课件16张PPT。第二章
2 二次函数的图象与性质（第1课时）北师大版数学九年级下册知识回顾，问题引入1.什么是二次函数？ 一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的形式，则称y是x的二次函数.2.在二次函数y=x2中，y随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？…………-24-11010124合作学习，探究新知画二次函数y=x2的图象
（1）观察y=x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：·····(2)在直角坐标系中描点（3）用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象.y=x2（1）这个函数的图象形状是怎样的？
（2）图象与x轴的交点坐标是什么？
（3）y随x的变化而怎样变化？（1）图象是一条抛物线.
（2）有交点，坐标为（0,0）.
（3）当x＜0时，y随x的增大而减小，
当x＞0时，y随x的增大而增大.（4）当x=0时，y的值最大，y最大值=0.
（5）是轴对称图形，对称轴是y轴（直线x=0）；
如（1，1）和（-1，1）等.（4）x取何值时，y的值最小？是多少？
（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点. 二次函数y=x2的图象是一条抛物线，
开口方向：向上
对称轴：y轴
顶点：对称轴与抛物线的交点，它是图象的最低点.坐标为（0,0） 二次函数y=-x2 的图象也是一条抛物线，
它与二次函数y=x2的图象关于x轴对称 二次函数y=-x2的图象是什么形状？
它与二次函数y=x2的图象有什么关系？ 向上 向下y轴（0，0）抛
物
线增减性：
y=x2 ： x＞ 0时，y随x的增大而减小
x＜0时，y随x的增大而增大
y=- x2： x＞ 0时，y随x的增大而增大
x＜0时，y随x的增大而减小
最值：
y=x2： x=0时，y最小值=0
y=- x2： x= 0时，y最大值=0例题讲解 已知二次函数y=x2.求：
（1）当x=5时，y的值；
（2）当y=4时，x的值；
（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？解：（1）把x=5代入，得
y=52=25.
（2）把y=4代入，得
x2=4，
解得x=±2.
（3）当x＞0时，y随x的增大而增大.1.二次函数y=-x2中，当y=-16时，x =_______.
2.已知函数y=ax2的图象过点（3，9）和（2，t）.
（1）求a和t的值；
（2）试判断这个函数的图象是否过点（-3，9）.过点（-3,9）a =1,t =4能力小测试1.抛物线y=-x2与直线y=kx+3交于点（2，b），则k=_______.
2.如图，抛物线y=x2中，当-1≤x≤2时， y的取值范围是_____________.-3.50≤y≤4拓展练习二次函数y=x2的图象是怎样的二次函数y=x2的性质有哪些作业：习题2.2 二次函数y=-x2的图象是怎样的二次函数y=x2的性质有哪些课堂小结谢谢！课件24张PPT。第二章
2 二次函数的图象与性质（第2课时）北师大版数学九年级下册知识回顾，问题引入1.二次函数y=x2，y=-x2的图象是什么形状的？2.二次函数y=x2，y=-x2的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值是怎样的？抛物线可列表进行比较 在图2-4中画出二次函数y=3x2的图象，并思考下列问题：（1）图象：___________
开口方向：____对称轴：___
顶点坐标：_________
（2）它与y=x2的图象的
相同点：__ ___________________________；
不同点：______________________.抛物线向上y轴（0，0）形状、开口方向、对称轴、顶点坐标开口大小合作学习，探究新知相同：
形状
开口方向
对称轴
顶点坐标不同：
开口大小︱a︱越大，开口越小 在图2-4中画出y= x2的图象，它与y=x2，y=3x2的图象有什么相同和不同？想一想函数y=ax2（a＞0）的图象与性质
图象：
开口方向：______, 对称轴：______.
顶点坐标：_______.向上y轴（0，0）归纳增减性：
x＜0时，y随x的增大而减小
x＞0时，y随x的增大而增大
最值：
当x=0时，y取得最小值
y最小值=0归纳函数y=ax2（a＜0）的图象与性质
图象：
开口方向：______， 对称轴：_____.
顶点坐标：________.向下y轴（0,0）归纳增减性：
x＜0时，y随x的增大而增大
x＞0时，y随x的增大而减小
最值：
当x=0时，y取得最大值
y最大值=0归纳画出二次函数y=2x2+1的图象y=2x2+1y=2x2y=2x2+1的图象：
由y=2x2的图象向上平移1个单位得到
开口方向：向上
对称轴：y轴
顶点坐标：（0，1） 二次函数y=2x2+1的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？它与二次函数y=2x2的图象有什么关系？y=2x2y=2x2+1y=2x2-1的图象：
由y=2x2的图象向下平移1个单位得到
开口方向：向上
对称轴：y轴
顶点坐标：（0,-1） 二次函数y=2x2-1的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？它与二次函数y=2x2的图象有什么关系？y=2x2y=2x2-1函数y=ax2+c（a＞0）的图象与性质
平移：
由y=ax2向上或向下
平移︱c︱个单位得到
开口方向：
对称轴：
顶点坐标：向上y轴（0，c）归纳增减性：
x＜0时，y随x的增大而减小
x＞0时，y随x的增大而增大
最值：
当x=0时，y取得最小值
y最小值=c归纳函数y=ax2+c（a＜0）的图象与性质
平移：
由y=ax2向上或向下
平移︱c︱个单位得到
开口方向：
对称轴：
顶点坐标：向下y轴（0，c）归纳增减性：
x＜0时，y随x的增大而增大
x＞0时，y随x的增大而减小
最值：
当x=0时，y取得最大值
y最大值=c归纳 抛物线y= x2+4是由抛物线y= x2怎样平移得到的？并说明：
（1）顶点坐标、对称轴及y随x的变化情况；
（2）函数的最值.例题讲解 解 ：抛物线y= x2+4是由抛物线 y= x2向上平移4个单位得到的.
（1）顶点坐标：（0，4）
对称轴：y轴
当x＜0时，y随x的增大而减小，
当x＜0时，y随x的增大而减小，
（2）函数的最值：y最小值=41.二次函数y=3x2- 的图象与二次函数
y=3x2的图象有什么关系？它是轴对
称图形吗？它的开口方向、对称轴、
顶点坐标分别是什么？画图看一看.
2.二次函数y=-2x2- 的图象与二次函
数y=-2x2+ 的图象有什么关系?随堂练习y=3x2
y=3x2-1.y=3x2- 的图象：
由y=3x2的图象向下平移
个单位得到
开口方向：向上
对称轴：y轴
顶点坐标：（0，- ）2. y=-2x2- 的图象：
由y=-2x2+ 的图象向下平移1个单位得到.y=-2x2+
y=-2x2- 已知函数y=ax2+c的图象经过点
（1， ）和（-3，-1）.
（1）求函数的关系式；
（2）指出顶点坐标；
（3）求抛物线y=ax2+c与x轴的交点.知识拓展解：（1）由题意，得解得∴此函数的关系式为y=- x2+2.（2）顶点坐标为（0,2）.（3）当y=0时，- x2+2=0.解得 .∴此抛物线与x轴交点为（ ，0）（- ，0）.二次函数y=ax2的图象、
性质分别是什么二次函数y=ax2+c的图象、
性质分别是什么作业：习题2.3 抛物线y=ax2+c与y=ax2有怎样的关系课堂小结谢谢！课件18张PPT。第二章
2 二次函数的图象与性质（第3课时）北师大版数学九年级下册知识回顾，问题引入1.二次函数y=ax2+c的图象是什么形状的？2.二次函数y=ax2+c的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值分别是怎样的？抛物线分a＞0和a＜0两种情况32032501818882021882281832 对于同一个y值，这两个函数对应的x值相差1（在对称轴同侧）合作学习，探究新知画出二次函数y=2(x-1)2的图象（1）完成下表： 观察上表，你能发现2(x-1)2与2x2的值有什么关系？（2）画函数出y=2(x-1)2的图象y=2x2y=2(x-1)2y=2(x-1)2的图象：由y=2x2的图象向右平移1个单位得到；
开口方向：向上；
对称轴：直线x=1；顶点坐标：（1, 0 ）；
x＜1时，y随x的增大而减小，
x ＞1时，y随x的增大而增大. 二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？ y=2(x+1)2的图象：由y=2x2的图象向左平移1个单位得到. 类似地，你能发现二次函数y=2(x+1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系吗？y=2(x+1)2y=2x2对于二次函数y=-3(x+2)2：
（1）它的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？
（2）当x取哪些值时，y的随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？随堂练习（1）y=-3(x+2)2的图象：由y=-3x2的图象
向左平移2个单位得到；
它是轴对称图形；
开口方向：向下；
对称轴：直线x=-2；
顶点坐标：（0,-2）.(2) x＜-2时，y随x的增大而增大，
x ＞-2时，y随x的增大而减小. 由二次函数y=2x2的图象，你能得到二次函数y=2x2- ，y=2(x+3)2，y=2(x+3)2- 的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交流.y=2x2y=2x2-y=2(x+3)2-y=2(x+3)2 y=2x2- 的图象：由y=2x2的图象向下平移 个单位得到. y=2(x+3)2的图象：由y=2x2的图象向左平移3个单位得到. y=2(x+3)2- 的图象：由y=2x2的图象向左平移3个单位，再向下平移 个单位得到（也可由y=2x2的图象向下平移 个单位，再向左平移3个单位得到）.形状、开口大小、开口方向相同，只是位置不同.
抛物线y=a(x-h)2+k可由抛物线y=ax2沿x轴方向平移︱h︱个单位（h＞0时，向右平移，h＜0时，向左平移），再沿y轴方向平移︱k︱个单位（k＞0时，向上平移，k＜0时，向下平移）得到. 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象有什么关系？归纳 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线. 向上
（a＞0） 向下
（a＜0）y轴（h，k）归纳增减性：
a＞0时，x＞h，y随x的增大而减小
x＜h，y随x的增大而增大
a＜0时，x＞h，y随x的增大而增大
x＜h，y随x的增大而减小
最值：
a＞0时，x=h，y最小值=k
a＜0时，x=h，y最大值=k（1） 填空：二次函数y=-(x+3)2+2的开口方向是_____，对称轴是________，顶点坐标是_______；当x____时，y随x的增大而增大；当x_____时，y最大值=____.
（2）此抛物线怎样由抛物线y=-x2平移得到？向下（-3，2）＜-3=-32直线x=-3 由抛物线y=-x2先向上平移2个单位，再向左平移3个单位或先向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到.例题讲解 已知一个二次函数的图象的形状和抛物线y=-2x2相同，且它的顶点坐标为（1，3）.
（1）求该二次函数的关系式.
（2）x取何值时，y随x的增大而增大？（1）y=-2(x-1)2+3
（2）x＜1知识拓展1.已知函数y=-3(x-2)2+4，当x=___时，函数取最大值为____.
2.已知抛物线y=-(x+1)2-3，当x_______时，y随x的增大而减小.
3.怎样平移抛物线y=3x2，便可得到抛物线y=3(x-2)2+2？24＞-1 由抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位或先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到.随堂练习二次函数y=a(x-h)2+k的图象是怎样的作业：习题2.4 抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2有怎样的关系二次函数y=a(x-h)2+k的性质有哪些课堂小结谢谢！课件18张PPT。第二章
2 二次函数的图象与性质（第4课时）北师大版数学九年级下册知识回顾，问题引入1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是什么形状的？2.二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值分别是怎样的？抛物线分a＞0和a＜0两种情况 学习了二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质之后，现在你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗？化成y=a(x-h)2+k的形式呗！合作学习，探究新知例1 求二次函数y=2x2-8x+7的图象的对称轴和顶点坐标.解：y=2x2-8x+7
=2(x2-4x)+7
=2(x2-4x+4)-8+7
=2(x-2)2-1.∴二次函数y=2x2-8x+7的图象的对称轴是直线x=2,顶点坐标为（2，-1）.解：（1）y=3x2-6x+7
=3(x-1)2+4.
对称轴：
直线x=1
顶点坐标：
（1，4） （2） y=2x2-12x+8
=2(x-3)2-10.
对称轴：
直线x=3
顶点坐标：
（3，-10）练习：求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）y=3x2-6x+7；（2）y=2x2-12x+8.∴二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=- ,顶点坐标为（- ， ）.解: y=ax2+bx+c
=a(x2+ x)+c
=a[x2+2· x+( )2-( )2]+c
=a(x+ )2+ . 例2 求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标. 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线. 向上
（a＞0） 向下
（a＜0）直线
x=-（- ， ）归纳增减性：
a＞0时，x＞- ，y随x的增大而减小
x＜- ，y随x的增大而增大
a＜0时，x＞- ，y随x的增大而增大
x＜ - ，y随x的增大而减小
最值： a＞0时，x=- ，y最小值=
a＜0时，x=- ，y最大值= 做一做：
如图2-6所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线，按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y= x2+ x+10表示，而左、右两条抛物线关于y轴对称.
（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
（2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？解：（1）∵y= x2+ x+10
= (x+20)2+1.
∴左侧钢缆最低点坐标为（-20，1），
∴钢缆最低点到桥面的距离是
1×5=5（m）.（2）∵左、右两侧抛物线关于y轴对称，
∴左、右两侧抛物线的最低点关于y轴对称.
∵左侧抛物线最低点坐标为（-20，1），
∴右侧抛物线最低点坐标为（20，1）.
∴两条钢缆最低点之间的距离是
20×5+20×5=200（m）.解：（1）y=2x2-12x+3
=2(x-3)2-15.
对称轴：直线x=3.
顶点坐标：（3，-15）.（2）y=-5x2+80x-319
=-5(x-8)2+1.
对称轴：直线x=8.
顶点坐标：（8，1）.写出下列二次函数的对称轴和顶点坐标：
（1）y=2x2-12x+3； （2）y=-5x2+80x-319；
（3）y=2(x- )(x-2)；（4）y=3(2x+1)(2-x).随堂练习（3）y=2(x- )(x-2)
=2(x- )2- .
对称轴：
直线x= .
顶点坐标： .
（4）y=3(2x+1)(2-x)
=-6(x- )2+ .
对称轴：
直线 x= .
顶点坐标： .
(1)与a的关系 探究二次函数y=ax2+bx+c的图象的大致位置与a，b，c的关系 a＞0
开口向上 a＜0
开口向下︱a︱越大，
开口越小.知识拓展ooxxyy(2)与a，b的关系 a，b同号
对称轴在
y轴左侧 a，b异号
对称轴在
y轴右侧 b=0
对称轴是y轴xxxyyyooo(3)与c的关系 c＞0
与y轴交点在
y轴正半轴 c＜0
与y轴交点在
y轴负半轴 c=0
与y轴交点
在原点···xxxyyyooo二次函数y=ax2+bx+c的图象是什么？二次函数y=ax2+bx+c的性质有哪些？二次函数y=ax2+bx+c的图象的大致位置与a，b，c的关系作业：习题2.5 课堂小结谢谢！
