2020年高考数学一轮复习 04函数性质 学案

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一轮复习04函数的基本性质
一、函数的单调性
1．函数单调性的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，
当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数
图象描述 自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的
设，.若有或，则在闭区间上是增函数；若有或，则在闭区间上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.
2．单调区间的定义
若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．
注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．
（3）“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然.
（4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
3．函数单调性的常用结论
（1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数；
（2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；
（3）函数在公共定义域内与，的单调性相反；
（4）函数在公共定义域内与的单调性相同；
（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；
（6）一些重要函数的单调性：
①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减；
②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．
4．函数的最值
前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件 （1）对于任意的，都有；（2）存在，使得 （3）对于任意的，都有；（4）存在，使得
结论 为最大值 为最小值
注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；
（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.
二、函数的奇偶性
1．函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称
奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
2．函数奇偶性的几个重要结论
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
（2），在它们的公共定义域上有下面的结论：

偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
（3）若奇函数的定义域包括，则．
（4）若函数是偶函数，则．
（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．
（6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数．
（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：
①函数为偶函数，函数为奇函数．
②函数（且）为奇函数．
③函数（且）为奇函数．
④函数（且）为奇函数．
三、函数的周期性
1．周期函数
对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.
注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
3．函数周期性的常用结论
设函数，.
①若，则函数的周期为；
②若，则函数的周期为；
③若，则函数的周期为；
④若，则函数的周期为；
⑤函数关于直线与对称，那么函数的周期为 ；
⑥若函数关于点对称，又关于点对称，则函数的周期是；
⑦若函数关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期是；
⑧若函数是偶函数，其图象关于直线对称，则其周期为；
⑨若函数是奇函数，其图象关于直线对称，则其周期为.
考向一 函数的单调性
函数单调性的应用主要有：
（1）由的大小关系可以判断与的大小关系，也可以由与的大小关系判断出的大小关系．比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较.
（2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值．
（3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
（4）利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内．
典例1若函数在上单调递增，则的取值范围是__________．
【解析】∵函数在上单调递增，
∴函数在区间上为增函数，
∴，解得，
∴实数的取值范围是．

典例2 已知函数f（x+1）为偶函数，且f（x）在（1，+∞）上单调递增，f（–1）=0，则f（x–1）>0的解集为
A．（–∞，0）∪（4，+∞） B．（–∞，–1）∪（3，+∞）
C．（–∞，–1）∪（4，+∞） D．（–∞，0）∪（1，+∞）
【解析】∵函数f（x+1）为偶函数，∴f（–x+1）=f（x+1），
则函数f（x）的图象关于直线x=1对称，∵f（–1）=0，∴f（–1）=f（3）=0．
又∵f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴由不等式f（x–1）>0，可得x–1>3或x–1<–1，解得x>4或x<0．
即f（x–1）>0的解集为（–∞，0）∪（4，+∞），故选A．
对点训练
1．已知为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序是
A． B．
C． D．
考向二 函数最值的求解
1．利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．若函数在闭区间上是增函数，则在上的最小值为，最大值为；若函数在闭区间上是减函数，则在上的最小值为，最大值为.
2．求函数的最值实质上是求函数的值域，因此求函数值域的方法也用来求函数最值.
3．由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因此应先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值.
4．求函数最值的方法还有数形结合法和导数法.

典例3 已知二次函数，分别是函数在区间上的最大值和最小值，则的最小值为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当，即时，；
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，，
综上所述，的最小值为1，故选B.
典例4 已知函数，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值．
【解析】易知函数的图象的对称轴为直线x＝1，
（1）当1≥t＋2，即时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.
（2）当≤1（3）当t≤1<，即0（4）当11时，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.
设函数f(x)的最大值为g(t)，最小值为φ(t)，则有 ，.
对点训练
已知函数，若在区间上，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．

考向三函数的奇偶性
判断函数奇偶性的常用方法及思路：
（1）定义法：

（2）图象法：

（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.
注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围相应地化简解析式，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．
②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．
③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程.

典例5 函数的导函数是偶函数，则实数__________．
【解析】设，则，因为是奇函数，是偶函数，故，即是奇函数，选C．
典例6 已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则
A．2 B．
C．1 D．
【答案】B【解析】根据题意，函数满足，
则有，
则函数是周期为8的周期函数，则，
又由函数为奇函数，则，又，
则，即，
故选B．
对点训练
3．若函数为偶函数，则的值为__________．
考向四函数奇偶性的应用
1．与函数奇偶性有关的问题及解决方法：
（1）已知函数的奇偶性，求函数的值．
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
（2）已知函数的奇偶性求解析式.
已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可.
（3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数.
在定义域关于原点对称的前提下，利用为奇函数，为偶函数，列式求解，也可以利用特殊值法求解.对于在处有定义的奇函数，可考虑列式求解.
（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式.
利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性.
2．对称性的三个常用结论：
（1）若函数是偶函数，即，则函数的图象关于直线对称；
（2）若对于上的任意x都有或，则的图象关于直线对称；
（3）若函数是奇函数，即，则函数关于点中心对称．

典例7 已知定义在上的奇函数满足，若，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－3,1)
【解析】由题意可得在上为增函数，又为定义在上的奇函数，
所以在上为增函数．
由得，即，解得.
故实数a的取值范围是(－3,1).
典例8 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为__________．
【答案】
【解析】∵是定义在上的奇函数，∴.
又当时，，∴.
又为奇函数，∴，∴，
∴.
当时，由得，解得；
当时，无解；
当时，由得，解得.
综上，不等式的解集用区间表示为．
对点训练
4．已知偶函数在上单调递增，若,则满足的的取值范围是
A． B．
C． D．

考向五函数周期性的判断及应用
（1）判断函数的周期，只需证明，便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
（2）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则且)也是函数的周期.
（3）利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解.

典例9 定义在实数集上的函数满足，且，现有以下三种叙述：
①是函数的一个周期；②的图象关于直线对称；③是偶函数．
其中正确的序号是 ．
【答案】①②③
【解析】由得，所以，所以是的一个周期，也是的一个周期，①正确；
由得的图象关于直线对称，②正确；
由得，所以，所以函数是偶函数，③正确．
所以正确的序号是①②③．
对点训练
5．已知为定义在上周期为2的奇函数，当时，，若，则
A．6 B．4
C． D．
考向六 函数性质的综合应用
函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度：
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.

典例10 已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为满足，所以，所以函数是以8为周期的周期函数，则.
由是定义在上的奇函数，且满足，得.
因为在区间上是增函数，是定义在上的奇函数，所以在区间上是增函数，
所以，即.
对点训练
6．已知函数 若f(3－2a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是________．

课时过关训练
1．下列函数中，在其定义域上是减函数的为
A． B．
C． D．
2．函数，且的图象可能为
A． B．
C． D．
3．已知函数满足，且在上单调递增，则
A． B．
C． D．
4．已知函数为偶函数，且函数与的图象关于直线对称，若，则
A． B．
C． D．
5．已知定义在上的函数满足：对任意实数都有，，且时，，则的值为
A． B．
C． D．
6．设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是
A． B．
C． D．
7．（2019年高考新课标Ⅲ卷理数）设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则
A．（log3）＞（）＞（）
B．（log3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（log3）
D．（）＞（）＞（log3）
8．（2018年高考新课标Ⅲ卷文科）下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是
A． B．
C． D．
9．（2018年高考新课标II卷理科）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则
A． B．0
C．2 D．50
10．（2017年高考浙江卷）若函数f(x)=x2+ ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M – m
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
11．（2017年高考新课标Ⅰ卷理科）函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是
A． B．
C． D．
12．（2017年高考天津卷理科）已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为
A． B．
C． D．
13．（2017年高考浙江卷）已知aR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．
14．（2019年高考新课标Ⅱ卷理数）已知是奇函数，且当时，.若，则__________．
15．（2019年高考北京理数）设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．

参考答案
对点训练
1．【答案】A
【解析】因为为定义在上的偶函数，且在上为增函数，所以，又，所以，所以．故选A．
2．【答案】
【解析】要使在区间上，不等式恒成立，只需恒成立，设，只需小于在区间上的最小值，
因为，所以当时，，所以，所以实数的取值范围是.
3．【答案】
【解析】因为函数为偶函数，
所以由可得，
则，∴，故答案为.
4．【答案】B 【解析】由题设知偶函数在上单调递增，
若,则，即 解得或.故选B．

5．【答案】A
【解析】因为是周期为2的奇函数，所以，解得，故选A．10．
6.【解析】
因为函数 是单调递减函数，所以原不等式等价于
课时过关训练
1．【答案】D【解析】对于A答案，为二次函数，则函数在上单调递增，在上单调递减， 在其定义域范围内有增有减，故不正确；
对于B答案，为反比例函数，在上单调递减，在上单调递减，在定义域范围内没有单调性，不满足题意；
对于C答案， ，则在上单调递减，上单调递增，不满足题意；
对于D答案，定义域为，由复合函数的单调性可知，整个定义域范围内单调递减，故满足题意；故答案选D.

2．【答案】D【解析】因为，函数为奇函数，函数的图象关于原点对称， 可排除选项A，B，当时，，可排除选项C，故选D．
3．【答案】B
【解析】∵f（2+x）=f（2?x），∴f（x）的图象关于直线x=2对称，∴f（?1）=f（5），又f（x）在上单调递增，∴f（3）故选B．
4．【答案】B
【解析】∵f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，且g（2）=3, ∴f（3）=2,
∵f（x）为偶函数,∴f（?3）=f（3）=2．
故答案为B.
5．【答案】B
【解析】对任意实数都有,可得到函数的周期是6，，即函数为偶函数，则,根据奇偶性得到.
故答案为B．
6．【答案】B
【解析】易知函数在上单调递减，又函数是定义在上的偶函数，所以函数在上单调递增，则由，得，即，即，即在上恒成立，
则，解得，即的最大值为.
故选B.

7．【答案】C
【解析】是定义域为的偶函数，．
，
又在(0，+∞)上单调递减，
∴，
即.故选C．
8．【答案】B
【解析】函数过定点（1，0），（1，0）关于直线x=1对称的点还是（1，0），只有的图象过此点.故选项B正确.
9．【答案】C
【解析】因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
因为，从而，故选C．
10．【答案】B
【解析】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．
11．【答案】D
【解析】因为为奇函数且在单调递减，要使成立，则满足，从而由得，即满足的的取值范围为，选D.
12．【答案】C
【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以当时，，从而是上的偶函数，且在上是增函数，，，又，则，所以，，所以，故选C．


13．【答案】
【解析】，分类讨论：
①当时，，
函数的最大值为，舍去；
②当时，，此时命题成立；
③当时，，则：
或，解得或．
综上可得，实数的取值范围是．
14．【答案】
【解析】由题意知是奇函数，且当时，，
又因为，，
所以，
两边取以为底数的对数，得，
所以，即．
15．【答案】
【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.
若函数为奇函数，则即，
即对任意的恒成立，
则，得.
若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，
即在R上恒成立，
又，则，即实数的取值范围是.














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