第1讲 平面向量的概念及线性运算
[基础题组练]
1．向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则a－b＝( )
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
解析：选C.结合图形易得，a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2.
2．已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是( )
A．点P在线段AB上 B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上 D．点P在△ABC外部
解析：选C.由＋＋＝，得＋＋＝－，即＝－2，故点P在线段AC上．
3．(2020·唐山二模)已知O是正方形ABCD的中心．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则＝( )
A．－2 B．－
C．－ D．
解析：选A.＝＋＝＋＝－＋＝AB－，所以λ＝1，μ＝－，因此＝－2.
4．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是( )
A. B.
C. D．
解析：选D.设＝y，因为＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y).
因为＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，
所以y∈，
因为＝x＋(1－x)，
所以x＝－y，所以x∈.
5．已知平面内四点A，B，C，D，若＝2，＝＋λ，则λ的值为 ．
解析：依题意知点A，B，D三点共线，于是有＋λ＝1，λ＝.
答案：
6．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是 ．
解析：＝－，当，同向时，||＝8－5＝3；当，反向时，||＝8＋5＝13；当，不共线时，3<||<13.综上可知3≤||≤13.
答案：[3，13]
7．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.
其中正确命题的个数为 ．
解析：＝a，＝b，＝＋＝－a－b，故①错；
＝＋＝a＋b，故②正确；
＝(＋)＝(－a＋b)
＝－a＋b，故③正确；
所以＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.故④正确．
所以正确命题的序号为②③④.
答案：3
8．如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若＝a，＝b，＝2.
(1)用a，b表示；
(2)证明：A，M，C三点共线．
解：(1)＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b，
又E为AD中点，
所以＝＝a＋b，
因为EF是梯形的中位线，且＝2，
所以＝(＋)＝＝a，
又M，N是EF的三等分点，所以＝＝a，
所以＝＋＝a＋b＋a
＝a＋b.
(2)证明：由(1)知＝＝a，
所以＝＋＝a＋b＝，
又与有公共点M，所以A，M，C三点共线．
[综合题组练]
1．已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则＝( )
A.＋ B.－
C.＋ D．＋
解析：选A.如图所示，设BC的中点为E，则＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋·＝＋.故选A.
2.如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：①＋2；②＋；③＋；④＋；⑤－.若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有( )
A．①② B．②④
C．①③ D．③⑤
解析：选B.在ON上取点C，使得OC＝2OB，以OA，OC为邻边作平行四边形OCDA，则＝＋2，其终点不在阴影区域内，排除A，C；取OA上一点E，作AE＝OA，作EF∥OB，交AB于点F，则EF＝OB，由于EF
3．(2020·广州综合测试(一))设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积的比值是 ．
解析：因为＝2，所以＝，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相等，所以＝＝.
答案：
4．(2020·江西临川一中、南昌二中5月联考)在△ABC中，＝，＝2，＝λ＋μ，则λ＋μ＝ ．
解析：因为＝，＝2，所以P为△ABC的重心．
易知D为BC的中点，所以＝＋.
所以＝＝＋.
所以＝＋.
所以＝－＝－＋.
因为＝λ＋μ，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝－.
答案：－
PAGE
1
第1讲 平面向量的概念及线性运算
一、知识梳理
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
[注意] (1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．
(2)任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0.
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与 a的方向相反；当λ＝0时，λ a＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ a；λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
常用结论
1．两特殊向量
(1)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模是确定的，但方向不确定．
(2)非零向量a的同向单位向量为.
2．几个重要结论
(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．
(2)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
(3)若G为△ABC的重心，则有
①＋＋＝0；②＝(＋)．
二、习题改编
1．(必修4P86例4改编)已知?ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝ ，＝ ．(用a，b表示)
解析：如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.
答案：b－a －a－b
2．(必修4P118A组T2(3)改编)在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为 ．
解析：如图，因为＋＝，－＝，所以||＝||.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．
答案：矩形
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( )
(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( )
(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( )
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
二、易错纠偏
(1)对向量共线定理认识不准确；
(2)向量的减法忽视两向量的方向关系致误．
1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立．故前者是后者的充分不必要条件．
2．点D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝( )
A．－＋ B．－－
C. － D．＋
答案：A
平面向量的有关概念(师生共研)
给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中真命题的序号是 ．
【解析】 ①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．
②是错误的，|a|＝|b|，但a，b的方向不确定，所以a，b的方向不一定相等或相反．
③是正确的，因为＝，所以||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．
④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．
【答案】 ③
平面向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．
1．给出下列命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
③|a|＋|b|＝|a＋b|?a与b方向相同；
④若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同．
其中叙述错误的命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.对于②：当a＝0时，不成立；对于③：当a，b之一为零向量时，不成立；对于④：当a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同．故选C.
2．下列与共线向量有关的命题：
①相反向量就是方向相反的向量；
②a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；
③两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件．
其中错误命题的序号为 ．
解析：因为相反向量是方向相反，大小相等的两个向量，所以命题①是错误的；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以命题②是错误的；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以命题③是正确的．
答案：①②
平面向量的线性运算(师生共研)
(1)(一题多解)(2020·合肥市第二次质量检测)在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a－b D．a－b
(2)(2020·河南八市联考改编)在等腰梯形ABCD中，＝2，点E是线段的中点，若＝λ＋μ，则λ＝ ，μ＝ ．
【解析】 (1)通解：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以＝＋.因为＝，所以＝，＝，所以＝＋＝a＋b，故选A.
优解一：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A.
优解二：由＝，得－＝(－)，所以＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A.
(2)取AB的中点F，连接CF，则由题意可得CF∥AD，且CF＝AD.
因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，所以λ＝，μ＝.
【答案】 (1)A (2)
向量线性运算的解题策略
(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
1．下列四个结论：
①＋＋＝0；
②＋＋＋＝0；
③－＋－＝0；
④＋＋－＝0.
其中一定正确的结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.①＋＋＝＋＝0，①正确；②＋＋＋＝＋＋＝，②错；③－＋－＝＋＋＝＋＝0，③正确；④＋＋－＝＋＝0，④正确．故①③④正确．
2．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为 ．
解析：因为D为边BC的中点，所以＋＝2，
又＋＋＝0，
所以＝＋＝2，
所以＝－2，
所以λ＝－2.
答案：－2
平面向量共线定理的应用(典例迁移)
设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【解】 (1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，
所以，共线，又它们有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
(2)因为ka＋b与a＋kb共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，
所以k＝±1.
【迁移探究】 (变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？
解：因为ka＋b与a＋kb反向共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)，
所以所以k＝±1.
又λ<0，k＝λ，所以k＝－1.
故当k＝－1时，两向量反向共线．
[提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．
1．已知向量a与b不共线，＝a＋mb，＝na＋b(m，n∈R)，则与共线的条件是( )
A．m＋n＝0 B．m－n＝0
C．mn＋1＝0 D．mn－1＝0
解析：选D.由＝a＋mb，＝na＋b(m，n∈R)共线，得a＋mb＝λ(na＋b)，即所以mn－1＝0.
2.(一题多解)(2020·广东六校第一次联考)如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为( )
A. B.
C. D．
解析：选C.通解：因为＝，所以＝.设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(＋)＝＋λ＝λ＋(1－λ)，又＝t＋，所以t＋＝λ＋(1－λ)，得，解得t＝λ＝，故选C.
优解：因为＝，所以＝，所以＝t＋＝t＋，因为B，P，N三点共线，所以t＋＝1，所以t＝，故选C.
[基础题组练]
1．向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则a－b＝( )
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
解析：选C.结合图形易得，a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2.
2．已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是( )
A．点P在线段AB上 B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上 D．点P在△ABC外部
解析：选C.由＋＋＝，得＋＋＝－，即＝－2，故点P在线段AC上．
3．(2020·唐山二模)已知O是正方形ABCD的中心．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则＝( )
A．－2 B．－
C．－ D．
解析：选A.＝＋＝＋＝－＋＝AB－，所以λ＝1，μ＝－，因此＝－2.
4．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是( )
A. B.
C. D．
解析：选D.设＝y，因为＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y).
因为＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，
所以y∈，
因为＝x＋(1－x)，
所以x＝－y，所以x∈.
5．已知平面内四点A，B，C，D，若＝2，＝＋λ，则λ的值为 ．
解析：依题意知点A，B，D三点共线，于是有＋λ＝1，λ＝.
答案：
6．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是 ．
解析：＝－，当，同向时，||＝8－5＝3；当，反向时，||＝8＋5＝13；当，不共线时，3<||<13.综上可知3≤||≤13.
答案：[3，13]
7．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.
其中正确命题的个数为 ．
解析：＝a，＝b，＝＋＝－a－b，故①错；
＝＋＝a＋b，故②正确；
＝(＋)＝(－a＋b)
＝－a＋b，故③正确；
所以＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.故④正确．
所以正确命题的序号为②③④.
答案：3
8．如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若＝a，＝b，＝2.
(1)用a，b表示；
(2)证明：A，M，C三点共线．
解：(1)＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b，
又E为AD中点，
所以＝＝a＋b，
因为EF是梯形的中位线，且＝2，
所以＝(＋)＝＝a，
又M，N是EF的三等分点，所以＝＝a，
所以＝＋＝a＋b＋a
＝a＋b.
(2)证明：由(1)知＝＝a，
所以＝＋＝a＋b＝，
又与有公共点M，所以A，M，C三点共线．
[综合题组练]
1．已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则＝( )
A.＋ B.－
C.＋ D．＋
解析：选A.如图所示，设BC的中点为E，则＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋·＝＋.故选A.
2.如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：①＋2；②＋；③＋；④＋；⑤－.若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有( )
A．①② B．②④
C．①③ D．③⑤
解析：选B.在ON上取点C，使得OC＝2OB，以OA，OC为邻边作平行四边形OCDA，则＝＋2，其终点不在阴影区域内，排除A，C；取OA上一点E，作AE＝OA，作EF∥OB，交AB于点F，则EF＝OB，由于EF3．(2020·广州综合测试(一))设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积的比值是 ．
解析：因为＝2，所以＝，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相等，所以＝＝.
答案：
4．(2020·江西临川一中、南昌二中5月联考)在△ABC中，＝，＝2，＝λ＋μ，则λ＋μ＝ ．
解析：因为＝，＝2，所以P为△ABC的重心．
易知D为BC的中点，所以＝＋.
所以＝＝＋.
所以＝＋.
所以＝－＝－＋.
因为＝λ＋μ，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝－.
答案：－
PAGE
1
(共33张PPT)
第五章 平面向量
第1讲 平面向量的概念及线性运算
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
数学
最新考纲
考向预测
解向量的实际背景
平而向量的线性运算及其几何意义是高考的重
2理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义
命题点,主要以三角形或四边形为载休,考查向量
3理解向量的几何表示
趋势的冇关概念及简单运算,题型以选择题、填空
4、掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义
题为主,属中低档题
5掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义。核心
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义
素养数学运算
础知识自回顾
理教材·夯实必备知识◆
⑩考点·剖析
明考向·直击考例考法◆
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
[基础题组练]
1．已知e1＝(2，1)，e2＝(1，3)，a＝(－1，2)．若a＝λ1e1＋λ2e2，则实数对(λ1，λ2)为( )
A．(1，1) B．(－1，1)
C．(－1，－1) D．(1，－1)
解析：选B.因为e1＝(2，1)，e2＝(1，3)，所以a＝λ1e1＋λ2e2＝λ1(2，1)＋λ2(1，3)＝(2λ1＋λ2，λ1＋3λ2)．又因为a＝(－1，2)，所以解得故选B.
2．(2020·河南新乡三模)设向量e1，e2是平面内的一组基底，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝( )
A. B．－
C．－3 D．3
解析：选B.法一：因为a与b共线，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1－λe2)．
故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－.
故选B.
法二：因为向量e1，e2是平面内的一组基底，
故由a与b共线可得，＝，解得λ＝－.
故选B.
3．已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，＝(2，4)，＝(1，3)，若点E满足＝3，则点E的坐标为( )
A. B.
C. D．
解析：选A.易知＝－＝(－1，－1)，则C(－1，－1)，设E(x，y)，则3＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由＝3知
所以所以E.
4．(2020·河北豫水中学质检)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝( )
A. B.
C．3 D．2
解析：选A.如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)，
因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0)．
＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，
所以＝.
5．设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝ ．
解析：因为a＝(1，2)，b＝(2，3)，所以λa＋b＝(λ，2λ)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)．
因为向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，
所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.所以λ＝2.
答案：2
6．已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若＝＋λ(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为 ．
解析：设P(x，y)，则由＝＋λ，得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.
答案：－
7．在平行四边形ABCD中，E和F分别是CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝ ．
解析：选择，作为平面向量的一组基底，
则＝＋，＝＋，＝＋，
又＝λ＋μ＝＋，于是得
解得所以λ＋μ＝.
答案：
8．已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，＝t1＋t2.
(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线．
解：(1)＝t1＋t2＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)．
点M在第二或第三象限?
解得t2＜0且t1＋2t2≠0.
故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0.
(2)证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2，4t2＋2)．
因为＝－＝(4，4)，
＝－＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2，
所以A，B，M三点共线．
[综合题组练]
1．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为( )
A．(2，0) B．(0，－2)
C．(－2，0) D．(0，2)
解析：选D.因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，
即a＝－2p＋2q＝(2，4)，
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
所以即
所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)．
2.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选B.因为点C在以O为圆心的圆弧上，所以||2＝|x＋y|2＝x2＋y2＋2xy·＝x2＋y2，
所以x2＋y2＝1，则2xy≤x2＋y2＝1.
又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，
故x＋y的最大值为.
3．设＝(－2，4)，＝(－a，2)，＝(b，0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为 ．
解析：由已知得＝(－a＋2，－2)，＝(b＋2，－4)，
因为A，B，C三点共线，
所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)，
即整理得2a＋b＝2，
所以＋＝(2a＋b)＝≥＝＋(当且仅当a＝2－，b＝2－2时等号成立)．
答案：＋
4．(2020·黑龙江大庆二模)已知W为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝120°，设＝λ1＋λ2，则2λ1＋λ2＝ ．
解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示．
根据已知条件可知A(0，0)，B(4，0)，C(－1，)．
根据外心的性质可知点W在直线x＝2上(如图所示)．
易知线段AC中点的坐标为，直线AC的斜率为－，故线段AC的中垂线l的斜率为(如图所示)，方程为y－＝.
令x＝2，解得y＝，故W.
由＝λ1＋λ2得＝λ1(4，0)＋λ2(－1，)，
即解得
所以2λ1＋λ2＝＋＝3.
答案：3
PAGE
1
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
一、知识梳理
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
(2)基底：不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x＋y)．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b?x1y2－x2y1＝0．
[提醒] 当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价．
即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
常用结论
1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a＝b，则x1＝x2且y1＝y2.
2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点的坐标为.
3．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．
二、习题改编
1．(必修4P99例8改编)若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为( )
A．(2，2) B．(3，－1)
C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1)
解析：选D.由题意得＝或＝，＝(3，－3)．设P(x，y)，则＝(x－1，y－3)，当＝时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以x＝2，y＝2，即P(2，2)；当＝时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以x＝3，y＝1，即P(3，1)．故选D.
2．(必修4P119A组T8改编)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝( )
A．－ B.
C．－2 D．2
解析：选A.由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得－(2m－n)＝4(3m＋2n)，所以＝－.故选A.
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )
(2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC.( )
(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.( )
(5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
二、易错纠偏
(1)利用平面向量基本定理的前提是基底不能共线；
(2)由点的坐标求向量坐标忽视起点与终点致误．
1．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，则给出下列向量组：①与；②与；③与；④与.
其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析：选B.平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图：
对于①，与不共线，可作为基底；
对于②，与为共线向量，不可作为基底；
对于③，与是两个不共线的向量，可作为基底；
对于④，与在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．
2．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A．(－7，－4) B．(7，4)
C．(－1，4) D．(1，4)
解析：选A.法一：设C(x，y)，
则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
所以
从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.
法二：＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，
＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．
故选A.
平面向量基本定理及其应用(师生共研)
(1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且＝2，＝3，若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B.a－b
C．－a－b D．－a＋b
(2)(2020·郑州市第一次质量预测)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝ ．
【解析】 (1)＝＋
＝＋
＝(－)－
＝－－＝－a－b.
(2)由题图可设＝x(x＞0)，则＝x(＋)＝x＝＋x.因为＝λ＋μ，与不共线，所以λ＝，μ＝x，所以＝.
【答案】 (1)C (2)
运算遵法则 基底定分解
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该组基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每组基底下的分解都是唯一的．
1．在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝AB，BQ＝BC，若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B．－a＋b
C.a－b D．－a－b
解析：选A.由题意知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A.
2．已知点A，B为单位圆O上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一点，且与不共线．
(1)在△OAB中，点P在AB上，且＝2，若＝r＋s，求r＋s的值；
(2)已知点P满足＝m＋(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值．
解：(1)因为＝2，所以＝，
所以＝(－)＝－，
又因为＝r＋s，
所以r＝，s＝－，
所以r＋s＝0.
(2)因为四边形OABP为平行四边形，
所以＝＋，
又因为＝m＋，
所以＝＋(m＋1)，
依题意，是非零向量且不共线，
所以m＋1＝0，
解得m＝－1.
平面向量的坐标运算(师生共研)
已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
【解】 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以解得
(3)设O为坐标原点，因为＝－＝3c，
所以＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．
所以M(0，20)．又因为＝－＝－2b，
所以＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
所以N(9，2)．所以＝(9，－18)．
向量坐标运算问题的一般思路
(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．
(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．
1．已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，||＝2||，则向量的坐标是 ．
解析：由点C是线段AB上一点，||＝2||，得＝－2.设点B为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，即解得所以向量的坐标是(4，7)．
答案：(4，7)
2．如图所示，以e1，e2为基底，则a＝ ．
解析：以e1的起点为原点建立平面直角坐标系，
则e1＝(1，0)，e2＝(－1，1)，a＝(－3，1)，令a＝xe1＋ye2，即(－3，1)＝x(1，0)＋y(－1，1)，则
所以即a＝－2e1＋e2.
答案：－2e1＋e2
平面向量共线的坐标表示(多维探究)
角度一 利用向量共线求向量或点的坐标
已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为 ．
【解析】 因为在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，所以＝2.设点D的坐标为(x，y)，则＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，所以解得故点D的坐标为(2，4)．
【答案】 (2，4)
角度二 利用两向量共线求参数
已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是( )
A．－ B.
C. D．
【解析】 ＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(－2k，－2)．
因为A，B，C三点共线，所以，共线，
所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
【答案】 A
(1)向量共线的两种表示形式
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b?a＝λb(b≠0)；②a∥b?x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.
(2)两向量共线的充要条件的作用
判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．
1．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则m＝ ．
解析：因为a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，
所以a＋b＝(1，m－1)．
因为(a＋b)∥c，c＝(－1，2)，
所以2－(－1)·(m－1)＝0.
所以m＝－1.
答案：－1
2．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)法一：因为A，B，C三点共线，
所以＝λ，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
所以，解得m＝.
法二：＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．
因为A、B、C三点共线，
所以∥.所以8m－3(2m＋1)＝0，
即2m－3＝0，所以m＝.
思想方法系列8 坐标法解决平面向量的线性运算
(2020·湖北十堰调研)在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P在△ABC斜边BC的中线AD上，则·(＋)的最大值为( )
A. B.
C. D．
【解析】 以A为坐标原点，
，的方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，则B(3，0)，C(0，4)，BC中点D，则直线AD的方程为y＝x.设P，所以＝，＝，＝，·(＋)＝－x2＋x＝－＋，所以当x＝时，·(＋)的最大值为.故选B.
【答案】 B
系要建得巧，题就解得妙
坐标是向量代数化的媒介，而坐标的获得又要借助于直角坐标系，对于某些平面向量问题，若能建立适当的直角坐标系，往往能很快实现问题的转化．常见的建系方法如下：
(1)利用图形中现成的垂直关系
若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线(如矩形、直角梯形等)，可以利用这两条直线建立坐标系；
(2)利用图形中的对称关系
图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系(如：等腰三角形、等腰梯形等)，可利用自身对称性建系．建立平面直角坐标系的基本原则是尽可能地使顶点在坐标轴上，或在同一象限．
如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝ ．
解析：法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
设正方形的边长为1，则＝，＝，＝(1，1)．因为＝λ＋μ＝，所以解得所以λ＋μ＝.
法二：由＝＋，＝－＋，得＝λ＋μ＝＋，又＝＋，所以解得所以λ＋μ＝.
答案：
[基础题组练]
1．已知e1＝(2，1)，e2＝(1，3)，a＝(－1，2)．若a＝λ1e1＋λ2e2，则实数对(λ1，λ2)为( )
A．(1，1) B．(－1，1)
C．(－1，－1) D．(1，－1)
解析：选B.因为e1＝(2，1)，e2＝(1，3)，所以a＝λ1e1＋λ2e2＝λ1(2，1)＋λ2(1，3)＝(2λ1＋λ2，λ1＋3λ2)．又因为a＝(－1，2)，所以解得故选B.
2．(2020·河南新乡三模)设向量e1，e2是平面内的一组基底，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ＝( )
A. B．－
C．－3 D．3
解析：选B.法一：因为a与b共线，所以存在μ∈R，使得a＝μb，即－3e1－e2＝μ(e1－λe2)．
故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－.
故选B.
法二：因为向量e1，e2是平面内的一组基底，
故由a与b共线可得，＝，解得λ＝－.
故选B.
3．已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，＝(2，4)，＝(1，3)，若点E满足＝3，则点E的坐标为( )
A. B.
C. D．
解析：选A.易知＝－＝(－1，－1)，则C(－1，－1)，设E(x，y)，则3＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由＝3知
所以所以E.
4．(2020·河北豫水中学质检)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝( )
A. B.
C．3 D．2
解析：选A.如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)，
因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0)．
＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，
所以＝.
5．设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝ ．
解析：因为a＝(1，2)，b＝(2，3)，所以λa＋b＝(λ，2λ)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)．
因为向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，
所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.所以λ＝2.
答案：2
6．已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若＝＋λ(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为 ．
解析：设P(x，y)，则由＝＋λ，得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.
答案：－
7．在平行四边形ABCD中，E和F分别是CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝ ．
解析：选择，作为平面向量的一组基底，
则＝＋，＝＋，＝＋，
又＝λ＋μ＝＋，于是得
解得所以λ＋μ＝.
答案：
8．已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，＝t1＋t2.
(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线．
解：(1)＝t1＋t2＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2)．
点M在第二或第三象限?
解得t2＜0且t1＋2t2≠0.
故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0.
(2)证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2，4t2＋2)．
因为＝－＝(4，4)，
＝－＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2，
所以A，B，M三点共线．
[综合题组练]
1．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为( )
A．(2，0) B．(0，－2)
C．(－2，0) D．(0，2)
解析：选D.因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，
即a＝－2p＋2q＝(2，4)，
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
所以即
所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)．
2.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选B.因为点C在以O为圆心的圆弧上，所以||2＝|x＋y|2＝x2＋y2＋2xy·＝x2＋y2，
所以x2＋y2＝1，则2xy≤x2＋y2＝1.
又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，
故x＋y的最大值为.
3．设＝(－2，4)，＝(－a，2)，＝(b，0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为 ．
解析：由已知得＝(－a＋2，－2)，＝(b＋2，－4)，
因为A，B，C三点共线，
所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)，
即整理得2a＋b＝2，
所以＋＝(2a＋b)＝≥＝＋(当且仅当a＝2－，b＝2－2时等号成立)．
答案：＋
4．(2020·黑龙江大庆二模)已知W为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝120°，设＝λ1＋λ2，则2λ1＋λ2＝ ．
解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示．
根据已知条件可知A(0，0)，B(4，0)，C(－1，)．
根据外心的性质可知点W在直线x＝2上(如图所示)．
易知线段AC中点的坐标为，直线AC的斜率为－，故线段AC的中垂线l的斜率为(如图所示)，方程为y－＝.
令x＝2，解得y＝，故W.
由＝λ1＋λ2得＝λ1(4，0)＋λ2(－1，)，
即解得
所以2λ1＋λ2＝＋＝3.
答案：3
PAGE
1
(共41张PPT)
第五章 平面向量
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
数学
最新考纲
考向预测
对平面向量基定理及坐标表示的考查主要是加、减、数乘及
1.了解平面向量的基本定理及其意义
命题
2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示
趋势向量共线定理的坐标表示及应川命题形式多种多样,题型以
选择题、填空题为主,常以创新型的题日出现,属中低档题.
3.会用巫标表示平而向量的加法、减法与数乘运算
4理解用坐标表示的平面向量共线的条件
素养效学运算
础知识自回顾
理教材·夯实必备知识◆
⑩考点·剖析
明考向·直击考例考法◆
0因素养·劬学培优
提素养·拓展解题思路◆
第3讲 平面向量的数量积及应用举例[基础题组练]
1．设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于( )
A．－ B．－
C. D．
解析：选A.c＝a＋kb＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k，2＋k)，因为b⊥c，所以b·c＝0，b·c＝(1，1)·(1＋k，2＋k)＝1＋k＋2＋k＝3＋2k＝0，所以k＝－.
2．(2020·湖南省五市十校联考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝( )
A. B.
C．2 D．
解析：选A.由题意知，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2a·b＝0，所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝＝＝.故选A.
3．(2020·广州市综合检测(一))a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A．－ B．－
C. D．
解析：选B.设b＝(x，y)，则有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，所以，解得，故b＝(1，－2)，|b|＝，|a|＝2，cos〈a，b〉＝＝＝－，故选B.
4．(2020·四川资阳第一次模拟)已知向量a，b满足a·b＝0，|a＋b|＝m|a|，若a＋b与a－b的夹角为，则m的值为( )
A．2 B.
C．1 D．
解析：选A.因为a·b＝0，所以|a＋b|＝|a－b|，因为|a＋b|＝m|a|，所以(a＋b)2＝m2a2，所以a2＋b2＝m2a2，所以b2＝(m2－1)a2.
又a＋b与a－b的夹角为，所以＝cos，
所以＝＝＝－.
解得m＝2或m＝－2(舍去)．故选A.
5．(2020·郑州市第二次质量预测)在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为( )
A．－ B．0
C．4 D．－1
解析：选A.依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)，所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－，当t＝时，·取得最小值－，故选A.
6．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝ ．
解析：设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(2，－)，
所以cos〈a，c〉＝＝.
答案：
7．已知点M，N满足||＝||＝3，且|＋|＝2，则M，N两点间的距离为 ．
解析：依题意，得|＋|2＝||2＋||2＋2·＝18＋2·＝20，则·＝1，故M，N两点间的距离为||＝|－|
＝
＝＝4.
答案：4
8．(2020·山东师大附中二模改编)已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是 ，a·(a＋b)＝ ．
解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝3－2·cos θ＝0，解得cos θ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.则a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cos θ＝3＋2×＝6.
答案： 6
9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．
(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．
解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)．
由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0，
解得x＝7，即b＝(1，7)，
所以|b|＝＝5.
(2)由题意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，
故x＝－3，
所以b＝(1，－3)，
所以cos〈a，b〉＝＝＝，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以a与b夹角是.
10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．
解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，
所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6，
所以cos θ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，所以θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2
＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝.
(3)因为与的夹角θ＝，
所以∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
所以S△ABC＝×4×3×＝3.
[综合题组练]
1．(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知O是△ABC内部一点，且满足＋＋＝0，又·＝2，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为( )
A. B．3
C．1 D．2
解析：选C.由·＝2，∠BAC＝60°，可得·＝||·||cos ∠BAC＝·||||＝2，所以||||＝4，所以S△ABC＝||||sin∠BAC＝3，又＋＋＝0，所以O为△ABC的重心，所以S△OBC＝S△ABC＝1，故选C.
2．(2020·河北衡水中学期末)在四边形ABCD中，已知M是AB边上的点，且MA＝MB＝MC＝MD＝1，∠CMD＝120°，若点N在线段CD(端点C，D除外)上运动，则·的取值范围是( )
A．[－1，0) B.
C．[－1，1) D．
解析：选B.连接MN.由题意得·＝(－)·(－)＝2－2＝||2－1.在△MCN中，MC＝1，∠MCN＝30°，所以MN2＝12＋NC2－2×NC×1×＝NC2－NC＋1，所以MN2－1＝NC2－NC＝－.由MC＝MD＝1，∠CMD＝120°，可得CD＝，又点N在线段CD(端点C，D除外)上运动，所以0＜NC＜.
所以－≤MN2－1＜0，即·的取值范围是.故选B.
3．(创新型)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cos B，2cos2 －1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积．
解：(1)因为m＝(cos B，cos C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，
所以ccos B＋(b－2a)cos C＝0，在△ABC中，由正弦定理得sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝0，
sin A＝2sin Acos C，又sin A≠0，
所以cos C＝，而C∈(0，π)，所以∠C＝.
(2)由＝知，－＝－，
所以2＝＋，
两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos ∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①
又c2＝a2＋b2－2abcos ∠ACB，
所以a2＋b2－ab＝12.②
由①②得ab＝8，
所以S△ABC＝absin ∠ACB＝2.
4.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．
(1)若θ＝π，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值．
解：(1)设D(t，0)(0≤t≤1)，
由题意知C，
所以＋＝，
所以|＋|2＝－t＋t2＋
＝t2－t＋1＝＋，
所以当t＝时，|＋|有最小值，为.
(2)由题意得C(cos θ，sin θ)，m＝＝(cos θ＋1，sin θ)，
则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin，
因为θ∈，所以≤2θ＋≤，
所以当2θ＋＝，即θ＝时，sin取得最大值1.
所以当θ＝时，m·n取得最小值，为1－.
PAGE
1
第3讲 平面向量的数量积及应用举例
一、知识梳理
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
(2)范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°．
[注意] 当a与b同向时，θ＝0°；a与b反向时，θ＝180°；a与b垂直时，θ＝90°.
2．平面向量的数量积
定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
[注意] 投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，a·b＝x1x2＋y1y2.
结论 几何表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝eq \r(x＋y)
夹角 cos θ＝ cos θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)\r(x＋y))
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
常用结论
(1)两向量a与b为锐角?a·b＞0且a与b不共线．
(2)两向量a与b为钝角?a·b＜0且a与b不共线．
(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(5)a与b同向时，a·b＝|a||b|.
(6)a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
二、习题改编
(必修4P108A组T6改编)已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为( )
A．12 B．6
C．3 D．3
解析：选B.a·b＝|a|·|b|cos 135°＝－12，所以|b|＝＝6.
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( )
(4)(a·b)c＝a(b·c)．( )
(5)两个向量的夹角的范围是.( )
(6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×
二、易错纠偏
(1)没有找准向量的夹角致误；
(2)不理解向量的数量积的几何意义致误；
(3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．
1．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·的值为 ．
解析：在△ABC中，由余弦定理得cos A＝＝＝.所以·＝||||cos(π－A)＝－||||·cos A＝－3×2×＝－.
答案：－
2．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为 ．
解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.
答案：－2
3．已知向量a与b的夹角为，|a|＝|b|＝1，且a⊥(a－λb)，则实数λ＝ ．
解析：由题意，得a·b＝|a||b|cos ＝，因为a⊥(a－λb)，所以a·(a－λb)＝|a|2－λa·b＝1－＝0，所以λ＝2.
答案：2
平面向量数量积的运算(师生共研)
(一题多解)(2019·高考天津卷)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝ ．
【解析】 法一：在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，则·＝(－)·(＋)＝·＋·－－·＝5×2×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－2×2×cos 150°＝15－10－12＋6＝－1.
法二：在△ABD中，由余弦定理可得
BD＝＝，
所以cos∠ABD＝＝－，则sin∠ABD＝.设与的夹角为θ，则cos θ＝cos(180°－∠ABD＋30°)＝－cos(∠ABD－30°)＝－cos∠ABD·cos 30°－sin∠ABD·sin 30°＝－，在△ABE中，易得AE＝BE＝2，故·＝×2×＝－1.
【答案】 －1
求向量a，b的数量积a·b的两种方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
当已知向量是非坐标形式时，若图形适合建立平面直角坐标系时，可建立坐标系，运用坐标法求解．
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：选C.因为＝－＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，因为||＝1，所以＝1，所以t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C.
2．(一题多解)(2020·湖南省五市十校联考)在直角三角形ABC中，∠C＝，AB＝4，AC＝2，若＝，则·＝( )
A．－18 B．－6
C．18 D．6
解析：选C.通解：由∠C＝，AB＝4，AC＝2，得CB＝2，·＝0.·＝(＋)·＝·＋·＝(－)·＝2＝18，故选C.
优解一：如图，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(2，0)，B(0，2)．由题意得∠CBA＝，又＝，所以D＝(－1，3)，则·＝(－1，3)·(0，2)＝18，故选C.
优解二：因为∠C＝，AB＝4，AC＝2，所以CB＝2，所以在上的投影为2，又＝，所以在上的投影为×2＝3，则在上的投影为3，所以·＝||·||cos〈，〉＝2×3＝18，故选C.
平面向量数量积的应用(多维探究)
角度一 求两平面向量的夹角
(1)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D．
(2)已知向量＝(x，1)(x＞0)，＝(1，2)，||＝，则，的夹角为( )
A. B.
C. D．
【解析】 (1)法一：由题意得，(a－b)·b＝0?a·b＝|b|2，所以|a||b|·cos＝|b|2，因为|a|＝2|b|，所以2|b|2cos＝|b|2?cos＝，所以＝，故选B.
法二：如图，设＝a，＝b，则＝a－b，所以B＝，||＝2||，所以∠AOB＝，即＝.
(2)因为＝－＝(1－x，1)，
所以||2＝(1－x)2＋1＝5，即x2－2x－3＝0，解得x＝3或x＝－1(舍)．设，的夹角为θ，则cos θ＝＝，所以θ＝.
【答案】 (1)B (2)C
求向量夹角问题的方法
(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系．
(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)·\r(x＋y)).
角度二 求平面向量的模
(1)(一题多解)(2020·唐山市摸底考试)已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝，则|e1－e2|＝ ．
(2)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a|＝ ，则当t∈[－，2]时，|a－tb|的取值范围是 ．
【解析】 (1)法一：|e1＋e2|＝，两边平方，得e＋2e1·e2＋e＝3，又e1，e2是单位向量，所以2e1·e2＝1，所以|e1－e2|2＝e－2e1·e2＋e＝1，所以|e1－e2|＝1.
法二：如图，设＝e1，＝e2，又e1，e2是单位向量，所以||＝||＝1，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，连接AC，BD，所以＝e1＋e2，＝e1－e2，因为|e1＋e2|＝，即||＝，所以∠ABC＝120°，则∠DAB＝60°，所以||＝1，即|e1－e2|＝1.
(2)向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，所以x－2＝0，解得x＝2，所以|a|＝＝.
|a－tb|2＝a2＋t2b2－2ta·b＝5t2＋5，所以当t＝0时，取得最小值为5；当t＝2时，最大值为25.即|a－tb|的取值范围是[，5]．
【答案】 (1)1 (2) [，5]
求向量模长的方法
利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；
(2)|a±b|＝＝；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.
角度三 两平面向量垂直问题
已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为 ．
【解析】 因为⊥，所以·＝0.
又＝λ＋，＝－，
所以(λ＋)·(－)＝0，
即(λ－1)·－λ2＋2＝0，
所以(λ－1)||||cos 120°－9λ＋4＝0.
所以(λ－1)×3×2×－9λ＋4＝0.解得λ＝.
【答案】
两向量垂直的应用
两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.
[注意] 若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(，)，则|a＋2b|＝( )
A．2 B．2
C. D．
解析：选C.因为a－b＝(，)，所以|a－b|＝，所以|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝5－2a·b＝5，则a·b＝0，所以|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17，所以|a＋2b|＝.故选C.
2．已知在四边形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD是( )
A．矩形 B．正方形
C．菱形 D．梯形
解析：选C.因为＋＝0，所以＝－＝，所以四边形ABCD是平行四边形．又(－)·＝·＝0，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．
向量数量积的综合应用(师生共研)
(2020·广州海珠区摸底)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．
【解】 (1)由m·n＝－，
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，
所以cos A＝－.因为0所以sin A＝＝＝.
(2)由正弦定理＝，得sin B＝＝＝，因为a>b，所以A>B，则B＝，由余弦定理得＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1.
故向量在方向上的投影为
||cos B＝ccos B＝1×＝.
平面向量与三角函数的综合问题
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
(2020·石家庄模拟)已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，且m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·(－)＝18，求边c的长．
解：(1)由已知得m·n＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)，
因为A＋B＋C＝π，
所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
所以m·n＝sin C，又m·n＝sin 2C，
所以sin 2C＝sin C，所以cos C＝.
又0＜C＜π，所以C＝.
(2)由已知及正弦定理得2c＝a＋b.
因为·(－)＝·＝18，
所以abcos C＝18，所以ab＝36.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，
所以c2＝4c2－3×36，
所以c2＝36，所以c＝6.
思想方法系列9 函数思想与数形结合思想在数量积中的应用
已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )
A．－2 B．－
C．－ D．－1
【解析】 法一：结合题意画出图形，如图(1)所示，设BC的中点为D，AD的中点为E，连接AD，PE，PD，则有＋＝2，
则·(＋)＝2·＝2(＋)·(－)＝2(2－2)．而2＝＝，
当点P与点E重合时，2有最小值0，故此时·(＋)取得最小值，最小值为－22＝－2×＝－.
法二：如图(2)，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.
【答案】 B
平面向量中有关最值(或取值范围)
问题的两种求解思路
一是“形化”，即利用平面向量的几何意义先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；
二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决．
(2020·河南郑州模拟)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为( )
A．－2 B．3－
C．－1 D．0
解析：选B.由|a|＝|b|＝1，a·b＝，可得〈a，b〉＝，令＝a，＝b，以的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝＝(1，0)，b＝＝，设c＝＝(cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，则(a＋b)·(2b－c)＝2a·b－a·c＋2b2－b·c＝3－(cos θ＋cos θ＋sin θ)＝3－sin，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为3－，故选B.
[基础题组练]
1．设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于( )
A．－ B．－
C. D．
解析：选A.c＝a＋kb＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k，2＋k)，因为b⊥c，所以b·c＝0，b·c＝(1，1)·(1＋k，2＋k)＝1＋k＋2＋k＝3＋2k＝0，所以k＝－.
2．(2020·湖南省五市十校联考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝( )
A. B.
C．2 D．
解析：选A.由题意知，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2a·b＝0，所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝＝＝.故选A.
3．(2020·广州市综合检测(一))a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A．－ B．－
C. D．
解析：选B.设b＝(x，y)，则有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，所以，解得，故b＝(1，－2)，|b|＝，|a|＝2，cos〈a，b〉＝＝＝－，故选B.
4．(2020·四川资阳第一次模拟)已知向量a，b满足a·b＝0，|a＋b|＝m|a|，若a＋b与a－b的夹角为，则m的值为( )
A．2 B.
C．1 D．
解析：选A.因为a·b＝0，所以|a＋b|＝|a－b|，因为|a＋b|＝m|a|，所以(a＋b)2＝m2a2，所以a2＋b2＝m2a2，所以b2＝(m2－1)a2.
又a＋b与a－b的夹角为，所以＝cos，
所以＝＝＝－.
解得m＝2或m＝－2(舍去)．故选A.
5．(2020·郑州市第二次质量预测)在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为( )
A．－ B．0
C．4 D．－1
解析：选A.依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)，所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－，当t＝时，·取得最小值－，故选A.
6．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝ ．
解析：设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(2，－)，
所以cos〈a，c〉＝＝.
答案：
7．已知点M，N满足||＝||＝3，且|＋|＝2，则M，N两点间的距离为 ．
解析：依题意，得|＋|2＝||2＋||2＋2·＝18＋2·＝20，则·＝1，故M，N两点间的距离为||＝|－|
＝
＝＝4.
答案：4
8．(2020·山东师大附中二模改编)已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是 ，a·(a＋b)＝ ．
解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝3－2·cos θ＝0，解得cos θ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.则a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cos θ＝3＋2×＝6.
答案： 6
9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．
(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．
解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)．
由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0，
解得x＝7，即b＝(1，7)，
所以|b|＝＝5.
(2)由题意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，
故x＝－3，
所以b＝(1，－3)，
所以cos〈a，b〉＝＝＝，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以a与b夹角是.
10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．
解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，
所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6，
所以cos θ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，所以θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2
＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝.
(3)因为与的夹角θ＝，
所以∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
所以S△ABC＝×4×3×＝3.
[综合题组练]
1．(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知O是△ABC内部一点，且满足＋＋＝0，又·＝2，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为( )
A. B．3
C．1 D．2
解析：选C.由·＝2，∠BAC＝60°，可得·＝||·||cos ∠BAC＝·||||＝2，所以||||＝4，所以S△ABC＝||||sin∠BAC＝3，又＋＋＝0，所以O为△ABC的重心，所以S△OBC＝S△ABC＝1，故选C.
2．(2020·河北衡水中学期末)在四边形ABCD中，已知M是AB边上的点，且MA＝MB＝MC＝MD＝1，∠CMD＝120°，若点N在线段CD(端点C，D除外)上运动，则·的取值范围是( )
A．[－1，0) B.
C．[－1，1) D．
解析：选B.连接MN.由题意得·＝(－)·(－)＝2－2＝||2－1.在△MCN中，MC＝1，∠MCN＝30°，所以MN2＝12＋NC2－2×NC×1×＝NC2－NC＋1，所以MN2－1＝NC2－NC＝－.由MC＝MD＝1，∠CMD＝120°，可得CD＝，又点N在线段CD(端点C，D除外)上运动，所以0＜NC＜.
所以－≤MN2－1＜0，即·的取值范围是.故选B.
3．(创新型)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cos B，2cos2 －1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积．
解：(1)因为m＝(cos B，cos C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，
所以ccos B＋(b－2a)cos C＝0，在△ABC中，由正弦定理得sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝0，
sin A＝2sin Acos C，又sin A≠0，
所以cos C＝，而C∈(0，π)，所以∠C＝.
(2)由＝知，－＝－，
所以2＝＋，
两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos ∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①
又c2＝a2＋b2－2abcos ∠ACB，
所以a2＋b2－ab＝12.②
由①②得ab＝8，
所以S△ABC＝absin ∠ACB＝2.
4.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．
(1)若θ＝π，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值．
解：(1)设D(t，0)(0≤t≤1)，
由题意知C，
所以＋＝，
所以|＋|2＝－t＋t2＋
＝t2－t＋1＝＋，
所以当t＝时，|＋|有最小值，为.
(2)由题意得C(cos θ，sin θ)，m＝＝(cos θ＋1，sin θ)，
则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin，
因为θ∈，所以≤2θ＋≤，
所以当2θ＋＝，即θ＝时，sin取得最大值1.
所以当θ＝时，m·n取得最小值，为1－.
PAGE
1
(共46张PPT)
第五章 平面向量
第3讲 平面向量的数量积及应用举例
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
数学
最新考纲
考向预测
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义
平面向量的数量积是高考的热点,主要考
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系
查平面向量数量积的运算、几何意义、两
命题
3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算
趋势向量的模与夹角以及垂直问题命题形式
4能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的
多种多样,以选择题、填空题为主,属中
垂直关系
低档题
5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题
6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题
核心数学建模、数学运算
素养
础知识自回顾
理教材·夯实必备知识◆
⑩考点·剖析
明考向·直击考例考法◆
0因素养·劬学培优
提素养·拓展解题思路◆
