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第05讲-函数的单调性与最值
考情分析
借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．
知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当
Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数 Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数
图象描述 INCLUDEPICTURE"S10.TIF"自左向右看图象是上升的 INCLUDEPICTURE"S11.TIF"自左向右看图象是下降的
(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.
2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
[微点提醒]
1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).
2.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反.
3.“对勾函数”y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间是[－，0)，(0，].
经典例题
考点一 确定函数的单调性(区间)
【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论不正确的是( )
A．>0
B．f(a)C．(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0
D．>0
【答案】B
【解析】
试题分析：函数在[a，b]上是增函数则满足对于该区间上的，当时有，因此，(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0，均成立，因为不能确定的大小，因此f(a)【例1－2】（2020·诸城市教育科学研究院高一期末）函数的单调递增区间为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由解析式知函数图像为开口向下的抛物线,且对称轴为轴,故可得出其单调增区间.
【详解】
∵函数, ∴函数图像为开口向下的抛物线,且其对称轴为轴
∴函数的单调增区间为.
规律方法 1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接.
2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
考点二 求函数的最值
【例2－1】（2020·安徽省六安一中高一月考）若函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用分子分离法化简，再根据不等式的性质求函数的值域.
【详解】
，
又，
的值域为，故选：C.
【例2－2】（2020·民勤县第一中学高二期中（理））下列结论正确的是( )
A．当时，的最小值为 B．当时，
C．当时，无最大值 D．当且时，
【答案】B
【分析】
结合函数的单调性及基本不等式逐个判断即可．
【详解】
对于A，x+在[2，+∞）上单调增，所以x=2时，的最小值为，故A错误；
对于B，当x＞0时，，当且仅当x=1时，等号成立，故B成立；
对于C，在（0，2]上单调增，所以x=2时，取得最大值，故C不成立；
对于D，当0＜x＜1时，lgx＜0，＜0，结论不成立；
规律方法 求函数最值的四种常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值.
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
考点三 函数单调性的应用
【例3－1】（2020·安徽师范大学附属中学高三月考（理））若函数有最小值，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
分别求出两段的范围，结合图象即可得到实数的取值范围.
【详解】
作出的图象：
当时，，
当时，在上在 上
则在上单调递减，在 上单调递增，又
∴，
函数有最小值，则，
即，故选：B
【例3－2】（2020·江苏省高一期末）函数（e是自然对数的底数）的图象大致为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用分离常数的方法，将式子化简，可得，根据单调性以及值域，可得结果.
【详解】因为
所以，
可知是递增的函数，
所以为递减的函数，
则是递减的函数，
且
所以
则，所以A正确
故选：A
【例3－3】（2019·会泽县第一中学校高二开学考试（理））已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
不等式为(*)，
当时，(*)式即为，，
又（时取等号），
（时取等号），
所以，
当时，(*)式为，，
又（当时取等号），
（当时取等号），
所以，
综上．故选A．
规律方法 1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
2.(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.
(2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”.
[思维升华]
1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤：
(1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)判断.
2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性.
3.求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法、利用均值不等式.
[易错防范]
1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.
2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.例如，函数f(x)在区间(－1，0)上是减函数，在(0 ，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数，如函数f(x)＝.
课时作业
1．（2020·湖南省茶陵三中高二开学考试）已知函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据递减区间的性质分析即可.
【详解】
由图像可得,函数在内单调递减.
2．（2020·湖北省高一月考）下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据四个函数解析式，依次判断即可得解.
【详解】
对于A，在内单调递减，在内单调递增，所以A正确；
对于B，在内单调递减，所以在内也单调递减，所以B错误；
对于C，在内单调递减，在内单调递增，所以在内单调递增错误，即C错误；
对于D，在在内也单调递减，所以D错误.
综上可知，A为正确选项，故选：A.
3．（2019·湖南省长郡中学高二期中）下列函数中，在区间上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据一次函数，反比例函数，二次函数性质可得，，在不是增函数，在区间上，是增函数.
【详解】
时， ，所以在上是增函数；
在上均是减函数；
是开口向下以为对称轴的抛物线，所以在在上是减函数，所以A正确．
故选：A
4．（2019·江苏省高一月考）下列函数，在区间上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
A选项讲的表达式写出易判断；B选项注意改变单调性的两个因素：取倒数和加负号，易判断；C选项一次函数看斜率正负，易判断；D选项二次函数看对称轴，易判断。
【详解】
A：当时，，为减函数； B：，为增函数； C：斜率，为减函数； D：对称轴，所以在在区间不为减函数.
5．（2020·吉林省高三二模（理））下列与函数定义域和单调性都相同的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
分析函数的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项.
【详解】
函数的定义域为，在上为减函数.
A选项，的定义域为，在上为增函数，不符合.
B选项，的定义域为，不符合.
C选项，的定义域为，在上为减函数，符合.
D选项，的定义域为，不符合.
6．（2020·北京高三零模）下列函数中，在区间上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间上的单调性，进而可得出结果.
【详解】
对于A选项，函数在区间上为增函数；
对于B选项，函数在区间上为增函数；
对于C选项，函数在区间上为减函数；
对于D选项，函数在区间上为增函数.
7．（2019·全国高三二模（理））若定义在R上的函数满足，且当时，，则满足的的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用函数的单调性与对称性，把抽象不等式转化为具体不等式即可.
【详解】当时，，
则在内是增函数.
由得的图象关于直线x=1对称，
∴在内是减函数.
将的图象向左平移1个单位长度，得到函数的图象，
则为偶函数，且在内是减函数.
,,
从而等价于，
即，∴，
解得.
8．（2020·河北省衡水中学高三月考（理））函数是定义在上的增函数，则函数的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先求出函数的单调性，再根据复合函数的性质即可求出函数的单调减区间.
【详解】
解：令，由题知：
在区间，为减函数，在区间，为增函数，
又因为是定义在上的增函数，根据复合函数的性质，
的单调减区间是.
9．（2020·湖北省高一期末）用表示a，b两个数中的最小值，设，则的最大值为（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-6
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意，所以，故选B．
10．（2020·安徽省六安一中高一月考）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将问题转化为函数在上递增,且在上恒成立,再根据对称轴与区间的关系和可得答案.
【详解】
因为函数在上是减函数,
所以函数在上递增,且在上恒成立,
所以,且,
所以.
11．（2019·河南省高三月考（理））若函数的图象关于原点对称，则函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据函数的图象关于原点对称，可知为奇函数，可得，再由函数单调性可得值域.
【详解】
由题得，函数为奇函数，故，解得，故，故函数在上单调递增，当时，，当时，，故函数在上的值域为.
12．（2019·安徽省毛坦厂中学高三月考（理））已知函数，则函数有（ ）
A．最小值 ，无最大值 B．最大值 ，无最小值
C．最小值1，无最大值 D．最大值1，无最小值
【答案】D
【分析】
利用换元法，设t，将函数f（x）转化为二次函数g（t）在t上的值域，利用配方法求值域即可.
【详解】
∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，]
设t，则t，
且x，
∴f（x）＝g（t）tt2+t（t﹣1）2+1，t，
∴g（t）≤g（1）
即g（t）≤1
∴函数f（x）的最大值1，无最小值.
13．（2020·九台市第四中学高一期末）给定函数：①，②，③，④，其中在区间上单调递减的函数序号是__________．
【答案】②③
【分析】
根据函数的单调性对四个函数逐一分析，由此确定正确的命题序号.
【详解】
对于①，函数在上递增，不符合题意.
对于②，根据复合函数单调性同增异减可知，函数在上递减，符合题意.
对于③，当时，为减函数，符合题意.
对于④，在上递增，不符合题意.
14．（2019·江苏省高三月考）已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的值为____．
【答案】
【分析】
将问题转化为，根据二次函数和分式的单调性可求得在上的最小值和最大值及在上的最大值；分别讨论最大值小于零、最小值小于零且最大值大于零、最小值大于零三种情况，得到每种情况下的最大值，从而得到不等式，解不等式求得结果.
【详解】
不等式恒成立可转化为：
当时，，
当时，
①若，即时，
，解得：（舍）
②若，即时，
又，
当，即时，
，解得：（舍）
当，即时，
，解得：
③若，即时，
，解得：（舍）
综上所述：
本题正确结果：
15．（2019·嘉兴市第五高级中学高一期中）已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则
【答案】1
【详解】
显然函数的最大值只能在或时取到，
若在时取到，则，得或
，时，；，时，（舍去）；
若在时取到，则，得或
，时，； ，时，（舍去）
所以
16．（2018·安徽省六安二中高一月考）定义在上的函数满足且，又当且时，有.若对所有，恒成立，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】
由题设可判断函数为上的奇函数且为增函数，求出的最大值后可得对任意的恒成立，令，由可得实数的取值范围.
【详解】
解：定义在上的函数满足，故函数为奇函数，
设任意的，，则，由题设有，
因为，故即，
所以，故为上的增函数，
而为上奇函数，故在上为增函数.
若对所有，恒成立，
所以，即，
设，则有在上恒成立，
因在上的图象为线段，故，所以，
解得或或.
故答案为：.
17．（2020·枣庄市第三中学高二月考）已知函数在时有最大值1和最小值0，设.
（1）求实数的值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】
由题意可分析知在区间上是增函数，故，，由此解得a、b的值；
不等式可化为在上恒成立恒成立，换元法从而求得k的取值范围；
【详解】
函数，
若时，，无最大值最小值，不符合题意，
所以，
所以在区间上是增函数，
故，解得．
由已知可得，
则，
所以不等式，
转化为在上恒成立，
设，则，
即，在，上恒成立，
即，
，，
当时，取得最大值，最大值为，
则，
即
所以k的取值范围是．
18．（2018·湖南省衡阳市八中高一月考）已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.
（1）证明：函数在区间内必有局部对称点；
（2）若函数在R上有局部对称点，求实数m的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）设，可求出的解为，从而可知当时，成立，即可证明函数在区间内必有局部对称点；
（2）由题意知在R上有解，令，则在上有解，结合二次函数零点的分布，分别讨论方程在上根的个数，得到关于的不等式，从而可求出实数m的取值范围.
【详解】
证明：（1）设，则，令，则，
解得，即当时，，即成立，
即函数在区间内必有局部对称点
解：（2），则在R上有解.
即在R上有解，
于是（*）在R上有解.
令，则，所以方程（*）变为，
设，则，
由，在上单调递增知，，，，
即此时，所以函数在上单调递减；
设，则，
由，在上单调递增知，，，，
即此时，所以函数在上单调递增；
故，从而已知即在上有解.
设（），分为两种情况：
①当方程有在唯一解时：
则或，
解得，；解得，，
则；
②当方程在有两个解时：.
综上得.
19．（2020·湖南省高一开学考试）已知函数，且.
（1）求实数的值，并指出函数的定义域；
（2）将函数图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数的图象，写出函数的表达式；
（3）对于（2）中的，关于的函数在上的最小值为2，求的值.
【答案】(1)；定义域；(2)；(3).
【分析】
（1）根据，结合对数运算，即可求得参数；由真数大于零，即可求得定义域.
（2）根据左加右减的平移原则，即可容易求得；
（3）利用换元法，将问题转化为求二次函数最小值的问题，根据动轴定区间问题的处理方式，分类讨论即可.
【详解】
（1）因为，且，
故可得，解得.
故，要使得函数有意义，
则，解得，
故函数的定义域为.
（2）图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数的图象，
又因为，
故可得.
（3）由（2）可知，
故等价于：
，
令，则
则在上的最小值为.
又因为其对称轴为，
①当时，二次函数在上单调递增，
故，不符合题意，故舍去；
②当时，二次函数在单调递减，在单调递增，
故，解得，
故此时满足题意的；
③当时，二次函数在上单调递减，
故，解得，故舍去.
综上所述：.
20．（2019·安徽省蚌埠二中高二月考）若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数.
（Ⅰ）若，是“距”增函数，求的取值范围；
（Ⅱ）若，，其中，且为“2距”增函数，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（I）根据题干条件得到恒成立，故只需要判别式小于0即可；（II）原题等价于恒成立，恒成立，分和两种情况得结果即可.
【详解】
（I）.
因为是“距”增函数，所以恒成立，由，
所以.
（II）因为，，其中，且为“2距”增函数，即时，
恒成立，所以，当时，即，
当时，，所以.
综上所述，得.
21．（2020·湖南省株洲二中高一月考）设函数，函数在区间上的最大值为.
（1）若，求的值；
（2）若对任意的恒成立，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）根据可知该函数是对勾函数作了左右和上下的平移变换，若，则可得到在区间上是增函数，故的最大值就是，但是，的图像是由的图像作了翻折变换，上不动而下翻折，要比较与两者的大小，所以；（2）第二小题由于不能确定在区间上是递增的还是先减后增，因此要分类讨论，一种情况是是递增的，最大值在中产生，另一种情况是先减后增，最大值在或是中产生，通过三种情况分类，最后总结得到的最小值，也就是的最大值.
试题解析：解：（1）当时，在区间上是增函数，
所以，
所以.
（2）①当时，因为，，
所以
，所以.
②当时，有，
则
，
，所以.
③当时，有，
则，
所以
，所以.
综上可知，对任意的都有.
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第05讲-函数的单调性与最值
考情分析
借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．
知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当
Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数 Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数
图象描述 INCLUDEPICTURE "F:\\S10.TIF" \* MERGEFORMAT 自左向右看图象是上升的 INCLUDEPICTURE "F:\\S11.TIF" \* MERGEFORMAT 自左向右看图象是下降的
(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.
2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
[方法技巧]
1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).
2.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反.
3.“对勾函数”y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间是[－，0)，(0，].
经典例题
考点一 确定函数的单调性(区间)
【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论不正确的是( )
A．>0
B．f(a)C．(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0
D．>0
【答案】B
【解析】
试题分析：函数在[a，b]上是增函数则满足对于该区间上的，当时有，因此，(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0，均成立，因为不能确定的大小，因此f(a)【例1－2】（2020·诸城市教育科学研究院高一期末）函数的单调递增区间为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由解析式知函数图像为开口向下的抛物线,且对称轴为轴,故可得出其单调增区间.
【详解】
∵函数, ∴函数图像为开口向下的抛物线,且其对称轴为轴
∴函数的单调增区间为.
规律方法 1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接.
2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
考点二 求函数的最值
【例2－1】（2020·安徽省六安一中高一月考）若函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用分子分离法化简，再根据不等式的性质求函数的值域.
【详解】
，
又，
的值域为，故选：C.
【例2－2】（2020·民勤县第一中学高二期中（理））下列结论正确的是( )
A．当时，的最小值为 B．当时，
C．当时，无最大值 D．当且时，
【答案】B
【分析】
结合函数的单调性及基本不等式逐个判断即可．
【详解】
对于A，x+在[2，+∞）上单调增，所以x=2时，的最小值为，故A错误；
对于B，当x＞0时，，当且仅当x=1时，等号成立，故B成立；
对于C，在（0，2]上单调增，所以x=2时，取得最大值，故C不成立；
对于D，当0＜x＜1时，lgx＜0，＜0，结论不成立；
规律方法 求函数最值的四种常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值.
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
考点三 函数单调性的应用
【例3－1】（2020·安徽师范大学附属中学高三月考（理））若函数有最小值，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
分别求出两段的范围，结合图象即可得到实数的取值范围.
【详解】
作出的图象：
当时，，
当时，在上在 上
则在上单调递减，在 上单调递增，又
∴，
函数有最小值，则，
即，故选：B
【例3－2】（2020·江苏省高一期末）函数（e是自然对数的底数）的图象大致为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用分离常数的方法，将式子化简，可得，根据单调性以及值域，可得结果.
【详解】因为
所以，
可知是递增的函数，
所以为递减的函数，
则是递减的函数，
且
所以
则，所以A正确
故选：A
【例3－3】（2019·会泽县第一中学校高二开学考试（理））已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
不等式为(*)，
当时，(*)式即为，，
又（时取等号），
（时取等号），
所以，
当时，(*)式为，，
又（当时取等号），
（当时取等号），
所以，
综上．故选A．
规律方法 1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
2.(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.
(2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”.
[思维升华]
1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤：
(1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)判断.
2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性.
3.求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法、利用均值不等式.
[易错防范]
1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.
2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.例如，函数f(x)在区间(－1，0)上是减函数，在(0 ，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数，如函数f(x)＝.
课时作业
1．（2020·湖南省茶陵三中高二开学考试）已知函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·湖北省高一月考）下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·湖南省长郡中学高二期中）下列函数中，在区间上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019·江苏省高一月考）下列函数，在区间上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·吉林省高三二模（理））下列与函数定义域和单调性都相同的函数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·北京高三零模）下列函数中，在区间上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2019·全国高三二模（理））若定义在R上的函数满足，且当时，，则满足的的取值范围是
A． B． C． D．
8．（2020·河北省衡水中学高三月考（理））函数是定义在上的增函数，则函数的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·湖北省高一期末）用表示a，b两个数中的最小值，设，则的最大值为（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-6
10．（2020·安徽省六安一中高一月考）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2019·河南省高三月考（理））若函数的图象关于原点对称，则函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
12．（2019·安徽省毛坦厂中学高三月考（理））已知函数，则函数有（ ）
A．最小值 ，无最大值 B．最大值 ，无最小值
C．最小值1，无最大值 D．最大值1，无最小值
13．（2020·九台市第四中学高一期末）给定函数：①，②，③，④，其中在区间上单调递减的函数序号是__________．
14．（2019·江苏省高三月考）已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的值为____．
15．（2019·嘉兴市第五高级中学高一期中）已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则
16．（2018·安徽省六安二中高一月考）定义在上的函数满足且，又当且时，有.若对所有，恒成立，则实数的取值范围是__________.
17．（2020·枣庄市第三中学高二月考）已知函数在时有最大值1和最小值0，设.
（1）求实数的值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
18．（2018·湖南省衡阳市八中高一月考）已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.
（1）证明：函数在区间内必有局部对称点；
（2）若函数在R上有局部对称点，求实数m的取值范围.
19．（2020·湖南省高一开学考试）已知函数，且.
（1）求实数的值，并指出函数的定义域；
（2）将函数图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数的图象，写出函数的表达式；
（3）对于（2）中的，关于的函数在上的最小值为2，求的值.
20．（2019·安徽省蚌埠二中高二月考）若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数.
（Ⅰ）若，是“距”增函数，求的取值范围；
（Ⅱ）若，，其中，且为“2距”增函数，求的取值范围.
21．（2020·湖南省株洲二中高一月考）设函数，函数在区间上的最大值为.
（1）若，求的值；
（2）若对任意的恒成立，求的最大值.
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