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第04讲 函数的概念
1、 考情分析
1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用；
3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
2、 知识梳理
1.函数的概念
设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2.函数的定义域、值域
(1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
[微点提醒]
1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.
2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.
3、 经典例题
考点一 求函数的定义域
【例1-2】函数y＝＋log2(tan x－1)的定义域为________；
【解析】 (1)要使函数y＝＋log2(tan x－1)有意义，则1－x2≥0，tan x－1>0，且x≠kπ＋(k∈Z).
∴－1≤x≤1且＋kπ可得则函数的定义域为.
【例1-2】若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域为________.
【解析】因为y＝f(x)的定义域为[0，2]，
所以要使g(x)有意义应满足解得0≤x<1.
所以g(x)的定义域是[0，1).
考点二 求函数的解析式
【例2-1】已知f＝lg x，则f(x)＝________；
【解析】 (1)令t＝＋1(t>1)，则x＝，
∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1).
【例2-2】已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________；
【解析】设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝2，得c＝2，
f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝2ax＋a＋b＝x－1，
所以即∴f(x)＝x2－x＋2.
【例2-3】已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝________.
【解析】在f(x)＝2f·－1中，
将x换成，则换成x，
得f＝2f(x)·－1，
由解得f(x)＝＋.
规律方法 求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.
(2)换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(3)构造法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x).
考点三 分段函数
【例3－1】（2020·全国高三月考（理））设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为
所以
所以
故选：B
【例3－2】（2020·天津南开中学高三月考）函数满足，且在区间上，则的值为____．
【答案】
【解析】由得函数的周期为4，所以因此
【例3－3】（2020·天津四中高三二模）已知，若对任意，不等式恒成立，则非零实数的取值范围是_____.
【答案】.
【解析】，
，
对任意，，不等式恒成立，
即对任意，，不等式恒成立，
在上是增函数，
，即，
又，，
当时，取最小值，
，解得，
又，即，
故，
故答案为：，．
【例3－4】（2020·全国高三月考（文））已知，则满足的实数的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，则，，，
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上所述：的取值范围为.
故选：.
规律方法 1.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.
2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
[方法技巧]
1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.
2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.
3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法.
[易错防范]
1.复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混.
2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
4、 课时作业
1．若函数的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2},则函数的图像可能是（ ）
A． B．C． D．
2．如图，记图中正方形介于两平行线与之间的部分的面积为，则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的定义域为( )
A．（2，3） B．（3，4] C．（2，4] D．（2，3）∪（3，4]
4．函数的定义域是（???）
A． B． C． D．
5．已知函数f（x），则f[f（2）]＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．设，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．函数，若方程有且只有两个不等的实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．设函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
10．函数的定义域是_______.
11．函数的定义域为________．
12．已知函数，若，则的取值范围是__
13．设函数，则________.
14．已知，（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围为______.
15．求下列函数的解析式.
（1）已知，求；
（2）已知一次函数满足，求.
16．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：
维修次数 8 9 10 11 12
频数 10 20 30 30 10
记表示1台机器在三年使用期内的维修次数，表示1台机器在维修上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的维修服务次数．
（1）若，求与的函数解析式；
（2）若要求“维修次数不大于”的频率不小于0.8，求的最小值．
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第04讲 函数的概念
1、 考情分析
1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用；
3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
2、 知识梳理
1.函数的概念
设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2.函数的定义域、值域
(1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
[微点提醒]
1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.
2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.
3、 经典例题
考点一 求函数的定义域
【例1-2】函数y＝＋log2(tan x－1)的定义域为________；
【解析】 (1)要使函数y＝＋log2(tan x－1)有意义，则1－x2≥0，tan x－1>0，且x≠kπ＋(k∈Z).
∴－1≤x≤1且＋kπ可得则函数的定义域为.
【例1-2】若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域为________.
【解析】因为y＝f(x)的定义域为[0，2]，
所以要使g(x)有意义应满足解得0≤x<1.
所以g(x)的定义域是[0，1).
考点二 求函数的解析式
【例2-1】已知f＝lg x，则f(x)＝________；
【解析】 (1)令t＝＋1(t>1)，则x＝，
∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1).
【例2-2】已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________；
【解析】设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝2，得c＝2，
f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝2ax＋a＋b＝x－1，
所以即∴f(x)＝x2－x＋2.
【例2-3】已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝________.
【解析】在f(x)＝2f·－1中，
将x换成，则换成x，
得f＝2f(x)·－1，
由解得f(x)＝＋.
规律方法 求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.
(2)换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(3)构造法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x).
考点三 分段函数
【例3－1】（2020·全国高三月考（理））设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为
所以
所以
故选：B
【例3－2】（2020·天津南开中学高三月考）函数满足，且在区间上，则的值为____．
【答案】
【解析】由得函数的周期为4，所以因此
【例3－3】（2020·天津四中高三二模）已知，若对任意，不等式恒成立，则非零实数的取值范围是_____.
【答案】.
【解析】，
，
对任意，，不等式恒成立，
即对任意，，不等式恒成立，
在上是增函数，
，即，
又，，
当时，取最小值，
，解得，
又，即，
故，
故答案为：，．
【例3－4】（2020·全国高三月考（文））已知，则满足的实数的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，则，，，
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上所述：的取值范围为.
故选：.
规律方法 1.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.
2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
[方法技巧]
1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.
2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.
3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法.
[易错防范]
1.复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混.
2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
4、 课时作业
1．若函数的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2},则函数的图像可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；
对B满足函数定义，故符合；
对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；
对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．
故选B．
2．如图，记图中正方形介于两平行线与之间的部分的面积为，则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
①当时，即，；
②当时，即，.
由此可知，当时，且，所以选项不正确.
故选：D
3．函数的定义域为( )
A．（2，3） B．（3，4] C．（2，4] D．（2，3）∪（3，4]
【答案】D
【解析】依题意，解得.所以函数的定义域为.
故选：D
4．函数的定义域是（???）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵函数f（x）=+lg（3x+1），
∴；
解得﹣＜x＜1，
∴函数f（x）的定义域是（﹣，1）．
故选B．
5．已知函数f（x），则f[f（2）]＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题.
故选：B
6．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，．故C正确．
7．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】或，
解得：或，即，故选D.
8．函数，若方程有且只有两个不等的实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】画出函数图像如下：
当时，函数的图像与的图像有两个交点，
即方程有且只有两个不等的实根.
故选：A
9．设函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由函数f（x）＝得即
或所以
10．函数的定义域是_______.
【答案】
【解析】由题知： ，，
定义域为 .
故答案为：
11．函数的定义域为________．
【答案】
【解析】要使函数f（x）有意义，则，
即，
解得，
故函数的定义域为，
故答案为
12．已知函数，若，则的取值范围是__
【答案】
【解析】当时， ，
，
当时，，
所以，
故的取值范围是.
故答案为：.
13．设函数，则________.
【答案】16
【解析】
故答案为16
14．已知，（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】设，
则在上恒成立等价于在上恒成立，
在直角坐标系中分别画出，的图象，
函数与都过点，
又当时，函数与函数相交于，
当时，函数与函数相交于点，
根据条件得图象如下图所示，
显然函数，过定点，
由图象易得，当时，将函数旋转到过点时，函数的斜率为，
所以时，在上恒成立，
所以实数的取值范围为：.
15．求下列函数的解析式.
（1）已知，求；
（2）已知一次函数满足，求.
【解析】（1）（换元法）设，则，
∴，
∴.
（2）（待定系数法）∵是一次函数，∴设，则
，
∵，∴，解得或.
∴或.
16．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：
维修次数 8 9 10 11 12
频数 10 20 30 30 10
记表示1台机器在三年使用期内的维修次数，表示1台机器在维修上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的维修服务次数．
（1）若，求与的函数解析式；
（2）若要求“维修次数不大于”的频率不小于0.8，求的最小值．
【解析】（1）根据题意得：，
即．
（2）因为“维修次数不大于10”的频率为，
“维修次数不大于11”频率为，
所以若要求“维修次数不大于”的频率不小于0.8，则的最小值为11．
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