第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第3课时
一、教学目标
1．经历探索二次函数y=a(x-h)2+k的图象的作法和性质的过程．
2．能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能够理解它们与y=ax2的图象的关系，理解a，h和k对二次函数图象的影响．
3．能够正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
二、教学重点及难点
重点：1．经历探索二次函数y=a(x-h)2+k的图象的作法和性质的过程．
2．能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能够理解它们与y=ax2的图象之间的关系，理解a，h和k对二次函数图象的影响．
难点：1．能够理解y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象之间的关系，理解a，h和k对二次函数图象的影响．
2．能够正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
三、教学用具
多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资源
《复习二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质》动画，《画二次函数y=2(x-1)2和y=2x2图象》动画，《画二次函数y=2(x-1)2和y=2x2图象》图片，《二次函数y=2x2，，y=2(x+3)2，图象》图片.
五、教学过程
【复习导入】
【数学探究】画二次函数上下平移的图象， 资源为《画二次函数上下平移的图象》知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率。
函数y=ax2+c的图象可以由函数y=ax2的图象上下平移得到，那么它们平移的规律是怎样的？
师生活动：教师给出问题，学生思考后回答．
答：当c＞0时，将二次函数y=ax2的图象向上平移|c|个单位长度可以得到二次函数y=ax2+c的图象；当c＜0时，将二次函数y=ax2的图象向下平移|c|个单位长度可以得到二次函数y=ax2+c的图象．
我们这节课要研究的问题——二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系．
设计意图：创设问题情境，让学生通过类比已学过知识的研究方式来猜想、探究新内容，同时激发学生的好奇心和求知欲．
【探究新知】
做一做 在同一直角坐标系中画出二次函数y=2(x-1)2和y=2x2的图象．
师生活动：师生一起完成画图，教师先出示表格，由学生说出x对应的y值，再描点、连线．教师强调在连线时，注意要用平滑的曲线连线，不能直接用线段把点与点之间连接．
解：（1）列表：在x的取值范围内列出函数的对应值表：
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=2x2
…
18
8
2
0
2
8
18
…
y=2(x-1)2
…
32
18
8
2
0
2
8
…
（2）在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．
（3）连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=2(x-1)2和y=2x2的图象，如下图．
【数学探究】二次函数的平移 本资源为函数平移的知识探究动画，通过调整h或k的值（可以输入数值），确定平移方向和平移数量，动态的展示平移过程，吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率。
设计意图：通过学生动手绘制，加深对函数图象的认识．
议一议 二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？
类似地，你能发现二次函数y=2(x+1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系吗？
师生活动：教师出示问题，学生分组讨论，与组内同学交流自己的想法，教师找每组内学生代表回答．
答：由右图可以看出，二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象形状相同，开口方向也相同，都向上，但对称轴和顶点坐标不同．二次函数y=2(x-1)2的图象的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，0）．实际上，只要将二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位长度，就可以得到二次函数y=2(x－1)2的图象．对于二次函数y=2(x－1)2的图象，当x＞1时，y的值随x值的增大而增大；当x＜1时，y的值随x值的增大而减小．
（画二次函数y=2(x-1)2和y=2x2图象）
类似地，二次函数y=2(x+1)2的图象与二次函数y=2x2的图象形状相同，开口方向也相同，都向上，只是位置不同．将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，就可以得到二次函数y=2(x+1)2的图象，二次函数y=2(x+1)2的图象是轴对称图形，它的对称轴是直线x=-1，顶点坐标是（-1，0）．对于二次函数y=2(x+1)2的图象，当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大；当x＜-1时，y的值随x值的增大而减小．
归纳 二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象形状相同，位置不同；
当h＞0时，二次函数y=ax2的图象向右平移|h|个单位长度可以得到二次函数y=a(x-h)2的图象；
当h＜0时，二次函数y=ax2的图象向左平移|h|个单位长度可以得到二次函数y=a(x-h)2的图象．
设计意图：通过在同一直角坐标中比较三个函数的图象，使三个函数的图象特点一目了然，启发学生寻找规律，从而得出结论．
想一想 由二次函数y=2x2的图象，你能得到二次函数，y=2(x+3)2，的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交流．
师生活动：教师在同一直角坐标系中画出四个函数的图象，让学生通过观察图象、思考、讨论，最后得出结果．
（二次函数y=2x2，，y=2(x+3)2，图象）
答：通过观察图象可以得出，由二次函数y=2x2的图象向下平移个单位长度，就可以得到二次函数的图象；由二次函数y=2x2的图象向左平移3个单位长度，就可以得到二次函数y=2(x+3)2的图象；由二次函数y=2x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移个单位长度，就可以得到二次函数的图象．
设计意图：培养学生分析问题和解决问题的能力．
议一议 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象有什么关系？
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案．
答：二次函数y=a(x-h)2+k的图象与二次函数y=ax2的图象都是抛物线，它们的形状相同，但位置不同．把二次函数y=ax2的图象向上（下）向左（右）平移，可以得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象，平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．
设计意图：将学生探索得出的信息总结出来形成结论．
归纳 二次函数y=a(x-h)2+k的图象的对称轴是直线x=h，顶点坐标是（h，k）．
（1）当a＞0时，二次函数y=a(x-h)2+k的图象的开口向上，在对称轴的左侧（当x＜h时），图象自左向右下降，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧（当x＞h时），图象自左向右上升，y随x的增大而增大．顶点是二次函数图象的最低点，此时，函数y取得最小值，即当x=h时，y有最小值k．
（2）当a＜0时，二次函数y=a(x-h)2+k的图象的开口向下，在对称轴的左侧（当x＜h时），图象自左向右上升，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧（当x＞h时），图象自左向右下降，y随x的增大而减小．顶点是二次函数图象的最高点，此时，函数y取得最大值，即当x=h时，y有最大值k．
二次函数y=a(x-h)2+k的图象可以由二次函数y=ax2的图象平移得到．
设计意图：对知识进行归纳，加深学生对知识的理解和掌握．
【典例精析】
例 若将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（ ）．
A．y=(x+2)2+2 B．y=(x+2)2-2
C．y=(x-2)2+2 D．y=(x-2)2-2
师生活动：教师出示例题，找学生代表回答．
答案：B．
设计意图：巩固所学知识，加深对所学知识的理解．
【课堂练习】
1．对于抛物线的说法错误的是（ ）．
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标是（1，0）
C．抛物线的对称轴是直线x=1 D．当x＞1时，y随x的增大而增大
2．将抛物线向左平移2个单位后，其顶点坐标为（ ）．
A．（-3，-2） B．（-2，0） C．（-5，0） D．（-3，0）
3．将抛物线沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向下平移3个单位得到抛物线（ ）．
A． B．
C． D．
4．由二次函数y=2(x-3)2+1，可知（ ）．
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=-3
C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大
5．抛物线的对称轴是_________，顶点坐标是___________；当x＞2时，y随x的增大而__________；当x＜2时，y随x的增大而__________；当x=______时，函数有_______值，其值为_________．
6．若二次函数的图象的对称轴是直线，且图象经过点A(0，-4)和B(4，0)．求此二次函数的解析式．
师生活动：教师先找几名学生代表回答，然后讲解出现的问题．
参考答案
1．D．2．C．3．B．4．C．
5．直线x=2；（2，7）；减小；增大；2；大；7．
6．解：设此二次函数的解析式为．
将点A，点B的坐标代入解析式，得
解得
所以此二次函数的解析式为．
设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
六、课堂小结
1．二次函数y=a(x-h)2的性质
二次函数y=a(x-h)2的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=h，顶点坐标是（h，0）．
（1）当a＞0时，抛物线y=a(x-h)2的开口向上，在对称轴的左侧（当x＜h时），图象自左向右下降，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧（当x＞h时），图象自左向右上升，y随x的增大而增大．顶点是抛物线的最低点，此时，函数y取得最小值，即当x=h时，y有最小值0．
（2）当a＜0时，抛物线y=a(x-h)2的开口向下，在对称轴的左侧（当x＜h时），图象自左向右上升，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧（当x＞h时），图象自左向右下降，y随x的增大而减小．顶点是抛物线的最高点，此时，函数y取得最大值，即当x=h时，y有最大值0．
2．二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象之间的关系
二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象形状相同，位置不同．二次函数y=a(x-h)2的图象可由二次函数y=ax2的图象经过左右平移得到．当h＞0时，二次函数y=a(x-h)2的图象可看成是将二次函数y=ax2的图象向右平移|h|个单位长度得到的；当h＜0时，二次函数y=a(x-h)2的图象可看成是将二次函数y=ax2的图象向左平移|h|个单位长度得到的．
3．二次函数y=a(x-h)2+k的性质
二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=h，顶点坐标是(h，k)．
（1）当a＞0时，抛物线y=a(x-h)2+k的开口向上，在对称轴的左侧（当x＜h时），图象自左向右下降，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧（当x＞h时），图象自左向右上升，y随x的增大而增大．顶点是抛物线的最低点，此时，函数y取得最小值，即当x=h时，y有最小值k．
（2）当a＜0时，抛物线y=a(x-h)2+k的开口向下，在对称轴的左侧（当x＜h时），图象自左向右上升，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧（当x＞h时），图象自左向右下降，y随x的增大而减小．顶点是抛物线的最高点，此时，函数y取得最大值，即当x=h时，y有最大值k．
4．二次函数y=a(x-h)2+k的图象与二次函数y=ax2的图象之间的关系
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与二次函数y=ax2的图象形状相同，位置不同．把二次函数y=ax2的图象向上（下）向左（右）平移，可以得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象．平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．
师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
2.2 二次函数的图象与性质（3）
1．二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
2．二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
课件30张PPT。第二章 二次函数2.2 二次函数的图象和性质
第 3 课时 学习目标1．经历探索二次函数y=a(x-h)2+k的图象的作法和性质的过程．
2．能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能够理解它们与y=ax2的图象的关系，理解a，h和k对二次函数图象的影响．
3．能够正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．复习导入 函数y=ax2+c的图象可以由函数y=ax2的图象上下平移得到，那么它们平移的规律是怎样的？【数学探究】画二次函数上下平移的图象， 资源为《画二次函数上下平移的图象》知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率。 复习导入答：当c＞0时，将二次函数y=ax2的图象向上平移|c|个单位长度可以得到二次函数y=ax2+c的图象；当c＜0时，将二次函数y=ax2的图象向下平移|c|个单位长度可以得到二次函数y=ax2+c的图象． 这节课要研究的问题——二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系．探究新知做一做 在同一直角坐标系中画出二次函数y=2(x-1)2和y=2x2的图象．解：（1）列表：在x的取值范围内列出函数的对应值表：探究新知（2）在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．（3）连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=2(x-1)2和y=2x2的图象，如图所示．【数学探究】二次函数的平移 本资源为函数平移的知识探究动画，通过调整h或k的值（可以输入数值），确定平移方向和平移数量，动态的展示平移过程，吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率。探究新知议一议
二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？类似地，你能发现二次函数y=2(x+1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系吗？探究新知答：由右图可以看出，二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象形状相同，开口方向也相同，都向上，但对称轴和顶点坐标不同．二次函数y=2(x-1)2的图象的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，0）．实际上，只要将二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位长度，就可以得到二次函数y=2(x-1)2的图象．对于二次函数y=2(x-1)2的图象，当x＞1时，y的值随x值的增大而增大；当x＜1时，y的值随x值的增大而减小．（画二次函数y=2(x-1)2和y=2x2图象）探究新知类似地，二次函数y=2(x+1)2的图象与二次函数y=2x2的图象形状相同，开口方向也相同，都向上，只是位置不同．将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，就可以得到二次函数y=2(x+1)2的图象，二次函数y=2(x+1)2的图象是轴对称图形，它的对称轴是直线x=-1，顶点坐标是（-1，0）．对于二次函数y=2(x+1)2的图象，当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大；当x＜-1时，y的值随x值的增大而减小．探究新知归纳
二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象形状相同，位置不同；
当h＞0时，二次函数y=ax2的图象向右平移|h|个单位长度可以得到二次函数y=a(x-h)2的图象；
当h＜0时，二次函数y=ax2的图象向左平移|h|个单位长度可以得到二次函数y=a(x-h)2的图象．探究新知探究新知答：通过观察图象可以得出，由二次函数y=2x2的图象向左平移3个单位长度，就可以得到二次函数y=2(x+3)2的图象；探究新知探究新知议一议 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象有什么关系？答：二次函数y=a(x-h)2+k的图象与二次函数y=ax2的图象都是抛物线，它们的形状相同，但位置不同．把二次函数y=ax2的图象向上（下）向左（右）平移，可以得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象，平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．探究新知归纳 二次函数y=a(x-h)2+k的图象的对称轴是直线x=h，顶点坐标是（h，k）．
（1）当a＞0时，二次函数y=a(x-h)2+k的图象的开口向上，在对称轴的左侧（当x＜h时），图象自左向右下降，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧（当x＞h时），图象自左向右上升，y随x的增大而增大．顶点是二次函数图象的最低点，此时，函数y取得最小值，即当x=h时，y有最小值k．探究新知（2）当a＜0时，二次函数y=a(x-h)2+k的图象的开口向下，在对称轴的左侧（当x＜h时），图象自左向右上升，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧（当x＞h时），图象自左向右下降，y随x的增大而减小．顶点是二次函数图象的最高点，此时，函数y取得最大值，即当x=h时，y有最大值k．二次函数y=a(x-h)2+k的图象可以由二次函数y=ax2的图象平移得到．典例精析例 若将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（ ）．A．y=(x+2)2+2 B．y=(x+2)2-2
C．y=(x-2)2+2 D．y=(x-2)2-2B课堂练习1．对于抛物线 的说法错误的是（ ）．
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的顶点坐标是（1，0）
C．抛物线的对称轴是直线x=1
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
2．将抛物线 向左平移2个单位后，其顶点坐标为（ ）
A．（-3，-2） B．（-2，0） C．（-5，0） D．（-3，0）DC课堂练习3．将抛物线 沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向下平移3个单位得到抛物线（ ）．
A． B．
C． D．
4．由二次函数y=2(x-3)2+1，可知（ ）．
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=-3
C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大BC课堂练习5．抛物线 的对称轴是___ ___，顶点坐标是________；当x＞2时，y随x的增大而_______；当x＜2时，y随x的增大而_______；当x=______时，函数有_____值，其值为_________．
6．若二次函数的图象的对称轴是直线 ，且图象经过点A(0，-4)和B(4，0)．求此二次函数的解析式．直线x=2（2，7）减小增大2最大7课堂练习课堂小结课堂小结1．二次函数y=a(x-h)2的性质
二次函数y=a(x-h)2的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=h，顶点坐标是（h，0）．
（1）当a＞0时，抛物线y=a(x-h)2的开口向上，在对称轴的左侧（当x＜h时），图象自左向右下降，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧（当x＞h时），图象自左向右上升，y随x的增大而增大．顶点是抛物线的最低点，此时，函数y取得最小值，即当x=h时，y有最小值0．课堂小结（2）当a＜0时，抛物线y=a(x-h)2的开口向下，在对称轴的左侧（当x＜h时），图象自左向右上升，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧（当x＞h时），图象自左向右下降，y随x的增大而减小．顶点是抛物线的最高点，此时，函数y取得最大值，即当x=h时，y有最大值0．课堂小结2．二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象之间的关系
二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象形状相同，位置不同．二次函数y=a(x-h)2的图象可由二次函数y=ax2的图象经过左右平移得到．当h＞0时，二次函数y=a(x-h)2的图象可看成是将二次函数y=ax2的图象向右平移|h|个单位长度得到的；当h＜0时，二次函数y=a(x-h)2的图象可看成是将二次函数y=ax2的图象向左平移|h|个单位长度得到的．课堂小结3．二次函数y=a(x-h)2+k的性质
二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=h，顶点坐标是(h，k)．
（1）当a＞0时，抛物线y=a(x-h)2+k的开口向上，在对称轴的左侧（当x＜h时），图象自左向右下降，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧（当x＞h时），图象自左向右上升，y随x的增大而增大．顶点是抛物线的最低点，此时，函数y取得最小值，即当x=h时，y有最小值k．课堂小结3．二次函数y=a(x-h)2+k的性质
二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=h，顶点坐标是(h，k)．
（1）当a＞0时，抛物线y=a(x-h)2+k的开口向上，在对称轴的左侧（当x＜h时），图象自左向右下降，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧（当x＞h时），图象自左向右上升，y随x的增大而增大．顶点是抛物线的最低点，此时，函数y取得最小值，即当x=h时，y有最小值k．课堂小结（2）当a＜0时，抛物线y=a(x-h)2+k的开口向下，在对称轴的左侧（当x＜h时），图象自左向右上升，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧（当x＞h时），图象自左向右下降，y随x的增大而减小．顶点是抛物线的最高点，此时，函数y取得最大值，即当x=h时，y有最大值k．课堂小结4．二次函数y=a(x-h)2+k的图象与二次函数y=ax2的图象之间的关系
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与二次函数y=ax2的图象形状相同，位置不同．把二次函数y=ax2的图象向上（下）向左（右）平移，可以得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象．平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．再见
