【备考2021】高考一轮 恒成立问题的处理 学案

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恒成立问题的解决学案
一．学习目标
理解函数恒成立的概念，并注意与存在性问题进行区分；掌握函数恒成立问题的解题思路。
函数内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点；恒成立问题主要涉及一次函数、二次函数、三角函数、指数函数、对数函数等常见函数的图像和性质；渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
近几年的高考中频频出现存在性和恒成立问题，其形式逐渐多样化，但是它们大多数与函数、导数知识密不可分。
二．前文回顾
恒成立：关于的不等式对于在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立。
解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常常采用以下几种方法：①函数性质法、②分离常数法、③主参换位法、④数形结合法。
三．典例分析与性质总结
题型1：函数性质法
利用函数性质法解决恒成立与存在性问题，常常转为函数的最值问题。需要利用函数的单调性、函数的图像、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等方法求解函数的最值；函数的图像在此处也会出现意想不到的效果。
（1）若函数在区间上存在最小值和最大值，则:
①不等式在区间上恒成立；
②不等式在区间上恒成立；
③不等式在区间上恒成立；
④不等式在区间上恒成立；
（2）若函数在区间上不存在最大（小）值，且值域为，则：
①不等式（或）在区间上恒成立；
②不等式（或）在区间上恒成立；
上述的情况是针对一个函数、一个自变量而言的，如果是两个函数、两个自变量的情况，其等价转换的模型不一样，需要特殊理解。
推广：
①，有恒成立对，恒成立对，；
②，有恒成立对，恒成立对，；
③在区间上单调递增对，恒成立对，（验证导函数不恒为0）；
④在区间上单调递减对，恒成立对，（验证导函数不恒为0）；
（3）如果是两个函数与两个自变量值的情况，需要对函数的最值进行分析解决。
对于任意的、，不等式恒成立、时，有
例1：已知存在实数,使得关于的不等式恒成立，则的最大值为_______.
题型2：分离参数法
利用函数性质法解决恒成立与存在性问题，在进行求参数范围过程中，如果其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其他变量完全分离，并且分离后不等式一边的函数的最值可求，常利用分离参数法。此类问题便是将不等式一边的代数式看成一个新函数，这样便转化为函数的最值问题求解。
若，有恒成立；
若，有恒成立；
简单来说，大就大其最大，小就小其最小，进而转化为函数的最值问题。
基本步骤：恒成立，求解参数的取值范围。
①将参数与变量进行分离，即将原来的式子转化为或恒成立的形式；
②求解在区间D上的最大值或最小值；
③解不等式或。
适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。
例2：若不等式对恒成立，则实数的取值范围是_________．
题型3：主参换位法
利用函数性质法解决恒成立与存在性问题，在进行求参数范围过程中，如果其中的参数（或关于参数的代数式）在进行分离时需要进行分类讨论或者即使分离后不等式一边的函数的最值难以求解，常考虑转换思维角度，将主元与参数转换地位，再结合其他知识，往往会出现出奇制胜的效果；此类问题的难点在于思维定式的影响，常常将题意看作是关于的函数进行讨论，从而计算繁琐出错或者半路思维出现夭折；转换思路后将待求的作为参数，将看做变量，构造新的关于参数的函数，再来求解参数应该满足的条件，从而解决问题。
基本结论：一次函数；利用函数的图像求解。
若在内恒有；可得或合并成；
同理若内恒有则有
例3：若不等式对于一切的恒成立，求的取值范围；
若不等式对于一切的恒成立，求的取值范围
主与次的转化要点
在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看作是“主元”，而把其他变元看作是常量，从而达到减少变元简化运算的目的；通常给出哪个“元”的取值范围就将哪个“元”视为“主元”。
题型4：数形结合法
如果题目中涉及到的函数对应的图像、图形比较容易画出时，可以通过图像的位置关系建立不等式从而求得参数范围。解决此类问题经常要结合函数的图像，选择适当的两个函数，利用函数图像的上下位置关系来确定参数的范围，利用数形结合解决不等式问题，关键是构造函数，准确作出函数的草图。
常见的是二次函数的应用性，利用判别式、韦达定理及根的分布求解。有以下几种基本类型：
类型1：设
①上恒成立；
②上恒成立．
类型2：设
①当时，上恒成立
上恒成立
②当时，在上恒成立
在上恒成立
例4：定义在上的奇函数满足：当时，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）
A．
B．
C.
D．
例5：已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是________.
四．变式演练与提高
1.已知函数，若对于，恒成立，求实数m的取值范围；
2..若不等式对任意均成立，则实数的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
3.对于满足的所有实数，使不等式成立的的取值范围是________．
4.已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．
五．反思总结
对于恒成立问题的常见题型及解法，解决这类题目要看清式子的特征，选择合适的方法，以便事半功倍.
(1)对于含二次项恒成立的问题，注意讨论二次项系数是否为0，这是容易漏掉的地方；
(2)恒成立问题一般需转化为最值，利用单调性证明在闭区间的单调性；
(3)一元二次不等式在全体实数上恒成立，看开口方向和判别式；
(4)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单；
(5)值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的形式不尽相同，但其实质却往往与求函数的最值息息相关。
六．课后作业
1.对任意不等式恒成立，则实数的取值范围是
．
2.当，不等式恒成立，则实数的取值范围为_______．
3.对于满足不等式的一切实数，函数的值恒大于，则实数的取值范围是＿＿＿．
4.已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
七．参考答案
例1：解析：
不等式恒成立等价于；
因为在定义域上单调递增，所以，因此
即的最大值为。
例2：解析：
，则，设，则；通过导数判断的单调性，所以，则；
故实数的取值范围是．
例3：解析：
[解析](1)因为，
当时，原式恒成立，此时；
当时，原不等式可化为，而当且仅当时等号成立，
所以的取值范围是；
当时，可得，而当且仅当x＝-1时等号成立；
所以；
综上可知，的取值范围是．
(2)因为，则可把原式看作关于的函数，即，
由题意可知，
解之得，所以的取值范围是．
例4：解析：
由奇函数的概念，易知；故而在是增函数，所以对于任意实数恒成立，所以恒成立。
；
故而选A。
例5：解析：
由题意，不等式恒成立等价于的图像始终在的下方；
即直线夹在与相切的直线与之间，所以转化为求曲线的切线；
（求过点且与该曲线相切的直线）由导数的几何意义可求得（此时切点横坐标为-1）（此时切点横坐标为1舍去）；
因此
四．变式演练与提高
1.解析：
∵∴
而，所以对于恒成立
记，；显然在上是减函数，
所以，所以，故而的取值范围是
2.解析：
，即对任意均成立，当时，适合题意；当时，由Δ<0，即得；所以；综上所述；故选A.
3.解析：
设，显然
在上恒正，即
解得或。
4.解析：
分析：本题若直接求解则比较繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象，借助图形可以直观、简捷求解。
在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象，从图象中容易知道：当且时，函数的图象恒在函数上方，不合题意；当且时，欲使函数的图象恒在函数下方或部分点重合，就必须满足，即。
故所求的的取值范围为。
评注：对不等式两边巧妙构造函数，数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种快捷方法。．
六．课后作业
1.解析：
设，则，，故原不等式转化为，即，所以，即；
故应填答案。
2.解析：
因为恒成立，所以不等式恒成立转化为恒成立，即，而函数为减函数，所以当时，，所以，即。
3.解析：
分析：若审题不清，按习惯以为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元。
设，，则原问题转化为恒成立的问题。
故应该有，解得或；所以实数的取值范围是
评注：在某些特定的条件下，若能变更主元，转换思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且可以轻松解决恒成立问题。
4.解析：
由的基本模式可知，是奇函数，并且是单调递减的；因此，可
以转化为，即，所以，即。
点睛：本题在利用函数性质解决恒成立问题时需要解函数不等式，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内。
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精品试卷·第
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