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第11讲-函数与方程
1、
考情分析
1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系；
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理．
2、
知识梳理
1.函数的零点
(1)函数零点的概念
如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点.
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
2
1
0
[微点提醒]
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.
2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
3、
经典例题
考点一 函数零点所在区间的判定
【例1】
(1)设f(x)＝ln
x＋x－2，则函数f(x)零点所在的区间为( )
A.(0，1)
B.(1，2)
C.(2，3)
D.(3，4)
(2)设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________.
【解析】 (1)因为y＝ln
x与y＝x－2在(0，＋∞)上都是增函数，
所以f(x)＝ln
x＋x－2在(0，＋∞)上是增函数，
又f(1)＝ln
1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln
2>0，
根据零点存在性定理，可知函数f(x)＝ln
x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内.
(2)设f(x)＝x3－，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝的图象如图所示.
因为f(1)＝1－＝－1<0，
f(2)＝8－＝7>0，
所以f(1)f(2)<0，所以x0∈(1，2).
规律方法 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：
(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
考点二 确定函数零点的个数
【例2】
(1)(一题多解)函数f(x)＝的零点个数为( )
A.3
B.2
C.1
D.0
(2)定义在R上的函数f(x)，满足f(x)＝且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点有( )
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
【解析】 (1)法一 由f(x)＝0得或
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点.
法二 函数f(x)的图象如图1所示，由图象知函数f(x)共有2个零点.
图1
(2)由f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x＋2)＝f(x)，知y＝f(x)的周期T＝2.
在同一坐标系中作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象(如图2).
图2
由于两函数图象有2个交点.
所以函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内有2个零点.
规律方法 函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.
考点三 函数零点的应用
【例3】
(1)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( )
A.(－∞，－1)
B.(－∞，1)
C.(－1，0)
D.[－1，0)
(2)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A.[－1，0)
B.[0，＋∞)
C.[－1，＋∞)
D.[1，＋∞)
【解析】 (1)当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.
因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.
(2)函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点.作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.
规律方法 1.已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值.
2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.
[方法技巧]
1.转化思想在函数零点问题中的应用
方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.
2.判断函数零点个数的常用方法
(1)通过解方程来判断.
(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.
(3)将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断.
3.若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)一定有零点.特别是，当y＝f(x)在[a，b]上单调时，它仅有一个零点.
4.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
4、
课时作业
1．（2020·湖南省高三（文））函数的零点所在的区间为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·天津高一期末）函数的零点所在的区间是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·陕西省高三二模（理））函数的一个零点所在的区间是(
)
A．
B．
C．
D．
4．（2020·北京市八一中学高二期中）若函数的零点是2，则函数的零点是（
）
A．0
B．1
C．2
D．4
5．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））若函数的零点所在的区间为,则k=(
)
A．3
B．4
C．1
D．2
6．（2020·宜宾市叙州区第二中学校高三三模（文））函数，的零点个数有(
)
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
7．（2020·河北省鹿泉区第一中学高二月考）已知函数，则函数的零点的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．（2020·山西省高三其他（理））已知函数，若函数（其中）有三个不同的零点，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·武威第六中学高二期中（理））已知函数（）只有一个零点，则a的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
10．（多选题）（2020·河北省沧州市一中高二月考）已知函数，则下列结论正确的是（）
A．函数存在两个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．当时，方程有且只有两个实根
D．若时，，则的最小值为
11．（多选题）（2020·山东省高三月考（理））已知，存在实数满足，则（
）
A．
B．可能大于0
C．
D．
12．（多选题）（2020·化州市第一中学高二月考）（多选）已知函数，则下列对于的性质表述正确的是（
）
A．为偶函数
B．
C．在上的最大值为
D．在区间上至少有一个零点
13．（多选题）（2020·山东省滕州市第一中学新校高三月考）设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（
）
A．
B．
C．
D．
14．（2020·广西壮族自治区高三月考（文））已知，.
（1）解不等式；
（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.
15．（2020·陆良县联办高级中学高一开学考试）已知二次函数满足（），且．
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程有区间上有一个零点，求实数的取值范围．
16．（2020·浙江省高二期中）已知函数.
（1）当时，求函数的零点.
（2）当，求函数在上的最大值；
（3）对于给定的正数，有一个最大的正数，使时，都有，试求出这个正数的表达式.
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第11讲-函数与方程
1、
考情分析
1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系；
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理．
2、
知识梳理
1.函数的零点
(1)函数零点的概念
如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点.
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
2
1
0
[微点提醒]
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.
2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
3、
经典例题
考点一 函数零点所在区间的判定
【例1】
(1)设f(x)＝ln
x＋x－2，则函数f(x)零点所在的区间为( )
A.(0，1)
B.(1，2)
C.(2，3)
D.(3，4)
(2)设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________.
【解析】 (1)因为y＝ln
x与y＝x－2在(0，＋∞)上都是增函数，
所以f(x)＝ln
x＋x－2在(0，＋∞)上是增函数，
又f(1)＝ln
1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln
2>0，
根据零点存在性定理，可知函数f(x)＝ln
x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内.
(2)设f(x)＝x3－，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝的图象如图所示.
因为f(1)＝1－＝－1<0，
f(2)＝8－＝7>0，
所以f(1)f(2)<0，所以x0∈(1，2).
规律方法 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：
(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
考点二 确定函数零点的个数
【例2】
(1)(一题多解)函数f(x)＝的零点个数为( )
A.3
B.2
C.1
D.0
(2)定义在R上的函数f(x)，满足f(x)＝且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点有( )
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
【解析】 (1)法一 由f(x)＝0得或
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点.
法二 函数f(x)的图象如图1所示，由图象知函数f(x)共有2个零点.
图1
(2)由f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x＋2)＝f(x)，知y＝f(x)的周期T＝2.
在同一坐标系中作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象(如图2).
图2
由于两函数图象有2个交点.
所以函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内有2个零点.
规律方法 函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.
考点三 函数零点的应用
【例3】
(1)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( )
A.(－∞，－1)
B.(－∞，1)
C.(－1，0)
D.[－1，0)
(2)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A.[－1，0)
B.[0，＋∞)
C.[－1，＋∞)
D.[1，＋∞)
【解析】 (1)当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.
因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.
(2)函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点.作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.
规律方法 1.已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值.
2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.
[方法技巧]
1.转化思想在函数零点问题中的应用
方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.
2.判断函数零点个数的常用方法
(1)通过解方程来判断.
(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.
(3)将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断.
3.若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)一定有零点.特别是，当y＝f(x)在[a，b]上单调时，它仅有一个零点.
4.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
4、
课时作业
1．函数的零点所在的区间为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵在区间上是增函数，且，，
∴的零点.
2．函数的零点所在的区间是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由函数，
则，，
，
由零点存在性定理可知函数的零点所在的区间是.
3．函数的一个零点所在的区间是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题得，
，
所以
所以函数的一个零点所在的区间是.
4．若函数的零点是2，则函数的零点是（
）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【解析】由已知，，所以，即1为函数的零点.
5．若函数的零点所在的区间为,则k=(
)
A．3
B．4
C．1
D．2
【答案】D
【解析】∵且单调递增,∴的零点所在的区间为（2,3）,∴.
6．函数，的零点个数有(
)
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
【答案】A
【解析】时，是增函数，，，因此在上存在唯一的零点，
时，，或，舍去，有两个零点，
综上函数有3个零点．
7．已知函数，则函数的零点的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】本题考查函数零点个数的判定，属于基础题．
函数的零点个数即为与的交点个数
在同一坐标系内作出两函数图象如图所示：
由图象可知与有2个交点，
即函数的零点有两个．
8．已知函数，若函数（其中）有三个不同的零点，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设，，则函数可换元为
.
若函数有三个不同的零点，则方程有两个不相等的实数解，，且解的情况有如下三种：
①，，此时，且，解得；
②，，此时由，得，所以，即，不符合题意；
③，，此时，得，所以，即，符合题意.
综上，，即实数的取值范围是.
9．已知函数（）只有一个零点，则a的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
,
令，解得，
则当时，，
故函数在上单调递增，
当时，，函数为减函数，
所以当时，函数取得极小值，极小值为，
当时，函数取得极大值，极大值为，
且时，，时，，
因为函数只有一个零点，
所以或，
解得或或，
因为，
所以，
10．（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（）
A．函数存在两个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．当时，方程有且只有两个实根
D．若时，，则的最小值为
【答案】ABC
【解析】A.,解得，所以A正确；
B.，
当时，，当时，或
是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，
所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确.
C.当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；
D.由图像可知，的最大值是2，所以不正确.
11．（多选题）已知，存在实数满足，则（
）
A．
B．可能大于0
C．
D．
【答案】AD
【解析】由，可得．
若，则，∵，，
∴，，∴，∴方程无解；
若，，故只需解即可，
当时，由，解得；
当时，由，解得．
综上所述，当时，，满足．
12．（多选题）已知函数，则下列对于的性质表述正确的是（
）
A．为偶函数
B．
C．在上的最大值为
D．在区间上至少有一个零点
【答案】ABCD
【解析】因为，所以其的定义域为，
A选项，，所以函数为偶函数，故A正确；
B选项，，故B正确；
C选项，因为，当，单调递增，所以单调递减，因此，故C正确；
D选项，因为，所以，，
即，由零点存在性定理可得：在区间上存在零点，故D正确；
13．（多选题）设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】令函数，因为，
，
为奇函数，
当时，，
在上单调递减，
在上单调递减．
存在，
得，，即，
；，
为函数的一个零点；
当时，，
函数在时单调递减，
由选项知，取，
又，
要使在时有一个零点，
只需使，
解得，
的取值范围为，
14．已知，.
（1）解不等式；
（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.
【解析】（1）不等式，即为.
当时，即化为，得，
此时不等式的解集为，
当时，即化为，解得，
此时不等式的解集为.
综上，不等式的解集为.
（2）
即.
作出函数的图象如图所示，
当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，所以.
所以实数的取值范围是.
15．已知二次函数满足（），且．
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程有区间上有一个零点，求实数的取值范围．
【解析】（1）设（）代入得
对于恒成立，故，
又由得，解得，，，所以；
（2）因为，
又函数在上是单调函数，故或，
解得或，故实数的取值范围是；
（3）由方程得，
令，，即要求函数在上有唯一的零点，
①，则，代入原方程得或3，不合题意；
②若，则，代入原方程得或2，满足题意，故成立；
③若，则，代入原方程得，满足题意，故成立；
④若且且时，由得，
综上，实数的取值范围是．
16．已知函数.
（1）当时，求函数的零点.
（2）当，求函数在上的最大值；
（3）对于给定的正数，有一个最大的正数，使时，都有，试求出这个正数的表达式.
【解析】（1）当时，，
令，解得：或（舍）；
令，解得：；
函数的零点为和；
（2）由题意得：，其中，
，最大值在中取.
当，即时，在上单调递减，；
当，即时，在上单调递增，上单调递减，
；
当，即时，在上单调递减，上单调递增，
；
，；
综上所述：；
（3）时，，，，
问题转化为在给定区间内恒成立.
，分两种情况讨论：
当时，是方程的较小根，
即时，；
当时，是方程的较大根，
即时，；
综上所述：.
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