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第32讲
平面的基本性质与推论
1、
考情分析
1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义；
2.了解四个公理和一个定理.
2、
知识梳理
1.平面的基本性质
基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.
基本性质2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行关系
图形语言
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符号语言
a∥b
a∥α
α∥β
相交关系
图形语言
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符号语言
a∩b＝A
a∩α＝A
α∩β＝l
独有关系
图形语言
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符号语言
a，b是异面直线
a?α
3.异面直线所成的角
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围：.
[微点提醒]
1.基本性质2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.
2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.
3、
经典例题
考点一 平面的基本性质及应用
【例1】
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：
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"../第31讲%20空间几何体的结构及其表面积、体积-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/4S43A.TIF"
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(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点.
证明 (1)如图，连接CD1，EF，A1B，
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"../第31讲%20空间几何体的结构及其表面积、体积-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/4S43.TIF"
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因为E，F分别是AB和AA1的中点，
所以EF∥A1B且EF＝A1B.
又因为A1D1綉BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形.
所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，
所以EF与CD1确定一个平面α.
所以E，F，C，D1∈α，即E，C，D1，F四点共面.
(2)由(1)知，EF∥CD1，且EF＝CD1，
所以四边形CD1FE是梯形，
所以CE与D1F必相交.设交点为P，
则P∈CE?平面ABCD，
且P∈D1F?平面A1ADD1，
所以P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.
又因为平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，
所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三线共点.
规律方法 1.证明点或线共面问题的两种方法：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.
2.证明点共线问题的两种方法：(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上.
3.证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
考点二 判断空间直线的位置关系
【例2】
(1)(一题多解)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A.l与l1，l2都不相交
B.l与l1，l2都相交
C.l至多与l1，l2中的一条相交
D.l至少与l1，l2中的一条相交
(2)将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD，如图(2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )
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A.相交且垂直
B.相交但不垂直
C.异面且垂直
D.异面但不垂直
【答案】 (1)D (2)C
【解析】 (1)法一 由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交.若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交.
法二 如图(1)，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图(2)，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.
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(2)折起前AD⊥BC，折起后有AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.又AD与BC不相交，故AD与BC异面且垂直.
规律方法 1.异面直线的判定方法：
(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.
(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.
2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.
考点三 异面直线所成的角
角度1 求异面直线所成的角或其三角函数值
【例3－1】
(一题多解)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】 法一 如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角.
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因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，
AD1＝eq
\r(AD2＋DD)＝2，
DM＝＝，
DB1＝eq
\r(AB2＋AD2＋DD)＝.所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，于是在△DMO中，由余弦定理，
得cos∠MOD＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.
法二 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.由条件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，)，B1(1，1，)，
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所以＝(－1，0，)，＝(1，1，).
则cos〈，〉＝＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.
角度2 由异面直线所成角求其他量
【例3－2】
在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长为________.
【答案】 或
【解析】 如图，取BC的中点O，连接OE，OF.
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因为OE∥AC，OF∥BD，
所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成角为60°，所以∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝.当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×＝.
规律方法 用平移法求异面直线所成角的一般步骤：
(1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角；
(2)求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小.
[方法技巧]
1.主要题型的解题方法
(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).
(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上.
2.判定空间两条直线是异面直线的方法
(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.
(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.
3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了化归思想.
4.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交.
5.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.
4、
课时作业
1．（2019·浙江拱墅?杭州四中高二期中）已知直线与平面，则下列结论成立的是（
）
A．若直线垂直于内的两条直线，则
B．若直线垂直于内的无数条直线，则
C．若直线平行于内的一条直线，则
D．若直线与平面无公共点，则
2．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高一月考）在下列命题中，不是公理的是（
）
A．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.
B．经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
C．垂直于同一条直线的两个平面相互平行.
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.
3．（2020·北京通州?高一期末）关于两个互相垂直的平面，给出下面四个命题：
①一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的无数条直线；
③一个平面内的已知直线必垂直于另一平面；
④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
其中正确命题的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．（2020·北京大兴?高一期末）若a和b是异面直线，a和c是平行直线，则b和c的位置关系是（
）
A．平行
B．异面
C．异面或相交
D．相交、平行或异面
5．（2020·海林市朝鲜族中学高一期末）如图所示，用符号语言可表达为（
）
A．，，
B．，，
C．，，，
D．，，，
6．（2020·浙江高三二模）以下说法正确的是（
）
A．空间异面直线的夹角取值范围是
B．直线与平面的夹角的取值范围是
C．二面角的取值范围是
D．向量与向量夹角的取值范围是
7．（2020·江苏徐州?高一期末）下列命题错误的是（ ）
A．不在同一直线上的三点确定一个平面
B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C．如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面
D．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面
8．（2020·沙坪坝?重庆南开中学高三其他（理））已知在直四棱柱中，底面为菱形，且，则异面直线与所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·江苏如皋?）在正方体中，分别为，，，的中点，则下列直线中与直线相交的是（
）
A．直线
B．直线
C．直线
D．直线
10．（2020·景东彝族自治县第一中学高一月考）在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱的中点,则异面直线AC和MN所成的角为(
)
A．
B．
C．
D．
11．（2020·青海平安一中高二期中（文））长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
12．（2020·乌鲁木齐市第四中学高一期末）已知，则直线与直线的位置关系是（
）
A．平行
B．相交或异面
C．异面
D．平行或异面
13．（2020·新疆新区?乌鲁木齐市第70中高一期末）已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（
）
A．若，垂直于同一平面，则与不平行
B．若，平行于同一平面，则与平行
C．若，不平行，则在内不存在与平行的直线
D．若，不平行，则与不可能垂直于同一平面
14．（2019·宁波市第四中学高二期中）若直线与是异面直线，直线与是平行直线，则直线与的位置关系是（
）
A．相交
B．平行
C．相交或异面
D．平行或异面
15．（2019·浙江南湖?嘉兴一中高二期中）若直线与是异面直线，直线与是异面直线，则直线与的位置关系是（
）
A．相交
B．相交或异面
C．平行或异面
D．平行、相交或异面
16．（2019·浙江拱墅?杭州四中高二期中）如图所示，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（
）
A．三点共线
B．不共面
C．不共面
D．共面
17．（2019·浙江拱墅?杭州四中高二期中）如图，正三棱柱的各棱长包括底面边长都是2，E，F分别是AB，的中点，则EF与侧棱所成的角的余弦值是
A．
B．
C．
D．2
18．（2019·浙江拱墅?杭州四中高二期中）已知斜线与平面所成的角为，在平面内任意作的异面直线，则与成的角（
）
A．有最小值，最大值
B．有最大值，无最小值
C．有最小值，无最大值
D．既无最小值，又无最大值
19．（2020·安徽黄山?高三二模（文））平面平面，直线，直线垂直直线在内的射影，那么下列位置关系一定正确的为（
）
A．
B．
C．
D．
20．（2020·湖北荆门?高三期末（文））正方体中，点是线段的中点，点满足，则异面直线所成角的余弦值为(
)
A．
B．
C．
D．
21．（2020·天山?新疆实验高二期末）长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（2020·武威第六中学高三其他（理））已知，为两条不同直线，，，为三个不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确命题序号为(
)
A．②③
B．②③④
C．①④
D．①②③
23．（2019·浙江衢州?高二期中）如图，在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
24．（2019·浙江台州?高二期中）设?是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题：①若，，则；②若，，，则；③若，，则；④若，，则，其中正确的序号是（
）
A．①和②
B．②和④
C．②和③
D．①和④
25．（2020·武汉外国语学校高一月考）如图，正方体的棱长为1，，，分别为棱，，的中点，经过，，三点的平面被正方体所截，则截面图形的面积为（
）
A．
B．
C．1
D．2
26．（2020·苏州市第一中学校高一期中）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
27．（多选题）（2020·苏州市第一中学校高一期中）已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
28．（多选题）（2020·苏州市第一中学校高一期中）如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有（
）
A．直线与是相交直线
B．直线与是异面直线
C．直线与所成的角为90°
D．直线与所成的角为60°
29．（多选题）（2020·盐城市伍佑中学高一期中）如图,在棱长均相等的四棱锥中,
为底面正方形的中心,
,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有：(
)
A．∥平面
B．平面∥平面
C．直线与直线所成角的大小为
D．
30．（多选题）（2019·江苏鼓楼?南京师大附中高二开学考试）如图，在直三棱柱中，，，点D，E分别是线段BC，上的动点（不含端点），且．则下列说法正确的是（
）
A．平面
B．该三棱柱的外接球的表面积为
C．异面直线与所成角的正切值为
D．二面角的余弦值为
31．（2020·浙江省平阳中学高三一模）如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，.
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
32．（2019·浙江下城?杭州高级中学高二期中）如图，在直三棱柱中，D为棱AC的中点
（1）求证：∥面
（2）若，，，求异面直线与所成角的余弦值.
33．（2019·浙江南湖?嘉兴一中高二期中）如图所示，在正方体中，为的中点，为的中点.
求证：（1）四点共面；
（2）三线共点.
34．（2020·农安县实验中学高一期末）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点．
（1）求证：AE⊥B1C；
（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；
（3）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值．
35．（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）如图，长方体中，，，点P为的中点.
（1）求证：直线平面；
（2）求异面直线与所成角的正弦值.
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精品试卷·第
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第32讲
平面的基本性质与推论
1、
考情分析
1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义；
2.了解四个公理和一个定理.
2、
知识梳理
1.平面的基本性质
基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.
基本性质2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行关系
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a∥b
a∥α
α∥β
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"V152.tif"
\
MERGEFORMAT
符号语言
a，b是异面直线
a?α
3.异面直线所成的角
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围：.
[微点提醒]
1.基本性质2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.
2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.
3、
经典例题
考点一 平面的基本性质及应用
【例1】
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：
INCLUDEPICTURE"4S43A.TIF"
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"4S43A.TIF"
\
MERGEFORMAT
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点.
证明 (1)如图，连接CD1，EF，A1B，
INCLUDEPICTURE"4S43.TIF"
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"4S43.TIF"
\
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因为E，F分别是AB和AA1的中点，
所以EF∥A1B且EF＝A1B.
又因为A1D1綉BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形.
所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，
所以EF与CD1确定一个平面α.
所以E，F，C，D1∈α，即E，C，D1，F四点共面.
(2)由(1)知，EF∥CD1，且EF＝CD1，
所以四边形CD1FE是梯形，
所以CE与D1F必相交.设交点为P，
则P∈CE?平面ABCD，
且P∈D1F?平面A1ADD1，
所以P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.
又因为平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，
所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三线共点.
规律方法 1.证明点或线共面问题的两种方法：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.
2.证明点共线问题的两种方法：(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上.
3.证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
考点二 判断空间直线的位置关系
【例2】
(1)(一题多解)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A.l与l1，l2都不相交
B.l与l1，l2都相交
C.l至多与l1，l2中的一条相交
D.l至少与l1，l2中的一条相交
(2)将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD，如图(2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )
INCLUDEPICTURE"4S46.TIF"
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"4S46.TIF"
\
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A.相交且垂直
B.相交但不垂直
C.异面且垂直
D.异面但不垂直
【答案】 (1)D (2)C
【解析】 (1)法一 由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交.若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交.
法二 如图(1)，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图(2)，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.
INCLUDEPICTURE"4S45.TIF"
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"4S45.TIF"
\
MERGEFORMAT
(2)折起前AD⊥BC，折起后有AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.又AD与BC不相交，故AD与BC异面且垂直.
规律方法 1.异面直线的判定方法：
(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.
(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.
2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.
考点三 异面直线所成的角
角度1 求异面直线所成的角或其三角函数值
【例3－1】
(一题多解)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】 法一 如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角.
INCLUDEPICTURE"18GS40.tif"
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"18GS40.tif"
\
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因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，
AD1＝eq
\r(AD2＋DD)＝2，
DM＝＝，
DB1＝eq
\r(AB2＋AD2＋DD)＝.所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，于是在△DMO中，由余弦定理，
得cos∠MOD＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.
法二 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.由条件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，)，B1(1，1，)，
INCLUDEPICTURE"18GS41.tif"
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"18GS41.tif"
\
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所以＝(－1，0，)，＝(1，1，).
则cos〈，〉＝＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.
角度2 由异面直线所成角求其他量
【例3－2】
在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长为________.
【答案】 或
【解析】 如图，取BC的中点O，连接OE，OF.
INCLUDEPICTURE"4S49.TIF"
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"4S49.TIF"
\
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因为OE∥AC，OF∥BD，
所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成角为60°，所以∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝.当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×＝.
规律方法 用平移法求异面直线所成角的一般步骤：
(1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角；
(2)求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小.
[方法技巧]
1.主要题型的解题方法
(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).
(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上.
2.判定空间两条直线是异面直线的方法
(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.
(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.
3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了化归思想.
4.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交.
5.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.
4、
课时作业
1．（2019·浙江拱墅?杭州四中高二期中）已知直线与平面，则下列结论成立的是（
）
A．若直线垂直于内的两条直线，则
B．若直线垂直于内的无数条直线，则
C．若直线平行于内的一条直线，则
D．若直线与平面无公共点，则
【答案】D
【解析】根据直线与平面垂直的判定定理，当一条直线与平面内的两条相交直线垂直时，直线与平面垂直，所以A、B错误；
根据直线与平面平行的判定定理，平面外的一条直线与平面内的一条直线平行时，直线与平面平行，因此C错误；
直线与平面无公共点，符合直线与平面平行的定义，所以D正确.
2．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高一月考）在下列命题中，不是公理的是（
）
A．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.
B．经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
C．垂直于同一条直线的两个平面相互平行.
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.
【答案】C
【解析】对于答案A、B、D分别是公理1、3、2；
答案C不是公理，
3．（2020·北京通州?高一期末）关于两个互相垂直的平面，给出下面四个命题：
①一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的无数条直线；
③一个平面内的已知直线必垂直于另一平面；
④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
其中正确命题的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】如果两个平面垂直，两平面内的直线并不都相互垂直，
从而判断命题①不正确；
如果两个平面垂直，另一个平面内，必有无数条直线和这个平面垂直，
从而判断命题②正确；
如果两个平面垂直，当其中一个平面内的一条直线平行于两个平面的交线时，
这条直线与另一个平面平行，
所以并不是平面内的所有直线都和另一个平面垂直，从而判断命题③不正确；
根据面面垂直的性质定理可判断命题④正确，
正确的命题个数为2．
4．（2020·北京大兴?高一期末）若a和b是异面直线，a和c是平行直线，则b和c的位置关系是（
）
A．平行
B．异面
C．异面或相交
D．相交、平行或异面
【答案】C
【解析】解：考虑正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，
直线AB看做直线a，直线B'C'看做直线b，
即直线a和直线b是异面直线，
若直线CD看做直线c，可得a，c平行，则b，c异面；
若直线A'B'看做直线c，可得a，c平行，则b，c相交.
若b，c平行，由a，c平行，可得a，b平行，这与a，b异面矛盾，故b，c不平行.
5．（2020·海林市朝鲜族中学高一期末）如图所示，用符号语言可表达为（
）
A．，，
B．，，
C．，，，
D．，，，
【答案】A
【解析】结合图形可以得出平面相交于一条直线，直线在平面内，直线相交于点，
结合选项可得A正确；
6．（2020·浙江高三二模）以下说法正确的是（
）
A．空间异面直线的夹角取值范围是
B．直线与平面的夹角的取值范围是
C．二面角的取值范围是
D．向量与向量夹角的取值范围是
【答案】C
【解析】A项：空间异面直线的夹角取值范围是，A错误；
B项：直线与平面的夹角的取值范围是，B错误；
C项：二面角的取值范围是，C正确；
D项：向量与向量夹角的取值范围是，D错误，
7．（2020·江苏徐州?高一期末）下列命题错误的是（ ）
A．不在同一直线上的三点确定一个平面
B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C．如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面
D．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面
【答案】C
【解析】由公理知直线及直线外一点，确定一个平面，故A正确；
由公理知两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故B正确；
由面面垂直的性质定理知错误，故C不正确；
由面面平行的性质定理知正确，故D正确；．
8．（2020·沙坪坝?重庆南开中学高三其他（理））已知在直四棱柱中，底面为菱形，且，则异面直线与所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图：
连接、，因为，所以是异面直线与所成角（或其补角），
设，
在直四棱柱中，底面为菱形，且，
则，，，，
在中，.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
9．（2020·江苏如皋?）在正方体中，分别为，，，的中点，则下列直线中与直线相交的是（
）
A．直线
B．直线
C．直线
D．直线
【答案】C
【解析】解：如图，连接,
因为分别为，的中点，
所以∥，，
因为为的中点，所以，∥，
所以∥，,
所以四边形为梯形，
所以直线与直线相交.
故选：C
10．（2020·景东彝族自治县第一中学高一月考）在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱的中点,则异面直线AC和MN所成的角为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】连接如下图所示，由于分别是棱和棱的中点，故，根据正方体的性质可知，所以是异面直线所成的角，而三角形为等边三角形，故.
故选C.
11．（2020·青海平安一中高二期中（文））长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】D
【解析】由于，则或其补角是异面直线所成的角，
因为是直角三角形且，故，故选D．
12．（2020·乌鲁木齐市第四中学高一期末）已知，则直线与直线的位置关系是（
）
A．平行
B．相交或异面
C．异面
D．平行或异面
【答案】D
【解析】∵a∥α，∴a与α没有公共点，∵b???，∴a、b没有公共点，
∴a、b平行或异面．
13．（2020·新疆新区?乌鲁木齐市第70中高一期末）已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（
）
A．若，垂直于同一平面，则与不平行
B．若，平行于同一平面，则与平行
C．若，不平行，则在内不存在与平行的直线
D．若，不平行，则与不可能垂直于同一平面
【答案】D
【解析】A项，若，垂直于同一平面，则与平行或相交，故A项错误；
B项，若，平行于同一平面，则与可能平行、相交或异面，故B项错误；
C项，若，不平行，则在内与两平面交线平行的直线与平行，故C项错误；
D项，因为垂直于同一平面的两条直线平行，故D项正确.
14．（2019·宁波市第四中学高二期中）若直线与是异面直线，直线与是平行直线，则直线与的位置关系是（
）
A．相交
B．平行
C．相交或异面
D．平行或异面
【答案】C
【解析】解：在正方体中，
和是异面直线，，；
和是异面直线，，与是异面直线．
两直线与是异面直线，，则、的位置关系是异面或相交．
故选：．
15．（2019·浙江南湖?嘉兴一中高二期中）若直线与是异面直线，直线与是异面直线，则直线与的位置关系是（
）
A．相交
B．相交或异面
C．平行或异面
D．平行、相交或异面
【答案】D
【解析】如下图所示，直线与是异面直线，直线与是异面直线，但；
如下图所示，直线与是异面直线，直线与是异面直线，但直线与相交；
如下图所示，直线与是异面直线，直线与是异面直线，但直线与也为异面直线.
16．（2019·浙江拱墅?杭州四中高二期中）如图所示，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（
）
A．三点共线
B．不共面
C．不共面
D．共面
【答案】A
【解析】连接，则，
所以四点共面.所以平面.
因为，所以平面.又因为平面，
所以点在平面与平面的交线上.
同理点在平面与平面的交线上，所以三点共线.
17．（2019·浙江拱墅?杭州四中高二期中）如图，正三棱柱的各棱长包括底面边长都是2，E，F分别是AB，的中点，则EF与侧棱所成的角的余弦值是
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】解：取AC的中点G，连接FG，EG
根据题意可知FG∥C1C，FG＝C1C；
而EG∥BC，EGBC；
∴∠EFG为EF与侧棱C1C所成的角，
在Rt△EFG，cos∠EFG
18．（2019·浙江拱墅?杭州四中高二期中）已知斜线与平面所成的角为，在平面内任意作的异面直线，则与成的角（
）
A．有最小值，最大值
B．有最大值，无最小值
C．有最小值，无最大值
D．既无最小值，又无最大值
【答案】A
【解析】因为斜线与平面所成的角为是直线与平面内任意一条直线所成角中的最小值，则与成的角有最小值.
又因为异面直线所成角的范围为，所以与成的角有最大值.
19．（2020·安徽黄山?高三二模（文））平面平面，直线，直线垂直直线在内的射影，那么下列位置关系一定正确的为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对：当时，也满足题意，此时不平行于，故错误；
对：若满足题意，可以在平面内，或，故错误；
对：因为//，//，直线垂直直线在内的射影，故，故正确.
20．（2020·湖北荆门?高三期末（文））正方体中，点是线段的中点，点满足，则异面直线所成角的余弦值为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
正方体中，∴异面直线所成的角为（或其补角），
长方体中平面，∴，
设正方体棱长为1，则因为点是线段的中点，点满足，所以，，
，
∴．
21．（2020·天山?新疆实验高二期末）长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
建立坐标系如图所示．
则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，＝(－1,0,2)，＝(－1，2,1)．
cos〈，〉＝＝.
所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.
22．（2020·武威第六中学高三其他（理））已知，为两条不同直线，，，为三个不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确命题序号为(
)
A．②③
B．②③④
C．①④
D．①②③
【答案】C
【解析】根据面面平行的性质以及判定定理可得，若，，则，故①正确；
若，，平面可能相交，故②错误；
若，，则可能平行，故③错误；
由线面垂直的性质可得，④正确；
23．（2019·浙江衢州?高二期中）如图，在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】延长至点，使得，连接，
，四边形为平行四边形，
异面直线与所成角即为与所成角，即，
设正方体的棱长为，
，，
，
，
，
异面直线与所成角的余弦值为.
24．（2019·浙江台州?高二期中）设?是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题：①若，，则；②若，，，则；③若，，则；④若，，则，其中正确的序号是（
）
A．①和②
B．②和④
C．②和③
D．①和④
【答案】B
【解析】墙角两个墙面与地面垂直，但这两个墙面不平行，①错；
，，则，又，则，②正确；
棱柱上底面相邻两边所在直线与下底面平行，但这两条直线相交，③错误；
，设过的平面与交线为，则，，则，所以，④正确．
25．（2020·武汉外国语学校高一月考）如图，正方体的棱长为1，，，分别为棱，，的中点，经过，，三点的平面被正方体所截，则截面图形的面积为（
）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【解析】分别取的中点为，连接
容易得出，则点共面
且
即经过，，三点的截面图形为正六边形
连接，且相交于点
因为，所以
则截面图形的面积为
26．（2020·苏州市第一中学校高一期中）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，连接，，
，，四边形为平行四边形，则，
为异面直线与所成角，
在△中，由已知可得，，
．
异面直线与所成角的余弦值为．
27．（多选题）（2020·苏州市第一中学校高一期中）已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】BC
【解析】对于A，当，时，，可能平行，可能相交，也有可能异面，所以A错误；
对于B，当，时，由线面垂直的定义可知，所以B正确；
对于C，当，时，由线面垂直的性质定理可知，所以C正确；
对于D，当，时，直线与平面，有可能平行，可能相交不一定垂直，所以D错误，
28．（多选题）（2020·苏州市第一中学校高一期中）如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有（
）
A．直线与是相交直线
B．直线与是异面直线
C．直线与所成的角为90°
D．直线与所成的角为60°
【答案】BCD
【解析】解：由异面直线的定义可知，直线与是异面直线，
直线与是异面直线，所以A错误，B正确；
对于C，连接，因为平面，所以，
因为，，
所以平面，
所以，所以直线与所成的角为90°，所以C正确；
对于D，连接，则∥，
所以（或补角）为与所成的角，
因为为正三角形，所以，
所以直线与所成的角为60°，所以D正确，
故答案为：BCD
29．（多选题）（2020·盐城市伍佑中学高一期中）如图,在棱长均相等的四棱锥中,
为底面正方形的中心,
,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有：(
)
A．∥平面
B．平面∥平面
C．直线与直线所成角的大小为
D．
【答案】ABD
【解析】选项A,连接BD，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以∥ON,由线面平行的判定定理可得，∥平面；选项B,
由,分别为侧棱,的中点,得MN∥AB,又底面为正方形，所以MN∥CD，由线面平行的判定定理可得，CD∥平面OMN,又选项A得∥平面，由面面平行的判定定理可得，平面∥平面；选项C,因为MN∥CD，所以∠
PDC为直线与直线所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠
PDC=，故直线与直线所成角的大小为；选项D，因底面为正方形，所以,又所有棱长都相等，所以,故,又
∥ON，所以，故ABD均正确.
30．（多选题）（2019·江苏鼓楼?南京师大附中高二开学考试）如图，在直三棱柱中，，，点D，E分别是线段BC，上的动点（不含端点），且．则下列说法正确的是（
）
A．平面
B．该三棱柱的外接球的表面积为
C．异面直线与所成角的正切值为
D．二面角的余弦值为
【答案】AD
【解析】在直三棱柱中，四边形是矩形，
因为，所以，不在平面内，平面，
所以平面，A项正确；
因为，所以，
因为，所以，所以，
易知是三棱柱外接球的直径，
所以三棱柱外接球的表面积为，所以B项错误；
因为，所以异面直线与所成角为．
在中，，，
所以，所以C项错误；
二面角即二面角，
以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图
则，
,,,
设平面的法向量，
则，即，令可得，
设平面的一个法向量为，
则，即，令可得
故二面角的余弦值为，所以D项正确．
故选：AD
31．（2020·浙江省平阳中学高三一模）如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，.
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】解：（Ⅰ）取的中点为，连结.
由是三棱台得，平面平面，从而.
∵，∴，
∴四边形为平行四边形，∴.
∵，为的中点，
∴，∴.
∵平面平面，且交线为，平面，
∴平面，而平面，
∴.
（Ⅱ）连结.
由是正三角形，且为中点，则.
由（Ⅰ）知，平面，，
∴，，
∴，，两两垂直.
以，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，
∴，，.
设平面的一个法向量为.
由可得，.
令，则，，∴.
设与平面所成角为，则.
32．（2019·浙江下城?杭州高级中学高二期中）如图，在直三棱柱中，D为棱AC的中点
（1）求证：∥面
（2）若，，，求异面直线与所成角的余弦值.
【解析】(1)连接交于点，连接,如图
分别为中点,
所以∥.
平面.
所以∥面.
(2)
在直三棱柱的上方再作出一个完全一样的几何体。
如图得到直三棱柱，连结,
则有
∥.
所以(或其补角)为异面直线与所成角.
在中，,,
.
所以异面直线与所成角的余弦值.
33．（2019·浙江南湖?嘉兴一中高二期中）如图所示，在正方体中，为的中点，为的中点.
求证：（1）四点共面；
（2）三线共点.
【解析】证明：（1）连接.
∵分别是和的中点，
∴.
又，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴与确定一个平面，
∴四点共面．
（2）由（1）知，，且，
∴直线与必相交，设.
∵平面，，
∴平面.
又平面，，
∴平面，即是平面与平面的公共点，
又平面平面，
∴，
∴三线共点．
34．（2020·农安县实验中学高一期末）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90??，AC=AB=AA1，E是BC的中点．
（1）求证：AE⊥B1C；
（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；
（3）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值．
【解析】
证明：（1）因为BB1⊥面ABC，AE?面ABC，所以AE⊥BB1
由AB=AC，E为BC的中点得到AE⊥BC
∵BC∩BB1=B∴AE⊥面BB1C1C
∴AE⊥B1C
解：（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，
则AE∥A1E1，
∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角．
设AC=AB=AA1=2，则由∠BAC=90°，
可得A1E1=AE=，A1C=2，E1C1=EC=BC=
∴E1C==
∵在△E1A1C中，cos∠E1A1C==
所以异面直线AE与A1C所成的角为．
（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC
又∵平面ABC⊥平面ACC1A1
∴EP⊥平面ACC1A1
而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．
∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．
由EP=1，AP=1，PQ=，得tan∠PQE==
所以二面角C-AG-E的平面角正切值是
35．（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）如图，长方体中，，，点P为的中点.
（1）求证：直线平面；
（2）求异面直线与所成角的正弦值.
【解析】（1）证明：设和交于点O，则O为的中点，
连结，又因为P是的中点，故
又因为平面，平面
所以直线平面
（2）由（1）知，，所以异面直线与所成的角就等于与所成的角，
故即为所求；
因为，且
所以.
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精品试卷·第
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