中小学教育资源及组卷应用平台
第20讲-三角函数的图象与性质
1、
考情分析
1.能画出三角函数y＝sin
x，y＝cos
x，y＝tan
x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在上的性质.
2、
知识梳理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin
x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos
x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图象
INCLUDEPICTURE
"../第19讲-两角和与差的正弦、余弦和正切公式-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/y2.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
"../第19讲-两角和与差的正弦、余弦和正切公式-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/y2.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
"../第19讲-两角和与差的正弦、余弦和正切公式-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/y3.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
"../第19讲-两角和与差的正弦、余弦和正切公式-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/y3.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
"../第19讲-两角和与差的正弦、余弦和正切公式-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/y4.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
"../第19讲-两角和与差的正弦、余弦和正切公式-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/y4.TIF"
\
MERGEFORMAT
定义域
R
R
{x
x≠kπ＋}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2kπ－π，2kπ]
递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
[微点提醒]
1.对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.对于y＝tan
x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.
3、
经典例题
考点一 三角函数的定义域
【例1】
(1)函数f(x)＝－2tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
(2)不等式＋2cos
x≥0的解集是________.
(3)函数f(x)＝＋log2(2sin
x－1)的定义域是________.
【解析】 (1)由2x＋≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z).
(2)由＋2cos
x≥0，得cos
x≥－，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos
x≥－的解集为，故原不等式的解集为.
INCLUDEPICTURE
"../第19讲-两角和与差的正弦、余弦和正切公式-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/Z4.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
"../第19讲-两角和与差的正弦、余弦和正切公式-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/Z4.TIF"
\
MERGEFORMAT
(3)由题意，得由①得－8≤x≤8，由②得sin
x>，由正弦曲线得＋2kπ
规律方法 1.三角函数定义域的求法
(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tan
x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.
(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式.
2.简单三角不等式的解法
(1)利用三角函数线求解.
(2)利用三角函数的图象求解.
考点二 三角函数的值域与最值
【例2】
(1)y＝3sin在区间上的值域是________.
(2)函数f(x)＝sin2x＋cos
x－的最大值是________.
(3)函数y＝sin
x－cos
x＋sin
xcos
x的值域为________.
【解析】 (1)当x∈时，2x－∈，
sin∈，故3sin∈，
即y＝3sin的值域为.
(2)由题意可得f(x)＝－cos2x＋cos
x＋＝－(cos
x－)2＋1.
∵x∈，∴cos
x∈[0，1].
∴当cos
x＝，即x＝时，f(x)max＝1.
(3)设t＝sin
x－cos
x，
则t2＝sin2x＋cos2x－2sin
xcos
x，
sin
xcos
x＝，且－≤t≤，
所以y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－.
所以函数的值域为.
规律方法 求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：
(1)形如y＝asin
x＋bcos
x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin
x＋c的三角函数，可先设sin
x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin
xcos
x＋b(sin
x±cos
x)＋c的三角函数，可先设t＝sin
x±cos
x，化为关于t的二次函数求值域(最值).
考点三 三角函数的单调性
角度1 求三角函数的单调区间
【例3－1】
(1)函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
(2)函数y＝sin的单调递减区间为________.
【解析】 (1)由kπ－<2x－(2)y＝－sin，它的减区间是y＝sin的增区间.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故其单调递减区间为，k∈Z.
角度2 利用单调性比较大小
【例3－2】
已知函数f(x)＝2cos，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是( )
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>a>b
D.b>a>c
【解析】 令2kπ≤x＋≤2kπ＋π，k∈Z，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)＝2cos在上是减函数，
∵－<<<<，
∴f>f>f.
角度3 利用单调性求参数
【例3－3】
(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)＝cos
x－sin
x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )
A.
B.
C.
D.π
【解析】 f(x)＝cos
x－sin
x＝cos，
由题意得a>0，故－a＋<，
因为f(x)＝cos在[－a，a]是减函数，
所以解得0规律方法 1.已知三角函数解析式求单调区间：(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；(2)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.
2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.
考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
角度1 三角函数奇偶性、周期性
【例4－1】
(1)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( )
A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
(2)设函数f(x)＝sin－cos的图象关于y轴对称，则θ＝( )
A.－
B.
C.－
D.
【解析】 (1)易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3＋1＝cos
2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当2x＝2kπ，即x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.
(2)f(x)＝sin－cos
＝2sin，
由题意可得f(0)＝2sin＝±2，即sin＝±1，∴θ－＝＋kπ(k∈Z)，
∴θ＝＋kπ(k∈Z).
∵|θ|<，∴k＝－1时，θ＝－.
规律方法 1.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
角度2 三角函数图象的对称性
【例4－2】
(1)已知函数f(x)＝asin
x＋cos
x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝对称，则函数g(x)＝sin
x＋acos
x的图象( )
A.关于点对称
B.关于点对称
C.关于直线x＝对称
D.关于直线x＝对称
(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为( )
A.11
B.9
C.7
D.5
【解析】 (1)因为函数f(x)＝asin
x＋cos
x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝对称，
所以f(0)＝f，所以1＝a＋，a＝，
所以g(x)＝sin
x＋cos
x＝sin，
函数g(x)的对称轴方程为x＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，对称轴为直线x＝，所以g(x)＝sin
x＋acos
x的图象关于直线x＝对称.
(2)因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋，即＝T＝·(k∈Z)，所以ω＝2k＋1(k∈Z).
又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，ω＝11验证不成立(此时求得f(x)＝sin在上单调递增，在上单调递减)，ω＝9满足条件，由此得ω的最大值为9.
规律方法 1.对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可.
2.对于可化为f(x)＝Acos(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可.
[方法技巧]
1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式.
2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin
t(或y＝cos
t)的性质.
3.数形结合是本节的重要数学思想.
4.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.
5.要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.
6.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k∈Z.
4、
课时作业
1．（2020·宝鸡中学高一期中）函数的单调递增区间为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·陕西省西安中学高一期中）设函数，则函数的最大值及取到最大值时的取值集合分别为（
）
A．3，
B．1，
C．3，
D．1，
3．（2020·吉林省高三其他（文））下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是(
)
A．
B．
C．
D．
4．（2020·武功县普集高级中学高一月考）函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·武功县普集高级中学高一月考）函数的部分图像是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2019·呼玛县高级中学高一月考）若函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2019·呼玛县高级中学高一月考）设，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2019·延安市第一中学高三月考（理））已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（
）
A．关于点对称
B．关于点对称
C．关于直线对称
D．关于直线对称
9．（2020·河北省故城县高级中学高一期中）关于函数在以下说法中正确的是（
）
A．上是增函数
B．上是减函数
C．上是减函数
D．上是减函数
10．（2020·上海高一课时练习）下列命题中正确的是（
）
A．在第一象限和第四象限内是减函数
B．在第一象限和第三象限内是增函数
C．在上是减函数
D．在上是增函数
11．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））关于函数有下述四个结论：
①函数的图象把圆的面积两等分
②是周期为的函数
③函数在区间上有3个零点
④函数在区间上单调递减
其中所有正确结论的编号是（
）
A．①③④
B．②④
C．①④
D．①③
12．（2020·山西省高三其他（文））已知的图象关于直线对称，把的图象向左平移个单位后所得的图象关于点对称，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
13．（2020·上海高二课时练习）设直线的斜率，则该直线的倾斜角满足（
）.
A．
B．或
C．或
D．或
14．（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）方程的根的个数是（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
15．（2020·福建省高三其他（文））图数，的图象可能为（
）
A．
B．
C．
D．
16．（2020·上海高一期中）函数的最小正周期和最大值分别为（
）
A．，1
B．，
C．，1
D．，
17．（2020·山西省高三其他（文））对于函数.有下列说法：①的值城为；②当且仅当时，函数取得最大值；③函数的最小正周期是；④当且仅当时,.其中正确结论的个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
18．（多选题）（2020·海南省海南中学高三月考）已知函数（）在处取得最大值，且最小正周期为2，则下列说法正确的有(
).
A．函数是奇函数
B．函数是偶函数
C．函数在上单调递增
D．函数是周期函数
19．（多选题）（2020·山东省微山县第一中学高一月考）已知函数，则（
）
A．为的一个周期
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减
D．的一个零点为
20．（多选题）（2020·山东省高一期中）将函数图象向左平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法中正确的是（
）
A．的最大值为
B．是奇函数
C．的图象关于点对称
D．在上单调递减
21．（2020·上海高一期中）函数的单调递增区间为________
22．（2020·河北省故城县高级中学高一期中）已知函数，，有以下结论：
①函数的最小正周期为π；
②函数的最大值为2；
③将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象；
④将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象.
其中正确结论的序号是____________.
23．（2020·宝鸡中学高一期中）函数的一部分图象如图所示，其中，，.
（1）求函数解析式；
（2）求时，函数的值域；
（3）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调递减区间.
24．（2020·山西省平遥中学校高一月考）已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调增区间；
（2）求函数在区间上的值域和取得最大值时相应的x的值.
25．（2020·武功县普集高级中学高一月考）在已知函数（其中）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.
(1)求的解析式；
(2)当时，求的值域．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第20讲-三角函数的图象与性质
1、
考情分析
1.能画出三角函数y＝sin
x，y＝cos
x，y＝tan
x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在上的性质.
2、
知识梳理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin
x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos
x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图象
INCLUDEPICTURE"y2.TIF"
INCLUDEPICTURE
"y2.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE"y3.TIF"
INCLUDEPICTURE
"y3.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE"y4.TIF"
INCLUDEPICTURE
"y4.TIF"
\
MERGEFORMAT
定义域
R
R
{x
x≠kπ＋}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2kπ－π，2kπ]
递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
[微点提醒]
1.对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.对于y＝tan
x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.
3、
经典例题
考点一 三角函数的定义域
【例1】
(1)函数f(x)＝－2tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
(2)不等式＋2cos
x≥0的解集是________.
(3)函数f(x)＝＋log2(2sin
x－1)的定义域是________.
【解析】 (1)由2x＋≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z).
(2)由＋2cos
x≥0，得cos
x≥－，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos
x≥－的解集为，故原不等式的解集为.
INCLUDEPICTURE"Z4.TIF"
INCLUDEPICTURE
"Z4.TIF"
\
MERGEFORMAT
(3)由题意，得由①得－8≤x≤8，由②得sin
x>，由正弦曲线得＋2kπ规律方法 1.三角函数定义域的求法
(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tan
x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.
(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式.
2.简单三角不等式的解法
(1)利用三角函数线求解.
(2)利用三角函数的图象求解.
考点二 三角函数的值域与最值
【例2】
(1)y＝3sin在区间上的值域是________.
(2)函数f(x)＝sin2x＋cos
x－的最大值是________.
(3)函数y＝sin
x－cos
x＋sin
xcos
x的值域为________.
【解析】 (1)当x∈时，2x－∈，
sin∈，故3sin∈，
即y＝3sin的值域为.
(2)由题意可得f(x)＝－cos2x＋cos
x＋＝－(cos
x－)2＋1.
∵x∈，∴cos
x∈[0，1].
∴当cos
x＝，即x＝时，f(x)max＝1.
(3)设t＝sin
x－cos
x，
则t2＝sin2x＋cos2x－2sin
xcos
x，
sin
xcos
x＝，且－≤t≤，
所以y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－.
所以函数的值域为.
规律方法 求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：
(1)形如y＝asin
x＋bcos
x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin
x＋c的三角函数，可先设sin
x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin
xcos
x＋b(sin
x±cos
x)＋c的三角函数，可先设t＝sin
x±cos
x，化为关于t的二次函数求值域(最值).
考点三 三角函数的单调性
角度1 求三角函数的单调区间
【例3－1】
(1)函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
(2)函数y＝sin的单调递减区间为________.
【解析】 (1)由kπ－<2x－(2)y＝－sin，它的减区间是y＝sin的增区间.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故其单调递减区间为，k∈Z.
角度2 利用单调性比较大小
【例3－2】
已知函数f(x)＝2cos，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是( )
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>a>b
D.b>a>c
【解析】 令2kπ≤x＋≤2kπ＋π，k∈Z，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)＝2cos在上是减函数，
∵－<<<<，
∴f>f>f.
角度3 利用单调性求参数
【例3－3】
(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)＝cos
x－sin
x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )
A.
B.
C.
D.π
【解析】 f(x)＝cos
x－sin
x＝cos，
由题意得a>0，故－a＋<，
因为f(x)＝cos在[－a，a]是减函数，
所以解得0规律方法 1.已知三角函数解析式求单调区间：(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；(2)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.
2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.
考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
角度1 三角函数奇偶性、周期性
【例4－1】
(1)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( )
A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
(2)设函数f(x)＝sin－cos的图象关于y轴对称，则θ＝( )
A.－
B.
C.－
D.
【解析】 (1)易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3＋1＝cos
2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当2x＝2kπ，即x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.
(2)f(x)＝sin－cos
＝2sin，
由题意可得f(0)＝2sin＝±2，即sin＝±1，∴θ－＝＋kπ(k∈Z)，
∴θ＝＋kπ(k∈Z).
∵|θ|<，∴k＝－1时，θ＝－.
规律方法 1.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
角度2 三角函数图象的对称性
【例4－2】
(1)已知函数f(x)＝asin
x＋cos
x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝对称，则函数g(x)＝sin
x＋acos
x的图象( )
A.关于点对称
B.关于点对称
C.关于直线x＝对称
D.关于直线x＝对称
(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为( )
A.11
B.9
C.7
D.5
【解析】 (1)因为函数f(x)＝asin
x＋cos
x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝对称，
所以f(0)＝f，所以1＝a＋，a＝，
所以g(x)＝sin
x＋cos
x＝sin，
函数g(x)的对称轴方程为x＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，对称轴为直线x＝，所以g(x)＝sin
x＋acos
x的图象关于直线x＝对称.
(2)因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋，即＝T＝·(k∈Z)，所以ω＝2k＋1(k∈Z).
又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，ω＝11验证不成立(此时求得f(x)＝sin在上单调递增，在上单调递减)，ω＝9满足条件，由此得ω的最大值为9.
规律方法 1.对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可.
2.对于可化为f(x)＝Acos(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可.
[方法技巧]
1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式.
2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin
t(或y＝cos
t)的性质.
3.数形结合是本节的重要数学思想.
4.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.
5.要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.
6.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k∈Z.
4、
课时作业
1．（2020·宝鸡中学高一期中）函数的单调递增区间为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】得：，所以函数的单调递增区间为.
2．（2020·陕西省西安中学高一期中）设函数，则函数的最大值及取到最大值时的取值集合分别为（
）
A．3，
B．1，
C．3，
D．1，
【答案】C
【解析】由于，
所以当时，函数有最大值为.
3．（2020·吉林省高三其他（文））下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A选项，反比例函数，它有两个减区间，
对于B选项，由正切函数的图像可知不符合题意；
对于C选项，令知，
所以所以为奇函数，
又在定义内单调递增，所以单调递增，
所以函数在定义域内单调递增；
对于D，令，则，
所以，所以函数不是奇函数.
4．（2020·武功县普集高级中学高一月考）函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由得：.
所以函数的定义域是.
5．（2020·武功县普集高级中学高一月考）函数的部分图像是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】:因为，所以为偶函数，其图象关于轴对称，故可以排除B，D.又因为函数在上函数值为正，故排除C.
6．（2019·呼玛县高级中学高一月考）若函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由函数的部分图像可知，，故，所以即.
由函数图像的对称轴为，所以，
因，故，所以，故选D.
7．（2019·呼玛县高级中学高一月考）设，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
,
因为且是单调递减函数，所以，故选A
8．（2019·延安市第一中学高三月考（理））已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（
）
A．关于点对称
B．关于点对称
C．关于直线对称
D．关于直线对称
【答案】B
【解析】因为相邻两条对称轴的距离为，故，，从而．
设将的图像向左平移单位后，所得图像对应的解析式为，
则，因的图像关于轴对称，故，
所以，，所以，
因，所以．
又，令，
故对称轴为直线，所以C，D错误；
令，故，所以对称中心为，所以A错误，D正确．
9．（2020·河北省故城县高级中学高一期中）关于函数在以下说法中正确的是（
）
A．上是增函数
B．上是减函数
C．上是减函数
D．上是减函数
【答案】B
【解析】，它在上是减函数．
10．（2020·上海高一课时练习）下列命题中正确的是（
）
A．在第一象限和第四象限内是减函数
B．在第一象限和第三象限内是增函数
C．在上是减函数
D．在上是增函数
【答案】D
【解析】对于，该函数的单调递减区间为：，故A错，C错.
对于，该函数的单调递增区间为：，故B错，D对.
11．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））关于函数有下述四个结论：
①函数的图象把圆的面积两等分
②是周期为的函数
③函数在区间上有3个零点
④函数在区间上单调递减
其中所有正确结论的编号是（
）
A．①③④
B．②④
C．①④
D．①③
【答案】C
【解析】f（x）＝2sinsin（+）﹣x＝2sincos﹣x＝sinx﹣x，
对于①，因为f（﹣x）＝sin（﹣x）﹣（﹣x）＝﹣sinx+x＝﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数，关于原点对称，且过圆心，而圆x2+y2＝1也是关于原点对称，所以①正确；
对于②，因为f（x+π）＝sin（x+π）﹣（x+π）＝﹣sinx﹣x﹣π≠f（x），所以f（x）的周期不是π，即②错误；
对于③，因为＝cosx﹣1≤0，所以f（x）单调递减，所以f（x）在区间（﹣∞，+∞）上至多有1个零点，
即③错误；
对于④，＝cosx﹣1≤0，所以f（x）单调递减，即④正确．
12．（2020·山西省高三其他（文））已知的图象关于直线对称，把的图象向左平移个单位后所得的图象关于点对称，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为的图象向左平移个单位后所得的图象关于点对称，
所以关于点对称，
又的图象既关于直线对称，
设的最小正周期为，则，
即，
所以，取，得，
13．（2020·上海高二课时练习）设直线的斜率，则该直线的倾斜角满足（
）.
A．
B．或
C．或
D．或
【答案】B
【解析】因为，
所以当时，，
当时，，
即直线的倾斜角满足或，
14．（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）方程的根的个数是（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
【解析】分别作函数图象，如图，
由图可得交点个数为7，所以方程的根的个数是7
15．（2020·福建省高三其他（文））图数，的图象可能为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题知：，
所以为奇函数，故排除B，D.
又因为时，，故排除C.
16．（2020·上海高一期中）函数的最小正周期和最大值分别为（
）
A．，1
B．，
C．，1
D．，
【答案】B
【解析】，
函数的最小正周期，
，，
函数的最大值为.
17．（2020·山西省高三其他（文））对于函数.有下列说法：①的值城为；②当且仅当时，函数取得最大值；③函数的最小正周期是；④当且仅当时,.其中正确结论的个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】因为，作出函数的图象，如图所示：
所以，的值城为，①错误；
函数的最小正周期是，③错误；
当且仅当时，函数取得最大值，②正确；
当且仅当时，，④正确.
18．（多选题）（2020·海南省海南中学高三月考）已知函数（）在处取得最大值，且最小正周期为2，则下列说法正确的有(
).
A．函数是奇函数
B．函数是偶函数
C．函数在上单调递增
D．函数是周期函数
【答案】BCD
【解析】因为在处取得最大值，
所以有，
又因为的最小正周期为2，
所以有，
因此.
选项A：设，
因为，
所以是偶函数，故本选项说法不正确；
选项B：设
因为，
所以是偶函数，故本选项说法正确；
选项C：设，
因为，所以，又因为，所以函数在上单调递增，故本选项说法正确；
选项D：设，
函数最小正周期为：，所以本选项说法正确.
19．（2020·山东省微山县第一中学高一月考）已知函数，则（
）
A．为的一个周期
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减
D．的一个零点为
【答案】AD
【解析】根据函数知最小正周期为，正确.
当时，，由余弦函数的对称性知，错误；函数在上单调递减，在上单调递增，故错误；
，，故正确.
20．（2020·山东省高一期中）将函数图象向左平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法中正确的是（
）
A．的最大值为
B．是奇函数
C．的图象关于点对称
D．在上单调递减
【答案】CD
【解析】函数，
把函数图象向左平移个单位，得到，
再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到．
①故函数的最大值为，故选项错误．
②函数为偶函数，故选项错误．
③当时，，所以的图象关于点对称，故选项正确．
④由于，在，上单调递减，故函数在上单调递减．故选项正确．
21．（2020·上海高一期中）函数的单调递增区间为________
【答案】，
【解析】由，，
解得，，
故函数的单调增区间为，，
22．（2020·河北省故城县高级中学高一期中）已知函数，，有以下结论：
①函数的最小正周期为π；
②函数的最大值为2；
③将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象；
④将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象.
其中正确结论的序号是____________.
【答案】①④
【解析】，.
因为，
所以的最小正周期为：，故结论①正确；
因为的最大值为，所以结论②不正确；
因为函数的图象向右平移个单位后得到函数的解析式为：
，所以结论③不正确；
因为函数的图象向左平移个单位后得到函数的解析式为：
，所以结论④正确.
23．（2020·宝鸡中学高一期中）函数的一部分图象如图所示，其中，，.
（1）求函数解析式；
（2）求时，函数的值域；
（3）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调递减区间.
【解析】（1）根据函数的一部分图象，其中，，，
∵，∴；∵，∴，
再根据，可得，，
∴，，∵，∴，
∴函数的解析式为；
（2）∵，∴，∴，
∴函数的值域为；
（3）将函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
对于函数，
令，，
求得，，
故函数的单调减区间为，.
24．（2020·山西省平遥中学校高一月考）已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调增区间；
（2）求函数在区间上的值域和取得最大值时相应的x的值.
【解析】（1）
.
∴.
由，
得：，
∴单调增区间为.
（2）∵，∴.
∴，即.
∴函数在区间上的值域为
且当，即时，.
25．（2020·武功县普集高级中学高一月考）在已知函数（其中）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.
(1)求的解析式；
(2)当时，求的值域．
【解析】（1）依题意,由最低点为,得,又周期,∴．
由点在图象上,得,
∴，,．
∵，∴,∴．
由,，得．
∴函数的单调增区间是．
(2),∴．
当,即时,取得最大值；
当,即时,取得最小值,故的值域为．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)