第1讲 集合的概念与运算
[基础题组练]
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>1}，则?UA＝( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．(－1，1) D．[－1，1]
解析：选D.因为全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>1}，所以?UA＝{x|－1≤x≤1}，故选D.
2．(2020·辽宁辽阳期末)设集合A＝{x∈Z|x>4}，B＝{x|x2<100}，则A∩B的元素个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C.因为B＝{x|－10
3．已知集合A＝{0}，B＝{－1，0，1}，若A?C?B，则符合条件的集合C的个数为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选C.由题意得，含有元素0且是集合B的子集的集合有{0}，{0，－1}，{0，1}，{0，－1，1}，即符合条件的集合C共有4个．故选C.
4.已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是( )
A．(－2，1)
B．[－1，0]∪[1，2)
C．(－2，－1)∪[0，1]
D．[0，1]
解析：选C.因为集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝(－2，1]，A∩B＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为?A∪B(A∩B)＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.
5．(2020·江苏南京联合调研改编)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，B＝{3，5}，则A∩B＝______，?UA＝______．
解析：因为全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，B＝{3，5}，所以A∩B＝{3}，则?UA＝{2，5}．
答案：{3} {2，5}
6．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合?U(A∪B)＝________．
解析：由于A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，结合数轴，?U(A∪B)＝{x|0答案：{x|07．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{x|x≤a，a∈R}，A∪B＝(－∞，5]，则a的值是________．
解析：因为集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{x|x≤a，a∈R}，A∪B＝(－∞，5]，所以a＝5.
答案：5
8．已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|m≤x＜1＋3m}．
(1)当m＝1时，求A∪B；
(2)当B??RA时，求实数m的取值范围．
解：(1)因为m＝1时，B＝{x|1≤x＜4}，
所以A∪B＝{x|－1(2)?RA＝{x|x≤－1或x>3}．
当B＝?时，即m≥1＋3m，解得m≤－；
当B≠?时，要使B??RA成立，
则或解得m>3.
综上可知，实数m的取值范围是∪(3，＋∞)．
[综合题组练]
1．已知集合M＝{y|y＝x－|x|，x∈R}，N＝，则下列选项正确的是( )
A．M＝N B．N?M
C．M＝?RN D．?RN?M
解析：选C.由题意得M＝{y|y≤0}，N＝{y|y>0}，所以?RN＝{y|y≤0}，M＝?RN.故C正确，A，B，D错误．
2．(创新型)如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A?B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|2x－x2≥0}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A?B＝( )
A．{x|0C．{x|x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}
解析：选D.因为A＝{x|2x－x2≥0}＝[0，2]，B＝{y|y＝3x，x>0}＝(1，＋∞)，所以A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝(1，2]，由题图知A?B＝[0，1]∪(2，＋∞)，故选D.
3．(2020·济南外国语学校月考)集合M＝{x|2x2－x－1<0}，N＝{x|2x＋a>0}，U＝R.若M∩(?UN)＝?，则a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
解析：选B.由集合M＝{x|2x2－x－1<0}，N＝{x|2x＋a>0}，可得M＝，?UN＝.要使M∩(?UN)＝?，则－≤－，解得a≥1，故选B.
4．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A?B，则实数a－b的取值范围是________．
解析：集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2，4]，
因为A?B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，
即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．
答案：(－∞，－2]
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第1讲 集合的概念与运算
一、知识梳理
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
[注意] N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.
2．集合间的基本关系
表示关系 自然语言 符号语言 Venn图
子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A?B(或B?A)
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 A?B(或B?A)
集合相等 集合A，B中元素相同 A＝B
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形语言
符号语言 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} A∩B＝{x|x∈A且x∈B} ?UA＝{x|x∈U且x?A}
常用结论
(1)A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B.
(2)A∩A＝A，A∩?＝?.
(3)A∪A＝A，A∪?＝A.
(4)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A.
二、习题改编
1．(必修1P12A组T5改编)若集合P＝{x∈N|x≤}，a＝2，则( )
A．a∈P B．{a}∈P
C．{a}?P D．a?P
解析：选D.因为a＝2不是自然数，而集合P是不大于的自然数构成的集合，所以a?P.故选D.
2．(必修1P12B组T1改编)已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，则集合M∪N的子集的个数为________．
解析：由已知得M∪N＝{0，1，2，3，4，5}，所以M∪N的子集有26＝64(个)．
答案：64
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．( )
(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a?A.( )
(3)若A?B，则A?B且A≠B.( )
(4)N*?N?Z.( )
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
二、易错纠偏
(1)忽视集合的互异性致错；
(2)集合运算中端点取值致错；
(3)忘记空集的情况导致出错．
1．已知集合U＝{－1，0，1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，则?UA＝________．
解析：因为A＝{x|x＝m2，m∈U}＝{0，1}，所以?UA＝{－1}．
答案：{－1}
2．已知集合A＝{x|(x－1)(x－3)<0}，B＝{x|2解析：由已知得A＝{x|12}．
答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞)
3．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．
解析：易得M＝{a}．因为M∩N＝N，所以N?M，所以N＝?或N＝M，所以a＝0或a＝±1.
答案：0或1或－1
集合的基本概念(师生共研)
(1)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A且y∈A且x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A．3 B．6
C．8 D．10
(2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
【解析】 (1)由x∈A，y∈A，x－y∈A，得x－y＝1或x－y＝2或x－y＝3或x－y＝4，所以集合B＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)}，所以集合B中有10个元素．
(2)因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.
当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，
此时集合A中有重复元素3，
所以m＝1不符合题意，舍去；
当2m2＋m＝3时，解得m＝－或m＝1(舍去)，
当m＝－时，m＋2＝≠3，符合题意．所以m＝－.
【答案】 (1)D (2)－
与集合中元素有关问题的求解策略
1．已知集合A＝{x|x∈Z，且∈Z}，则集合A中的元素个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C.因为∈Z，
所以2－x的取值有－3，－1，1，3，
又因为x∈Z，所以x的值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4.
2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选C.因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.
3．设集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|－x∈A，1－x?A}，则集合B中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A.若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；
当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；
当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；
当－3∈B时，1－(－3)＝4?A，
所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.
集合间的基本关系(师生共研)
(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－m【解析】 (1)由题意可得，A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，又因为A?C?B，所以C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}．
(2)当m≤0时，B＝?，显然B?A.
当m>0时，因为A＝{x|－1当B?A时，在数轴上标出两集合，如图，
所以所以0综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．
【答案】 (1)D (2)(－∞，1]
[提醒] 题目中若有条件B?A，则应分B＝?和B≠?两种情况进行讨论．
1．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－A．A∩B＝? B．A∪B＝R
C．B?A D．A?B
解析：选B.因为A＝{x|x>2或x<0}，因此A∪B＝{x|x>2或x<0}∪{x|－2．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为( )
A．7 B．8
C．15 D．16
解析：选A.法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1，2，3}，其真子集有：?，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．
法二：因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)．
3．设集合A＝{x|1A．{a|a≤2} B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}
解析：选D.由A∩B＝A，可得A?B，又A＝{x|1
集合的基本运算(多维探究)
角度一 集合的运算
(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩?UA＝( )
A．{1，6} B．{1，7}
C．{6，7} D．{1，6，7}
(2)(2020·郑州市第一次质量预测)设全集U＝R，集合A＝{x|－3A．{x|x≤－3或x≥1} B．{x|x<－1或x≥3}
C．{x|x≤3} D．{x|x≤－3}
【解析】 (1)依题意得?UA＝{1，6，7}，故B∩?UA＝{6，7}．故选C.
(2)因为B＝{x|x≥－1}，A＝{x|－3－3}，所以?U(A∪B)＝{x|x≤－3}．故选D.
【答案】 (1)C (2)D
集合基本运算的求解策略
角度二 利用集合的运算求参数
(1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．－12
C．a≥－1 D．a>－1
(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
【解析】
(1)因为A∩B≠?，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.
(2)根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故a＝4.
【答案】 (1)D (2)D
根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法
(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．
(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．
(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．
1．(2019·高考天津卷)设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝( )
A．{2} B．{2，3}
C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4}
解析：选D.通解：因为A∩C＝{1，2}，B＝{2，3，4}，所以(A∩C)∪B＝{1，2，3，4}．故选D.
优解：因为B＝{2，3，4}，所以(A∩C)∪B中一定含有2，3，4三个元素，故排除A，B，C，选D.
2．(2020·宁夏石嘴山三中一模)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1≥0}，则下图中阴影部分所表示的集合为( )
A．{－1} B．{0}
C．{－1，0} D．{－1，0，1}
解析：选B.阴影部分对应的集合为A∩?RB，B＝{x|x2－1≥0}＝{x|x≤－1或x≥1}，则?RB＝{x|－13．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)
C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：选D.因为A∪B＝A，所以B?A，即m∈A，得m2≥4，解得m≥2或m≤－2.
4．已知全集U＝R，函数y＝ln(1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x<0}，则下列结论正确的是( )
A．M∩N＝N B．M∩(?UN)＝?
C．M∪N＝U D．M?(?UN)
解析：选A.由题意知M＝{x|x<1}，N＝{x|0
核心素养系列1 数学抽象——集合的新定义问题
以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．
定义集合的商集运算为＝{x|x＝，m∈A，n∈B}．已知集合A＝{2，4，6}，B＝{x|x＝－1，k∈A}，则集合∪B中的元素个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
【解析】 由题意知，B＝{0，1，2}，＝{0，，，，1，}，则∪B＝{0，，，，1，，2}，共有7个元素，故选B.
【答案】 B
解决集合创新型问题的方法
(1)要分析新定义的特点和本质，认清新定义对集合元素的要求，结合题目要求进行转化，并将其运用到具体的解题过程中．
(2)要充分应用集合的有关性质及一些特殊方法(如特值法、排除法、数形结合法等)，将新定义问题转化到已学的知识中进行求解．
1．如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．
解析：由题意可知－2x＝x2＋x，
所以x＝0或x＝－3.
而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．
当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，
所以A∩B＝{0，6}．
答案：{0，6}
2．设A，B是非空集合，定义A?B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}．已知集合A＝{x|0解析：由已知A＝{x|0又由新定义A?B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}，
结合数轴得A?B＝{0}∪[2，＋∞)．
答案：{0}∪[2，＋∞)
[基础题组练]
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>1}，则?UA＝( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．(－1，1) D．[－1，1]
解析：选D.因为全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>1}，所以?UA＝{x|－1≤x≤1}，故选D.
2．(2020·辽宁辽阳期末)设集合A＝{x∈Z|x>4}，B＝{x|x2<100}，则A∩B的元素个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C.因为B＝{x|－103．已知集合A＝{0}，B＝{－1，0，1}，若A?C?B，则符合条件的集合C的个数为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选C.由题意得，含有元素0且是集合B的子集的集合有{0}，{0，－1}，{0，1}，{0，－1，1}，即符合条件的集合C共有4个．故选C.
4.已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是( )
A．(－2，1)
B．[－1，0]∪[1，2)
C．(－2，－1)∪[0，1]
D．[0，1]
解析：选C.因为集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝(－2，1]，A∩B＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为?A∪B(A∩B)＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.
5．(2020·江苏南京联合调研改编)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，B＝{3，5}，则A∩B＝______，?UA＝______．
解析：因为全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，B＝{3，5}，所以A∩B＝{3}，则?UA＝{2，5}．
答案：{3} {2，5}
6．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合?U(A∪B)＝________．
解析：由于A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，结合数轴，?U(A∪B)＝{x|0答案：{x|07．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{x|x≤a，a∈R}，A∪B＝(－∞，5]，则a的值是________．
解析：因为集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{x|x≤a，a∈R}，A∪B＝(－∞，5]，所以a＝5.
答案：5
8．已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|m≤x＜1＋3m}．
(1)当m＝1时，求A∪B；
(2)当B??RA时，求实数m的取值范围．
解：(1)因为m＝1时，B＝{x|1≤x＜4}，
所以A∪B＝{x|－1(2)?RA＝{x|x≤－1或x>3}．
当B＝?时，即m≥1＋3m，解得m≤－；
当B≠?时，要使B??RA成立，
则或解得m>3.
综上可知，实数m的取值范围是∪(3，＋∞)．
[综合题组练]
1．已知集合M＝{y|y＝x－|x|，x∈R}，N＝，则下列选项正确的是( )
A．M＝N B．N?M
C．M＝?RN D．?RN?M
解析：选C.由题意得M＝{y|y≤0}，N＝{y|y>0}，所以?RN＝{y|y≤0}，M＝?RN.故C正确，A，B，D错误．
2．(创新型)如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A?B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|2x－x2≥0}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A?B＝( )
A．{x|0C．{x|x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}
解析：选D.因为A＝{x|2x－x2≥0}＝[0，2]，B＝{y|y＝3x，x>0}＝(1，＋∞)，所以A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝(1，2]，由题图知A?B＝[0，1]∪(2，＋∞)，故选D.
3．(2020·济南外国语学校月考)集合M＝{x|2x2－x－1<0}，N＝{x|2x＋a>0}，U＝R.若M∩(?UN)＝?，则a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
解析：选B.由集合M＝{x|2x2－x－1<0}，N＝{x|2x＋a>0}，可得M＝，?UN＝.要使M∩(?UN)＝?，则－≤－，解得a≥1，故选B.
4．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A?B，则实数a－b的取值范围是________．
解析：集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2，4]，
因为A?B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，
即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．
答案：(－∞，－2]
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第一章 集合与常用逻辑用语
第1讲 集合的概念与运算
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数学
最新考纲
考向预测
1.了解集合的含义、元茶与集合的属于关系
集合的交、并、补运算是考查的重点,
2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题
命题经常与不等式、函数相结合,解题时
3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
趋势常冂到数轴和韦恩(Vem图,题型以
4.在具休情境中,了解全集与空集的含义
选择题为主,属低档难度
5.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集
6.理解在给定集合巾一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集
核心
7.能使用市恩(Venn)图表示集合的关系及运算
素养数学抽象、数学运算
础知识自回顾
理教材·夯实必备知识◆
⑩考点·剖析
明考向·直击考例考法◆
0因素养·劬学培优
提素养·拓展解题思路◆
第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
[基础题组练]
1．已知命题p：若x≥a2＋b2，则x≥2ab，则下列说法正确的是 ( )
A．命题p的逆命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”
B．命题p的逆命题是“若x＜2ab，则x＜a2＋b2”
C．命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”
D．命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x＜2ab”
解析：选C.命题p的逆命题是“若x≥2ab，则x≥a2＋b2”，故A，B都错误；命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”，故C正确，D错误．
2．已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.a≠0?/ ab≠0，但ab≠0?a≠0，因此p是q的必要不充分条件．
3．已知a，b，c是实数，下列结论正确的是( )
A．“a2>b2”是“a>b”的充分条件
B．“a2>b2”是“a>b”的必要条件
C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件
D．“|a|>|b|”是“a>b”的充要条件
解析：选C.对于A，当a＝－5，b＝1时，满足a2>b2，但是ab，但是a2bc2得c≠0，则有a>b成立，即充分性成立，故正确；对于D，当a＝－5，b＝1时，|a|>|b|成立，但是ab，但是|a|<|b|，所以必要性也不成立，故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件．故选C.
4．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是( )
①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．
A．①③ B．②
C．②③ D．①②③
解析：选A.本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题中的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．
5．“(x＋1)(y－2)＝0”是“x＝－1且y＝2”的________条件．
解析：因为(x＋1)(y－2)＝0，所以x＝－1或y＝2，所以(x＋1)(y－2)＝0?/ x＝－1且y＝2，x＝－1且y＝2?(x＋1)(y－2)＝0，所以是必要不充分条件．
答案：必要不充分
6．已知命题p：x≤1，命题q：<1，则綈p是q的______．
解析：由题意，得綈p：x>1，q：x<0或x>1，故綈p是q的充分不必要条件．
答案：充分不必要条件
7．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，
当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得
解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.
答案：[－3，0]
8．已知命题p：(x＋3)(x－1)>0；命题q：x>a2－2a－2.若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：已知p：(x＋3)(x－1)>0，可知p：x>1或x<－3，因为綈p是綈q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，得a2－2a－2≥1，解得a≤－1或a≥3，即a∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
[综合题组练]
1．(创新型)(2020·抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是( )
A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格
B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分
C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分
D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分
解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.
2．(2020·辽宁丹东质量测试(一))已知x，y∈R，则“x＋y≤1”是“x≤且y≤”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.当“x＋y≤1”时，如x＝－4，y＝1，满足x＋y≤1，但不满足“x≤且y≤”．当“x≤且y≤”时，根据不等式的性质有“x＋y≤1”．故“x＋y≤1”是“x≤且y≤”的必要不充分条件．故选B.
3．(2020·湖南雅礼中学3月月考)若关于x的不等式|x－1|A．a≤1 B．a<1
C．a>3 D．a≥3
解析：选D.|x－1|4．下列命题中为真命题的序号是______．
①若x≠0，则x＋≥2；
②命题：若x2＝1，则x＝1或x＝－1的逆否命题为：若x≠1且x≠－1，则x2≠1；
③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；
④命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”．
解析：当x<0时，x＋≤－2，故①是假命题；根据逆否命题的定义可知，②是真命题；“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；根据否命题的定义知④是真命题．
答案：②④
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1
第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、知识梳理
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p?q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q?p
p是q的充要条件 p?q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
[注意] 不能将“若p，则q”与“p?q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p?q”，即“p?q”?“若p，则q”为真命题．
常用结论
1．充要条件的两个结论
(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．
(2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件．
2．一些常见词语及其否定
词语 是 都是 都不是 等于 大于
否定 不是 不都是 至少一个是 不等于 不大于
二、习题改编
1．(选修1?1P8A组T2改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是( )
A．“若xy，则x2>y2”
C．“若x≤y，则x2≤y2” D．“若x≥y，则x2≥y2”
解析：选C.根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．故选C.
2．(选修1?1P10练习T3(2)改编)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B.
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“x2＋2x－3<0”是命题．( )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( )
(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( )
(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )
(5)q不是p的必要条件时，“p q”成立．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
二、易错纠偏
(1)不明确命题的条件与结论；
(2)对充分必要条件判断错误；
(3)含有大前提的命题的否命题易出错．
1．命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题( )
A．与原命题同为假命题
B．与原命题的否命题同为假命题
C．与原命题的逆否命题同为假命题
D．与原命题同为真命题
解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△ABC有一内角为”，它是真命题．
2．已知p：a<0，q：a2>a，则綈p是綈q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．
解析：綈p：a≥0；綈q：a2≤a，即0≤a≤1，故綈p是綈q的必要不充分条件．
答案：必要不充分
3．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是____________．
答案：存在a，b∈R，若ab≤0，则a≤0.
四种命题的相互关系及其真假判断(师生共研)
(2020·长春质量检测(二))命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
【解析】 命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x2<1，则－1【答案】 D
(1)判断命题真假的两种方法
(2)由原命题写出其他三种命题的方法
由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．
1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是( )
A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0
B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0
C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
解析：选D.“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.
2．(2020·甘肃酒泉敦煌中学一诊)有下列四个命题，其中真命题是( )
①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题；
②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题；
③“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题．
A．①② B．①②③④
C．②③④ D．①③④
解析：选B.①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题为“若lg x＋lg y＝0，则xy＝1”，该命题为真命题；
②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题为“若a·b≠a·c，则a不垂直(b－c)”，由a·b≠a·c可得a(b－c)≠0，据此可知a不垂直(b－c)，该命题为真命题；
③若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0的判别式Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b≥0，方程有实根，为真命题，则其逆否命题为真命题；
④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题．
综上可得，真命题是①②③④.故选B.
充分条件、必要条件的判断(师生共研)
(1)(2019·高考天津卷)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2019·高考北京卷)设函数f(x)＝cos x＋bsin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 (1)由x2－5x<0可得0(2)b＝0时，f(x)＝cos x，显然f(x)是偶函数，故“b＝0”是“f(x)是偶函数”的充分条件；f(x)是偶函数，则有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋bsin(－x)＝cos x＋bsin x，又cos(－x)＝cos x，sin(－x)＝－sin x，所以cos x－bsin x＝cos x＋bsin x，则2bsin x＝0对任意x∈R恒成立，得b＝0，因此“b＝0”是“f(x)是偶函数”的必要条件．因此“b＝0”是“f(x)是偶函数” 的充分必要条件，故选C.
【答案】 (1)B (2)C
充分条件、必要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p?q，q?p进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．
1．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A?C，B??UC” 是“A∩B＝?”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由A?C，B??UC，易知A∩B＝?，但A∩B＝?时未必有A?C，B??UC，如图所示，
所以“存在集合C使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的充分不必要条件．
2．设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.2－x≥0，则x≤2，(x－1)2≤1，则－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知，“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．
3．已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，
所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，
因为綈q?綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．故选A.
充分条件、必要条件的应用(典例迁移)
已知条件p：集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，条件q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若p是q的必要条件，求m的取值范围．
【解】 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由p是q的必要条件，知S?P.
则所以0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，p是q的必要条件，
即所求m的取值范围是[0，3]．
【迁移探究1】 (变结论)若本例条件不变，问是否存在实数m，使p是q的充要条件．
解：若p是q的充要条件，则P＝S，
所以所以
即不存在实数m，使p是q的充要条件．
【迁移探究2】 (变结论)本例条件不变，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，
因为綈p是綈q的必要不充分条件，
所以p?q且q??p.
所以[－2，10]?[1－m，1＋m]．
所以或
所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．
已知充分、必要条件求参数取值范围的解题策略
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式(组)求解．
(2)涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，如将綈p，綈q之间的关系转化成p，q之间的关系来求解．
[注意] (1)注意对区间端点值的处理；
(2)注意条件的等价变形．
设p：－0)；q：x<或x>1，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为______．
解析：因为p是q的充分不必要条件，又m>0，所以≤，所以0答案：(0，2]
思想方法系列1 等价转化思想在充要条件中的应用
等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方式．
已知条件p：|x－4|≤6；条件q：(x－1)2－m2≤0(m>0)．若綈p是綈q的充分不必要条件，则m的取值范围为______．
【解析】 条件p：－2≤x≤10，条件q：1－m≤x≤1＋m，又綈p是綈q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件．故有，所以0【答案】 (0，3]
本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．
1．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.法一：设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C?D，所以B?A，于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．
法二(等价转化法)：因为x＝y?cos x＝cos y，而cos x＝cos y x＝y，所以“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．
2．(2020·宁夏银川一中模拟)王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件．故选B.
[基础题组练]
1．已知命题p：若x≥a2＋b2，则x≥2ab，则下列说法正确的是 ( )
A．命题p的逆命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”
B．命题p的逆命题是“若x＜2ab，则x＜a2＋b2”
C．命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”
D．命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x＜2ab”
解析：选C.命题p的逆命题是“若x≥2ab，则x≥a2＋b2”，故A，B都错误；命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”，故C正确，D错误．
2．已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.a≠0 ab≠0，但ab≠0?a≠0，因此p是q的必要不充分条件．
3．已知a，b，c是实数，下列结论正确的是( )
A．“a2>b2”是“a>b”的充分条件
B．“a2>b2”是“a>b”的必要条件
C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件
D．“|a|>|b|”是“a>b”的充要条件
解析：选C.对于A，当a＝－5，b＝1时，满足a2>b2，但是ab，但是a2bc2得c≠0，则有a>b成立，即充分性成立，故正确；对于D，当a＝－5，b＝1时，|a|>|b|成立，但是ab，但是|a|<|b|，所以必要性也不成立，故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件．故选C.
4．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是( )
①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．
A．①③ B．②
C．②③ D．①②③
解析：选A.本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题中的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．
5．“(x＋1)(y－2)＝0”是“x＝－1且y＝2”的________条件．
解析：因为(x＋1)(y－2)＝0，所以x＝－1或y＝2，所以(x＋1)(y－2)＝0 x＝－1且y＝2，x＝－1且y＝2?(x＋1)(y－2)＝0，所以是必要不充分条件．
答案：必要不充分
6．已知命题p：x≤1，命题q：<1，则綈p是q的______．
解析：由题意，得綈p：x>1，q：x<0或x>1，故綈p是q的充分不必要条件．
答案：充分不必要条件
7．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，
当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得
解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.
答案：[－3，0]
8．已知命题p：(x＋3)(x－1)>0；命题q：x>a2－2a－2.若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：已知p：(x＋3)(x－1)>0，可知p：x>1或x<－3，因为綈p是綈q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，得a2－2a－2≥1，解得a≤－1或a≥3，即a∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
[综合题组练]
1．(创新型)(2020·抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是( )
A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格
B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分
C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分
D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分
解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.
2．(2020·辽宁丹东质量测试(一))已知x，y∈R，则“x＋y≤1”是“x≤且y≤”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.当“x＋y≤1”时，如x＝－4，y＝1，满足x＋y≤1，但不满足“x≤且y≤”．当“x≤且y≤”时，根据不等式的性质有“x＋y≤1”．故“x＋y≤1”是“x≤且y≤”的必要不充分条件．故选B.
3．(2020·湖南雅礼中学3月月考)若关于x的不等式|x－1|A．a≤1 B．a<1
C．a>3 D．a≥3
解析：选D.|x－1|4．下列命题中为真命题的序号是______．
①若x≠0，则x＋≥2；
②命题：若x2＝1，则x＝1或x＝－1的逆否命题为：若x≠1且x≠－1，则x2≠1；
③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；
④命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”．
解析：当x<0时，x＋≤－2，故①是假命题；根据逆否命题的定义可知，②是真命题；“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；根据否命题的定义知④是真命题．
答案：②④
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第一章 集合与常用逻辑用语
第2讲 命题及其关系、充分条件与
必要条件
本部分内容讲解结束
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数学
最新考纲
考向预测
命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式
1.理解命题的概念
命题
2了解“若P,则q”形式的命题及其逆命题、否命题趋勢多与集合、函数、不等式、立休几何中的线面关系相交汀,
考杳学生的推理能力,题型为选择题、填空题,低档难度.
逆否命题,会分析四种命题的相互关系
3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义
核心
素养逻辑推理
础知识自回顾
理教材·夯实必备知识◆
⑩考点·剖析
明考向·直击考例考法◆
0因素养·劬学培优
提素养·拓展解题思路◆
第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
[基础题组练]
1．已知命题p：?x0>1，x－1>0，那么﹁p是( )
A．?x>1，x2－1>0
B．?x>1，x2－1≤0
C．?x0>1，x－1≤0
D．?x0≤1，x－1≤0
解析：选B.特称命题的否定为全称命题，所以﹁p：?x>1，x2－1≤0.
2．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( )
A．命题p是假命题
B．命题p是特称命题
C．命题p是全称命题
D．命题p既不是全称命题也不是特称命题
解析：选C.本题考查命题真假的判断以及全称命题、特称命题的判断．命题p：实数的平方是非负数，是真命题，命题p是全称命题，故选C.
3．(2020·吉林第三次调研测试)已知命题p，q，则“﹁p为假命题”是“p∨q为真命题”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若﹁p为假命题，则p为真命题，则p∨q为真命题；若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，但p不一定为真命题，故无法判定﹁p为假命题．即“﹁p为假命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件．故选A.
4．(2020·辽宁五校协作体联考)已知命题“?x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0) B．[0，4]
C．[4，＋∞) D．(0，4)
解析：选D.因为命题“?x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以其否定“?x∈R，4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a<0，解得05．命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p可写为 ．
解析：因为p是﹁p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．
答案：?x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1
6．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“﹁q”同时为假命题，则x＝ ．
解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，
因为“﹁q”为假，则q为真，即x∈Z，
又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3得x＝－2.
答案：－2
7．已知命题p：f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q：不等式x2－2x>m－1的解集为R.若命题“p∨q”为真，则实数m的取值范围是 ；若“p∧q”为假，则实数m的取值范围是 ．
解析：对于命题p，由f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，得1－2m>0，解得m<；对于命题q，不等式x2－2x>m－1的解集为R等价于不等式(x－1)2>m的解集为R，因为(x－1)2≥0恒成立，所以m<0.若p∨q为真，则p，q中有一个为真，所以m<；若p∧q为假，则p，q至少有一个为假．若p为假，则m≥；若q为假，则m≥0，所以m≥0.
答案： .
8．设命题p：函数y＝loga(x＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点．若p∧(﹁q)为真命题，求实数a的取值范围．
解：函数y＝loga(x＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减?0曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点?Δ＝(2a－3)2－4＞0?a<或a＞.
所以若p为真命题，则0若q为真命题，则a<或a＞.
因为p∧(﹁q)为真命题，
所以p为真命题，q为假命题．
由，解得≤a<1，
所以实数a的取值范围是.
[综合题组练]
1．已知命题p：?x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx＋1>0恒成立，则0A．“﹁p”是假命题 B．q是真命题
C．“p∨q”为假命题 D．“p∧q”为真命题
解析：选C.因为x2＋1<2x，即x2－2x＋1<0，也即(x－1)2<0，所以命题p为假；若mx2－mx＋1>0恒成立，则m＝0或则0≤m<4，所以命题q为假，故选C.
2．(2020·湖北八校联考)下列说法正确的是( )
A．“若a＋b≥4，则a，b中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题
B．命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题
C．“?x0∈R，x－x0<0”的否定是“?x∈R，x2－x>0”
D．“a＋1>b”是“a>b”的一个充分不必要条件
解析：选B.对于A，原命题的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于2，则a＋b≥4”，而a＝4，b＝－4满足a，b中至少有一个不小于2，但此时a＋b＝0，故A不正确；对于B，此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，为真命题，所以原命题也是真命题，故B正确；对于C，“?x0∈R，x－x0<0”的否定是“?x∈R，x2－x≥0”，故C不正确；对于D，由a>b可推得a＋1>b，但由a＋1>b不能推出a>b，故D错误．
3．短道速滑队组织6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲、乙、丙三名队员在内)进行冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，(﹁q)∧r是真命题，则选拔赛的结果为( )
A．甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名
B．甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名
C．甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名
D．甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名
解析：选D.由(﹁q)∧r是真命题，得﹁q为真命题，q为假命题(乙没得第二名)，且r为真命题(丙得第三名)；p∨q是真命题，由于q为假命题，只能p为真命题(甲得第一名)，这与p∧q是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D.
4．已知m∈R，命题p：对任意实数x，不等式x2－2x－1≥m2－3m恒成立，若﹁p为真命题，则m的取值范围是 ．
解析：若对任意x∈R，不等式x2－2x－1≥m2－3m恒成立，则[(x－1)2－2]min≥m2－3m，即m2－3m≤－2，解得1≤m≤2，因为﹁p为真命题，所以m<1或m>2.
答案：(－∞，1)∪(2，＋∞)
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第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、知识梳理
1．简单的逻辑联结词
(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．
(2)命题p∧q、p∨q、﹁p的真假判断
p q p∧q p∨q ﹁p
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
2.全称命题和特称命题
(1)全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ?
存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 ?
(2)全称命题和特称命题
名称形式 全称命题 特称命题
结构 对M中任意一个x，有p(x)成立 存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记 ?x∈M，p(x) ?x0∈M，p(x0)
否定 ?x0∈M，﹁p(x0) ?x∈M，﹁p(x)
常用结论
1．含逻辑联结词命题真假的判断
(1)p∧q中一假则假，全真才真．
(2)p∨q中一真则真，全假才假．
(3)p与﹁p真假性相反．
2．全称命题与特称命题的否定
(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．
二、习题改编
1．(选修1?1P26A组T3改编)命题“?x∈R，x2＋x≥0”的否定是( )
A．?x0∈R，x＋x0≤0 B．?x0∈R，x＋x0<0
C．?x∈R，x2＋x≤0 D．?x∈R，x2＋x<0
解析：选B.由全称命题的否定是特称命题知命题B正确．故选B.
2．(选修1?1P18A组T1(3)改编)已知命题p：2是偶数，命题q：2是质数，则命题﹁p，﹁q，p∨q，p∧q中真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.p和q显然都是真命题，所以﹁p，﹁q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．故选B.
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．( )
(2)命题p和﹁p不可能都是真命题．( )
(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．( )
(4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( )
(5)?x0∈M，p(x0)与?x∈M，﹁p(x)的真假性相反．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√
二、易错纠偏
(1)全称命题或特称命题的否定出错；
(2)复合命题的否定中出现逻辑联结词错误．
1．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是 ．
答案：存在两个全等三角形的面积不相等
2．已知命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”，则其否命题为 ．
解析：“a＝0或b＝0”的否定为“a≠0且b≠0”．
答案：若ab≠0，则a≠0且b≠0
全称命题、特称命题(多维探究)
角度一 全称命题、特称命题的真假
若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是( )
A．?x∈R，f(－x)≠f(x)
B．?x∈R，f(－x)＝－f(x)
C．?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)
D．?x0∈R，f(－x0)＝－f(x0)
【解析】 由题意知?x∈R，f(－x)＝f(x)是假命题，则其否定为真命题，即?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)是真命题，?x0∈R，f(－x0)＝－f(x0)是假命题．
【答案】 C
全称命题与特称命题的真假判断方法
(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题．
角度二 全称命题、特称命题的否定
已知命题p：?m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则﹁p为( )
A．?m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数
B．?m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数
C．?m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数
D．?m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数
【解析】 由特称命题的否定可得﹁p为“?m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．
【答案】 D
全称命题与特称命题的否定
确定原命题所含量词的类型，省去量词的要先结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写，改写完以后再对原命题的结论进行否定．
角度三 与全(特)称命题有关的参数问题
(2020·宁夏石嘴山期中)若命题“?t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是 ．
【解析】 因为命题“?t∈R，t2－2t－a<0”为假命题，所以命题“?t∈R，t2－2t－a≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a)＝4a＋4≤0，即a≤－1.
【答案】 (－∞，－1]
将命题的真假转化为不等式恒成立或不等式有解、方程有解或无解、函数最值等问题，从而根据函数性质、不等式等内容解决．
1．(2020·甘肃静宁一中三模)下列命题正确的是( )
A．?x0∈R，x＋2x0＋3＝0
B．x>1是x2>1的充分不必要条件
C．?x∈N，x3>x2
D．若a>b，则a2>b2
解析：选B.对于x2＋2x＋3＝0，Δ＝－8<0，故方程无实根，即?x0∈R，x＋2x0＋3＝0错误，即A错误；
x2>1?x<－1或x>1，故x>1是x2>1的充分不必要条件，故B正确；
当x≤1时，x3≤x2，故?x∈N，x3>x2错误，即C错误；
若a＝1，b＝－1，则a>b，但a2＝b2，故D错误．故选B.
2．(2020·河南商丘模拟)已知f(x)＝sin x－x，命题p：?x∈，f(x)<0，则( )
A．p是假命题，﹁p：?x∈，f(x)≥0
B．p是假命题，﹁p：?x∈，f(x)≥0
C．p是真命题，﹁p：?x∈，f(x)≥0
D．p是真命题，﹁p：?x∈，f(x)≥0
解析：选C.易知f′(x)＝cos x－1<0，所以f(x)在上是减函数，因为f(0)＝0，所以f(x)<0，所以命题p：?x∈，f(x)<0是真命题，﹁p：?x∈，f(x)≥0，故选C.
含有逻辑联结词的命题的真假判断(师生共研)
(2020·河北衡水中学3月大联考)已知命题p：?x∈R，|x＋1|>x；命题q：“m≤1”是“函数f(x)＝x2－(m＋1)x－m2在区间(1，＋∞)内单调递增”的充分不必要条件，则下列命题中是真命题的为( )
A．p∧q B．(﹁p)∧q
C．(﹁p)∨q D．p∧(﹁q)
【解析】 因为|x＋1|>x，对x∈R成立，故p为真命题；因为函数f(x)＝x2－(m＋1)·x－m2在区间(1，＋∞)内单调递增，所以≤1，即m≤1，故应为充要条件，故q为假命题，所以p∧q，(﹁p)∧q，(﹁p)∨q均为假命题，p∧(﹁q)为真命题，故选D.
【答案】 D
(1)“p∨q”“p∧q”“﹁p”等形式命题真假的判断步骤
①确定命题的构成形式；
②判断其中命题p，q的真假；
③确定“p∨q”“p∧q”“﹁p”等形式命题的真假．
(2)含逻辑联结词命题真假的等价关系
①p∨q真?p，q至少一个真?(﹁p)∧(﹁q)假；
②p∨q假?p，q均假?(﹁p)∧(﹁q)真；
③p∧q真?p，q均真?(﹁p)∨(﹁q)假；
④p∧q假?p，q至少一个假?(﹁p)∨(﹁q)真；
⑤﹁p真?p假；﹁p假?p真．
1．(2020·宁夏石嘴山三中一模)已知命题p：?x∈R，sin x>1，命题q：?x∈(0，1)，ln x<0，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧(﹁q)
C．p∨(﹁q) D．(﹁p)∧q
解析：选D.因为－1≤sin x≤1，故命题p是假命题，易知命题q是真命题，故p∧q为假，p∧(﹁q)为假，p∨(﹁q)为假，(﹁p)∧q为真，故选D.
2．已知命题p：“若x2－x>0，则x>1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是( )
A．p∨(﹁q) B．p∨q
C．p∧q D．(﹁p)∧(﹁q)
解析：选B.若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题，故选B.
由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)
已知p：存在x0∈R，mx＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0，若p或q为假命题，求实数m的取值范围．
【解】 依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4<0，即－2所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．
【迁移探究1】 (变结论)本例条件不变，若p且q为真，则实数m的取值范围为 ．
解析：依题意知p，q均为真命题，当p是真命题时，有m<0；当q是真命题时，有－2由可得－2答案：(－2，0)
【迁移探究2】 (变结论)本例条件不变，若p且q为假，p或q为真，则实数m的取值范围为 ．
解析：若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．
当p真q假时所以m≤－2；
当p假q真时所以0≤m<2.
所以实数m的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．
答案：(－∞，－2]∪[0，2)
【迁移探究3】 (变条件)本例中的条件q变为：存在x0∈R，x＋mx0＋1<0，其他不变，则实数m的取值范围为 ．
解析：依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－4>0，
所以m>2或m<－2.由题意知，p，q均为假命题，
所以得0≤m≤2，
所以实数m的取值范围是[0，2]．
答案：[0，2]
根据命题真假求参数的步骤
(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)．
(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围．
(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．
[注意] 要注意分类讨论思想的应用，如本例的迁移探究(2)，由于p和q一真一假，因此需分p真q假与p假q真两种情况讨论求解．
(2020·河南师范大学附属中学开学考)已知命题p：“?x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：“?x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(4，＋∞) B．[1，4]
C．(－∞，1] D．[e，4]
解析：选D.命题p等价于ln a≥x对x∈[0，1]恒成立，所以ln a≥1，解得a≥e；命题q等价于关于x的方程x2＋4x＋a＝0有实根，则Δ＝16－4a≥0，所以a≤4.因为命题“p∧q”是真命题，所以命题p真，命题q真，所以实数a的取值范围是[e，4]，故选D.
[基础题组练]
1．已知命题p：?x0>1，x－1>0，那么﹁p是( )
A．?x>1，x2－1>0
B．?x>1，x2－1≤0
C．?x0>1，x－1≤0
D．?x0≤1，x－1≤0
解析：选B.特称命题的否定为全称命题，所以﹁p：?x>1，x2－1≤0.
2．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( )
A．命题p是假命题
B．命题p是特称命题
C．命题p是全称命题
D．命题p既不是全称命题也不是特称命题
解析：选C.本题考查命题真假的判断以及全称命题、特称命题的判断．命题p：实数的平方是非负数，是真命题，命题p是全称命题，故选C.
3．(2020·吉林第三次调研测试)已知命题p，q，则“﹁p为假命题”是“p∨q为真命题”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若﹁p为假命题，则p为真命题，则p∨q为真命题；若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，但p不一定为真命题，故无法判定﹁p为假命题．即“﹁p为假命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件．故选A.
4．(2020·辽宁五校协作体联考)已知命题“?x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0) B．[0，4]
C．[4，＋∞) D．(0，4)
解析：选D.因为命题“?x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以其否定“?x∈R，4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a<0，解得05．命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p可写为 ．
解析：因为p是﹁p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．
答案：?x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1
6．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“﹁q”同时为假命题，则x＝ ．
解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，
因为“﹁q”为假，则q为真，即x∈Z，
又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3得x＝－2.
答案：－2
7．已知命题p：f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q：不等式x2－2x>m－1的解集为R.若命题“p∨q”为真，则实数m的取值范围是 ；若“p∧q”为假，则实数m的取值范围是 ．
解析：对于命题p，由f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，得1－2m>0，解得m<；对于命题q，不等式x2－2x>m－1的解集为R等价于不等式(x－1)2>m的解集为R，因为(x－1)2≥0恒成立，所以m<0.若p∨q为真，则p，q中有一个为真，所以m<；若p∧q为假，则p，q至少有一个为假．若p为假，则m≥；若q为假，则m≥0，所以m≥0.
答案： .
8．设命题p：函数y＝loga(x＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点．若p∧(﹁q)为真命题，求实数a的取值范围．
解：函数y＝loga(x＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减?0曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点?Δ＝(2a－3)2－4＞0?a<或a＞.
所以若p为真命题，则0若q为真命题，则a<或a＞.
因为p∧(﹁q)为真命题，
所以p为真命题，q为假命题．
由，解得≤a<1，
所以实数a的取值范围是.
[综合题组练]
1．已知命题p：?x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx＋1>0恒成立，则0A．“﹁p”是假命题 B．q是真命题
C．“p∨q”为假命题 D．“p∧q”为真命题
解析：选C.因为x2＋1<2x，即x2－2x＋1<0，也即(x－1)2<0，所以命题p为假；若mx2－mx＋1>0恒成立，则m＝0或则0≤m<4，所以命题q为假，故选C.
2．(2020·湖北八校联考)下列说法正确的是( )
A．“若a＋b≥4，则a，b中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题
B．命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题
C．“?x0∈R，x－x0<0”的否定是“?x∈R，x2－x>0”
D．“a＋1>b”是“a>b”的一个充分不必要条件
解析：选B.对于A，原命题的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于2，则a＋b≥4”，而a＝4，b＝－4满足a，b中至少有一个不小于2，但此时a＋b＝0，故A不正确；对于B，此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，为真命题，所以原命题也是真命题，故B正确；对于C，“?x0∈R，x－x0<0”的否定是“?x∈R，x2－x≥0”，故C不正确；对于D，由a>b可推得a＋1>b，但由a＋1>b不能推出a>b，故D错误．
3．短道速滑队组织6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲、乙、丙三名队员在内)进行冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，(﹁q)∧r是真命题，则选拔赛的结果为( )
A．甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名
B．甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名
C．甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名
D．甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名
解析：选D.由(﹁q)∧r是真命题，得﹁q为真命题，q为假命题(乙没得第二名)，且r为真命题(丙得第三名)；p∨q是真命题，由于q为假命题，只能p为真命题(甲得第一名)，这与p∧q是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D.
4．已知m∈R，命题p：对任意实数x，不等式x2－2x－1≥m2－3m恒成立，若﹁p为真命题，则m的取值范围是 ．
解析：若对任意x∈R，不等式x2－2x－1≥m2－3m恒成立，则[(x－1)2－2]min≥m2－3m，即m2－3m≤－2，解得1≤m≤2，因为﹁p为真命题，所以m<1或m>2.
答案：(－∞，1)∪(2，＋∞)
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第一章 集合与常用逻辑用语
第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与
存在量词
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数学
最新考纲
考向预测
命题逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义
趋势命题的真假判断常以函数、不等式为载体,考查学生的推
2理解全称量词和在量词的意义
理判断能力,题型为选择题和填空题,低档难度
3.能正确地对含行一个量词的命题进行否定
核心
素养逻辑推理
础知识自回顾
理教材·夯实必备知识◆
⑩考点·剖析
明考向·直击考例考法◆
