的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
答案：A
2．(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：
月份x 1 2 3 4
收购价格y(元/斤) 6 7 6 5
选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为 ．
解析：设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，所以ω＝，所以y＝sin＋6.因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sin＋6，结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－，所以y＝sin＋6＝6－cos x.
答案：y＝6－cos x
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.( )
(2)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．( )
(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.( )
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( )
(5)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝2kπ＋(k∈Z)．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
二、易错纠偏
(1)搞不清ω的值对图象变换的影响；
(2)确定不了函数解析式中φ的值．
1．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则得到的图象对应的函数表达式为f(x)＝ ．
解析：函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为f(x)＝2sin ＝2sin.
答案：2sin
2．(2020·济南市模拟考试)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)＝ ．
解析：设f(x)的最小正周期为T，根据题图可知，＝，所以T＝π，故ω＝2，根据2sin＝0(增区间上的零点)可知，＋φ＝2kπ，k∈Z，即φ＝2kπ－，k∈Z，又|φ|＜，故φ＝－.所以f(x)＝2sin.
答案：2sin
五点法作图及图象变换(典例迁移)
已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期；
(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．
【解】 (1)f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋a
＝sin 2x＋cos 2x＋1＋a
＝2sin＋1＋a的最大值为2，
所以a＝－1，最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝2sin，列表：
x 0 π
2x＋ π 2π
f(x)＝2sin 1 2 0 －2 0 1
画图如下：
【迁移探究1】 (变结论)在本例条件下，函数y＝2cos 2x的图象向右平移 个单位得到y＝f(x)的图象．
解析：将函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝2sin 2x的图象，再将y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝2sin(2x＋)的图象，综上可得，函数y＝2sin的图象可以由函数y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到．
答案：
【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下，若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，且y＝g(x)是偶函数，求m的最小值．
解：由已知得y＝g(x)＝f(x－m)＝2sin[2(x－m)＋]＝2sin是偶函数，所以2m－＝(2k＋1)，k∈Z，m＝＋，k∈Z，
又因为m>0，所以m的最小值为.
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)
的图象的两种作法
五点法 设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象
图象变换法 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”
[注意] 平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是ωx加减多少值．
1．(2020·广州市调研测试)由y＝2sin的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数解析式为( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
解析：选A.由y＝2sin的图象向左平移个单位长度，可得y＝2sin＝2sin
＝2sin的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin的图象，故所得图象对应的函数解析式为y＝2sin，选A.
2．(2020·湖南模拟改编)已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x，将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则所得函数的最小正周期为 ，g的值为 ．
解析：由题知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，
可得y＝2sin＝2sin 2x的图象，
再向上平移1个单位长度得到函数y＝g(x)＝2sin 2x＋1的图象，
则T＝＝π，g＝2sin＋1＝3.
答案：π 3
由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(师生共研)
(2020·蓉城名校第一次联考)若将函数g(x)图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象，已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．g(x)＝sin B．g(x)＝sin
C．g(x)＝sin 2x D．g(x)＝sin
【解析】 根据题图有A＝1，T＝－＝?T＝π＝?ω＝2(T为f(x)的最小正周期)，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，由f＝sin＝1?sin＝1?＋φ＝＋2kπ，k∈Z?φ＝＋2kπ，k∈Z.因为|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin，将f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝f＝sin
＝sin 2x.故选C.
【答案】 C
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法
(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，
则A＝，b＝.
(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝.
(3)求φ，常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；
②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：
“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ ＝＋2kπ(k∈Z)；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．
1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2，则f(x)＝ ．
解析：因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为x＝时，f(x)取得最大值2.
所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
φ＝2kπ＋，k∈Z，因为－<φ<，
所以φ＝，所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
答案：2sin
2．(2020·兰州实战考试)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝ ．
解析：由题意得，A＝，T＝4＝，ω＝.又因为f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，由0<φ<π，取k＝0，则φ＝，所以f(x)＝cos，所以f(1)＝－.
答案：－
三角函数模型的简单应用(师生共研)
(2020·山东省八所重点中学4月联考)如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A从初始位置A0开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动．记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.
(1)求t＝时，A，B两点间的距离；
(2)若y＝y1＋y2，求y关于时间t(t＞0)的函数关系式，并求当t∈时，y的取值范围．
【解】 (1)连接AB，OA，OB，当t＝时，∠xOA＝＋＝，∠xOB＝，所以∠AOB＝.
又OA＝1，OB＝2，所以AB2＝12＋22－2×1×2cos＝7，
即A，B两点间的距离为.
(2)依题意，y1＝sin，y2＝－2sin 2t，
所以y＝sin－2sin 2t＝cos 2t－sin 2t＝cos，
即函数关系式为y＝cos(t＞0)，
当t∈时，2t＋∈，所以cos∈，故当t∈时，y∈.
三角函数模型在实际应用中体现的两个方面
(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与因变量之间的对应法则；
(2)需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用已知数据建立拟合函数解决实际问题，此类问题体现了数学建模核心素养，考查应用意识．
某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sin t，t∈[0，24)，则实验室这一天的最大温差为 ℃.
解析：因为f(t)＝10－2
＝10－2sin，又0≤t<24，
所以≤t＋<，
所以－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
答案：4
思想方法系列7 数形结合思想在三角函数中的应用
(2020·新疆乌鲁木齐二检)若关于x的方程(sin x＋cos x)2＋cos 2x＝m在区间(0，π]上有两个不同的实数根x1，x2，且|x1－x2|≥，则实数m的取值范围是( )
A．[0，2) B．[0，2]
C．[1，＋1] D．[1，＋1)
【解析】 关于x的方程(sin x＋cos x)2＋cos 2x＝m可化为sin 2x＋cos 2x＝m－1，即sin＝.
易知sin＝在区间(0，π]上有两个不同的实数根x1，x2，且|x1－x2|≥.
令2x＋＝t，即sin t＝在区间上有两个不同的实数根t1，t2.
作出y＝sin t的图象，如图所示，由|x1－x2|≥得|t1－t2|≥，
所以－≤＜，
故0≤m＜2.故选A.
【答案】 A
本题是将方程根的问题转化为函数y＝sin与y＝的图象的交点，利用数形结合进行求解，可提升学生的直观想象能力．
函数f(x)＝3sin x－logx的零点的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选D.函数f(x)零点个数即为y＝3sin x与y＝logx的交点个数，如图，函数y＝3sin x与y＝logx有5个交点．
[基础题组练]
1．函数y＝sin在区间上的简图是( )
解析：选A.令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D.令x＝，得y＝sin＝0，排除C.
2．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是( )
A．－ B.
C．1 D．
解析：选D.由题意可知该函数的周期为，所以＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x，所以f＝tan＝.
3．已知函数f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)与g(x)＝cos ωx的部分图象如图所示，则( )
A．A＝1 B．A＝3
C．ω＝ D．ω＝
解析：选C.由题图可得过点(0，1)的图象对应的函数解析式为g(x)＝cos ωx，即＝1，A＝2.过原点的图象对应函数f(x)＝Asin ωx.由f(x)的图象可知，T＝＝1.5×4，可得ω＝.
4．(2020·福建五校第二次联考)为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：选B.因为y＝sin 2x＝cos＝cos，
y＝cos＝cos，所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度可得到函数y＝cos的图象．故选B.
5．(2019·高考天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g＝，则f＝( )
A．－2 B．－
C. D． 2
解析：选C.因为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且其最小正周期为π，所以φ＝0，ω＝2，f(x)＝Asin 2x，得g(x)＝Asin x．又g＝Asin ＝，所以A＝2，故f(x)＝2sin 2x，f＝2sin ＝，故选C.
6．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ．
解析：y＝sin xy＝
siny＝sin.
答案：y＝sin
7．已知函数f(x)＝2sin的部分图象如图所示，则ω＝ ，函数f(x)的单调递增区间为 ．
解析：由图象知＝－＝，则周期T＝π，即＝π，则ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋φ)．由五点对应法得2×＋φ＝2kπ，又|φ|＜，所以φ＝，则f(x)＝2sin.令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
答案：2 (k∈Z)
8．已知f(x)＝sin(ω＞0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝ ．
解析：依题意，当x＝＝时，f(x)有最小值，
所以sin＝－1，所以ω＋＝2kπ＋(k∈Z)．
所以ω＝8k＋(k∈Z)，
因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，
所以－≤，即ω≤12，
令k＝0，得ω＝.
答案：
9．如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0，4]的部分图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离．
解：连接MP(图略)．
依题意，有A＝2，＝3，
又T＝，所以ω＝，所以y＝2sinx.
当x＝4时，y＝2sin＝3，
所以M(4，3)．又P(8，0)，
所以|MP|＝＝5.
即M，P两点相距5 km.
10．(2020·合肥市第一次质量检测)将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，设函数h(x)＝f(x)－g(x)．
(1)求函数h(x)的单调递增区间；
(2)若g＝，求h(α)的值．
解：(1)由已知可得g(x)＝sin，
则h(x)＝sin 2x－sin＝sin.
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函数h(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由g＝得sin＝
sin＝，
所以sin＝－，即h(α)＝－.
[综合题组练]
1．(2020·长沙市统一模拟考试)已知P(1，2)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．设∠BPC＝θ，若tan＝，则f(x)图象的对称中心可以是( )
A．(0，0) B．(1，0)
C. D．
解析：选D.如图，连接BC，设BC的中点为D，E，F为与点P最近的函数f(x)的图象与x轴的交点，即函数f(x)图象的两个对称中心，连接PD，则由题意知|PD|＝4，∠BPD＝∠CPD＝，PD⊥BC，所以tan∠BPD＝tan＝＝＝，所以|BD|＝3.由函数f(x)图象的对称性知xE＝1－＝－，xF＝1＋＝，所以E，F，所以函数f(x)图象的对称中心可以是，故选D.
2．(2020·沈阳市质量监测(一))设函数f(x)＝sin，
则下列结论正确的是 ．(写出所有正确结论的序号)
①函数y＝f(x)的减区间为(k∈Z)；
②函数y＝f(x)的图象可由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到；
③函数y＝f(x)的图象的一条对称轴方程为x＝；
④若x∈，则f(x)的取值范围是.
解析：对于①，令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，①正确；对于②，y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后是y＝sin＝sin的图象，②错误；对于③，令2x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝π＋，k∈Z，当k＝－1时，x＝－，当k＝0时，x＝，③错误；对于④，若x∈，则2x－∈，故f(x)∈，④正确．
答案：①④
3．设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin＋sin，
所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx
＝sin ωx－cos ωx
＝
＝sin.
由题设知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z.
故ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω＜3，
所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin＝sin.
因为x∈，所以x－∈，
当x－＝－，
即x＝－时，g(x)取得最小值－.
4．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻最高点的距离为π.
(1)求f的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．
解：(1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π，
所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又f(x)的图象关于直线x＝对称，
所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
因为－≤φ＜，所以k＝0，
所以φ＝－＝－，所以f(x)＝sin，
则f＝sin＝sin＝.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f
的图象，
所以g(x)＝f＝sin
＝sin.
当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减．
因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
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第6讲 正弦定理和余弦定理
第1课时 正弦定理和余弦定理
一、知识梳理
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝c2＋a2－2cacos B；c2＝a2＋b2－2abcos C
变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(3)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝
2.△ABC的面积公式
(1)S△ABC＝a·h(h表示边a上的高)．
(2)S△ABC＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
(3)S△ABC＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
3．三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin Ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
[注意] 上表中A为锐角时，aA为钝角或直角时，a＝b，a常用结论
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；
变形：＝－.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C.
(2)cos(A＋B)＝－cos C.
(3)sin＝cos .
(4)cos＝sin .
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；
b＝acos C＋ccos A；
c＝bcos A＋acos B.
二、习题改编
1．(必修5P10B组T2改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若cA．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
答案：A
2．(必修5P10A组T4改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( )
A. B.
C. D．
解析：选C.因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝.故选C.
3．(必修5P3例1改编)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于 ．
解析：设△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，由题意及余弦定理得cos A＝＝＝，解得c＝2.所以S＝bcsin A＝×4×2×sin 60°＝2.
答案：2
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( )
(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.( )
(3)在△ABC中的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
二、易错纠偏
(1)利用正弦定理求角，忽视条件限制出现增根；
(2)不会灵活运用正弦、余弦定理．
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝ ．
解析：由题意：＝，即sin B＝＝＝，结合b＜c可得B＝45°，则A＝180°－B－C＝75°.
答案：75°
2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝ ．
解析：由3sin A＝2sin B及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝a＝3.
由余弦定理cos C＝，
得－＝，解得c＝4.
答案：4
利用正弦、余弦定理解三角形(师生共研)
(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝( )
A．6 B．5
C．4 D．3
(2)(2020·济南市学习质量评估)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c＋a＝2bcos A.
①求角B的大小；
②若a＝5，c＝3，边AC的中点为D，求BD的长．
【解】 (1)选A.由题意及正弦定理得，b2－a2＝－4c2，所以由余弦定理得，cos A＝＝＝－，得＝6.故选A.
(2)①由2c＋a＝2bcos A及正弦定理，
得2sin C＋sin A＝2sin Bcos A，
又sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以2sin Acos B＋sin A＝0，
因为sin A≠0，所以cos B＝－，
因为0＜B＜π，所以B＝.
②由余弦定理得b2＝a2＋c2－2a·ccos∠ABC＝52＋32＋5×3＝49，所以b＝7，所以AD＝.
因为cos∠BAC＝＝＝，
所以BD2＝AB2＋AD2－2·AB·ADcos∠BAC＝9＋－2×3××＝，
所以BD＝.
(1)正、余弦定理的选用
①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；
②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．
(2)三角形解的个数的判断
已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
1．(一题多解)(2020·广西五市联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝，A＝30°，B为锐角，那么A∶B∶C为( )
A．1∶1∶3 B．1∶2∶3
C．1∶3∶2 D．1∶4∶1
解析：选B.法一：由正弦定理＝，得sin B＝＝.
因为B为锐角，所以B＝60°，则C＝90°，故A∶B∶C＝1∶2∶3，选B.
法二：由a2＝b2＋c2－2bccos A，得c2－3c＋2＝0，解得c＝1或c＝2.当c＝1时，△ABC为等腰三角形，B＝120°，与已知矛盾，当c＝2时，a2．(2020·河南南阳四校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆的半径R＝( )
A. B.
C. D．
解析：选D.因为b＝8，c＝3，A＝60°，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝64＋9－2×8×3×＝49，所以a＝7，所以此三角形外接圆的直径2R＝＝＝，所以R＝，故选D.
3．(2019·高考全国卷Ⅰ改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求C.
解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cos A＝＝.
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－.
由于0°＜C＜120°，所以C＋60°＝135°，
即C＝75°.
判断三角形的形状(典例迁移)
(1)(一题多解)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
(2)在△ABC中，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为 ．
【解析】 (1)法一：因为bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a，所以asin A＝a即sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形．
法二：因为bcos C＋ccos B＝asin A，
所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2 A，
即sin(B＋C)＝sin2 A，所以sin A＝sin2 A，
故sin A＝1，即A＝，因此△ABC是直角三角形．
(2)因为c－acos B＝(2a－b)cos A，所以由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以sin(A＋B)－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
故cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin A＝sin B，
即A＝或A＝B，
故△ABC为等腰或直角三角形．
【答案】 (1)A (2)等腰或直角三角形
【迁移探究】 (变条件)若将本例(1)条件改为“2sin Acos B＝sin C”，试判断△ABC的形状．
解：法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因为－π法二：由正弦定理得2acos B＝c，再由余弦定理得
2a·＝c?a2＝b2?a＝b，
故△ABC为等腰三角形．
判定三角形形状的两种常用途径
[提醒] “角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．
1．(2020·广西桂林阳朔三校调研)在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，那么△ABC是( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．非钝角三角形
解析：选B.因为a∶b∶c＝3∶5∶7，所以可设a＝3t，b＝5t，c＝7t，由余弦定理可得cos C＝＝－，所以C＝120°，△ABC是钝角三角形，故选B.
2．(2020·河北衡水中学三调)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sin Bsin C＝sin2A，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C.在△ABC中，因为b2＋c2＝a2＋bc，所以cos A＝＝＝，因为A∈(0，π)，所以A＝，因为sin Bsin C＝sin2A，所以bc＝a2，代入b2＋c2＝a2＋bc，得(b－c)2＝0，解得b＝c，所以△ABC的形状是等边三角形，故选C.
核心素养系列11 数学运算——计算三角形中的未知量
数学运算是在明确运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等．
(2019·高考北京卷)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－.
(1)求b，c的值；
(2)求sin(B＋C)的值．
【解】 (1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得
b2＝32＋c2－2×3×c×.
因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×.
解得c＝5.所以b＝7.
(2)由cos B＝－得sin B＝.由正弦定理得sin A＝sin B＝.在△ABC中，B＋C＝π－A.所以sin(B＋C)＝sin A＝.
本题第(1)问利用余弦定理得到关于b，c的一个方程，结合b－c＝2可求出b，c的值；第(2)问利用正弦定理求出sin A的值，由同角三角函数关系求出sin(B＋C)的值体现核心素养中的数学运算．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；
(2)若＝，求cos B的值．
解：(1)因为a＝3c，b＝，cos B＝，
由余弦定理cos B＝，得＝，即c2＝.
所以c＝.
(2)因为＝，
由正弦定理＝，得＝，
所以cos B＝2sin B.
从而cos2B＝(2sin B)2，即cos2B＝4(1－cos2B)，
故cos2B＝.
因为sin B>0，所以cos B＝2sin B>0，
从而cos B＝.
[基础题组练]
1．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝且bA．3 B．2
C．2 D．
解析：选C.由余弦定理b2＋c2－2bccos A＝a2，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4，因为b2．在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，则满足条件的三角形有( )
A．一个 B．两个
C．0个 D．无法确定
解析：选B.由正弦定理得sin B＝＝＝，因为b>a，所以B＝60°或120°，故满足条件的三角形有两个．
3．(2020·湖南省湘东六校联考)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b2＝ac，且sin C＝sin B，则其最小内角的余弦值为( )
A．－ B.
C. D．
解析：选C.由sin C＝sin B及正弦定理，得c＝b.又b2＝ac，所以b＝a，所以c＝2a，所以A为△ABC的最小内角．由余弦定理，知cos A＝＝＝，故选C.
4．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，以下四个结论中，正确的是( )
A．若a＞b＞c，则sin A＞sin B＞sin C
B．若A＞B＞C，则sin AC．acos B＋bcos A＝csin C
D．若a2＋b2＜c2，则△ABC是锐角三角形
解析：选A.对于A，由于a＞b＞c，由正弦定理＝＝＝2R，可得sin A＞sin B＞sin C，故A正确；
对于B，A＞B＞C，由大边对大角定理可知，则a＞b＞c，由正弦定理＝＝＝2R，可得sin A＞sin B＞sin C，故B错误；
对于C，根据正弦定理可得acos B＋bcos A＝2R(sin A·cos B＋sin Bcos A)＝2Rsin(B＋A)＝2Rsin(π－C)＝2Rsin C＝c，故C错误；
对于D，a2＋b2＜c2，由余弦定理可得cos C＝＜0，由C∈(0，π)，可得C是钝角，故D错误．
5．(2020·长春市质量监测(一))在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝acos C＋c，则角A等于( )
A．60° B．120°
C．45° D．135°
解析：选A.法一：由b＝acos C＋c及正弦定理，可得sin B＝sin Acos C＋sin C，即sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin C，即sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋sin C，所以cos Asin C＝sin C，又在△ABC中，sin C≠0，所以cos A＝，所以A＝60°，故选A.
法二：由b＝acos C＋c及余弦定理，可得b＝a·＋c，即2b2＝b2＋a2－c2＋bc，整理得b2＋c2－a2＝bc，于是cos A＝＝，所以A＝60°，故选A.
6．在△ABC中，角A，B，C满足sin Acos C－sin Bcos C＝0，则三角形的形状为 ．
解析：由已知得cos C(sin A－sin B)＝0，所以有cos C＝0或sin A＝sin B，解得C＝90°或A＝B.
答案：直角三角形或等腰三角形
7．(2019·高考天津卷改编)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2a，3csin B＝4asin C，则cos B＝ ．
解析：在△ABC中，由正弦定理＝，得bsin C＝csin B，又由3csin B＝4asin C，得3bsin C＝4asin C，即3b＝4a.因为b＋c＝2a，得到b＝a，c＝a.由余弦定理可得cos B＝＝＝－.
答案：－
8．(2020·河南期末改编)在△ABC中，B＝，AC＝，且cos2C－cos2A－sin2B＝－sin Bsin C，则C＝ ，BC＝ ．
解析：由cos2C－cos2A－sin2B＝－sin Bsin C，可得1－sin2C－(1－sin2A)－sin2B＝－sin Bsin C，即sin2A－sin2C－sin2B＝－sin Bsin C．结合正弦定理得BC2－AB2－AC2＝－·AC·AB，所以cos A＝，A＝，则C＝π－A－B＝.由＝，解得BC＝.
答案：
9．(2020·兰州模拟)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B＋bcos A＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求边c的长．
解：(1)因为asin B＋bcos A＝0，
所以sin Asin B＋sin Bcos A＝0，
即sin B(sin A＋cos A)＝0，
由于B为三角形的内角，
所以sin A＋cos A＝0，
所以sin＝0，而A为三角形的内角，
所以A＝.
(2)在△ABC中，a2＝c2＋b2－2cbcos A，即20＝c2＋4－4c，解得c＝－4(舍去)或c＝2.
10．在△ABC中，A＝2B.
(1)求证：a＝2bcos B；
(2)若b＝2，c＝4，求B的值．
解：(1)证明：因为A＝2B，所以由正弦定理＝，得＝，所以a＝2bcos B.
(2)由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A，
因为b＝2，c＝4，A＝2B，所以16cos2B＝4＋16－16cos 2B，
所以cos2B＝，
因为A＋B＝2B＋B<π，
所以B<，所以cos B＝，
所以B＝.
[综合题组练]
1．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C.如图，过点A作AD⊥BC.设BC＝a，则BC边上的高AD＝a.又因为B＝，所以BD＝AD＝a，AB＝a，DC＝a－BD＝a，所以AC＝＝a.在△ABC中，由余弦定理得cos A＝＝＝－.
2．(2020·广州市调研测试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＝，若a＋b＝4，则c的取值范围为( )
A．(0，4) B．[2，4)
C．[1，4) D．(2，4]
解析：选B.根据正弦定理可得＝，即＝，由三角形内角和定理可得sin(A＋B)＝sin C，所以sin2A＋sin2B－sin2C＝sin Asin B，再根据正弦定理可得a2＋b2－c2＝ab.因为a＋b＝4，a＋b≥2，所以ab≤4，(a＋b)2＝16，得a2＋b2＝16－2ab，所以16－2ab－c2＝ab，所以16－c2＝3ab，故16－c2≤12，c2≥4，c≥2，故2≤c＜4，故选B.
3．(2020·广东佛山顺德第二次质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2bsin Ccos A＋asin A＝2csin B.
(1)证明：△ABC为等腰三角形；
(2)若D为BC边上的点，BD＝2DC，且∠ADB＝2∠ACD，a＝3，求b的值．
解：(1)证明：因为2bsin Ccos A＋asin A＝2csin B，
所以由正弦定理得2bccos A＋a2＝2cb，
由余弦定理得2bc·＋a2＝2bc，
化简得b2＋c2＝2bc，所以(b－c)2＝0，即b＝c.
故△ABC为等腰三角形．
(2)法一：由已知得BD＝2，DC＝1，
因为∠ADB＝2∠ACD＝∠ACD＋∠DAC，
所以∠ACD＝∠DAC，所以AD＝CD＝1.
又因为cos∠ADB＝－cos∠ADC，
所以＝－，
即＝－，得2b2＋c2＝9，
由(1)可知b＝c，得b＝.
法二：由已知可得CD＝a＝1，
由(1)知，AB＝AC，
所以∠B＝∠C，又因为∠DAC＝∠ADB－∠C＝2∠C－∠C＝∠C＝∠B，
所以△CAB∽△CDA，所以＝，即＝，
所以b＝.
4．(综合型)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos B＝bcos A.
(1)求cos B的值；
(2)若a＝2，cos C＝－，求△ABC外接圆的半径R.
解：(1)因为cos B＝bcos A，
所以结合正弦定理，得cos B＝sin Bcos A，
所以sin Ccos B＝sin(A＋B)＝sin C．又因为sin C≠0，所以cos B＝.
(2)由(1)知，sin B＝＝.
因为cos C＝－，
所以sin C＝＝，
所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝，
所以R＝·＝×＝.
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第2课时 正、余弦定理的综合问题
与三角形面积有关的问题(多维探究)
角度一 计算三角形的面积
(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为 ．
(2)(2020·福建五校第二次联考)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝ab，且acsin B＝2sin C，则△ABC的面积为 ．
【解析】 (1)法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsin B＝×4×2×sin ＝6.
法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6.
(2)因为a2＋b2－c2＝ab，所以由余弦定理得cos C＝＝＝，又0＜C＜π，所以C＝.因为acsin B＝2sin C，所以结合正弦定理可得abc＝2c，所以ab＝2.故S△ABC＝absin C＝×2sin＝.
【答案】 (1)6 (2)
求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；
(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
角度二 已知三角形的面积解三角形
(2020·湖南五市十校共同体联考改编)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，(3b－a)cos C＝ccos A，c是a，b的等比中项，且△ABC的面积为3，则ab＝ ，a＋b＝ ．
【解析】 因为(3b－a)cos C＝ccos A，所以利用正弦定理可得3sin Bcos C＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B．又因为sin B≠0，所以cos C＝，则C为锐角，所以sin C＝.由△ABC的面积为3，可得absin C＝3，所以ab＝9.由c是a，b的等比中项可得c2＝ab，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C，所以(a＋b)2＝ab＝33，所以a＋b＝.
【答案】 9
已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
[注意] 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．
1．(2020·济南市模拟考试)在△ABC中，AC＝，BC＝，cos A＝，则△ABC的面积为( )
A. B．5
C．10 D．
解析：选A.由AC＝，BC＝，BC2＝AB2＋AC2－2AC·ABcos A，得AB2－4AB－5＝0，解得AB＝5，而sin A＝＝，故S△ABC＝×5××＝.选A.
2．(2020·长沙市统一模拟考试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin(A＋B)＝csin.
(1)求A；
(2)若△ABC的面积为，周长为8，求a.
解：(1)由题设得asin C＝ccos，
由正弦定理得sin Asin C＝sin Ccos，
所以sin A＝cos ，
所以2sincos＝cos，所以sin＝，
所以A＝60°.
(2)由题设得bcsin A＝，从而bc＝4.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a2＝(b＋c)2－12.
又a＋b＋c＝8，所以a2＝(8－a)2－12，解得a＝.
三角形面积或周长的最值(范围)问题(师生共研)
(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
【解】 (1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A.
因为sin A≠0，所以sin＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.
因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°由(1)知A＋C＝120°，
所以30°因此，△ABC面积的取值范围是.
求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题
在解决求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．
(一题多解)(2020·福州市质量检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b＝.
(1)求△ABC外接圆的直径；
(2)求a＋c的取值范围．
解：(1)因为角A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C，
又因为A＋B＋C＝π，所以B＝.
根据正弦定理得，△ABC的外接圆直径2R＝＝＝1.
(2)法一：由B＝，知A＋C＝，可得0＜A＜.
由(1)知△ABC的外接圆直径为1，根据正弦定理得，
＝＝＝1，
所以a＋c＝sin A＋sin C
＝sin A＋sin
＝
＝sin.
因为0＜A＜，所以＜A＋＜.
所以＜sin≤1，
从而＜sin≤，
所以a＋c的取值范围是.
法二：由(1)知，B＝，
b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－3ac
≥(a＋c)2－3＝(a＋c)2(当且仅当a＝c时，取等号)，因为b＝，所以(a＋c)2≤3，即a＋c≤，
又三角形两边之和大于第三边，所以＜a＋c≤，
所以a＋c的取值范围是.
解三角形与三角函数的综合应用(师生共研)
(2020·湖南省五市十校联考)已知向量m＝(cos x，sin x)，n＝(cos x，cos x)，x∈R，设函数f(x)＝m·n＋.
(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；
(2)设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，若f(A)＝2，b＋c＝2，△ABC的面积为，求a的值．
【解】 (1)由题意知，f(x)＝cos2x＋sin xcos x＋＝sin＋1.
令2x＋∈，k∈Z，解得x∈，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)因为f(A)＝sin＋1＝2，
所以sin＝1.
因为0＜A＜π，所以＜2A＋＜，所以2A＋＝，即A＝.
由△ABC的面积S＝bcsin A＝，得bc＝2，
又b＋c＝2，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)，
解得a＝－1.
标注条件，合理建模
解决三角函数的应用问题，无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题，关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注，然后根据条件和所求建立相应的数学模型，转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题．
△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2a－2ccos B.
(1)求角C的大小；
(2)求cos A＋sin的最大值，并求出取得最大值时角A，B的值．
解：(1)法一：在△ABC中，由正弦定理可知sin B＝2sin A－2sin Ccos B，
又A＋B＋C＝π，
则sin A＝sin(π－(B＋C))＝sin(B＋C)，于是有sin B＝2sin(B＋C)－2sin Ccos B＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C－2sin Ccos B，
整理得sin B＝2sin Bcos C，又sin B≠0，
则cos C＝，
因为0法二：由题可得b＝2a－2c·，
整理得a2＋b2－c2＝ab，
即cos C＝，
因为0(2)由(1)知C＝，则B＋＝π－A，
于是cos A＋sin＝cos A＋sin(π－A)＝cos A＋sin A＝2sin，
因为A＝－B，所以0所以故当A＝时，2sin的最大值为2，此时B＝.
[基础题组练]
1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cos A＝，则△ABC的面积等于( )
A．3 B.
C．9 D．
解析：选B.因为cos A＝，则sin A＝，所以S△ABC＝×bcsin A＝，故选B.
2．在△ABC中，已知C＝，b＝4，△ABC的面积为2，则c＝( )
A．2 B.
C．2 D．2
解析：选D.由S＝absin C＝2a×＝2，解得a＝2，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12，故c＝2.
3．(2020·河南三市联考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，sin A∶sin B＝1∶，c＝2cos C＝，则△ABC的周长为( )
A．3＋3 B．2
C．3＋2 D．3＋
解析：选C.因为sin A∶sin B＝1∶，所以b＝a，
由余弦定理得cos C＝＝＝，
又c＝，所以a＝，b＝3，所以△ABC的周长为3＋2，故选C.
4．(2020·湖南师大附中4月模拟)若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，c＝，△ABC的面积S＝cos A，则a＝( )
A．1 B.
C. D．
解析：选A.因为b＝2，c＝，S＝cos A＝bcsin A＝sin A，所以sin A＝cos A.
所以sin2A＋cos2A＝cos2A＋cos2A＝cos2A＝1.易得cos A＝.
所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋5－2×2××＝9－8＝1，所以a＝1.故选A.
5．(2020·开封市定位考试)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为4，且2bcos A＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为( )
A．10 B．12
C．8＋ D．8＋2
解析：选B.因为△ABC的面积为4，所以acsin B＝4.因为2bcos A＋a＝2c，所以由正弦定理得2sin Bcos A＋sin A＝2sin C，又A＋B＋C＝π，所以2sin Bcos A＋sin A＝2sin Acos B＋2cos Asin B，所以sin A＝2cos B·sin A，因为sin A≠0，所以cos B＝，因为0＜B＜π，所以B＝，所以ac＝16，又a＋c＝8，所以a＝c＝4，所以△ABC为正三角形，所以△ABC的周长为3×4＝12.故选B.
6．在△ABC中，A＝，b2sin C＝4sin B，则△ABC的面积为 ．
解析：因为b2sin C＝4sin B，
所以b2c＝4b，所以bc＝4，
S△ABC＝bcsin A＝×4×＝2.
答案：2
7．(2020·江西赣州五校协作体期中改编)在△ABC中，A＝，b＝4，a＝2，则B＝ ，△ABC的面积等于 ．
解析：△ABC中，由正弦定理得sin B＝＝＝1.又B为三角形的内角，所以B＝，所以c＝＝＝2，
所以S△ABC＝×2×2＝2.
答案： 2
8．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若＝，sin B＝，S△ABC＝，则b的值为 ．
解析：由＝?＝?a＝c，①
由S△ABC＝acsin B＝且sin B＝得ac＝5，②
联立①，②得a＝5，且c＝2.
由sin B＝且B为锐角知cos B＝，
由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝.
答案：
9．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.
(1)求sin C的值；
(2)若a＝7，求△ABC的面积．
解：(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，
所以由正弦定理得sin C＝＝×＝.
(2)因为a＝7，所以c＝×7＝3.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A得72＝b2＋32－2b×3×，
解得b＝8或b＝－5(舍)．
所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×8×3×＝6.
10．(2020·福建五校第二次联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acos C＝(2b－c)cos A.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由正弦定理可得，sin Acos C＝2sin Bcos A－sin Ccos A，
从而sin(A＋C)＝2sin Bcos A，
即sin B＝2sin Bcos A.
又B为三角形的内角，所以sin B≠0，于是cos A＝，
又A为三角形的内角，所以A＝.
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋c2－2bc×≥2bc－bc，
所以bc≤4(2＋)，所以S△ABC＝bcsin A≤2＋，故△ABC面积的最大值为2＋.
[综合题组练]
1．(2020·昆明市诊断测试)在平面四边形ABCD中，∠D＝90°，∠BAD＝120°，AD＝1，AC＝2，AB＝3，则BC＝( )
A. B.
C. D．2
解析：选C.如图，在△ACD中，∠D＝90°，AD＝1，AC＝2，所以∠CAD＝60°.又∠BAD＝120°，所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝7，所以BC＝.故选C.
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，＝a，a＝2.若b∈[1，3]，则c的最小值为 ．
解析：由＝a，得＝sin C．由余弦定理可知cos C＝，即3cos C＝sin C，所以tan C＝，故cos C＝，所以c2＝b2－2b＋12＝(b－)2＋9，因为b∈[1，3]，所以当b＝时，c取最小值3.
答案：3
3．(2020·重庆市学业质量调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为accos B，且sin A＝3sin C.
(1)求角B的大小；
(2)若c＝2，AC的中点为D，求BD的长．
解：(1)因为S△ABC＝acsin B＝accos B，
所以tan B＝.
又0＜B＜π，所以B＝.
(2)sin A＝3sin C，由正弦定理得，a＝3c，所以a＝6.
由余弦定理得，b2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28，所以b＝2.
所以cos A＝＝＝－.
因为D是AC的中点，所以AD＝.
所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝22＋()2－2×2××＝13.
所以BD＝.
4．(2020·原创题)在△ABC中，sin A∶cos B∶tan A＝12∶16∶15.
(1)求sin C；
(2)若AB＝8，点D为△ABC外接圆上的动点，求·的最大值．
解：(1)由sin A∶tan A＝12∶15，得cos A＝，故sin A＝，所以由sin A∶cos B＝12∶16，得cos B＝，故sin B＝，于是sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝.
(2)在△ABC中，由＝，解得AC＝5，由A，B，C，D四点共圆及题干条件，可知∠ADC＝∠ABC时·取得最大值，
设DA＝m，DC＝n，在△DAC中，由余弦定理的推论得cos∠ADC＝＝，
故mn＝m2＋n2－25≥2mn－25，
解得mn≤，
故·＝mn≤×＝50，
当且仅当m＝n＝时，等号成立，
故·的最大值为50.
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第7讲 解三角形应用举例
一、知识梳理
1．仰角和俯角
在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，在水平视线下方的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
3．方向角
相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
常用结论
1．明确两类角
(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．
(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．
2．解三角形应用题的一般步骤
二、习题改编
(必修5P24A组T6改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为 米．
答案：50
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )
(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.( )
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( )
(4)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
二、易错纠偏
(1)仰角、俯角概念不清；
(2)方向角概念不清；
(3)方位角概念不清．
1．如图所示，在某次测量中，在A处测得同一铅垂平面内的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝ ．
答案：130°
2.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站的南偏西40°方向上，灯塔B在观察站的南偏东60°方向上，则灯塔A相对于灯塔B的方向角是 ．
答案：南偏西80°
3．点A在点B的南偏西20°方向上，若以点B为基点，则点A的方位角是 ．
答案：200°
测量距离问题(师生共研)
(2020·福建宁德5月质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为 ．
【解析】 由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，
所以∠DAC＝15°，
由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)．
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，
由正弦定理＝，
得BC＝＝＝160sin 15°＝40(－)．
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋2×1 600×(＋)×(－)×＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，
解得AB＝80.
故图中海洋蓝洞的口径为80.
【答案】 80
测量距离问题的解法
选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，再利用正、余弦定理求解．
[提醒] 解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．
如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为 m.
解析：由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，所以∠AQB＝30°，所以AB＝BQ.
又PB为公共边，所以△PAB≌△PQB，所以PQ＝PA.
在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900，故PQ＝900，
所以P，Q两点间的距离为900 m.
答案：900
测量高度问题(师生共研)
(2020·吉林长春质量监测四)《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆BC和DE，两标杆之间的距离BD＝1 000步，两标杆的底端与海岛的底端H在同一直线上，从前面的标杆B处后退123步，人眼贴地面，从地上F处仰望岛峰，A，C，F三点共线，从后面的标杆D处后退127步，人眼贴地面，从地上G处仰望岛峰，A，E，G三点也共线，则海岛的高为(注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步)( )
A．1 255步 B．1 250步
C．1 230步 D．1 200步
【解析】 因为AH∥BC，所以△BCF∽△HAF，所以＝.
因为AH∥DE，所以△DEG∽△HAG，所以＝.
又BC＝DE，所以＝，即＝，所以HB＝30 750步，
又＝，所以AH＝＝1 255(步)．故选A.
【答案】 A
求解高度问题应注意的3个问题
(1)要理解仰角、俯角的定义；
(2)在实际问题中可能会遇到空间与平面(底面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形；
(3)注意山或塔垂直底面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝ m.
解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，
解得BC＝300 m.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100(m)．
答案：100
测量角度问题(师生共研)
一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(2－2)n mile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile到达海岛C.
(1)求AC的长；
(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小．
【解】 (1)由题意，在△ABC中，
∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝2－2，BC＝4，
根据余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC
＝(2－2)2＋42＋(2－2)×4＝24，
所以AC＝2.
(2)根据正弦定理得，sin∠BAC＝＝，
所以∠CAB＝45°.
解决角度问题的三个注意事项
(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义；
(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值；
(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点．
1．一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°，距离为12海里，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，则此时灯塔C位于游轮的( )
A．正西方向 B．南偏西75°方向
C．南偏西60°方向 D．南偏西45°方向
解析：选C.如图：在△ABD中，B＝45°，由正弦定理有＝，AD＝＝24.
在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD×cos 30°，因为AC＝12，AD＝24，所以CD＝12，由正弦定理得＝，sin∠CDA＝，故∠CDA＝60°或者∠CDA＝120°.
因为AD＞AC，故∠CDA为锐角，所以∠CDA＝60°.
2.甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东 (填角度)的方向前进．
解析：设两船在C处相遇，则由题意∠ABC＝180°－60°＝120°，且＝，
由正弦定理得＝＝，
所以sin∠BAC＝.
又因为0°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°.
所以甲船应沿北偏东30°方向前进．
答案：30°
核心素养系列12 数学建模——应用举例问题中的核心素养
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题．
某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点(如图)，它们相距5(3＋)海里，现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东45°，B点北偏西60°，这时，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时．
(1)求B点到D点的距离BD；
(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．
【解】 (1)由题意知AB＝5(3＋)海里，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△DAB中，由正弦定理得＝，
所以DB＝＝
＝
＝＝10(海里)．
(2)在△DBC中，∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC
＝300＋1 200－2×10×20×＝900，
所以CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．
即：救援船到达D点需要1小时．
解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．
如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：选B.依题意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)，
所以在△ACD中，由余弦定理得
cos∠CAD＝
＝
＝＝，
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
[基础题组练]
1．在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为( )
A. km B. km
C. km D．2 km
解析：选A.如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，所以＝，
所以AC＝2×＝(km)．
2．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于( )
A．5 B．15
C．5 D．15
解析：选D.在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
由正弦定理得＝，
所以BC＝15.
在Rt△ABC中，
AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.
3．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为( )
A．7 km B．8 km
C．9 km D．6 km
解析：选A.在△ABC及△ACD中，由余弦定理得82＋52－2×8×5×cos(π－∠D)＝AC2＝32＋52－2×3×5×cos ∠D，解得cos ∠D＝－，所以AC＝＝7.
4．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．10海里 B．10海里
C．20海里 D．20海里
解析：选A.如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
根据正弦定理得＝，
解得BC＝10(海里)．
5．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于( )
A．240(－1) m B．180(－1) m
C．120(－1) m D．30(＋1) m
解析：选C.因为tan 15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，所以BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(－1)(m)．
6．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是 n mile.
解析：如图，在△ABC中，AB＝10，A＝60°，B＝75°，C＝45°，
由正弦定理，得＝，
所以BC＝＝＝5(n mile)．
答案：5
7.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B间的距离是84 m，则塔高CD＝ m.
解析：设塔高CD＝x m，
则AD＝x m，DB＝x m.
又由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，
在△ABD中，利用余弦定理，得
842＝x2＋(x)2－2·x2 cos 150°，
解得x＝12(负值舍去)，故塔高为12 m.
答案：12
8．一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则此船航行的速度为 海里/小时．
解析：如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.
在△PMN中，＝，
所以MN＝68×＝34(海里)．
又由M到N所用的时间为14－10＝4(小时)，
所以此船的航行速度v＝＝(海里/小时)．
答案：
9．渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以15海里/时的速度向正北方向航行，该船在A点处时发现在北偏东30°方向的海面上有一个小岛，继续航行20分钟到达B点，此时发现该小岛在北偏东60°方向上，若该船向正北方向继续航行，船与小岛的最小距离为多少海里？
解：根据题意画出相应的图形，如图所示，过C作CD⊥AD于点D，
由题意得：AB＝×15＝5(海里)，
因为∠A＝30°，∠CBD＝60°，
所以∠BCA＝30°，
所以△ABC为等腰三角形，所以BC＝5.
在△BCD中，
因为∠CBD＝60°，CD⊥AD，BC＝5，
所以CD＝，则该船向北继续航行，船与小岛的最小距离为7.5海里．
10．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，求山高MN.
解：根据题意，
AC＝100 m.
在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理得＝?AM＝100 m.
在△AMN中，＝sin 60°，
所以MN＝100×＝150(m)．
[综合题组练]
1．如图所示，一座建筑物AB的高为(30－10)m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为( )
A．30 m B．60 m
C．30 m D．40 m
解析：选B.在Rt△ABM中，AM＝＝＝＝20(m)．过点A作AN⊥CD于点N，如图所示．易知∠MAN＝∠AMB＝15°，所以∠MAC＝30°＋15°＝45°.又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，所以∠ACM＝30°.在△AMC中，由正弦定理得＝，解得MC＝40(m)．在Rt△CMD中，CD＝40×sin 60°＝60(m)，故通信塔CD的高为60 m.
2.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为 米．
解析：连接OC，由题意知CD＝150米，OD＝100米，∠CDO＝60°.
在△COD中，由余弦定理得OC2＝CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°，即OC＝50.
答案：50
3.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.
(1)求sin∠ABD的值；
(2)若∠BCD＝，求CD的长．
解：(1)因为AD∶AB＝2∶3，
所以可设AD＝2k，AB＝3k(k＞0)．
又BD＝，∠DAB＝，所以由余弦定理，
得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos，
解得k＝1，所以AD＝2，AB＝3，
sin∠ABD＝＝＝.
(2)因为AB⊥BC，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝，
所以sin∠DBC＝，所以＝，
所以CD＝＝.
4．(应用型)某港湾的平面示意图如图所示，O，A，B分别是海岸线l1，l2上的三个集镇，A位于O的正南方向6 km处，B位于O的北偏东60°方向10 km处．
(1)求集镇A，B间的距离；
(2)随着经济的发展，为缓解集镇O的交通压力，拟在海岸线l1，l2上分别修建码头M，N，开辟水上航线．勘测时发现：以O为圆心，3 km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头M，N的位置，使得M，N之间的直线航线最短．
解：(1)在△ABO中，OA＝6，OB＝10，∠AOB＝120°，
根据余弦定理得
AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos 120°
＝62＋102－2×6×10×＝196，
所以AB＝14.
故集镇A，B间的距离为14 km.
(2)依题意得，直线MN必与圆O相切．
设切点为C，连接OC(图略)，则OC⊥MN.
设OM＝x，ON＝y，MN＝c，
在△OMN中，由MN·OC＝OM·ON·sin 120°，
得×3c＝xysin 120°，即xy＝2c，
由余弦定理，得c2＝x2＋y2－2xycos 120°＝x2＋y2＋xy≥3xy，所以c2≥6c，解得c≥6，
当且仅当x＝y＝6时，c取得最小值6.
所以码头M，N与集镇O的距离均为6 km时，M，N之间的直线航线最短，最短距离为6 km.
规范答题示范(二) 三角函数、解三角形
类型一 三角函数的变换与性质
(12分)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．(1)求?的值；(2)求f(x)的? [建桥寻突破]?看到条件想到特殊角，可以利用诱导公式写出它的三角函数值．?看到求最小正周期及单调递增区间，想到利用公式将三角函数式化成用一个角表示三角函数的形式.
[规范解答] (1)由sin ＝，cos＝－， 1分得f＝－－2××＝2.3分(2)因为cos 2x＝cos2x－sin2x， sin 2x＝2sin xcos x， 4分所以f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin，7分所以f(x)的最小正周期是π， 8分由正弦函数的性质，得＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)， 10分解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).12分 [评分标准] ①分别求出的正弦和余弦值得1分； ②正确完成“数学运算”得2分； ③分别写出二倍角的正弦、余弦公式得1分； ④能正确利用和差角公式完成“化一”过程得3分； ⑤会利用周期公式求出周期得1分； ⑥会借助正弦函数的单调区间写出联立不等式的形式得2分； ⑦解联立不等式得出正确结果得2分．只结果错误或区间表示不规范扣1分.
[解题点津](1)要善于抓解题的关键点，解题步骤中明显呈现的得分点，如本题(1)中的正弦和余弦值必须呈现出来．(2)要清晰呈现“化一”的过程以及用联立不等式求单调区间的过程.
[核心素养]三角函数问题是高考必考问题，三角求值与求三角函数的最值、周期、单调区间是高考的常见题型；本题型重点考查灵活运用三角公式进行三角变换的能力，以及“数学运算”的核心素养.
类型二 解三角形问题
(12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知?(1)求cos B；(2)若?△ABC的面积为2，求b. [建桥寻突破]?看到条件sin (A＋C)＝8sin2，想到A＋C＝π－B.?看到a＋c＝6，△ABC的面积为2，再利用(1)中cos B的结果求b，想到由cos B可求得sin B，可利用三角形面积公式求出ac，再利用余弦定理，结合a＋c＝6，求b.
[规范解答](1)由题设及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2，2分故sin B＝4(1－cos B)，4分上式两边平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0，解得cos B＝1(舍去)或cos B＝. 6分故cos B＝.(2)由cos B＝得sin B＝， 7分故S△ABC＝acsin B＝ac.又S△ABC＝2，则ac＝.9分由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)＝36－2××＝4.所以b＝2.12分 [评分标准] ①利用诱导公式将sin(A＋C)转化为sin B得2分； ②会利用降幂公式将2sin2转化为1－cos B得2分； ③利用平方关系转化为关于cos B的方程，并求得正确结果得2分；只运算结果错误扣1分； ④求出sin B，得1分； ⑤利用面积公式及已知，求出ac得2分；只运算结果错误扣1分； ⑥利用余弦定理求出b得3分；只运算结果错误扣1分.
[解题点津]要善于抓解题的关键点，解题步骤中明显呈现的得分点，如本题(1)中cos B与sin2关系的呈现，(2)中利用余弦定理体现a＋c与ac的关系等.
[核心素养]解三角形问题是高考的必考问题，解三角形与三角函数的结合是高考的常见题型；本题型重点考查灵活运用公式并通过“数学运算”解决问题的能力.
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