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第31讲
空间几何体的结构及其表面积、体积
1、
考情分析
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；
2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题；
3.能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图.
2、
知识梳理
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
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"4S1.TIF"
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MERGEFORMAT
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INCLUDEPICTURE
"4S2.TIF"
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MERGEFORMAT
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"4S3.TIF"
\
MERGEFORMAT
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点，但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
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"4S4.TIF"
\
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"4S5.TIF"
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MERGEFORMAT
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"4S6.TIF"
\
MERGEFORMAT
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"4S7.TIF"
\
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母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
2.直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
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"V120.tif"
\
MERGEFORMAT
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"V121.tif"
\
MERGEFORMAT
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"V122.tif"
\
MERGEFORMAT
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
4.空间几何体的表面积与体积公式
名称几何体
表面积
体积
柱 体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝S底h
锥 体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝S底h
台 体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3
[微点提醒]
1.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点.
2.正方体的棱长为a，球的半径为R，则与其有关的切、接球常用结论如下
：
(1)若球为正方体的外接球，则2R＝a；
(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；
(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
3.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
4.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
3、
经典例题
考点一 空间几何体的结构特征
【例1】
(1)给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
(2)给出下列命题：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③存在每个面都是直角三角形的四面体；
④棱台的侧棱延长后交于一点.
其中正确命题的序号是________.
【答案】 (1)A (2)②③④
【解析】 (1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.
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"V82B.tif"
\
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(2)①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知.
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"5S89.TIF"
\
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规律方法 1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例.
2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.
3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.
考点二 空间几何体的直观图
【例2】
已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
A.a2
B.a2
C.a2
D.a2
【答案】 D
【解析】 如图①②所示的实际图形和直观图.
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"4S12.TIF"
\
MERGEFORMAT
由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a.所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.故选D.
规律方法 1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.
2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝S原图形.
考点三 空间几何体的表面积
【例3】
(1)若正四棱锥的底面边长和高都为2，则其全面积为________.
(2)圆台的上、下底面半径分别是10
cm和20
cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积为________(结果中保留π).
(3)如图直平行六面体的底面为菱形，若过不相邻两条侧棱的截面的面积分别为Q1，Q2，则它的侧面积为______.
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"Z6.TIF"
\
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【答案】 (1)4＋4 (2)1
100π
cm2 (3)2eq
\r(Q＋Q)
【解析】 (1)因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，如图.
INCLUDEPICTURE"4S28.TIF"
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"4S28.TIF"
\
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由题意知底面正方形的边长为2，正四棱锥的高为2，
则正四棱锥的斜高PE＝＝.
所以该四棱锥的侧面积S＝4××2×＝4，
∴S全＝2×2＋4＝4＋4.
(2)如图所示，设圆台的上底周长为C，因为扇环的圆心角是180°，所以C＝π·SA.
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"Z7.TIF"
\
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又C＝2π×10＝20π，所以SA＝20.
同理SB＝40.
所以AB＝SB－SA＝20.
S表＝S侧＋S上底＋S下底
＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202
＝1
100π(cm2).
故圆台的表面积为1
100π
cm2.
(3)设直平行六面体的底面边长为a，侧棱长为l，则S侧＝4al，因为过A1A，C1C与过B1B，D1D的截面都为矩形，从而
则AC＝，BD＝.
又AC⊥BD，
∴＋＝a2.∴＋＝a2.
∴4a2l2＝Q＋Q，2al＝eq
\r(Q＋Q)，
∴S侧＝4al＝2eq
\r(Q＋Q).
规律方法 1.求解有关多面体侧面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形、棱台中的直角梯形、棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素间的桥梁，从而架起求侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素间的联系.
2.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.
3.旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
考点四 空间几何体的体积
【例4】
(1)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比V球∶V柱为( )
A.1∶2
B.2∶3
C.3∶4
D.1∶3
(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________.
INCLUDEPICTURE"18GS17.TIF"
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"18GS17.TIF"
\
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【答案】 (1)B (2)
【解析】 (1)设球的半径为R，则＝＝.
(2)连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因为E，H分别为AD1，CD1的中点，所以EH∥AC，EH＝AC.因为F，G分别为B1A，B1C的中点，所以FG∥AC，FG＝
AC.所以EH∥FG，EH＝FG，所以四边形EHGF为平行四边形，又EG＝HF，EH＝HG，所以四边形EHGF为正方形.又点M到平面EHGF的距离为，所以四棱锥M－EFGH的体积为××＝.
规律方法 1.(直接法)规则几何体：对于规则几何体，直接利用公式计算即可.
2.(割补法)不规则几何体：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算.经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体.
3.(等积法)三棱锥：利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为三棱锥的底面.(1)求体积时，可选择“容易计算”的方式来计算；(2)利用“等积性”可求“点到面的距离”，关键是在面中选取三个点，与已知点构成三棱锥.
考点五 多面体与球的切、接问题
【例5】在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A.4π
B.
C.6π
D.
【答案】 B
【解析】 由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.
要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.
则×6×8＝×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.
2r＝4＞3，不合题意.
球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.
由2R＝3，即R＝.
故球的最大体积V＝πR3＝π.
规律方法 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.
2.若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.
[方法技巧]
1.几何体的截面及作用
(1)常见的几种截面：①过棱柱、棱锥、棱台的两条相对侧棱的截面；②平行于底面的截面；③旋转体中的轴截面；④球的截面.
(2)作用：利用截面研究几何体，贯彻了空间问题平面化的思想，截面可以把几何体的性质、画法及证明、计算融为一体.
2.棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所以在解决棱台和圆台的相关问题时，常“还台为锥”，体现了转化的数学思想.
3.转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.
4.求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错.
5.底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.
4、
课时作业
1．（2019·浙江拱墅?杭州四中高二期中）已知一个正方体棱长为1，则它的体积为（
）
A．1
B．4
C．6
D．8
【答案】A
【解析】正方体的棱长为1
该正方体的体积
2．（2019·浙江拱墅?杭州四中高二期中）如果两个球的体积之比为，那么两个球的表面积之比为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设两个球半径分别为r,R,则由条件知：，于是两球对应的表面积之比为故选C
3．（2020·广东东莞?高三其他（文））在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为( )
A．
B．
C．3π
D．4π
【答案】A
【解析】圆锥的侧面展开图是半径为，弧长为的扇形，其面积，所以圆锥的侧面展开图面积为.
4．（2019·云南弥勒市一中高一期末）长方体中的8个顶点都在同一球面上，，，，则该球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由已知，，
所以长方体的外接球半径，
故外接球的表面积为.
5．（2020·宁夏原州?固原一中高三其他（文））一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体是四棱锥，底面积，体积，解得
，故答案为B.
6．（2020·河北桃城?衡水中学高三其他（文））定义轴截面为正方形的圆柱为正圆柱.某正圆柱的一个轴截面是四边形，点P在母线上，且.一只蚂蚁从圆柱底部的A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P，则这只蚂蚁行走的最短路程为（
）
A．213
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】将该圆柱沿母线剪开，得到其侧面展开图，如下图所示.
设底面圆半径为r，则，∴，
∴在侧面展开图中.
在中，.
故选：C.
7．（2019·涡阳县第九中学高一期末（文））若球的表面积为16π，则与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为（
）
A．4π
B．π
C．2π
D．π
【答案】D
【解析】设球的半径为，
因为球的表面积为，所以，解之得；
因为截面与球心距离为；
所以截面圆的半径；
可得截面圆面积为.
8．（2020·河北易县中学高三其他（文））若圆台的母线与高的夹角为，且上、下底面半径之差为2，则该圆台的高为（
）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【解析】设上、下底面半径分别为，，圆台高为，
由题可知：，即，
所以．
9．（2020·江苏苏州?高一期末）如图，在平行六面体中，点是棱上靠近的三等分点，点是棱的中点，且三棱锥的体积为2，则平行六面体的体积为（
）
A．8
B．12
C．18
D．20
【答案】B
【解析】如图
设点到的距离为，点到平面的距离为
则，，
所以
，
平行六面体的体积为
所以
10．（2020·江苏苏州?高一期末）已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题可知：圆锥的底面半径为4，母线长为5
所以该圆锥的侧面积为
11．（2020·江苏常熟?高二期中）如图，在圆锥的轴截面中，，有一小球内切于圆锥（球面与圆锥的侧面、底面都相切），设小球的体积为，圆锥的体积为，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图
设小球的半径为，圆的半径为
由
所以
由，所以
所以，则
所以
所以，
12．（2020·江苏泰州?高一期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面积为（
）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【解析】该圆锥侧面积为．
13．（2019·宁波市第四中学高二期中）已知圆锥底面半径为1，其侧面展开图是半圆，则圆锥的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，
所以圆锥的底面周长为：，
所以圆锥的母线长为：2，圆锥的高为：；
圆锥的体积为：．
14．（2019·宁波市第四中学高二期中）如图所示的是水平放置的三角形直观图，是中边上的一点，且，又轴，那么原的、、三条线段中（
）
A．最长的是，最短的是
B．最长的是，最短的是
C．最长的是，最短的是
D．最长的是，最短的是
【答案】C
【解析】解：由题意得到原的平面图为：
其中，，，
，
的、、三条线段中最长的是，最短的是．
15．（2019·浙江台州?高二期中）圆锥和圆柱的底面半径?高都是，则圆锥的表面积和圆柱的表面积之比为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意圆锥的母线长为，其表面积为，
圆柱的表面积为，
所以．
16．（2019·浙江南湖?嘉兴一中高二期中）如图所示，一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是，其中，则该直观图所表示的平面图形的面积为（
）
A．
B．
C．16
D．8
【答案】A
【解析】根据斜二测画法可知,该图的直观图为,且.
故面积为.
17．（2019·浙江南湖?嘉兴一中高二期中）如图，正四棱锥底面的四个顶点、、、在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则求的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，设半径为，则，，，．
∴．
18．（2020·浙江高三二模）某几何体三视图如图所示（单位：cm），其左视图为正方形，则该几何体的体积（单位：cm3）是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由三视图可知，该几何体是由一个长方体截去一个三棱锥和一个半圆柱构成，
长方体的体积为；
截去的三棱锥有三个两两垂直的棱，长度分别为3，3，4，
则截去的三棱锥体积为；
截去的半圆柱的底面半径满足即，高为3，
则截去的半圆柱的体积为；
所以该几何体体积.
19．（2020·安徽金安?六安一中高三其他（文））一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】作出该几何体的轴截面图如图，
，，
设内接圆柱的高为h，
由，得.
∵，
∴，即，
得，
∴该圆锥的体积为.
20．（2020·七台河市第一中学高一期末（理））如图，四棱锥的底面为平行四边形，，则三棱锥与三棱锥的体积比为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为底面为平行四边形，所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
因此.
21．（2020·武威第六中学高三其他（理））已知三棱锥中，侧面底面，是边长为3的正三角形，是直角三角形，且，，则此三棱锥外接球的体积等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】取的中点，中点，连接、，
由题意可得为的外心，平面，
过点作直线垂直平面，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为，
过点作于，连接、，可知四边形为矩形，
是边长为3，，
，，，
设，则，
，，
由可得，解得，
三棱锥外接球的半径，
此三棱锥外接球的体积.
22．（2019·浙江下城?杭州高级中学高二期中）已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意，可得截面是边长为的正方形，
结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，
所以其表面积为，故选B.
23．（2019·浙江台州?高二期中）已知圆锥的高为1，母线长为，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（
）
A．2
B．
C．4
D．5
【答案】B
【解析】如图是圆锥的轴截面，由题意母线，高，则，
是锐角，所以，于是得轴截面顶角，
所以当两条母线夹角为时，截面面积为为所求面积最大值．
故选：B．
24．（2020·浙江高三二模）如图所示，在顶角为圆锥内有一截面，在圆锥内放半径分别为的两个球与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于，则截面所表示的椭圆的离心率为(
)
（注：在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球相切于点，由相切的几何性质可知，，，于是，为椭圆的几何意义）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设两球的球心分别为，，圆锥顶点为，取两球与圆锥同一母线上的切点，，
连接，，，，连接交于，
由顶角为，两个球的半径分别为，，
可知，，，，
所以即，，
由可得，
所以，所以，，
所以该椭圆离心率.
故选：C.
25．（2019·浙江湖州?高二期中）设球与圆锥的体积分别为，，若球的表面积与圆锥的侧面积相等，且圆锥的轴截面为正三角形，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：设球O的半径为R，圆锥SO1的底面半径为r，
则圆锥的母线长l＝2r，
由题意得4πR2＝πrl＝2πr2，解得r＝，
.
26．（2020·武汉外国语学校高一月考）已知圆锥的轴截面为正三角形，有一个球内切于该圆锥，圆锥的体积为，球的体积为，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设圆锥的底面半径为，该内切球的半径为
圆锥的轴截面为正三角形
由等面积法可知，
，
27．（多选题）（2020·湖南怀化?高二期末）已知，，三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离等于球半径的，则下列结论正确的是（
）
A．球的半径为
B．球的表面积为
C．球的内接正方体的棱长为
D．球的外切正方体的棱长为
【答案】BD
【解析】设球的半径为，△的外接圆圆心为，半径为.
可得，
因为球心到平面的距离等于球半径的，
所以，得.所以A不正确；
所以球的表面积，选项B正确；
球的内接正方体的棱长满足，显然选项C不正确；
球的外切正方体的棱长满足，显然选项D正确.
28．（多选题）（2019·江苏鼓楼?南京师大附中高二开学考试）如图，在直三棱柱中，，，点D，E分别是线段BC，上的动点（不含端点），且．则下列说法正确的是（
）
A．平面
B．该三棱柱的外接球的表面积为
C．异面直线与所成角的正切值为
D．二面角的余弦值为
【答案】AD
【解析】在直三棱柱中，四边形是矩形，
因为，所以，不在平面内，平面，
所以平面，A项正确；
因为，所以，
因为，所以，所以，
易知是三棱柱外接球的直径，
所以三棱柱外接球的表面积为，所以B项错误；
因为，所以异面直线与所成角为．
在中，，，
所以，所以C项错误；
二面角即二面角，
以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图
则，
,,,
设平面的法向量，
则，即，令可得，
设平面的一个法向量为，
则，即，令可得
故二面角的余弦值为，所以D项正确．
故选：AD
29．（多选题）（2020·江苏海安高级中学高二期末）在棱长为1的正方体中，点M在棱上，则下列结论正确的是（
）
A．直线与平面平行
B．平面截正方体所得的截面为三角形
C．异面直线与所成的角为
D．的最小值为
【答案】ACD
【解析】
30．（多选题）（2020·湖南雁峰?衡阳市八中高二期中）如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（
）
A．直线与的夹角为
B．平面平面
C．点到平面的距离为
D．若正方体每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面只能是三角形和六边形
【答案】ABD
【解析】解：对A，连结，则为直线与，明显为等边三角形，故A正确；
对B，易得，所以面，所以平面平面，故B正确；
对C，，
又，
所以点到平面的距离为，故C错误；
对D，
，D正确.
故选：ABD.
31．（2019·浙江拱墅?杭州四中高二期中）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积.
【解析】解：设圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，表面积为，
底面半径为2母线长为4的圆锥的高为，
则圆柱的上底面为中截面，可得，
，，
.
32．（2019·涡阳县第九中学高一期末（文））已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，求：
(1)异面直线BD与AB1所成的角的大小；
(2)四面体AB1C1D1的体积．
【解析】解：（1）连接，，
易知，
就是异面直线与所成角，
在中，，故为正三角形.
．
（2）由正方体的性质可知，平面故.
33．（2020·海林市朝鲜族中学高一期末）已知圆锥的底面半径为1，高为，求圆锥的表面积.
【解析】解：设圆锥的母线长为，则，所以圆锥的表面积为.
34．（2020·巴楚县第一中学高一期末）已知正四棱台上?下底面的边长分别为4?10，侧棱长为6.求正四棱台的表面积.
【答案】
【解析】解：如图，正四棱台中，,
在等腰梯形
中，过作于，则,
所以,
所以正四棱台的表面积为
35．（2020·上海高一课时练习）如图，一块矩形金属薄片，其长为，宽为，在它的四个角上都剪去一个边长为的小正方形，然后折成一个容积为的无盖长方体盒子.试将V表示成关于x的函数.
【解析】由题，底面长为，宽为，高为，且解得.
故
36．（2019·浙江拱墅?杭州四中高二期中）已知正三棱柱底面边长为2，高为2．求（1）此三棱柱的体积；（2）此三棱柱的表面积．
【解析】（1）正三棱柱底面边长为2
正三棱柱高为
（2）正三棱柱底面边长为2，高为2.
每个侧面都是边长为2的正方形，即所有侧面的面积和为
正三棱柱底面边长为2.
正三棱柱的表面积为.
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精品试卷·第
2
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（共
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第31讲
空间几何体的结构及其表面积、体积
1、
考情分析
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；
2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题；
3.能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图.
2、
知识梳理
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
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底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点，但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
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母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
2.直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
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侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
4.空间几何体的表面积与体积公式
名称几何体
表面积
体积
柱 体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝S底h
锥 体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝S底h
台 体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3
[微点提醒]
1.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点.
2.正方体的棱长为a，球的半径为R，则与其有关的切、接球常用结论如下
：
(1)若球为正方体的外接球，则2R＝a；
(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；
(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
3.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
4.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
3、
经典例题
考点一 空间几何体的结构特征
【例1】
(1)给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
(2)给出下列命题：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③存在每个面都是直角三角形的四面体；
④棱台的侧棱延长后交于一点.
其中正确命题的序号是________.
【答案】 (1)A (2)②③④
【解析】 (1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.
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(2)①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知.
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规律方法 1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例.
2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.
3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.
考点二 空间几何体的直观图
【例2】
已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
A.a2
B.a2
C.a2
D.a2
【答案】 D
【解析】 如图①②所示的实际图形和直观图.
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由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a.所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.故选D.
规律方法 1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.
2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝S原图形.
考点三 空间几何体的表面积
【例3】
(1)若正四棱锥的底面边长和高都为2，则其全面积为________.
(2)圆台的上、下底面半径分别是10
cm和20
cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积为________(结果中保留π).
(3)如图直平行六面体的底面为菱形，若过不相邻两条侧棱的截面的面积分别为Q1，Q2，则它的侧面积为______.
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【答案】 (1)4＋4 (2)1
100π
cm2 (3)2eq
\r(Q＋Q)
【解析】 (1)因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，如图.
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由题意知底面正方形的边长为2，正四棱锥的高为2，
则正四棱锥的斜高PE＝＝.
所以该四棱锥的侧面积S＝4××2×＝4，
∴S全＝2×2＋4＝4＋4.
(2)如图所示，设圆台的上底周长为C，因为扇环的圆心角是180°，所以C＝π·SA.
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又C＝2π×10＝20π，所以SA＝20.
同理SB＝40.
所以AB＝SB－SA＝20.
S表＝S侧＋S上底＋S下底
＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202
＝1
100π(cm2).
故圆台的表面积为1
100π
cm2.
(3)设直平行六面体的底面边长为a，侧棱长为l，则S侧＝4al，因为过A1A，C1C与过B1B，D1D的截面都为矩形，从而
则AC＝，BD＝.
又AC⊥BD，
∴＋＝a2.∴＋＝a2.
∴4a2l2＝Q＋Q，2al＝eq
\r(Q＋Q)，
∴S侧＝4al＝2eq
\r(Q＋Q).
规律方法 1.求解有关多面体侧面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形、棱台中的直角梯形、棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素间的桥梁，从而架起求侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素间的联系.
2.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.
3.旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
考点四 空间几何体的体积
【例4】
(1)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比V球∶V柱为( )
A.1∶2
B.2∶3
C.3∶4
D.1∶3
(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________.
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【答案】 (1)B (2)
【解析】 (1)设球的半径为R，则＝＝.
(2)连接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因为E，H分别为AD1，CD1的中点，所以EH∥AC，EH＝AC.因为F，G分别为B1A，B1C的中点，所以FG∥AC，FG＝
AC.所以EH∥FG，EH＝FG，所以四边形EHGF为平行四边形，又EG＝HF，EH＝HG，所以四边形EHGF为正方形.又点M到平面EHGF的距离为，所以四棱锥M－EFGH的体积为××＝.
规律方法 1.(直接法)规则几何体：对于规则几何体，直接利用公式计算即可.
2.(割补法)不规则几何体：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算.经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体.
3.(等积法)三棱锥：利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为三棱锥的底面.(1)求体积时，可选择“容易计算”的方式来计算；(2)利用“等积性”可求“点到面的距离”，关键是在面中选取三个点，与已知点构成三棱锥.
考点五 多面体与球的切、接问题
【例5】在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A.4π
B.
C.6π
D.
【答案】 B
【解析】 由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.
要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.
则×6×8＝×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.
2r＝4＞3，不合题意.
球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.
由2R＝3，即R＝.
故球的最大体积V＝πR3＝π.
规律方法 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.
2.若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.
[方法技巧]
1.几何体的截面及作用
(1)常见的几种截面：①过棱柱、棱锥、棱台的两条相对侧棱的截面；②平行于底面的截面；③旋转体中的轴截面；④球的截面.
(2)作用：利用截面研究几何体，贯彻了空间问题平面化的思想，截面可以把几何体的性质、画法及证明、计算融为一体.
2.棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所以在解决棱台和圆台的相关问题时，常“还台为锥”，体现了转化的数学思想.
3.转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.
4.求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错.
5.底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.
4、
课时作业
1．（2019·浙江拱墅?杭州四中高二期中）已知一个正方体棱长为1，则它的体积为（
）
A．1
B．4
C．6
D．8
2．（2019·浙江拱墅?杭州四中高二期中）如果两个球的体积之比为，那么两个球的表面积之比为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·广东东莞?高三其他（文））在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为( )
A．
B．
C．3π
D．4π
4．（2019·云南弥勒市一中高一期末）长方体中的8个顶点都在同一球面上，，，，则该球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·宁夏原州?固原一中高三其他（文））一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·河北桃城?衡水中学高三其他（文））定义轴截面为正方形的圆柱为正圆柱.某正圆柱的一个轴截面是四边形，点P在母线上，且.一只蚂蚁从圆柱底部的A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P，则这只蚂蚁行走的最短路程为（
）
A．213
B．
C．
D．
7．（2019·涡阳县第九中学高一期末（文））若球的表面积为16π，则与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为（
）
A．4π
B．π
C．2π
D．π
8．（2020·河北易县中学高三其他（文））若圆台的母线与高的夹角为，且上、下底面半径之差为2，则该圆台的高为（
）
A．
B．2
C．
D．
9．（2020·江苏苏州?高一期末）如图，在平行六面体中，点是棱上靠近的三等分点，点是棱的中点，且三棱锥的体积为2，则平行六面体的体积为（
）
A．8
B．12
C．18
D．20
10．（2020·江苏苏州?高一期末）已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2020·江苏常熟?高二期中）如图，在圆锥的轴截面中，，有一小球内切于圆锥（球面与圆锥的侧面、底面都相切），设小球的体积为，圆锥的体积为，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2020·江苏泰州?高一期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面积为（
）
A．
B．
C．2
D．
13．（2019·宁波市第四中学高二期中）已知圆锥底面半径为1，其侧面展开图是半圆，则圆锥的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
14．（2019·宁波市第四中学高二期中）如图所示的是水平放置的三角形直观图，是中边上的一点，且，又轴，那么原的、、三条线段中（
）
A．最长的是，最短的是
B．最长的是，最短的是
C．最长的是，最短的是
D．最长的是，最短的是
15．（2019·浙江台州?高二期中）圆锥和圆柱的底面半径?高都是，则圆锥的表面积和圆柱的表面积之比为（
）
A．
B．
C．
D．
16．（2019·浙江南湖?嘉兴一中高二期中）如图所示，一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是，其中，则该直观图所表示的平面图形的面积为（
）
A．
B．
C．16
D．8
17．（2019·浙江南湖?嘉兴一中高二期中）如图，正四棱锥底面的四个顶点、、、在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则求的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
18．（2020·浙江高三二模）某几何体三视图如图所示（单位：cm），其左视图为正方形，则该几何体的体积（单位：cm3）是(
)
A．
B．
C．
D．
19．（2020·安徽金安?六安一中高三其他（文））一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
20．（2020·七台河市第一中学高一期末（理））如图，四棱锥的底面为平行四边形，，则三棱锥与三棱锥的体积比为(
)
A．
B．
C．
D．
21．（2020·武威第六中学高三其他（理））已知三棱锥中，侧面底面，是边长为3的正三角形，是直角三角形，且，，则此三棱锥外接球的体积等于（
）
A．
B．
C．
D．
22．（2019·浙江下城?杭州高级中学高二期中）已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A．
B．
C．
D．
23．（2019·浙江台州?高二期中）已知圆锥的高为1，母线长为，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（
）
A．2
B．
C．4
D．5
24．（2020·浙江高三二模）如图所示，在顶角为圆锥内有一截面，在圆锥内放半径分别为的两个球与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于，则截面所表示的椭圆的离心率为(
)
（注：在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球相切于点，由相切的几何性质可知，，，于是，为椭圆的几何意义）
A．
B．
C．
D．
25．（2019·浙江湖州?高二期中）设球与圆锥的体积分别为，，若球的表面积与圆锥的侧面积相等，且圆锥的轴截面为正三角形，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
26．（2020·武汉外国语学校高一月考）已知圆锥的轴截面为正三角形，有一个球内切于该圆锥，圆锥的体积为，球的体积为，则（
）
A．
B．
C．
D．
27．（多选题）（2020·湖南怀化?高二期末）已知，，三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离等于球半径的，则下列结论正确的是（
）
A．球的半径为
B．球的表面积为
C．球的内接正方体的棱长为
D．球的外切正方体的棱长为
28．（多选题）（2019·江苏鼓楼?南京师大附中高二开学考试）如图，在直三棱柱中，，，点D，E分别是线段BC，上的动点（不含端点），且．则下列说法正确的是（
）
A．平面
B．该三棱柱的外接球的表面积为
C．异面直线与所成角的正切值为
D．二面角的余弦值为
29．（多选题）（2020·江苏海安高级中学高二期末）在棱长为1的正方体中，点M在棱上，则下列结论正确的是（
）
A．直线与平面平行
B．平面截正方体所得的截面为三角形
C．异面直线与所成的角为
D．的最小值为
30．（多选题）（2020·湖南雁峰?衡阳市八中高二期中）如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（
）
A．直线与的夹角为
B．平面平面
C．点到平面的距离为
D．若正方体每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面只能是三角形和六边形
31．（2019·浙江拱墅?杭州四中高二期中）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积.
32．（2019·涡阳县第九中学高一期末（文））已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，求：
(1)异面直线BD与AB1所成的角的大小；
(2)四面体AB1C1D1的体积．
33．（2020·海林市朝鲜族中学高一期末）已知圆锥的底面半径为1，高为，求圆锥的表面积.
34．（2020·巴楚县第一中学高一期末）已知正四棱台上?下底面的边长分别为4?10，侧棱长为6.求正四棱台的表面积.
35．（2020·上海高一课时练习）如图，一块矩形金属薄片，其长为，宽为，在它的四个角上都剪去一个边长为的小正方形，然后折成一个容积为的无盖长方体盒子.试将V表示成关于x的函数.
36．（2019·浙江拱墅?杭州四中高二期中）已知正三棱柱底面边长为2，高为2．求（1）此三棱柱的体积；（2）此三棱柱的表面积．
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精品试卷·第
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