1.1.2 探究勾股定理(知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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北师大版八年级数学上册第一章勾股定理
1.1
探索勾股定理
第2课时
探索勾股定理(2)
【知识清单】
1.
运用拼图的方法验证勾股定理，关键是利用不同的方法表示相同的面积；
2.
勾股定理是直角三角形特有的性质，非直角三角形不具有此性质.
【经典例题】
例题1、如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．
(1)
若AC=b，BC=a，AB=c，则a、b、c的等量关系为
.
(2)若AC=12，BC=10，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是
．
【考点】勾股定理的证明．
【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理
求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求
得风车的一个轮子，进一步求得四个．
【解答】(1)图1正方形的面积可表示为c2
①
图1正方形的面积也可表示为4S△ABC+(ab)2
=
4×AC·BC+(ab)2
=4×a·b+(ab)2②
由①②得：c2
=4×a·b+(a-b)2=2ab+a22ab+b2，
∴a2+b2=
c2；
(2)解：设将CA延长到点D，使CA=AD，连接BD，
根据题意，得CD=12×2=24，BC=10．
∵∠BCD=90°，
∴BC2+CD2=BD2，即102+242=BD2，
∴BD=26，∴AD+BD=12+26=38，
∴这个风车的外围周长是38×4=152．
故答案为：152．
【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．
例题2、
如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知AB=8cm，AD=10cm，求AE2的值和图中阴影部分的面积．
【考点】勾股定理；翻折变换(折叠问题)．
【分析】注意根据折叠的过程以及长方形的对边相等，
得：AF=AD=BC=10cm，，AB=DC=8cm，，DE=EF．然后
根据勾股定理求得BF的长，再设DE=x，则EC=DCDE=ABDE=(8x)
cm，在Rt△ADE中，
根据勾股定理可以求得AE2的值，也可求得△ADE的面积，进而求解阴影部分的面积．
【解答】由折叠可知△ADE和△AFE关于AE成轴对称，
故AF=AD=10cm，
在Rt△ABF中，BF2=AF2AB2=
10282=36．
所以BF=6，
所以FC=BCBF=ADBF=106=4(cm)，
设DE=xcm，则EF=DE=
x
cm，EC=DCEF=(8x)
cm，．
在Rt△EFC中，由勾股定理，得FC2+EC2=EF2，
即42+(8x)2=x2，
解得x=5，故DE=5．
在Rt△ADE
中，AE2=AD2+DE2=
102+52=125．
所以阴影部分的面积为：长方形ABCD的面积减去2倍的△ADE的面积
=
AB·AD2S△ADE=
8×102S△ADE=8050=30(cm2)．
【点评】本题主要考查了勾股定理以及折叠变换知识，注意折叠性质的应用，如对应边相等，熟练运用勾股定理进行求解．
【夯实基础】
1、两条边分别为3和4的直角三角形的第三条边长的平方为
(　　)
A.?25???
B.7???
C.?25或7??
??D.?
16或9
2、一个圆柱型笔筒底面半径为5，高24，则笔筒能容下最长的笔长为(　　)
A．24
B．26
C．28
D．
32
3、如图，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S?1?、S?2?、S?3，则S?1?、S?2?、S?3?之间的关系是(　　)
A．S?l?+S?2?>S?3
B．S?l?+S?2?C．S?1?2?+S?2?2?=S?3?2
D．S?1?+S?2?=S?3
4、如图，点C是直线AB上的一点，CD是射线，CE、CF分别是∠ACD和∠BCD的平分线，若EF=7，则CE2+CF2+EF2=(
)
A．98?
B．49???
C．14??
??D．无法确定
5、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，如果将该矩形沿着对角线BD折叠，那么图中阴影
部分的面积为
.
6、如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为15，2号、3号两个正方形的面积和为11，
则A，B，C三个正方形的面积和为
．
7、如图，已知四边形ABCD的周长为30，AB=AD=6，∠BAD=60°，∠ADC=150°，求BC的长和△BDC的面积.
8、探究：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以3cm/s的速度向点A移动；同时，点Q从点B开始沿BC边以4cm/s的速度向点C移动．问：几秒后PQ的长为20cm？(AB>12cm，BC>16cm)
9、在△ABC中，AB=20，AC=13，AD是边BC上的高，AD=12，求BC的长.
?
【提优特训】
10、如图点A是以BC为直径的半圆上一点，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，则图中阴影部分的面积为(　　)
A．3
B．π
C．25π48
D．25π24
11、如图在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的平分线，交BC于D，若AC=9，BC=12，则点D到AB的距离为(　　)
A．
B．4
C．3
D．2
12、如图，甲轮船以16海里／时的速度离开港口O，向东南方向航行，乙轮船在同时同地，向西南方向航行．已知：它们离开港口O一个半小时后，相距30海里，则乙轮船每小时航行(
)海里?
A．18?????
?B．15????
?
C．12???
?
???D．9
13、直角三角形的周长为30cm，斜边的长为13cm，则这个三角形的面积为(
)
A．15?????
?B．30????
?
C．60???
?
???D．65
14、某人在书房里将一副画挂在离底面2.4m的点A处，他找来一架梯子，将梯子的上沿与A起，这时梯子的底脚到墙根的距离为0.7m，则梯子的长度为
.
15、如图，有两棵树，一棵高11米，另一棵高6米，两树相距12米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行　　　　米．
16、如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B的距离．
17、如图所示，在等腰△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D、E为斜边AB上的点，且∠DCE=45°，若AD=15，EB=8，求DE的长．
18、在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC．
(1)如图1，过点A在△ABC外作直线DE，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．
①判断线段DE、BD、CE之间有何数量关系，并证明；
②若AD=a，BD=b，AB=c，试利用图1验证勾股定理a2+b2=c2；
(2)如图2，过点A在△ABC内作直线DE，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，判断线段DE、
BD、CE之间有何数量关系？(直接写出答案)
【中考链接】
19、(2019?枣庄)
如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE2的长为(　　)
A．22
B．24
C．44
D．404
20、(2019?宁波)
勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(??
)?
A.?直角三角形的面积????????????????
??B.?最大正方形的面积
C.?较小两个正方形重叠部分的面积?????
?D.?最大正方形与直角三角形的面积和
参考答案
1、C
2、B
3、D
4、A
5、
6、37
10、D
11、A
12、C
13、B
14、2.5m
15、13
19、B
20、C
7、如图，已知四边形ABCD的周长为30，AB=AD=6，∠BAD=60°，∠ADC=150°，求BC的长和△BDC的面积.
解：∵AB=AD=6，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BDA=∠A=∠BAD=60°，
∴BD=
AB=AD=6，
∵四边形ABCD的周长为30，
∴
DC+CB=四边形ABCD的周长ABAD
=3066=18，
∵∠ADC=150°，∠BDA=60°，
∴∠BDC=∠ADC∠BDA=150°60°=90°.
设BC=x，则DC=18x，
在Rt△BDC中，BC2=BD2+CD2，
∴x2=62+(18x)2，
解得x=10，CD=18x=8，
BC=10.
S△BDC=BD·DC=×6×8=24.
8、探究：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以3cm/s的速度向点A移动；同时，点Q从点B开始沿BC边以4cm/s的速度向点C移动．问：几秒后PQ的长为20cm？(AB>12cm，BC>16cm)
解：设t秒后PQ的长为20cm，
∵点P从点B开始沿BA边以3cm/s的速度向点A移动；
同时，点Q从点B开始沿BC边以4cm/s的速度向点C移动，
∴BP=3t，BQ=4t，
根据题意得：(3t)2+(4t)2=202，
∴t2=16，
∵t>0，
∴t=4，
答：4秒后PQ的长为20cm．
9、在△ABC中，AB=20，AC=13，AD是边BC上的高，AD=12，求BC的长.
?
解：如图1，AD⊥BC于点D，
?
在Rt△ABD，AB=20，AD=12，
BD2=AB2AD2=
202122=256=162，
∴BD=16，
在Rt△ACD，AC=13，AD=12，
CD2=AC2AD2=
132122=25=52，
∴CD=5，
∴BC=BD+DC=16+5=21；
如图2，AD⊥BC的延长线于点D，
?
在Rt△ABD，AB=20，AD=12，
BD2=AB2AD2=
202122=256=162，
∴BD=16，
在Rt△ACD，AC=13，AD=12，
CD2=AC2AD2=
132122=25=52，
∴CD=5，
∴BC=BDDC=165=11.
16、如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B的距离．
解：由图形可知：在△ABC中，∠C=90°
，
AC=150-60=90??
BC=18060=120
?????
??在Rt△ABC中，
根据勾股定理得：AB2=AC2+BC2
????????????
=902+1202?=22500=1502，
所以AB=150?.
答：两圆孔中心的距离150mm.
17、如图所示，在等腰△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D、E为斜边AB上的点，且∠DCE=45°，若AD=15，EB=8，求DE的长．
证明：如图，将△CAD绕点C逆时针旋转90°到△CBP的位置；
则∠DCP=90°，CD=CP，AD=BP；∠ACD
=∠BCP，∠CBP=∠A；
∵BC=AC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=∠CBP=45°，
∴∠EBP=90°，
∵∠DCE=45°，∠DCP=90°，
∴∠PCE=90°∠DCE=90°45°=45°，
∴∠DCE=∠PCE.
在△DCE与△PCE中，
∵
∴△DCE≌△PCE(SAS)
∴DE=PE.
∵AD=BP=15，EB=8，
在直角三角形PBE中，
∴．
∴PE=17．
18、在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC．
(1)如图1，过点A在△ABC外作直线DE，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．
①判断线段DE、BD、CE之间有何数量关系，并证明；
②若AD=a，BD=b，AB=c，试利用图1验证勾股定理a2+b2=c2；
(2)如图2，过点A在△ABC内作直线DE，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，判断线段DE、
BD、CE之间有何数量关系？(直接写出答案)
解：(1)①MN=BM+CN；
理由：∵∠CAB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
在△DAB和△ECA中
∵，
∴△DAB≌△ECA(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∴DE=AD+AE=BD+CE；
②由①知△DAB≌△ECA，
∴CE=AD=a，AE=BD=b，AB=AC=c，
∴DE=a+b，
∵S梯形BCED=S△DAB+S△ABC+S△ECA=ab+c2+ab=ab+c2，
S梯形BCED=((BD+CE)×DE=(a+b)2，
∴(a+b)2=ab+c2，即(a+b)2=2ab+c2，
∴a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2.
(2)DE=CEBD；
理由：∵∠DAB+∠EAC=90°，∠ACE+∠EAC=90°，
∴∠DAB=∠ACE，
在△DAB和△ECA中
∵，
∴△DAB≌△ECA(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∴DE=ADAE=CEBD.
第8题图
第20题图2
第19题图
第5题图
第3题图
第16题图
第17题图
第9题图1
第18题图2
第18题图1
第9题图2
第20题图1
第15题图
第6题图
第18题图1
第12题图
第11题图
第7题图
第7题图
第4题图
第10题图
第8题图
第16题图
第18题图2
例题2图
第17题图
例题1图
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精品试卷·第
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