(共5张PPT)
第二章
二次函数
1．二次函数所描述的关系
1．二次函数的概念
形如 y＝ax2＋bx＋c(a、b、c 是常数，a≠0)的函数叫做二次
函数．
2．列二次函数关系式
列函数表达式的基本思路：
(1)认真审题，弄清题中的自变量和因变量；
(2)确定一共有几个条件，每个条件和变量可以列出什么意
义的代数式；
(3)确定等量关系，得到表达式．
二次函数的概念
(
)
C
A．正比例函数
C．二次函数
B．一次函数
D．以上答案都不对
2．请分别指出二次函数 y＝4(x－1)(x－3)中的二次项系数，
一次项系数及常数项．
答案：二次项系数为 4，一次项系数为－16，常数项为 12.
列二次函数关系式
3．两个数的和为 8，设其中一个数为 x，这两个数的乘积
是 y，则 y 与 x 之间的函数关系式为__________，这是________
函数．
y＝x(8－x)
二次
4．正方形的边长是 3，若边长增加 x，则面积增加 y，写出
y 与 x 之间的关系式．
答案：增加的面积为 y＝(x＋3)2－9＝x2＋6x.
1．二次函数是一个整式函数．
2．容易忽略二次函数定义中的 a≠0，当 a＝0，b≠0 时，y
＝ax2＋bx＋c 是 x 的一次函数．(共5张PPT)
5.用三种方式表示二次函数
x 0 1 2 3 4
4－x
y
二次函数的三种表示法
两个数的和为 4，并且设一个数为 x，它们的积为 y.
(1)用函数表达式表示：
y＝_______________.
(2)用表格表示：
4
3
2
1
0
0
3
4
3
0
x (4－x)
(3)用图象表示：
答案：图 22
图 22
x
y
二次函数的三种表示法
1．已知二次函数 y＝－x2＋(k＋1)x＋3，当 x<1 时，y 随 x
的增大而增大；当 x>1 时，y 随 x 的增大而减小．
(1)这个二次函数的表达式为___________________．
(2)用表格表示：
(3)图象表示：
答案：(2) (3) 略
y＝－x2＋2x＋3
2．如图 1 中的抛物线关于 x 轴对称的抛物线的表达式为
______________．
图 1
3．正方形的周长为 C，面积为 S，用 C 表示出函数 S 的关
系式．
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8．二次函数与一元二次方程
1．二次函数图象与一元一次方程的关系
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴的交点有三种情况：
有______个交点、有一个交点、______交点，当二次函数 y
＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y
＝0 时自变量 x 的值，即一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根．
2．利用二次函数的图象估计一元二次方程的根
一般步骤：
两
没有
(1)作二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象；
(2)确定抛物线与 x 轴交点的个数，看交点在哪两个数之间；
(3)列表，在两个数之间取值估计，并用计算器估算近似根，
近似根在对应 y 值的正负交换的地方，当 x 由 x1 取到 x2 时，对
应的 y 值出现 y1>0，y2<0 时，则 x1、x2 中必有一个是方程的近
似根，再比较|y1|和|y2|，若|y1|____|y2|，则 x1 是方程的近似根；
当|y1|____|y2|时，x2 是方程的近似根．
＜
＞
二次函数图象与一元二次方程的关系(重点)
1 ． 抛物线 y ＝ a(x － 2)(x ＋ 5) 与 x 轴的交点坐标为
________________．
2．若抛物线 y＝x2＋2x＋m－1 与 x 轴只有一个交点，则 m
＝________.
(2,0)，(－5,0)
2
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2＋bx＋c －0.03 －0.01 0.02 0.04
利用二次函数的图象估计一元二次方程的根
3.已知所给表格是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的自变量 x 与
函数值 y 的对应值，判断方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a、b、c
为常数)的一个解 x 的范围是(
)
C
A ． 6＜x＜6.17
B ． 6.17＜x＜6.18
C ． 6.18＜x＜6.19
D ． 6.19＜x＜6.20
4．已知二次函数 y＝－x2＋2x＋m 的部分图象如图 1，则关
于 x 的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0 的解为________________．
x＝3 或 x＝－1
图 1
在利用b2－4ac判定二次函数的图象与x轴交点个数时，
一定要注意二次项系数不为零．(共16张PPT)
章末热点考向专题
专题一
恰当选择确定二次函数表达式的方法
求二次函数的解析式时，通常有三种设法：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k；
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中 x1、x2 是抛物线与 x
轴交点的横坐标．
例 1：已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)，且经过点(3,0)，
求二次函数的解析式．
分析：本题已知二次函数的顶点坐标，可以利用顶点式 y
＝a(x－h)2＋k.
解：因为二次函数图象的顶点坐标为(1,4)，
∴设 y＝a(x－1)2＋4，
将(3,0)代入，求得：a＝－1.
∴二次函数的解析式为 y＝－(x－1)2＋4.
【规律总结】求二次函数的解析式：
(1)当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式；
(2)当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶
点式；
(3)当已知抛物线与 x 轴的交点或交点横坐标时，通常设为
交点式．
1．(2010 年陕西节选)在平面直角坐标系中，抛物线经过
A(－1,0)，B(3,0)，C(0，－1)三点，求该抛物线的表达式．
2．(2010 年浙江金华)已知二次函数 y＝ax2＋bx－3 的图象
经过点 A(2，－3)，B(－1,0).
(1)求二次函数的解析式；
(2)填空：要使该二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，应
把图象沿 y 轴向上平移________个单位．
专题二
二次函数的图象与系数之间的关系
1．a 的符号决定开口方向：a>0，向上；a<0，向下．
2．a 与 b 的符号决定对称轴的位置：对称轴在 y 轴左侧，
ab>0；对称轴在 y 轴右侧，ab<0.
3．c 的符号决定二次函数图象与 y 轴交点位置：c>0，交点
在 y 轴上方；c＝0，图象过原点；c<0，交点在 y 轴下方．
4．(1)b2－4ac＞0 时，二次函数的图象与 x 轴有两个交点；
(2)b2－4ac＝0 时，二次函数的图象与 x 轴有一个交点；
(3)b2－4ac＜0 时，二次函数的图象与 x 轴没有交点．
例 2：已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图 1，给
出以下结论：
①a＋b＋c<0；②a－b－c<0；③2a＋b<0；④abc>0.
其中正确结论的序号是(
)
图 1
A．③④
B．②③
C．①④
D．①②③
>0，a<0 得，b>0，又 c>0，所以 a－b－c<0，abc<0，故②
分析：由图象可知：当 x＝1 时，y>0，即 a＋b＋c>0，故①
不正确；－
b
2a
<1，a<0，则－b>2a，即 2a＋b<0，故③正确；由
－
b
2a
正确，④不正确．
答案：B
3．(2010 年福建福州)已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象
)
D
如图 2，则下列结论正确的是(
图 2
A．a>0
C．b2－4ac<0
B．c<0
D．a＋b＋c>0
4．(2010 年四川乐山)设 a、b 是常数，且 b＞0，抛物线 y
＝ax2 ＋bx ＋a2 －5a －6 为图 3 中四个图象之一，则 a 的值为
(
)
D
图 3
A．6 或－1
C．6
B．－6 或 1
D．－1
专题三
运用二次函数解决实际问题
例 3：(2010 年山东日照)如图 4，小明在一次高尔夫球争霸
赛中，从山坡下 O 点打出一球向球洞 A 点飞去，球的飞行路线
为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度 12 米
时，球移动的水平距离为 9 米．已知山坡 OA 与水平方向 OC 的
夹角为 30°，O、A 两点相距
米．
(1)求出点 A 的坐标及直线 OA 的解析式；
(2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
(3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从 O 点
直接打入球洞 A 点 .
图 4
5．(2010 年湖北武汉)某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当
每个房间的房价为每天 180 元时，房间会全部住满．当每个房
间每天的房价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对
游客居住的每个房间每天支出 20 元的各种费用．根据规定，每
个房间每天的房价不得高于 340 元．设每个房间的房价每天增
加 x 元(x 为 10 的正整数倍)．
(1)设一天订住的房间数为 y，直接写出 y 与 x 的函数关系式
及自变量 x 的取值范围；
(2)设宾馆一天的利润为 W 元，求 W 与 x 的函数关系式；
(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？ 最大利润是
多少元？
答：一天订住 34 个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润
是 10 880 元．(共6张PPT)
4．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象
1．二次函数 y＝a(x－h)2 和 y＝a(x－h)2＋k 的图象与性质
(1) 函 数 y ＝ 2(x － 1)2 的 对 称 轴 是 _______ ， 顶 点 坐 标 是
_______，当 x>1 时，函数值随 x 的增大而_______，当 x<1 时，
函数值随 x 的增大而_______．
x＝1
(1,0)
增大
减小
(2)二次函数 y＝2x2，y＝2(x－1)2，y＝2(x－1)2＋1 的图象都
是_______，它们的顶点坐标分别为_______、_______、________.
那么将函数 2x2 的图象向右平移_______个单位，就得到 y＝2(x
－1)2 的图象；再向上平移_______个单位，就将得到函数 y＝2(x
－1)2＋1 的图象．
抛物线
(0,0)
(1,0)
(1,1)
1
1
(3)二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象是一条________，它的
开口方向、对称轴和顶点坐标与________、________、________
有关．
抛物线
a
h
k
2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和性质(重难点)
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象是一条______，它的对称轴
是直线________，顶点是_______________．
抛物线
二次函数 y＝a(x－h)2 和y＝a(x－h)2＋k 的图象与性质
1.抛物线 y＝－5(x－2)2－3 的开口方向 ________ ，对称轴
为 __________ ， 顶点坐标为
__________．
向下
x＝2
(2，－3)
2．函数 y＝2(x＋1)2 的图象可以看成是由函数 y＝2x2 的图
象向________平移________个单位得到的．
左
1
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与系数符号有密切关系：
(1)a 的符号决定开口方向，a>0，开口向上；a<0，开口向
下；
(2)a、b 的符号决定对称轴的位置，ab>0，对称轴在 y 轴左
侧；ab<0，对称轴在 y 轴右侧；
(3)c 的符号决定抛物线与 y 轴交点位置，c>0，交点在 y 轴
上方；c＝0，图象过原点；c<0，交点在 y 轴下方．(共5张PPT)
7．最大面积是多少
利用二次函数的性质求“最大面积”
周长为 16 cm 的矩形的最大面积为__________，此时矩形
的边长为____________，实际上此时矩形是__________．
16 cm2
4 cm
正方形
应用二次函数解决与图形有关的最值问题
1．小敏用一根长为 8 cm 的红铁丝围成矩形，则矩形的最
大面积是(
)
A
A．4 cm2
B．8 cm2
C．16 cm2
D．32 cm2
2．如图 1，△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝12 cm.
点 P 从点 A 开始，沿 AB 边向点 B 以每秒 1 cm 的速度移动；点
Q 从点 B 开始，沿着 BC 边向点 C 以每秒 2 cm 的速度移动．如
果 P、Q 同时出发，问经过几秒△PBQ 的面积最大？最大面积
是多少？
图 1
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知识点
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a P
B
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2．结识抛物线
1．描点法作二次函数的图象
三个步骤是：
(1)________：在 x 的取值范围内取一些值，算出 y 的对应
值；
(2)________：在平面直角坐标系内描出表中的各组对应值
组成的点；
(3)________：用光滑的曲线，按自变量从小到大(或由大到
小)的顺序把所描的点连接起来．
列表
描点
连线
2．二次函数 y＝x2 与 y＝－x2 的图象及性质
(1)函数 y＝x2 与 y＝－x2 的图象与性质的异同点：
①相同点：
图象都是一条______线；且关于______轴对称．
②不同点：
y＝x2 的图象开口向______，有最低点，当 x<0 时，y 随 x
的增大而______；当 x>0 时，y 随 x 的增大而______；
y＝－x2 的图象开口向______，有最高点，当 x<0 时，y 随
x 的增大而______；当 x>0 时，y 随 x 的增大而______．
(2)若把函数 y＝x2 和函数 y＝－x2 的图象画在同一直角坐标
系中，则两图象关于 x 轴成轴对称，关于原点成中心对称．
抛物
y
上
减小
增大
下
增大
减小
x －2 －1 －0.5 0 0.5 1 2
y＝2x2 8 2 0.5 0 0.5 2 8
描点法作二次函数的图象
1．在直角坐标系中作二次函数 y＝2x2 的图象．
（2）在直角坐标系中描点；
（3）图略
解：（1）列表如下：
二次函数 y＝x2 与 y＝－x2 的图象及性质
2．不在抛物线 y＝－x2 的点是(
)
C
A．(1，－1)
C．(－5,5)
D．(0,0)
3．已知点(－2，y1)，(－2.5，y2)，(－1.5，y3)在函数 y＝x2
的图象上，试比较 y1、y2、y3 的大小．
解法一：当 x＜0 时，y=x2 随 x 的增长而减少，
∵－1.5＞－2＞－2.5，∴y3＜y1＜y2.
解法二：将点的横坐标代入 y=x2 中，分别求函数值，从
而比较它们的大小.(共5张PPT)
3.刹车距离与二次函数
二次函数 y＝ax2＋c 的图象与性质(重点)
y＝ax2＋c
函数
c>0
c<0
a<0
a>0
图象
函数
y＝ax2 ＋c
开口方向 (1)向______ (2)向______
对称轴 y 轴(直线 x＝0) y 轴(直线 x＝0)
顶点 (3)______ (4)______
函数变化 (5)x<0 时，y 随 x 的增大而
______；
x>0 时 ， y 随 x 的 增 大 而
______ (6)x<0 时，y 随 x 的增大
而______；
x>0 时，y 随 x 的增大而
______
最值 (7)x＝0 时，y 有最小值为
______ (8)x ＝0 时，y 有最大值
______
续表：
上
下
(0，c)
(0，c)
减小
增大
增大
减小
c
c
1．抛物线 y＝3x2，y＝－3x2，y＝ x2＋3 共有的性质是(
3．已知函数 y＝ x2＋3：
二次函数 y＝ax2＋c 的图象与性质(重点)
)
B
A．开口向上
C．都有最高点
B．对称轴是 y 轴
D．y 随 x 值增大而增大
2．抛物线 y＝－4x2－4 的开口向______，当 x＝______时，
y 有最______值，此时 y＝______.
下
0
大
－4
(1)其对称轴是_____，顶点坐标是_____；
y 轴
(0,3)
(2)若将其向上平移 1 个单位，则得到的二次函数是_________．
1
3
1
3
y＝ x2＋4
1
3
1．y＝ax2 的图象通过上下平移得到 y＝ax2＋c 的图象，因
此它们的形状、大小、对称轴、开口方向、增减规律相同，所
不同的是顶点和最值．
2．y＝ax2＋c 的图象中，a 的符号决定开口方向，当 a>0，
向上，当 a<0，向下；c 的符号决定图象与 y 轴的交点位置，当
c>0，交点在 y 轴正半轴；当 c<0，交点在 y 轴负半轴．(共4张PPT)
6．何时获得最大利润
利用二次函数的最值解决最大利润问题
二次函数解决实际问题的一般步骤：
(1)根据题意建立适当的直角坐标系；
(2)把已知条件转化为点的坐标；
(3)合理的设出函数关系式；
(4)代入已知条件中点的坐标，求出解析式；
(5)根据求得的解析式进一步分析、判断，并进行有关计算．
利用二次函数的最值解决最大利润问题
1．某商店购进一批货物，进价每件 60 元，若按 100 元售
出，一个月内能销售 80 件，为了增大利润决定调价，经试销发
现，在原价基础上每提高 1 元，销售量就减少 1 件，假定每月
销售件数 y(件)是价格 x(元/件)的函数．
(1)试求出 y 与 x 的函数关系式；
(2)商品不积压且不考虑其他因素的条件下，价格定为多少
元时，才能使每月获得的利润 P 最大？最大利润是多少？
解：(1)y＝80－(x－100)＝180－x.
(2)每月获得的利润为
P=(x－60)(180－x)=－(x－120)2+3 600，
当 x＝120 时，利润 P 最大，最大利润为 3 600 元．
2．把一个数 m 分解为两数之和，何时它们的乘积最大？
