绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共5页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则中元素的个数为
A．2
B．3
C．4
D．6
2．复数的虚部是
A．
B．
C．
D．
3．在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为，且则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是
A．
B．
C．
D．
4．模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为
A．60
B．63
C．66
D．69
5．设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，若，则的焦点坐标为
A．
B．
C．
D．
6．已知向量满足则
A．
B．
C．
D．
7．在中，，，,则
A．
B．
C．
D．
8．右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是
A．
B．
C．
D．
9．已知，则
A．
B．
C．
D．
10．若直线与曲线和圆都相切，则直线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
11．设双曲线的左右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且，若的面积为，则（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知，，设，，，则
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．若，满足约束条件，则的最大值为_________．
14．的展开式中常数项是_________（用数字作答）．
15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
16．关于函数有如下四个命题：
①的图像关于轴对称．
②的图像关于原点对称．
③的图像关于直线对称．
④的最小值为2．
其中所有真命题的序号是_________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1721题为必选题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
设数列满足，．
（1）计算，猜想的通项公式并加以证明；
（2）求数列的前项和
18．（12分）
某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
空气质量等级锻炼人次
[0,200]
(200,400]
(400,600]
1
（优）
2
16
25
2
（良）
5
10
12
3
（轻度污染）
6
7
8
4
（申度污染）
7
2
0
分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次
人次
空气质量好
空气质量不好
附：．
19．（12分）
如图，在长方体中，点分别在棱,上，且2=,．
证明：点在平面内；
（2）若求二面角的正弦值．
20.（12分）
已知椭圆（）的离心率为，分别为的左、右顶点．
求的方程；
若点在上，点在直线上，且，，求的面积．
21．（12分）
设函数，曲线在点处的切线与轴垂直．
（1）求；
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数且），与坐标轴交于，两点．
（1）求；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设，，，，．
（1）证明：；
（2）用表示，，的最大值，证明：．绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共5页,23题(含选考题).全卷满分150分.考试用时120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无
效
3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交
选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的
1.已知集合4=(x,y)xy∈N,y≥2对,B=(x,yx+y=8,则A∩B中元素的个数为
2.复数的虚部是
3.在一组样本数据中,1,2,4出现的频率分别为P,P2PP2,且∑=1,则下面四种情形中,对
应样本的标准差最大的一组是
=0.4.
P1=p4=0.2,P2=P3
D.P1=p4=0.3,P2=P3
4.
Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区
新冠肺炎累计确诊病例数()(t的单位:天)的
Logistic模型:()=—A,其中K为最大确
诊病例数.当(')=095K时,标志着已初步遏制疫情,则t约为(n19≈3.3)
B.63
D.69
理科数学-第1页
5.设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥DE,则C的
焦点坐标为
D.(2,0)
6.已知向量b满足同=5=60b=-6则oa+b
B
7.在△ABC中,cosC2
AC=4,BC=3,则cosB
8.右图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是
B.4+42
C.6+23
D.4+2
9.已知2an-an(+=7,则tnO=
10.若直线l与曲线y=√x和圆x2+y2=2都相切,则直线l的方程为
A.
y
B
1.设双曲线c:a-b2=1a>0b>0的左右焦点分别为F,,离心率为√,P是C上一点,
且FP⊥F2P,若△PFF2的面积为4,则a=()
12.已知53<84,134<83,设a=log53,b=logs5,c=log138,则
a
B.
bc.
bD.
c理科数学-第2页
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分
13.若x,y满足约束条件{2x-y≥0,则z=3x+2y的最大值为
14.(x2+2y的展开式中常数项是
(用数字作答)
5.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为
16.关于函数f(x)=sinx+-有如下四个命题
①f(x)的图像关于y轴对称
②f(x)的图像关于原点对称
③f(x)的图像关于直线x=对称
④f(x)的最小值为2
其中所有真命题的序号是
三、解答题:共π0分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第1~21题为必选题,每个
试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答
(一)必考题:共60分
17.(12分)
设数列{an}满足a1=3,an+1=3an-4n
(1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明
(2)求数列{2"an}的前n项和S
18.(12分)
某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整
理数据得到下表(单位:天)
锻炼人次
(200,4001
空气质量等级
16
2(良)
0
3(轻度污染
6
4(申度污染)
理科数学-第3页