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第34讲
空间中的垂直关系
1、
考情分析
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.
2、
知识梳理
1.直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直.
(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直
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"../第33讲%20空间中的平行关系-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/z11A.TIF"
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"E:\\丁苗苗\\2019\\课件\\一轮\\2020版
创新设计
高考总复习
数学
人教B版（四省市）\\z11A.TIF"
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?l⊥α
推论1
如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面
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"../第33讲%20空间中的平行关系-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/z12A.TIF"
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"E:\\丁苗苗\\2019\\课件\\一轮\\2020版
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高考总复习
数学
人教B版（四省市）\\z12A.TIF"
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?b⊥α
推论2
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行
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"../第33讲%20空间中的平行关系-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/z13A.TIF"
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"E:\\丁苗苗\\2019\\课件\\一轮\\2020版
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数学
人教B版（四省市）\\z13A.TIF"
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?a∥b
2.直线和平面所成的角
(1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)范围：.
3.二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围：[0，π].
4.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
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"../第33讲%20空间中的平行关系-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/z14A.TIF"
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"E:\\丁苗苗\\2019\\课件\\一轮\\2020版
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高考总复习
数学
人教B版（四省市）\\z14A.TIF"
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?α⊥β
性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
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"../第33讲%20空间中的平行关系-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/z15B.TIF"
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"E:\\丁苗苗\\2019\\课件\\一轮\\2020版
创新设计
高考总复习
数学
人教B版（四省市）\\z15B.TIF"
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?l⊥α
[微点提醒]
1.两个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.
3、
经典例题
考点一 线面垂直的判定与性质
【例1】如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.
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"../第33讲%20空间中的平行关系-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/18GW8.TIF"
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"../第33讲%20空间中的平行关系-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/18GW8.TIF"
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(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离.
(1)证明 因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，
所以OP⊥AC，且OP＝2.
连接OB.因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.
由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.
由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.
(2)解 作CH⊥OM，垂足为H.
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"../第33讲%20空间中的平行关系-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/18GW31.TIF"
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"../第33讲%20空间中的平行关系-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/18GW31.TIF"
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又由(1)可得OP⊥CH，
所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离.
由题设可知OC＝AC＝2，
CM＝BC＝，∠ACB＝45°.
所以OM＝，
CH＝＝.
所以点C到平面POM的距离为.
规律方法 1.证明直线和平面垂直的常用方法有：
(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l?β?l⊥α).
2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.
考点二 面面垂直的判定与性质
【例2】
如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
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"../第33讲%20空间中的平行关系-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/X20.TIF"
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"../第33讲%20空间中的平行关系-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/X20.TIF"
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(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明 (1)∵平面PAD⊥底面ABCD，
且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA?平面PAD，
∴PA⊥底面ABCD.
(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
∴AB∥DE，且AB＝DE.
∴四边形ABED为平行四边形.
∴BE∥AD.
又∵BE?平面PAD，AD?平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.
∴BE⊥CD，AD⊥CD，
由(1)知PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，又PD?平面PAD，
∴CD⊥PD.
∵E和F分别是CD和PC的中点，
∴PD∥EF.
∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，
∴CD⊥平面BEF，又CD?平面PCD，
∴平面BEF⊥平面PCD.
规律方法 1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.
2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
考点三 平行与垂直的综合问题
角度1 多面体中平行与垂直关系的证明
【例3－1】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.
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"../第33讲%20空间中的平行关系-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/18GW18.TIF"
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"../第33讲%20空间中的平行关系-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/18GW18.TIF"
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(1)求证：PE⊥BC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；
(3)求证：EF∥平面PCD.
证明 (1)因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形，
所以BC∥AD.
所以PE⊥BC.
(2)因为底面ABCD为矩形，
所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以AB⊥平面PAD.
所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，
所以PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD，
所以平面PAB⊥平面PCD.
(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.
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"../第33讲%20空间中的平行关系-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/18GW39.TIF"
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"../第33讲%20空间中的平行关系-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/18GW39.TIF"
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因为F，G分别为PB，PC的中点，
所以FG∥BC，FG＝BC.
因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，
所以DE∥BC，DE＝BC.
所以DE∥FG，DE＝FG.
所以四边形DEFG为平行四边形.
所以EF∥DG.
又因为EF?平面PCD，DG?平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
规律方法 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.
2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.
角度2 平行与垂直关系中的探索性问题
【例3－2】
如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.
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"../第33讲%20空间中的平行关系-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/4S78.TIF"
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"../第33讲%20空间中的平行关系-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/4S78.TIF"
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(1)求三棱锥P－ABC的体积；
(2)在线段PC上是否存在点M，使得AC⊥BM，若存在点M，求出的值；若不存在，请说明理由.
解 (1)由题知AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，
可得S△ABC＝·AB·AC·sin
60°＝，
由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱锥P－ABC的高.
又PA＝1，所以三棱锥P－ABC的体积V＝·S△ABC·PA＝.
(2)在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.
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"../第33讲%20空间中的平行关系-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/4S79.TIF"
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"../第33讲%20空间中的平行关系-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/4S79.TIF"
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由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC.
由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN.
又BM?平面MBN，所以AC⊥BM.
在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝，
从而NC＝AC－AN＝.
由MN∥PA，得＝＝.
故存在满足条件的点M，且＝.
规律方法 1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.
2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.
角度3 空间位置关系与几何体的度量计算
【例3－3】
如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.
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"../第33讲%20空间中的平行关系-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/17GW38.TIF"
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"../第33讲%20空间中的平行关系-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/17GW38.TIF"
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(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
(2)求证：PD⊥平面PBC；
(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
(1)解 如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.
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"../第33讲%20空间中的平行关系-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/17GW40.TIF"
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"../第33讲%20空间中的平行关系-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/17GW40.TIF"
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因为AD⊥平面PDC，PD?平面PDC，
所以AD⊥PD.
在Rt△PDA中，由已知，得AP＝＝，
故cos∠DAP＝＝.
所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.
(2)证明 由(1)知AD⊥PD，
又因为BC∥AD，所以PD⊥BC.
又PD⊥PB，BC∩PB＝B，
所以PD⊥平面PBC.
(3)解 过点D作DF∥AB，交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
因PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.
由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.
由已知，得CF＝BC－BF＝2.
又AD⊥DC，故BC⊥DC.
在Rt△DCF中，可得DF＝＝2.
在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝＝.
所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
规律方法 1.本题证明的关键是垂直与平行的转化，如由AD∥BC，AD⊥PD，得PD⊥BC，进而利用线面垂直的判定定理证明PD⊥平面PBC.
2.利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是完整统一过程，缺一不可.
(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解.
(2)二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.
[方法技巧]
1.证明线面垂直的方法：
(1)线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直?a⊥α；
(2)判定定理1：?l⊥α；
(3)判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α；
(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β；
2.证明面面垂直的方法
(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β.
3.转化思想：三种垂直关系之间的转化
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"../第33讲%20空间中的平行关系-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/V207.tif"
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"../第33讲%20空间中的平行关系-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）/V207.tif"
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4.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件.
5.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视.
6.面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.
7.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.
4、
课时作业
1．（2020·陕西高三其他（文））已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面．下列说法正确的是（
）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
2．（2020·甘肃城关?兰州一中高三一模（理））如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M?N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是（
）
A．MN∥平面ADD1A1
B．MN⊥AB
C．直线MN与平面ABCD所成角为45°
D．异面直线MN与DD1所成角为60°
3．（2020·辽宁沈河?沈阳二中高三其他（理））已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列为真命题的是（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
4．（2020·乌鲁木齐市第四中学高一期末）如图，空间四边形中，平面平面，，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
5．（2020·全国高三（理））在三棱锥中,底面，，，，，则点到平面的距离是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·全国高一课时练习）如图，设平面，平面，平面，垂足分别为.为使，则需增加的一个条件是（
）
A．平面
B．平面
C．
D．
7．（2019·陕西武功?高三月考（理））已知直线平面，直线平面，若，则下列结论正确的是
A．或
B．
C．
D．
8．（2019·营口市第二高级中学高一月考）在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AB的中点，
则点C到平面A1DM的距离为
(
)
A．
B．
C．
D．
9．（2020·四川雨城?雅安中学高二月考（理））已知正方形的边长为4，?分别是?的中点，平面，且，则点到平面的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·山东芝罘?烟台二中高一月考）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，则以下结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1其中正确结论的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
11．（2018·安徽花山?马鞍山二中高三月考（文））已知，是平面内的两条直线，是空间中的一条直线.则“直线且”是“”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．（2020·全国高一课时练习）已知长方体，在平面上任取点，作于点，则（
）
A．平面
B．平面
C．平面
D．以上都有可能
13．（2020·全国高一课时练习）已知直线平面，直线，则（
）
A．
B．
C．异面
D．相交而不垂直
14．（2020·七台河市第一中学高一期末（理））已知m，n是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（
）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
15．（2020·北京通州?高一期末）已知直线平面，直线平面，则“直线”是“，且”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
16．（2020·浙江高三其他）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体两两垂直的平面共有（
）
A．4对
B．5对
C．6对
D．7对
17．（2019·重庆高三三模（文））下列命题错误的是（
）
A．若平面平面，则平面内所有直线都垂直于平面
B．若平面平面，则平面内一定存在直线垂直于平面
C．若平面不垂直于平面，则平面内一定不存在直线垂直于平面
D．若平面平面，平面平面，则
18．（2020·广东汕头?高三二模（文））在立体几何中，以下命题中假命题的个数为（
）
①若直线，平面，则.
②若平面平面，平面平面，，则.
③有3个角是直角的四边形是矩形.
④若平面平面，平面，平面，且，则.
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
19．（2020·陕西高三其他（理））在三棱锥P﹣ABC中，已知△ABC是边长为6的等边三角形，PA⊥平面ABC，PA＝12，则AB与平面PBC所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
20．（2020·河南中原?郑州一中高三其他（理））设α为平面，m，n为两条直线，若，则“”是“”的（
）
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
21．（2020·江苏常熟中学高一月考）已知，为两条不重合直线，，为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出的是（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
22．（2020·肥东县综合高中高三其他（理））如图，已知P是矩形所在平面外一点，平面，E、F分别是，的中点.若，则与平面所成角的大小是（
）
A．
B．
C．
D．
23．（2020·江西赣州?高二期中（理））第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质．其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱．它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（
）．
A．
B．
C．
D．
24．（2020·黑龙江萨尔图?大庆实验中学高三其他（理））如图，是正方体的棱的中点，下列命题中假命题是（
）
A．过点有且只有一条直线与直线、都相交
B．过点有且只有一条直线与直线、都垂直
C．过点有且只有一个平面与直线、都相交
D．过点有且只有一个平面与直线、都平行
25．（2020·河北省博野中学高一开学考试）如图，下列4个正方体中，点，，，，分别为正方体的顶点或所在棱的中点，则在这4个正方体中，满足直线平面的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
26．（2020·山东芝罘?烟台二中高一期末）如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（
）﹒
A．平面PAC
B．
C．
D．平面平面PBC
27．（2019·邢台市第八中学高二期中）如图，己知四棱锥的侧棱长与底面边长都是2，且平面，O为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为（
）
A．
B．
C．
D．
28．（多选题）（2020·安徽金安?六安一中高一期末（理））如图正方体的棱长为2，线段上有两个动点?，且，则下列结论中正确的是（
）
A．
B．平面
C．三棱锥的体积为定值
D．的面积与的面积相等
29．（多选题）（2020·江苏苏州?高一期末）如图，点是正方体的棱的中点，点在线段上运动，则下列结论正确的是（
）
A．直线与直线始终是异而直线
B．存在点，使得
C．四面体的体积为定值
D．当时，平面平面
30．（多选题）（2020·江苏宿迁?高一期末）如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，给出以下结论，其中正确的有（
）
A．与所成的角为45°
B．平面
C．平面平面
D．对于任意的点，四棱锥的体积均不变
31．如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
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"16W9.TIF"
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(1)求证：DC⊥平面PAC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；
(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由.
32．（2020·浙江高三开学考试）如图，四棱锥中，，，，，，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
33．（2020·河北枣强中学高三月考（文））如图，已知四棱锥中，平面，底面中，.
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
34．（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）如图，四棱锥中，四边形为矩形，，，.
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥外接球的体积.
35．（2019·浙江高三月考）在三棱柱中，底面是等腰三角形，且，侧面
是菱形，，平面平面，点是的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
36．（2020·浙江省兰溪市第三中学高三开学考试）如图,在三棱柱中，平面底面，，，，，为的中点，侧棱．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
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第34讲
空间中的垂直关系
1、
考情分析
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.
2、
知识梳理
1.直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直.
(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直
INCLUDEPICTURE"z11A.TIF"
INCLUDEPICTURE
"E:\\丁苗苗\\2019\\课件\\一轮\\2020版
创新设计
高考总复习
数学
人教B版（四省市）\\z11A.TIF"
\
MERGEFORMATINET
?l⊥α
推论1
如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面
INCLUDEPICTURE"z12A.TIF"
INCLUDEPICTURE
"E:\\丁苗苗\\2019\\课件\\一轮\\2020版
创新设计
高考总复习
数学
人教B版（四省市）\\z12A.TIF"
\
MERGEFORMATINET
?b⊥α
推论2
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行
INCLUDEPICTURE"z13A.TIF"
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"E:\\丁苗苗\\2019\\课件\\一轮\\2020版
创新设计
高考总复习
数学
人教B版（四省市）\\z13A.TIF"
\
MERGEFORMATINET
?a∥b
2.直线和平面所成的角
(1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)范围：.
3.二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围：[0，π].
4.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
INCLUDEPICTURE"z14A.TIF"
INCLUDEPICTURE
"E:\\丁苗苗\\2019\\课件\\一轮\\2020版
创新设计
高考总复习
数学
人教B版（四省市）\\z14A.TIF"
\
MERGEFORMATINET
?α⊥β
性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
INCLUDEPICTURE"z15B.TIF"
INCLUDEPICTURE
"E:\\丁苗苗\\2019\\课件\\一轮\\2020版
创新设计
高考总复习
数学
人教B版（四省市）\\z15B.TIF"
\
MERGEFORMATINET
?l⊥α
[微点提醒]
1.两个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.
3、
经典例题
考点一 线面垂直的判定与性质
【例1】如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.
INCLUDEPICTURE"18GW8.TIF"
INCLUDEPICTURE
"18GW8.TIF"
\
MERGEFORMAT
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离.
(1)证明 因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，
所以OP⊥AC，且OP＝2.
连接OB.因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.
由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.
由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.
(2)解 作CH⊥OM，垂足为H.
INCLUDEPICTURE"18GW31.TIF"
INCLUDEPICTURE
"18GW31.TIF"
\
MERGEFORMAT
又由(1)可得OP⊥CH，
所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离.
由题设可知OC＝AC＝2，
CM＝BC＝，∠ACB＝45°.
所以OM＝，
CH＝＝.
所以点C到平面POM的距离为.
规律方法 1.证明直线和平面垂直的常用方法有：
(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l?β?l⊥α).
2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.
考点二 面面垂直的判定与性质
【例2】
如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
INCLUDEPICTURE"X20.TIF"
INCLUDEPICTURE
"X20.TIF"
\
MERGEFORMAT
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明 (1)∵平面PAD⊥底面ABCD，
且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA?平面PAD，
∴PA⊥底面ABCD.
(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
∴AB∥DE，且AB＝DE.
∴四边形ABED为平行四边形.
∴BE∥AD.
又∵BE?平面PAD，AD?平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.
∴BE⊥CD，AD⊥CD，
由(1)知PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，又PD?平面PAD，
∴CD⊥PD.
∵E和F分别是CD和PC的中点，
∴PD∥EF.
∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，
∴CD⊥平面BEF，又CD?平面PCD，
∴平面BEF⊥平面PCD.
规律方法 1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.
2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
考点三 平行与垂直的综合问题
角度1 多面体中平行与垂直关系的证明
【例3－1】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.
INCLUDEPICTURE"18GW18.TIF"
INCLUDEPICTURE
"18GW18.TIF"
\
MERGEFORMAT
(1)求证：PE⊥BC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；
(3)求证：EF∥平面PCD.
证明 (1)因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形，
所以BC∥AD.
所以PE⊥BC.
(2)因为底面ABCD为矩形，
所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以AB⊥平面PAD.
所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，
所以PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD，
所以平面PAB⊥平面PCD.
(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.
INCLUDEPICTURE"18GW39.TIF"
INCLUDEPICTURE
"18GW39.TIF"
\
MERGEFORMAT
因为F，G分别为PB，PC的中点，
所以FG∥BC，FG＝BC.
因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，
所以DE∥BC，DE＝BC.
所以DE∥FG，DE＝FG.
所以四边形DEFG为平行四边形.
所以EF∥DG.
又因为EF?平面PCD，DG?平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
规律方法 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.
2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.
角度2 平行与垂直关系中的探索性问题
【例3－2】
如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.
INCLUDEPICTURE"4S78.TIF"
INCLUDEPICTURE
"4S78.TIF"
\
MERGEFORMAT
(1)求三棱锥P－ABC的体积；
(2)在线段PC上是否存在点M，使得AC⊥BM，若存在点M，求出的值；若不存在，请说明理由.
解 (1)由题知AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，
可得S△ABC＝·AB·AC·sin
60°＝，
由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱锥P－ABC的高.
又PA＝1，所以三棱锥P－ABC的体积V＝·S△ABC·PA＝.
(2)在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.
INCLUDEPICTURE"4S79.TIF"
INCLUDEPICTURE
"4S79.TIF"
\
MERGEFORMAT
由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC.
由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN.
又BM?平面MBN，所以AC⊥BM.
在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝，
从而NC＝AC－AN＝.
由MN∥PA，得＝＝.
故存在满足条件的点M，且＝.
规律方法 1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.
2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.
角度3 空间位置关系与几何体的度量计算
【例3－3】
如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.
INCLUDEPICTURE"17GW38.TIF"
INCLUDEPICTURE
"17GW38.TIF"
\
MERGEFORMAT
(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
(2)求证：PD⊥平面PBC；
(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
(1)解 如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.
INCLUDEPICTURE"17GW40.TIF"
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"17GW40.TIF"
\
MERGEFORMAT
因为AD⊥平面PDC，PD?平面PDC，
所以AD⊥PD.
在Rt△PDA中，由已知，得AP＝＝，
故cos∠DAP＝＝.
所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.
(2)证明 由(1)知AD⊥PD，
又因为BC∥AD，所以PD⊥BC.
又PD⊥PB，BC∩PB＝B，
所以PD⊥平面PBC.
(3)解 过点D作DF∥AB，交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
因PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.
由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.
由已知，得CF＝BC－BF＝2.
又AD⊥DC，故BC⊥DC.
在Rt△DCF中，可得DF＝＝2.
在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝＝.
所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
规律方法 1.本题证明的关键是垂直与平行的转化，如由AD∥BC，AD⊥PD，得PD⊥BC，进而利用线面垂直的判定定理证明PD⊥平面PBC.
2.利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是完整统一过程，缺一不可.
(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解.
(2)二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.
[方法技巧]
1.证明线面垂直的方法：
(1)线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直?a⊥α；
(2)判定定理1：?l⊥α；
(3)判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α；
(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β；
2.证明面面垂直的方法
(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β.
3.转化思想：三种垂直关系之间的转化
INCLUDEPICTURE"V207.tif"
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"V207.tif"
\
MERGEFORMAT
4.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件.
5.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视.
6.面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.
7.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.
4、
课时作业
1．（2020·陕西高三其他（文））已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面．下列说法正确的是（
）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
【答案】B
【解析】对于，若m∥α，n∥α，则m∥n或与相交或与异面，故不正确；
对于，根据垂直于同一个平面的两条直线平行可知，正确；
对于，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或，故不正确；
对于，若m∥α，m⊥n，则n⊥α或或或与相交但不垂直，故不正确.
2．（2020·甘肃城关?兰州一中高三一模（理））如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M?N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是（
）
A．MN∥平面ADD1A1
B．MN⊥AB
C．直线MN与平面ABCD所成角为45°
D．异面直线MN与DD1所成角为60°
【答案】D
【解析】如图，连结，，
由M，N分别为，的中点知
，
对A，由，从而MN∥平面ADD1A1，A正确；
对B，由面，可得，又，得，B正确；
对C，由，直线MN与平面ABCD所成角为，C正确；
对D，由，直线MN与DD1所成角为，D错误；
3．（2020·辽宁沈河?沈阳二中高三其他（理））已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列为真命题的是（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】B
【解析】解：对于选项A，若，，则与平行，相交或者异面，故A错误；
对于选项B，若，，则，故B正确；
对于选项C，若，，，则与也可以平行，故C错误；
对于选项D，若，，所以，因为，则与垂直，故D错误.
4．（2020·乌鲁木齐市第四中学高一期末）如图，空间四边形中，平面平面，，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】B
【解析】
如图，过点作,垂足为.
因为平面平面，，平面平面,
所以平面,
所以AD与平面BCD所成的角是,
因为，且AB＝AD，
所以.
所以AD与平面BCD所成的角是.
5．（2020·全国高三（理））在三棱锥中,底面，，，，，则点到平面的距离是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
6．（2020·全国高一课时练习）如图，设平面，平面，平面，垂足分别为.为使，则需增加的一个条件是（
）
A．平面
B．平面
C．
D．
【答案】B
【解析】因为平面，平面，
所以.
若平面，则由平面，得.
又与为相交直线，且平面，平面，则，
∴四点共面，
所以平面，
所以，
7．（2019·陕西武功?高三月考（理））已知直线平面，直线平面，若，则下列结论正确的是
A．或
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于A，直线平面，，则或，A正确；
对于B，直线平面，直线平面，且，则或与相交或与异面，∴B错误；
对于C，直线平面，直线平面，且，则或与相交或或，∴C错误；
对于D，直线平面，直线平面，且，则或与相交或与异面，∴D错误．
8．（2019·营口市第二高级中学高一月考）在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AB的中点，
则点C到平面A1DM的距离为
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
画出图形如下图所示,设到平面的距离为,则根据等体积法有,即,解得,故选.
9．（2020·四川雨城?雅安中学高二月考（理））已知正方形的边长为4，?分别是?的中点，平面，且，则点到平面的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设到平面的距离为.
.
，.
所以.
由得
.
故选：A
10．（2020·山东芝罘?烟台二中高一月考）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，则以下结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1其中正确结论的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【解析】解：由正方体的性质得BD∥，所以结合线面平行的判定定理可得：BD∥平面；所以①正确.
由正方体的性质得?AC⊥BD，⊥BD，可得⊥平面?，所以⊥BD，所以②正确.
由正方体的性质得?BD∥，由②可得⊥BD，所以⊥，同理可得，进而结合线面垂直的判定定理得到：⊥平面?，所以③正确.
故选：D.
11．（2018·安徽花山?马鞍山二中高三月考（文））已知，是平面内的两条直线，是空间中的一条直线.则“直线且”是“”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】解：，反之不一定成立，例如时．
“直线且”是“”的必要而不充分条件．
12．（2020·全国高一课时练习）已知长方体，在平面上任取点，作于点，则（
）
A．平面
B．平面
C．平面
D．以上都有可能
【答案】A
【解析】
∵平面，平面平面，且平面平面，∴平面.
13．（2020·全国高一课时练习）已知直线平面，直线，则（
）
A．
B．
C．异面
D．相交而不垂直
【答案】A
【解析】根据线面垂直的定义，若直线与平面垂直，则直线垂直与该平面内的任意一条直线，因此
，故选A
14．（2020·七台河市第一中学高一期末（理））已知m，n是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（
）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】C
【解析】对于A，直线m与平面可能垂直，也可能平行或m在平面内，故A不正确；
对于B，直线m与n平行、异面或相交，故B不正确；
对于C，，则或，又，所以，故C正确；
对于D，缺少条件，故D不正确；
15．（2020·北京通州?高一期末）已知直线平面，直线平面，则“直线”是“，且”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】直线平面，直线平面，
则“直线”能推出“，且”，是充分条件，
反之“，且”，直线m与平面不一定垂直，不是必要条件，
16．（2020·浙江高三其他）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体两两垂直的平面共有（
）
A．4对
B．5对
C．6对
D．7对
【答案】D
【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥，
其中为边长为1的正方形，平面，
所以平面平面,平面平面,
平面平面,
又,
所以平面,平面平面,
又,,所以平面,平面平面,
同理可证：平面，，故平面平面，
平面平面，
故该几何体两两垂直的平面共有7对.
17．（2019·重庆高三三模（文））下列命题错误的是（
）
A．若平面平面，则平面内所有直线都垂直于平面
B．若平面平面，则平面内一定存在直线垂直于平面
C．若平面不垂直于平面，则平面内一定不存在直线垂直于平面
D．若平面平面，平面平面，则
【答案】A
【解析】对于选项A．若平面平面，则平面内存在直线不垂直于平面，命题错误；
B．若平面平面，则平面内一定存在直线垂直于平面，如平面内垂直于两平面交线的直线，命题正确；
C．若平面内存在直线垂直于平面，根据面面垂直的判定有平面垂直于平面，与平面不垂直于平面矛盾，所以若平面不垂直于平面，则平面内一定不存在直线垂直于平面，命题正确；
D．若平面平面，平面平面，，如图，
，
设，在内直线、外任取一点O，作，交点为A，作，交点为B，
因为平面平面，所以，又，所以，同理可得，
因为，且,，所以，D选项正确.
18．（2020·广东汕头?高三二模（文））在立体几何中，以下命题中假命题的个数为（
）
①若直线，平面，则.
②若平面平面，平面平面，，则.
③有3个角是直角的四边形是矩形.
④若平面平面，平面，平面，且，则.
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】D
【解析】①若直线，平面，则或，所以不正确.
②若平面平面，平面平面，,则，正确,证明如下.
如图设，，在内，直线外任取一点，作，交点为，
因为平面平面,则，所以。
作，交点为，因为平面平面，所以，所以，
又,所以．
③有3个角是直角的四边形，如图可以为空间四边形，所以不正确.
④若平面平面，平面，平面，且，当平面满足条件，此时与不一定垂直，所以不正确.
所以假命题的个数为3个.
故选：D
19．（2020·陕西高三其他（理））在三棱锥P﹣ABC中，已知△ABC是边长为6的等边三角形，PA⊥平面ABC，PA＝12，则AB与平面PBC所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：因为PA⊥平面ABC，所以，
因为△ABC是边长为6的等边三角形，PA＝12，
所以,
所以，
设到平面PBC的距离为，
因为，所以，
所以，解得，
设AB与平面PBC所成角为，则，
所以，
20．（2020·河南中原?郑州一中高三其他（理））设α为平面，m，n为两条直线，若，则“”是“”的（
）
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当时，如果，不一定能推出，因为直线n可以在平面α外，
当时，如果，根据线面垂直的性质一定能推出，所以若，则“”是“”的必要不充分条件.
21．（2020·江苏常熟中学高一月考）已知，为两条不重合直线，，为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出的是（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】B
【解析】只有一对直线平行，不能得出两平面平行，A错，
由，可得，再由线面垂直的性质可得，B正确；
C中两平面，没有任何关系，不能得出平行，C错；
由，，可以得出，不能得出平行，D错．
22．（2020·肥东县综合高中高三其他（理））如图，已知P是矩形所在平面外一点，平面，E、F分别是，的中点.若，则与平面所成角的大小是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：
取中点G，连接、，
∵分别为、的中点，
∴，且，
又在矩形中且，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴与平面所成的角等于与平面所成的角，
∵平面，平面，
过G作，垂足为H，平面,则，
∴平面，
∴为与平面所成的角，即为所求角，
∵，G为的中点，
∴，
即与平面所成的角为.
23．（2020·江西赣州?高二期中（理））第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质．其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱．它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意得“斗冠”的高为米，
如图，，，
为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，
，
而，，且在上单调递增，
因为，所以，
故选：C．
24．（2020·黑龙江萨尔图?大庆实验中学高三其他（理））如图，是正方体的棱的中点，下列命题中假命题是（
）
A．过点有且只有一条直线与直线、都相交
B．过点有且只有一条直线与直线、都垂直
C．过点有且只有一个平面与直线、都相交
D．过点有且只有一个平面与直线、都平行
【答案】C
【解析】解：直线与是两条互相垂直的异面直线，点不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：
取的中点，则，且，设与交于，则点、、、、共面，直线必与直线相交于某点，且交点是唯一的.
所以，过点有且只有一条直线与直线、都相交；故A正确.
因为平面，而，所以与、都垂直，由过平面外一点有且只有一条直线与这个平面垂直，可知过点有且只有一条直线与直线、都垂直，此垂线就是棱，故B正确.
过直线有无数个平面与直线、都相交，而点在直线上，故C不正确.
过点有且只有一个平面与直线、都平行，此平面就是过点与正方体的上下底都平行的平面，故D正确.
故选：C
25．（2020·河北省博野中学高一开学考试）如图，下列4个正方体中，点，，，，分别为正方体的顶点或所在棱的中点，则在这4个正方体中，满足直线平面的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】解：对于图1，如图，连接.因为，，，平面，，所以平面，从而.同理可得.因为，平面，，所以平面.
对于图2，因为，，，平面，，所以平面.
对于图3，因为与不垂直，所以与平面不垂直.
对于图4，因为与不垂直，所以与平面不垂直.故满足直线平面的个数为2.
故选：B
26．（2020·山东芝罘?烟台二中高一期末）如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（
）﹒
A．平面PAC
B．
C．
D．平面平面PBC
【答案】C
【解析】对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而底面圆面，则，
又由圆的性质可知，且，
则平面PAC.所以A正确；
对于B，由A可知，由题意可知，且，所以平面，而平面，所以，所以B正确；
对于C，由B可知平面，因而与平面不垂直，所以不成立，所以C错误.
对于D，由A、B可知，平面PAC，平面，由面面垂直的性质可得平面平面PBC.所以D正确；
综上可知，C为错误选项.
27．（2019·邢台市第八中学高二期中）如图，己知四棱锥的侧棱长与底面边长都是2，且平面，O为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图：
平面，O为底面的中心，
即为侧棱与底面所成的角，
四棱锥的侧棱长与底面边长都是2，
，
在中，，
.
28．（多选题）（2020·安徽金安?六安一中高一期末（理））如图正方体的棱长为2，线段上有两个动点?，且，则下列结论中正确的是（
）
A．
B．平面
C．三棱锥的体积为定值
D．的面积与的面积相等
【答案】ABC
【解析】解：连结，则平面，，
，平面，三棱锥的体积为定值，
从而，，正确．
点?到直线的距离不相等，
的面积与的面积不相等，
故错误．
故选：．
29．（多选题）（2020·江苏苏州?高一期末）如图，点是正方体的棱的中点，点在线段上运动，则下列结论正确的是（
）
A．直线与直线始终是异而直线
B．存在点，使得
C．四面体的体积为定值
D．当时，平面平面
【答案】BCD
【解析】解：
对于A选项，连接交与，当点在点时，直线与直线相交，故A选项不正确；
对于C.选项，连接，交于
，此时，故线段到平面的距离为定值，所以四面体的体积为定值，故C选项正确；
以为坐标原点，建立如图的坐标系，设正方体的边长为，则，，，，
，，
对于B选项，
存在点，使得，
则，
，，所以，得，故当满足时，，故B选项正确；
对于D选项，当满足时，，
，
，故平面的法向量可求得为：，
，，故平面的法向量可求得为：，
所以，即平面平面，故D选项正确.
30．（多选题）（2020·江苏宿迁?高一期末）如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，给出以下结论，其中正确的有（
）
A．与所成的角为45°
B．平面
C．平面平面
D．对于任意的点，四棱锥的体积均不变
【答案】BCD
【解析】连接，∵，∴为与所成角，
设正方体棱长为1，则，
∴，故A错误；
∵平面平面，平面，
∴平面，故B正确；
连接，则，
∵平面，∴，
又，∴平面，又平面，
∴平面平面，故C正确；
设正方体棱长为1，则，
故三棱锥的体积均不变，故D正确；
故选：BCD.
31．如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
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\
MERGEFORMAT
(1)求证：DC⊥平面PAC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；
(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由.
【解析】(1)证明 因为PC⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，
INCLUDEPICTURE"V283.tif"
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"V283.tif"
\
MERGEFORMAT
所以PC⊥DC.
又因为AC⊥DC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.
(2)证明 因为AB∥CD，DC⊥AC，所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
所以PC⊥AB.
又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.
又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.
(3)解 棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.
理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又因为E为AB的中点，所以EF∥PA.又因为PA?平面CEF，且EF?平面CEF，
所以PA∥平面CEF.
32．（2020·浙江高三开学考试）如图，四棱锥中，，，，，，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）如下图所示，取的中点，连接.
，，为的中点，则，，
又，可得，四边形为平行四边形，，
且，，
，，，则，，
，，平面，
平面，因此，；
（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则点、、、，
所以，，，.
设平面的法向量为，
由，得，可得，
令，可得，，则，
.
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
33．（2020·河北枣强中学高三月考（文））如图，已知四棱锥中，平面，底面中，.
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
【解析】
（1）取的中点，的中点，连结，则，
因为,所以,
所以四边形是平行四边形,
所以,
平面,
,
,
平面,
又平面,
,
又为中点,
,
平面,
又，平面,
又平面
所以平面平面.
（2）连结，则,
,
,
,
设到平面的距离为,,
.
34．（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）如图，四棱锥中，四边形为矩形，，，.
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥外接球的体积.
【解析】（1）证明：，，,平面
平面
又，平面
平面
又在中，，，
故
∴
，面
∴平面
（2）设G为矩形的对角线的交点，则
作于O
因为平面，平面
所以平面平面
平面平面，平面
故平面
平面，
连结，，则
所以G为四棱锥外接球的球心，且球的半径为
故所求的球的体积为
35．（2019·浙江高三月考）在三棱柱中，底面是等腰三角形，且，侧面
是菱形，，平面平面，点是的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】
（1）证明：在中，是直角，即，平面平面，
平面平面，平面，
平面，.
在菱形中，，连接，
则是正三角形，
∵点是中点，.
又，.
又，平面
.
（2）作于G，连结．
由（1）知平面，得到，
又，且，所以平面.
又因为平面，所以，
又平面平面,
作于点H，则平面，则即为所求线面角．
设，
由已知得，
，
则BM与平面所成角的正弦值为．
36．（2020·浙江省兰溪市第三中学高三开学考试）如图,在三棱柱中，平面底面，，，，，为的中点，侧棱．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
【解析】（1）证明：∵，为的中点，∴，又平面平面，平面平面，∴平面，又平面，∴．
又，，∴面．
（2）∵面面，∴在面上的射影在上，∴为直线与面所成的角．过作于，连，
在中，．
在中，．
∴在中，．
∴直线与面所成的角的余弦值为
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精品试卷·第
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