中小学教育资源及组卷应用平台
第08讲-指数与指数函数
考情分析
1.通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质；
2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
知识梳理
1.根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N+，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N+，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
3.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0
图象
INCLUDEPICTURE"F64.TIF"
INCLUDEPICTURE"F65.TIF"
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；当x<0时，0当x<0时，y>1；当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
[微点提醒]
1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.
经典例题
考点一 指数幂的运算
【例1-1】
化简下列各式：
(1)＋2－2·－(0.01)0.5；
(2)(a>0，b>0).
【解析】 (1)原式＝1＋×－
＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝.
【例1-2】
化简下列各式：
(1)[(0.064)－2.5]－－π0；
(2)a·b－2·(－3a－b－1)
÷(4a·b－3).
解 (1)原式＝－－1
＝－－1
＝－－1＝0.
(2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)
＝－a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－
＝－·＝－.
规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
考点二 指数函数的图象及应用
【例2-1】若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.
解析 (1)y＝(a－1)2x－＝a－2x，令2x－＝0，得x＝－1，
故函数y＝(a－1)2x－恒过定点.
(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.
INCLUDEPICTURE"5S55.TIF"
∴当0∴b的取值范围是(0，2).
【例2-2】(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
INCLUDEPICTURE"F15.tif"
A.a>1，b<0
B.a>1，b>0
C.00
D.0【例2-3】若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________.
解析 (1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.
(2)画出曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示.
INCLUDEPICTURE"4S268.TIF"
由图象得|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].
考点三 指数函数的性质及应用
【例3－1】
(1)下列各式比较大小正确的是( )
A.1.72.5>1.73
B.0.6－1>0.62
C.0.8－0.1>1.250.2
D.1.70.3<0.93.1
(2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________.
【解析】(1)A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，
∴1.72.5<1.73，错误；
B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，
∴0.6－1>0.62，正确；
C中，∵(0.8)－1＝1.25，
∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.
∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，
∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；
D中，∵1.70.3>1,
0<0.93.1<1，
∴1.70.3>0.93.1，错误.
(2)当a<0时，原不等式化为－7<1，
则2－a<8，解之得a>－3，所以－3当a≥0时，则<1，0≤a<1.
综上知，实数a的取值范围是(－3，1).
答案 (1)B (2)(－3，1)
【例3－2】
(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增加的，则m的取值范围是______.
(2)若函数f(x)＝的值域是，则f(x)的单调递增区间是________.
【解析】 (1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上是增加的，在区间上是减少的.而y＝2t在R上是增加的，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上是增加的，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4].
(2)令g(x)＝ax2＋2x＋3，
由于f(x)的值域是，
所以g(x)的值域是[2，＋∞).
因此有解得a＝1，
这时g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝.
由于g(x)的单调递减区间是(－∞，－1]，
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1].
【例3－3】
如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________.
【解析】 令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈
[－1，1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去).当0答案 3或
规律方法 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.
2.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.
[方法技巧]
1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.
2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较.
3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分01两种情况分类讨论.
4.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.
5.对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.
课时作业
1．（2020·榆林市第二中学高三零模（文））设，，，则的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为，，所以，故选C.
2．（2020·四川省成都七中高一月考）设且则函数与在同一坐标系中的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对A，中的，中的，不能统一，错误；
对B，中的，中的，不能统一，错误；
对C，中的，中的，正确；
对D，中的，中的，不能统一，错误；
故选：C.
3．（2020·九台市第四中学高一期末）若，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由根式的性质得，，
因此，，故选：A.
4．（2020·天水市第一中学高二月考（文））已知函数是定义在的周期为2的函数，当时，，则（
）
A．1
B．4
C．2
D．32
【答案】C
【解析】由已知可得.
5．（2020·广西壮族自治区平桂高中高一期末）函数恒过定点（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令，得，，因此，定点的坐标为.
6．（2020·陕西省西安一中高二期中（文））若指数函数在区间上的最大值和最小值之和为，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为指数函数在区间上单调，且，
即
解得，又
所以
7．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试（理））下列函数中，值域为且在区间上单调递增的是
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】（A）的值域不是R，是［－1，＋∞），所以，排除；
（B）的值域是（0，＋∞），排除；
（D）＝，在（0，）上递减，在（，＋∞）上递增，不符；
8．（2020·湖南省高三一模（理））已知函数在区间内单调递增，且，若，，，则、、的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】，则函数为偶函数，
函数在区间内单调递增，在该函数在区间上为减函数，
，由换底公式得，由函数的性质可得，
对数函数在上为增函数，则，
指数函数为增函数，则，即，
，因此，.
9．（2019·河南省高一月考）设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】画出函数的图象如图所示．
不妨令，则，则．
结合图象可得，故．
∴．选B．
10．（2020·江西省上高二中高一期末）设函数，(且)，表示不超过实数的最大正数，则函数的值域是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
.
因为,所以，
当时，，，
此时，，；
当时，；
当时，，，
此时，，；
11．（2020·四川省高三二模（理））函数，若，则__________.
【答案】
【解析】由题意，函数，
所以，即，解得，
又由.
12．（2020·全国高三月考（理））定义在上的函数，如果满足对常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中成为函数的上界.若已知函数在上是以为上界的有界函数，则实数的取值范围为_________.
【答案】
【解析】令，则，对称轴为.
①当或，即或时，，故或；
②当时，.
综上.
13．（2020·福建省高一期末）已知函数．
（1）写出的定义域；
（2）判断的奇偶性；
（3）已知在定义域内为单调减函数，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）∵，恒成立，
∴，
即的定义域为．
（2）∵由（1）得的定义域为关于原点对称，
∴，
∴为奇函数．
（3）∵对任意的，不等式恒成立，
∴，
又∵是奇函数，
∴
又∵在定义域内为单调减函数．
∴，
即对任意恒成立，
∴得即为所求．
14．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））已知在区间
上的值域为。
(1)求实数的值；
(2)若不等式
当上恒成立，求实数k的取值范围。
【解析】（1）
当时，在上单调递增
，即，与矛盾。故舍去。
当时，，即，故
此时，满足时其函数值域为。
当时，在上单调递减
，即，舍去。
综上所述：。
（2）由已知得在上恒成立
在上恒成立
令，且，则上式
恒成立。记
时单调递减，
故
所以的取值范围为。
15．（2020·全国高三一模（理））已知函数.
（1）当时，求函数的值域.
（2）设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，，
令，
∵∴，
而是增函数，∴，
∴函数的值域是.
（2）当时，则在上单调递减，
在上单调递增，所以的最小值为，
在上单调递增，最小值为，
而的最小值为，所以这种情况不可能.
当时，则在上单调递减且没有最小值，
在上单调递增最小值为，
所以的最小值为，解得（满足题意），
所以，解得.
所以实数的取值范围是.
16．（2020·广东省中山纪念中学高三月考（文））已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）因为是上的奇函数，所以，即，即.
经验证，
故时，满足题意.
（2）由（1）知，，
任取，且，则，
函数在上是增函数，所以.
又，则，即，
∴在上为减函数.
（3）因为是奇函数，从而不等式等价于，
又因为为上减函数，所以由上式推得，
即对一切，恒成立，
则，即.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第08讲-指数与指数函数
考情分析
1.通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质；
2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
知识梳理
1.根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N+，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N+，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
3.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0图象
INCLUDEPICTURE"F64.TIF"
INCLUDEPICTURE"F65.TIF"
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；当x<0时，0当x<0时，y>1；当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
[微点提醒]
1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.
经典例题
考点一 指数幂的运算
【例1-1】
化简下列各式：
(1)＋2－2·－(0.01)0.5；
(2)(a>0，b>0).
【解析】 (1)原式＝1＋×－
＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝.
【例1-2】
化简下列各式：
(1)[(0.064)－2.5]－－π0；
(2)a·b－2·(－3a－b－1)
÷(4a·b－3).
解 (1)原式＝－－1
＝－－1
＝－－1＝0.
(2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)
＝－a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－
＝－·＝－.
规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
考点二 指数函数的图象及应用
【例2-1】若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.
解析 (1)y＝(a－1)2x－＝a－2x，令2x－＝0，得x＝－1，
故函数y＝(a－1)2x－恒过定点.
(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.
INCLUDEPICTURE"5S55.TIF"
∴当0∴b的取值范围是(0，2).
【例2-2】(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
INCLUDEPICTURE"F15.tif"
A.a>1，b<0
B.a>1，b>0
C.00
D.0【例2-3】若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________.
解析 (1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.
(2)画出曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示.
INCLUDEPICTURE"4S268.TIF"
由图象得|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].
考点三 指数函数的性质及应用
【例3－1】
(1)下列各式比较大小正确的是( )
A.1.72.5>1.73
B.0.6－1>0.62
C.0.8－0.1>1.250.2
D.1.70.3<0.93.1
(2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________.
【解析】(1)A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，
∴1.72.5<1.73，错误；
B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，
∴0.6－1>0.62，正确；
C中，∵(0.8)－1＝1.25，
∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.
∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，
∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；
D中，∵1.70.3>1,
0<0.93.1<1，
∴1.70.3>0.93.1，错误.
(2)当a<0时，原不等式化为－7<1，
则2－a<8，解之得a>－3，所以－3当a≥0时，则<1，0≤a<1.
综上知，实数a的取值范围是(－3，1).
答案 (1)B (2)(－3，1)
【例3－2】
(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增加的，则m的取值范围是______.
(2)若函数f(x)＝的值域是，则f(x)的单调递增区间是________.
【解析】 (1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上是增加的，在区间上是减少的.而y＝2t在R上是增加的，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上是增加的，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4].
(2)令g(x)＝ax2＋2x＋3，
由于f(x)的值域是，
所以g(x)的值域是[2，＋∞).
因此有解得a＝1，
这时g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝.
由于g(x)的单调递减区间是(－∞，－1]，
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1].
【例3－3】
如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________.
【解析】 令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈
[－1，1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去).当0答案 3或
规律方法 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.
2.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.
[方法技巧]
1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.
2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较.
3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分01两种情况分类讨论.
4.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.
5.对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.
课时作业
1．（2020·榆林市第二中学高三零模（文））设，，，则的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·四川省成都七中高一月考）设且则函数与在同一坐标系中的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·九台市第四中学高一期末）若，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·天水市第一中学高二月考（文））已知函数是定义在的周期为2的函数，当时，，则（
）
A．1
B．4
C．2
D．32
5．（2020·广西壮族自治区平桂高中高一期末）函数恒过定点（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·陕西省西安一中高二期中（文））若指数函数在区间上的最大值和最小值之和为，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试（理））下列函数中，值域为且在区间上单调递增的是
(
)
A．
B．
C．
D．
8．（2020·湖南省高三一模（理））已知函数在区间内单调递增，且，若，，，则、、的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2019·河南省高一月考）设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·江西省上高二中高一期末）设函数，(且)，表示不超过实数的最大正数，则函数的值域是（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2020·四川省高三二模（理））函数，若，则__________.
12．（2020·全国高三月考（理））定义在上的函数，如果满足对常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中成为函数的上界.若已知函数在上是以为上界的有界函数，则实数的取值范围为_________.
13．（2020·福建省高一期末）已知函数．
（1）写出的定义域；
（2）判断的奇偶性；
（3）已知在定义域内为单调减函数，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
14．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））已知在区间
上的值域为。
(1)求实数的值；
(2)若不等式
当上恒成立，求实数k的取值范围。
15．（2020·全国高三一模（理））已知函数.
（1）当时，求函数的值域.
（2）设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围.
16．（2020·广东省中山纪念中学高三月考（文））已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)