【备考2020】高考一轮复习 05二次函数与幂函数 学案

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一轮复习05二次函数与幂函数
一、二次函数
1．二次函数的概念
形如的函数叫做二次函数.
2．表示形式
(1)一般式：f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0).
(2)顶点式：f(x)=a(x?h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标.
(3)两根式：f(x)=a(x?x1)(x?x2)(a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标.
3．二次函数的图象与性质
函数解析式
图象(抛物线)
定义域 R
值域
对称性 函数图象关于直线对称
顶点坐标
奇偶性 当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上是减函数； 在上是增函数. 在上是增函数； 在上是减函数.
最值 当时， 当时，
4．常用结论
(1)函数f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2＋bx＋c=0的实根.
(2)若x1，x2为f(x)=0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1?x2|=.
(3)当且()时，恒有f(x)>0()；当且()时，恒有f(x)<0().
二、幂函数
1．幂函数的概念
一般地，形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x为自变量，α为常数.
2．几个常见幂函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
单调性 在上单调递增 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减
过定点 过定点 过定点
3．常用结论
(1)幂函数在上都有定义.
(2)幂函数的图象均过定点.
(3)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递增.
(4)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递减.
(5)幂函数在第四象限无图象.
考向一 幂函数的图象与性质
1．幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：
①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．
②幂函数的指数与图象特征的关系
当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下：
α α>1 0<α<1 α<0
图象
特殊点 过(0，0)，(1，1) 过(0，0)，(1，1) 过(1，1)
凹凸性 下凸 上凸 下凸
单调性 递增 递增 递减
举例 y=x2 、
2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：
结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.
典例1 如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知，相应曲线对应的值依次为

A． B．
C． D．
【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线对应的值依次为．
故选B．
对点训练
1．已知函数是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数
A． B．2
C．3 D．2或

典例2 设，则的大小关系是
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
【解析】因为在上是增函数，所以又因为在上是减函数，所以.
对点训练
2．已知，，，则下列结论成立的是
A． B．
C． D．
考向三 二次函数的图象与性质
高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低，常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题，考查二次函数图象与性质的应用，以选择题、填空题的形式呈现，有时也出现在解答题中，解题时要准确运用二次函数的图象与性质，掌握数形结合的思想方法.常见类型及解题策略：
1．图象识别问题
辨析二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面着手讨论或逐项排除．
2．二次函数最值问题的类型及处理思路
(1)类型：a.对称轴、区间都是给定的；b.对称轴动、区间固定；c.对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
3．解决一元二次方程根的分布问题的方法
常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：a.开口方向；b.对称轴位置；c.判别式；d.端点函数值符号四个方面分析．
4．求解与二次函数有关的不等式恒成立问题
往往先对已知条件进行化简，转化为下面两种情况：
(1)ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是.
(2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是.
另外，也可以采取分离变量法，把问题转化为不等式f(x)>A在区间D上恒成立，此时就等价于在区间D上f(x)min>A，接下来求出函数f(x)的最小值；若不等式f(x)典例3 若函数在定义域内是增函数，则实数的最小值为_________.
【答案】
【解析】的定义域为，，因为在上为增函数，故在上恒成立，且不恒为零.
在上恒成立等价于在上恒成立，
故即，
而当，当且仅当时有，故不恒为零.
的最小值为. 故填.



对点训练
3．“”是“函数在区间上为增函数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

典例4 已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】据题意解得．
对点训练
4．已知a，b，cR，函数f(x)＝ax2＋bx＋c．若f(0)＝f(4)＞f(1)，则
A．a＞0，4a＋b＝0 B．a＜0，4a＋b＝0
C．a＞0，2a＋b＝0 D．a＜0，2a＋b＝0

课时过关训练
1．若幂函数的图象过点，则函数的最大值为
A．1 B．
C．2 D．
2．已知，，，则的大小关系是
A． B．
C． D．



3．已知 EMBED Equation.DSMT4 ：幂函数在上单调递增；则是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知点在幂函数的图象上，设 则的大小关系为
A． B．
C． D．
5．已知函数（其中，且）在区间上单调递增，则函数的定义域为
A． B．
C． D．
6．已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数，则A．0 B．2018
C．4036 D．4037
7．已知函数，则函数的最小值是__________．
8．对幂函数有以下结论
（1）的定义域是；
（2）的值域是；
（3）的图象只在第一象限；
（4）在上递减；
（5）是奇函数．
则所有正确结论的序号是__________．
9．已知二次函数的最小值为1,且．
（1）求的解析式；
（2）在区间上,的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围．




10．已知函数
（1）对任意实数恒成立，求的最大值；
（2）若函数恰有一个零点，求的取值范围.







11．已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是
A． B．
C． D．
12.已知函数f(x)=x2+bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是___________.



14.已知函数满足方程，设关于的不等式的解集为M，若，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．



已知幂函数在上单调递增，函数，任意 时，总存在使得，则的取值范围_______．



16．设幂函数的图象过点，则：①的定义域为；②是奇函数；③是减函数；④当时，
其中正确的有_________




17．已知函数．
⑴作出函数的图象；
⑵写出的单调增区间；
⑶判断关于的方程的解的个数.







18．已知二次函数（、为常数且），满足条件，且方程有等根.
（1）求的解析式；
（2）是否存在实数，使当定义域为时，值域为？如果存在，求出、的值；如果不存在，请说明理由.









参考答案
对点训练
1．【解析】函数是幂函数，
，解得：或，
当时，，其图象与两坐标轴有交点，不符合题意；
当时，，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，
故.故选A．
2．【解析】，，
，，即，
，
故.
3．【答案】A 【解析】因为时，函数在区间上为增函数；函数在区间上为增函数时，．所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件．
4．【答案】A【解析】由f(0)＝f(4)知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c对称轴为x＝2，即．所以4a＋b＝0，又f(0)＞f(1)且f(0)，f(1)在对称轴同侧，故函数f(x)在(－∞，2]上单调递减，则抛物线开口向上，故a＞0，
课时过关训练
1．【解析】设（是常数），
∵f（x）的图象过点（2，），∴=，
则，
则f（x），，
故其最大值为.故选B.
2．【解析】易知幂函数在上是减函数，
，，即.
故选C.
3．【答案】A【解析】由题意，命题幂函数在上单调递增，则，又，所以是的充分不必要条件，故选A．
4．【答案】A
【解析】由为幂函数得,
因为点在幂函数上，所以,即，
因为又,
所以，选A.
5．【答案】B【解析】因为函数（其中，且）在区间上单调递增，所以令故选B．
6．【解析】因为函数既是二次函数又是幂函数，所以，
因此，因此
故选D．
7．【答案】
【解析】设，则可化为当时， 有最小值，即时，函数的最小值是，故答案为.
8．【解析】对幂函数，以下结论
（1）的定义域是，因此不正确；
（2）的值域是，正确；
（3）的图象只在第一象限，正确；
（4）在上单调递减，正确；
（5）是非奇非偶函数，因此不正确．
则所有正确结论的序号是（2）（3）（4）．
故答案为：（2）（3）（4）．
9．【解析】（1）根据题意，是二次函数，且，
可得函数的对称轴为，
又其最小值为1，可设，
又因为,则,解可得,
则.
（2）根据题意，在上恒成立，化简得,
设,则在区间上单调递减，
则在区间上的最小值为,则有,
故的取值范围为．
10．【解析】（1），
恒成立，故，即的最大值为.
（2），
或；，
在和上单调递增，在上单调递减，
，
恰有一个零点，
或即或.
故的取值范围是.
11．【解析】当时，，在时单调递减，且，在时单调递增，且，此时有且仅有一个交点；当时，，在上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需，选B.
12.【解析】由题意知，最小值为.
令，则，
当时，的最小值为，所以“”能推出“的最小值与的最小值相等”；当时，的最小值为0，的最小值也为0，所以“的最小值与的最小值相等”不能推出“”．故选A.
13.【解析】存在，使得，
即有，
化为，
可得，
即，
由，可得.
则实数的最大值是.



14.【答案】A
【解析】
函数f（x）=x+ax|x|，，
而f（-x）=-x-ax|-x|=-f（x），
则f（x）为奇函数，且为增函数，
若a≥0，将图象向左平移a个单位，
得到f（x+a）的图象，恒在y=f（x）的图象上方，
即f（x+a）＜f（x）不成立；故a＜0．
由于，，则， ，
且化简得， 且 ，（a＜0）
由于 得到，故有
且 ，
所以a的取值范围是 ．
故选：A．
15.【解析】幂函数则或
当时，在上单调递减，舍去；
故，当时：
故；
综上所述：
故答案为：
16【解析】设，因为函数的图象过点，所以，解得，
根据幂函数的图象，可知①不正确，②正确，③说法有误，应该是在上是减函数，在上是减函数，但在整个定义域上不是减函数；
对于④，设点，，点为线段的中点，点，由图可知，点在点的下方，所以．

故答案为：②④．
17.【解析】⑴,作出图象见图；

⑵根据图象可得：单调递增区间为和
⑶根据图象可得：
①时，个，
②时，个，
③时，个.
18【答案】（1）;(2)
【解析】（1）由题意，函数满足，所以函数的图象关于直线对称，又由二次函数的对称轴为，即，
又由有等根，即有等根，所以，
解得，所以函数的解析式为.
（2）由（1）可得，
假设存在，使当定义域为 时，值域为，
则必有，即，即必在对称轴的左侧，且在单调递增，
所以，又由，解得，
所以存在满足题意.









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