第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第2课时
一、教学目标
1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．
2．能作出二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并能够比较出它们与二次函数y=x2的图象的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．
3．能够说出二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
4．理解并能说出二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象之间的关系．
二、教学重点及难点
重点：二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象及其性质．
难点：二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象之间的关系．
三、教学用具
多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资源
《复习二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质》动画，《画二次函数y=2x2图象》动画，《二次函数y=2x2图象》图片，《二次函数y=2x2与y=x2图象》图片，《二次函数，y=x2，y=2x2图象》图片，《二次函数y=2x2+1图象》图片.
五、教学过程
【复习引入】
请回忆二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质.
【数学探究】探索二次函数y=ax2的图象性质，资源为《探索二次函数y=ax2的图象性质》知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率。
1．二次函数y=x2的图象与性质：
（1）二次函数y=x2的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称；
（2）在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；
（3）对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点，即当x=0时，y有最小值0．
2．二次函数y=-x2的图象与性质：
（1）二次函数y=-x2的图象也是一条抛物线，它的开口向下，且关于y轴对称；
（2）在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小；
（3）对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最高点，即当x=0时，y有最大值0．
这节课我们来研究形如y=ax2和y=ax2+c的二次函数的图象与性质．
师生活动：教师可以让学生口答二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质．
设计意图：复习巩固旧知识，扫清学习过程中的障碍，导入新课．
【探究新知】
做一做 画出二次函数y=2x2的图象．
师生活动：师生一起完成画图，教师先出示表格，由学生说出x对应的y值，再描点、连线．教师强调在连线时，注意要用平滑的曲线连线，不能直接用线段把点与点之间连接．
解：（1）列表：在x的取值范围内列出函数的对应值表：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=2x2
…
8
2
0
2
8
…
（2）在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．
（3）连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=2x2的图象，如图所示．
【数学探究】探索二次函数y=ax2的图象性质，调整a=2时，通过交互式动画的方式，探究y=2x2的图象性质，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率。
设计意图：通过学生动手绘制，加深对函数图象的认识．
议一议 二次函数y=2x2的图象是什么形状？它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
师生活动：教师出示问题并引导学生在同一坐标系中画出二次函数y=2x2的图象和二次函数y=x2的图象，学生思考、讨论，师生共同得出答案．
答：由下图可以看出：二次函数y=2x2的图象是一条开口向上的抛物线．
（二次函数y=2x2）
二次函数y=2x2的图象与二次函数y=x2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标都相同，当x＜0时，都是y的值随x值的增大而减小，当x＞0时，都是y的值随x值的增大而增大，都有最低点，即y的最小值均为0．
（二次函数y=2x2与y=x2图象）
二次函数y=2x2的图象与二次函数y=x2的图象的不同之处：二次函数y=2x2的图象在二次函数y=x2的图象的内部，也就是二次函数y=2x2的图象开口小，二次函数y=x2的图象开口大，这说明y=2x2函数值的增长速度较快．
二次函数y=2x2的图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0）．
设计意图：培养学生分析问题和解决问题的能力．
想一想 在同一坐标系中画出二次函数，y=x2，y=2x2的图象，二次函数的图象与二次函数y=x2，y=2x2的图象有什么相同和不同？
师生活动：教师出示问题并引导学生在同一坐标系中画出二次函数的图象和二次函数y=x2，y=2x2的图象，学生思考、讨论，师生共同得出答案．
解：（1）列表：
选择适当的x值，并分别计算相应的y值．
x
…
-2
-1
0
1
2
…
…
2
0
2
…
y=x2
…
4
1
0
1
4
…
y=2x2
…
8
2
0
2
8
…
（2）在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．
（3）连线：用光滑的曲线分别连接各点，便得到函数，y=x2，y=2x2的图象，如图所示．
（二次函数，y=x2，y=2x2图象）
相同点：二次函数，y=x2，y=2x2的图象都是抛物线，开口向上，有公共的顶点（0，0），函数的图象都关于y轴对称．
不同点：抛物线的开口大小不同，越大，开口越小，抛物线上各点（除原点外）坐标均不同．
设计意图：引导学生发现系数a对二次函数图象开口大小的影响．
做一做 画出二次函数y=2x2+1的图象．
师生活动：师生一起完成画图，教师先出示表格，由学生说出x对应的y值，再描点、连线．教师强调在连线时，注意要用平滑的曲线连接．
解：（1）列表：
在x的取值范围内列出函数的对应值表：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=2x2+1
…
9
3
1
3
9
…
（2）在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．
（3）连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到二次函数y=2x2+1的图象，如图所示．
（二次函数y=2x2+1图象）
设计意图：学生动手绘制，加深对函数图象的认识．
议一议 二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？二次函数y=2x2-1的图象呢？
师生活动：教师出示问题，学生以小组为单位进行讨论，并推荐学生代表回答．
答：二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象形状相同，位置不同，它们的开口方向都向上，都是轴对称图形，对称轴都是y轴，它们的顶点坐标不同，二次函数y=2x2的图象的顶点坐标是（0，0），而二次函数y=2x2+1的图象的顶点坐标是（0，1），只要将二次函数y=2x2的图象向上平移1个单位长度，就可以得到二次函数y=2x2+1的图象．
二次函数y=2x2-1的图象与二次函数y=2x2的图象形状相同，位置不同，它们的开口方向都向上，都是轴对称图形，对称轴都是y轴，它们的顶点坐标不同，二次函数y=2x2的图象的顶点坐标是（0，0），而二次函数y=2x2-1的图象的顶点坐标是（0，-1），只要将二次函数y=2x2的图象向下平移1个单位长度，就可以得到二次函数y=2x2-1的图象．
归纳
二次函数y=ax2+c的图象与二次函数y=ax2的图象形状相同，开口方向相同，对称轴也相同，只是顶点不同；二次函数y=ax2+c的图象可以看成二次函数y=ax2的图象整体向上或向下平移得到的，当c＞0时，向上平移个单位，当c＜0时，向下平移个单位．
设计意图：对知识进行归纳，加深学生对知识的理解和掌握．
【典例精析】
例 二次函数y=3x2-2的图象可由二次函数y=3x2的图象向__________平移___________个单位得到，二次函数y=3x2-2的图象的顶点坐标是______________，对称轴是_______________．
师生活动：学生独立完成本题，教师找学生代表回答并讲解出现的问题．
答案：下；两；(0，-2)；y轴．
设计意图：巩固所学知识，加深对所学知识的理解．
【课堂练习】
1．二次函数的图象要变为二次函数的图象，下列平移方式正确的是（ ）．
A．向上平移了3个单位 B．向下平移了3个单位
C．向上平移了1个单位 D．向下平移了1个单位
2．抛物线不具有的性质是（ ）．
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．与y轴不相交 D．最高点是坐标原点
3．二次函数y=-3x2，y=-5x2的图象中，开口较大的是__________，开口方向__________，对称轴__________，顶点__________．
4．一条抛物线其形状与相同，对称轴与抛物线y=3x2+4相同，且顶点的纵坐标是-2．求这条抛物线的解析式并用描点法画出它的图象．
参考答案
1．D．2．C．3．y=-3x2；都向下；都是y轴；都是原点．
4．解：∵所求抛物线的形状与相同，∴a=．
∵所求抛物线的对称轴与抛物线y=3x2+4相同，即对称轴为y轴．
又∵所求抛物线顶点的纵坐标为-2，∴顶点坐标为(0，-2)．
∴所求抛物线的解析式为．作图略．
师生活动：教师先找几名学生代表回答，然后讲解出现的问题．
解析：把化为，可以看到在原来的基础上减去了1个单位，所以应当是向下移动了1个单位．
设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
六、课堂小结
1．二次函数y=ax2的性质：
一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点．当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线y=ax2，|a|越大，抛物线的开口越小．
从二次函数y=ax2的图象可以看出：如果a＞0，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．
2．二次函数y=ax2+c的图象与二次函数y=ax2的图象之间的关系：
二次函数y=ax2+c的图象与二次函数y=ax2的图象形状相同，开口方向相同，对称轴也相同，只是顶点不同；二次函数y=ax2+c的图象可以看成二次函数y=ax2的图象整体向上或向下平移得到的，当c＞0时，向上平移个单位，当c＜0时，向下平移个单位．
师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
2.2 二次函数的图象与性质（2）
1．二次函数y=ax2的图象与性质
2．二次函数y=ax2+c的图象与性质
课件29张PPT。第二章 二次函数2.2 二次函数的图象和性质
第 2 课时 学习目标1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．
2．能作出二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并能够比较出它们与二次函数y=x2的图象的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．
3．能够说出二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
4．理解并能说出二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象之间的关系复习导入请回忆二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质.【数学探究】探索二次函数y=ax2的图象性质，资源为《探索二次函数y=ax2的图象性质》知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率。复习导入1．二次函数y=x2的图象与性质：
（1）二次函数y=x2的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称；
（2）在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
在对称轴右侧，y随x的增大而增大；
（3）对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点，即当x=0时，y有最小值0．复习导入2．二次函数y=-x2的图象与性质：
（1）二次函数y=-x2的图象也是一条抛物线，它的开口向下，且关于y轴对称；
（2）在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
在对称轴右侧，y随x的增大而减小；
（3）对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最高点，即当x=0时，y有最大值0．探究新知做一做 画出二次函数y=2x2的图象．解：（1）列表：在x的取值范围内列出函数的对应值表：（2）在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．探究新知（3）连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=x2的图象，如图所示．【数学探究】探索二次函数y=ax2的图象性质，调整a=2时，通过交互式动画的方式，探究y=2x2的图象性质，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率。探究新知议一议 二次函数y=2x2的图象是什么形状？它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？答：由图可以看出：二次函数y=2x2的图象是一条开口向上的抛物线．（二次函数y=2x2与y=x2图象）探究新知（二次函数y=2x2与y=x2图象）二次函数y=2x2的图象与二次函数y=x2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标都相同，当x＜0时，都是y的值随x值的增大而减小，当x＞0时，都是y的值随x值的增大而增大，都有最低点，即y的最小值均为0．探究新知（二次函数y=2x2与y=x2图象）二次函数y=2x2的图象与二次函数y=x2的图象的不同之处：二次函数y=2x2的图象在二次函数y=x2的图象的内部，也就是二次函数y=2x2的图象开口小，二次函数y=x2的图象开口大，这说明y=2x2函数值的增长速度较快．二次函数y=2x2的图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0）．探究新知解：（1）列表：探究新知（2）在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．探究新知探究新知做一做 画出二次函数y=2x2+1的图象．解：（1）列表：在x的取值范围内列出函数的对应值表：（2）在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．探究新知（3）连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到二次函数y=2x2+1的图象，如图所示．（二次函数y=2x2+1图象）探究新知议一议 二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？二次函数y=2x2-1的图象呢？探究新知答：二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象形状相同，位置不同，它们的开口方向都向上，都是轴对称图形，对称轴都是y轴，它们的顶点坐标不同，二次函数y=2x2的图象的顶点坐标是（0，0），而二次函数y=2x2+1的图象的顶点坐标是（0，1），只要将二次函数y=2x2的图象向上平移1个单位长度，就可以得到二次函数y=2x2+1的图象．探究新知二次函数y=2x2-1的图象与二次函数y=2x2的图象形状相同，位置不同，它们的开口方向都向上，都是轴对称图形，对称轴都是y轴，它们的顶点坐标不同，二次函数y=2x2的图象的顶点坐标是（0，0），而二次函数y=2x2-1的图象的顶点坐标是（0，-1），只要将二次函数y=2x2的图象向下平移1个单位长度，就可以得到二次函数y=2x2-1的图象．探究新知典例精析例 二次函数y=3x2-2的图象可由二次函数y=3x2的图象向__________平移___________个单位得到，二次函数y=3x2-2的图象的顶点坐标是__________，对称轴是_______________；下两(0，-2)y轴课堂练习1.二次函数 的图象要变为二次函数
的图象，下列平移方式正确的是（ ）A．向上平移了3个单位
B．向下平移了3个单位
C．向上平移了1个单位
D．向下平移了1个单位D课堂练习2．抛物线 不具有的性质是（ ）．
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．与y轴不相交 D．最高点是坐标原点
3．二次函数y=-3x2，y=-5x2的图象中，开口较大的是__________，开口方向__________，对称轴__________，顶点__________．Cy=-3x2都向下都是y轴都是原点课堂练习4．一条抛物线其形状与 相同，对称轴与抛物线y=3x2+4相同，且顶点的纵坐标是-2．求这条抛物线的解析式并用描点法画出它的图象．课堂小结课堂小结课堂小结1．二次函数y=ax2的性质：
一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点．当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线y=ax2，|a|越大，抛物线的开口越小．课堂小结从二次函数y=ax2的图象可以看出：
如果a＞0，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；
如果a＜0，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．课堂小结2．二次函数y=ax2+c的图象与二次函数y=ax2的图象之间的关系：再见
