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第33讲
空间中的平行关系
1、
考情分析
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.
2、
知识梳理
1.平行直线
(1)平行公理
过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.
(2)基本性质4(空间平行线的传递性)
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
(3)定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.
2.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面
INCLUDEPICTURE"SW127.TIF"
INCLUDEPICTURE
"SW127.TIF"
\
MERGEFORMAT
a?α，b?α，a∥b?a∥α
性质定理
一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
INCLUDEPICTURE"SW128.TIF"
INCLUDEPICTURE
"SW128.TIF"
\
MERGEFORMAT
a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b
3.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
INCLUDEPICTURE"SW129.TIF"
INCLUDEPICTURE
"SW129.TIF"
\
MERGEFORMAT
a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β
性质定理
两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
INCLUDEPICTURE"SW130.TIF"
INCLUDEPICTURE
"SW130.TIF"
\
MERGEFORMAT
α∥β，a?α?a∥β
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
INCLUDEPICTURE"SW131.TIF"
INCLUDEPICTURE
"SW131.TIF"
\
MERGEFORMAT
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
[微点提醒]
平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)两个平面平行，则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行.
3、
经典例题
考点一 与线、面平行相关命题的判定
【例1】
(1)在空间中，a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )
A.若a⊥c，b⊥c，则a∥b
B.若a?α，b?β，α⊥β，则a⊥b
C.若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
D.若α∥β，a?α，则a∥β
(2)下列四个正方体中，A，B，C为所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是( )
INCLUDEPICTURE"4S58.TIF"
INCLUDEPICTURE
"4S58.TIF"
\
MERGEFORMAT
【答案】 (1)D (2)B
【解析】 (1)对于A，若a⊥c，b⊥c，则a与b可能平行、异面、相交，故A是假命题；
对于B，设α∩β＝m，若a，b均与m平行，则a∥b，故B是假命题；
对于C，a，b可能平行、异面、相交，故C是假命题；
对于D，若α∥β，a?α，则a与β没有公共点，则a∥β，故D是真命题.
(2)在B中，如图，连接MN，PN，
INCLUDEPICTURE"4S59.TIF"
INCLUDEPICTURE
"4S59.TIF"
\
MERGEFORMAT
∵A，B，C为正方体所在棱的中点，
∴AB∥MN，AC∥PN，
∵MN∥DE，PN∥EF，
∴AB∥DE，AC∥EF，
∵AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，
AB，AC?平面ABC，DE，EF?平面DEF，
∴平面ABC∥平面DEF.
规律方法 1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.
2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.
(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.
考点二 直线与平面平行的判定与性质INCLUDEPICTURE"箭头.TIF"
INCLUDEPICTURE
"箭头.TIF"
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MERGEFORMAT
多维探究
角度1 直线与平面平行的判定
【例2－1】在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1.
INCLUDEPICTURE"4S61.TIF"
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"4S61.TIF"
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MERGEFORMAT
(1)证明：EF∥平面PDC；
(2)求点F到平面PDC的距离.
(1)证明 取PC的中点M，连接DM，MF，
∵M，F分别是PC，PB的中点，∴MF∥CB，MF＝CB，
∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，
∴DE∥CB，DE＝CB，
∴MF∥DE，MF＝DE，∴四边形DEFM为平行四边形，
∴EF∥DM，∵EF?平面PDC，DM?平面PDC，
∴EF∥平面PDC.
(2)解 ∵EF∥平面PDC，
∴点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，在Rt△PAD中，PA＝AD＝1，∴DP＝.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB，
∴CB⊥PB，则PC＝，∴PD2＋DC2＝PC2，
∴△PDC为直角三角形，
∴S△PDC＝×1×＝.
连接EP，EC，易知VE－PDC＝VC－PDE，设E到平面PDC的距离为h，
∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，
则×h×＝×1×××1，∴h＝，
∴点F到平面PDC的距离为.
角度2 直线与平面平行性质定理的应用
【例2－2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点.
INCLUDEPICTURE"4S62.TIF"
INCLUDEPICTURE
"4S62.TIF"
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MERGEFORMAT
(1)求三棱锥B1－A1BE的体积；
(2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果平行，请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线，并说明理由.
解 (1)如图所示，VB1－A1BE＝VE－A1B1B＝S△A1B1B·
DA＝××2×2×2＝.
INCLUDEPICTURE"4S63.TIF"
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"4S63.TIF"
\
MERGEFORMAT
(2)B1F∥平面A1BE.延长A1E交AD延长线于点H，连BH交CD于点G，则BG就是所求直线.证明如下：
因为BA1∥平面CDD1C1，平面A1BH∩平面CDD1C1＝GE，所以A1B∥GE.
又A1B∥CD1，所以GE∥CD1.
又E为DD1的中点，则G为CD的中点.
故BG∥B1F，BG就是所求直线.
规律方法 1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.
2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.
考点三 面面平行的判定与性质
【例3】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
INCLUDEPICTURE"V181.tif"
INCLUDEPICTURE
"V181.tif"
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MERGEFORMAT
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明 (1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，
∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，
∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，
∴A1G綉EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
规律方法 1.判定面面平行的主要方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).
2.面面平行条件的应用
(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行.
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.
提醒 利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.
[方法技巧]
1.转化思想：三种平行关系之间的转化
INCLUDEPICTURE"V185.tif"
INCLUDEPICTURE
"V185.tif"
\
MERGEFORMAT
其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化.
2.直线与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)面面平行的性质.
3.平面与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β?α∥β.
4.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.
5.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.
6.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交.
7.运用性质定理，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.
4、
课时作业
1．（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学（文））设为两个不重合的平面，能使成立的是（
）
A．内有无数条直线与平行
B．内有两条相交直线与平行
C．内有无数个点到的距离相等
D．垂直于同一平面
【答案】B
【解析】如图所示：
对A，内有无数条直线可平行于，即有无数条直线与平行，但与可相交于，
故A不一定能使成立；
对C，在内有一条直线平，则在内有无数个点到的距离相等，
但与可相交于，故C不一定能使成立；
对D，如图，但与可相交于，故D不一定能使成立；
2．（2020·江苏如皋?）已知直线是平面的斜线，过作平面，使，这样的（
）
A．恰能作一个
B．至多作一个
C．至少作一个
D．不存在
【答案】D
【解析】若存在过直线的平面，使得，
则直线与平面无公共点，与直线是平面的斜线矛盾，不合题意，
所以这样的平面不存在.
3．（2019·浙江台州?高二期中）正方体--，E、F分别是、的中点，P是上的动点（包括端点），过E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是
A．线段
B．线段
C．线段和一点
D．线段和一点C．
【答案】C
【解析】如图所示，
DE∥平面BB1C1C，
∴平面DEP与平面BB1C1C的交线PM∥ED，连接EM，
易证MP=ED，
∴MP∥ED，则M到达B1时仍可构成四边形，即P到F．
而P在C1F之间，不满足要求．
P到点C1仍可构成四边形．
4．（2020·上海市进才中学高二期末）已知三条直线及平面，下列命题正确的是（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，，则
【答案】B
【解析】选项A.
若，，则或，故A不正确.
选项B.
若，，则，命题为真命题，故B正确.
选项C.
若，，则或异面，故C不正确.
选项D.
若，，，，则，这类缺少条件相交，不能推出，故故D不正确.
5．（2020·山东芝罘?烟台二中高一期末）下列条件中，能判断平面与平面平行的是（
）
A．内有无穷多条直线都与平行
B．与同时平行于同一条直线
C．与同时垂直于同一条直线
D．与同时垂直于同一个平面
【答案】C
【解析】A.
内有无穷多条直线都与平行,则还可能和相交，所以该选项错误；
B.
与同时平行于同一条直线，则还可能和相交，所以该选项错误；
C.
与同时垂直于同一条直线，则和平行，所以该选项正确；
D.
与同时垂直于同一个平面，则还可能和相交，所以该选项错误.
6．（2019·广东越秀?执信中学高二月考）设、为两个不重合的平面，则的充要条件是（
）
A．内有无数条直线与平行
B．、垂直于同一平面
C．、平行于同一条直线
D．内有两条相交直线与平行
【答案】D
【解析】A项：若无数条直线为无数条平行线，则无法得到，A错误；
B项：、垂直于同一平面，此时、可以相交，B错误；
C项：、平行于同一条直线，此时、可以相交，C错误；
D项：由面面平行的判定定理可知，内有两条相交直线与平行是的充分条件，
由面面平行的性质可知，内有两条相交直线与平行是的必要条件，
故内有两条相交直线与平行是的充要条件，D正确，
7．（2020·全国高二）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，点F在棱PA上，PF＝λAF，若PC∥平面BDF，则λ的值为（
）
A．1
B．
C．3
D．2
【答案】A
【解析】解：连结AC，交BD于O，连结OF
∵四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，∴AO＝OC，
∵点F在棱PA上，PF＝λAF，PC∥平面BDF，
∴OF∥PC，
∴λ＝1.
8．（2020·山东滕州市第一中学新校高一期末）如图所示，在四棱锥中，分别为上的点，且平面，则（
）
A．
B．
C．
D．以上均有可能
【答案】B
【解析】
∵MN∥平面PAD，平面PAC∩平面PAD＝PA，MN?平面PAC，
∴MN∥PA.
故选B.
9．（2017·浙江高三其他）设是两条不同的直线，是平面且，那么“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】当直线在平面内时，由不能推出；当时，有可能与平行或异面所以“”是“”的既不充分也不必要条件，
10．（2019·福建城厢?莆田一中高三月考（文））如图，在长方体中，若分别是棱的中点，则必有（
）
A．
B．
C．平面平面
D．平面平面
【答案】D
【解析】选项A:由中位线定理可知：，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以不可能互相平行，故A选项是错误的；
选项B:
由中位线定理可知：，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以不可能互相平行，故B选项是错误的；
选项C:
由中位线定理可知：，而直线与平面相交，故直线与平面也相交，故平面与平面相交，故C选项是错误的；
选项D:由三角形中位线定理可知：，所以有平面，平面而，因此平面平面，故本题选D.
11.(2019·大连双基测试)已知直线l，m，平面α，β，γ，则下列条件能推出l∥m的是( )
A.l?α，m?β，α∥β
B.α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m
C.l∥α，m?α
D.l?α，α∩β＝m
【答案】B
【解析】 选项A中，直线l，m也可能异面；选项B中，根据面面平行的性质定理，可推出l∥m，B正确；选项C中，直线l，m也可能异面；选项D中，直线l，m也可能相交.故选B.
12．（2020·安徽安庆?高三二模（理））棱长为1的正方体中，P，Q分别为，的中点，现有下列结论：①；②平面；③平面；④四面体的体积等于.其中正确的是（
）
A．①③
B．②③
C．②④
D．③④
【答案】C
【解析】如图1，取中点M，连接与，则，平面，则与异面，矛盾，故①错误；
如图2，取中点，易得平面平面，故②正确；
若③正确，则，则，矛盾，故③错误；
（另解：由结论平面和①知，不平行也可判断错误）.
，故④正确
（④也可以这样判断：如图3，过点B作的垂线，垂足为H，，
因此，平面，，，
.
或者）.
13．（2019·青海大通?高二期末（理））设，是不同的直线，，，是不同的平面，有以下四个命题：
①；②；③；④．
其中正确的命题是（
）．
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
【答案】B
【解析】①．由面面平行的性质可知，，，则，故①正确；
②．若，，则或与相交，故②错误；
③．若，则存在，且，又，得，
所以，故③正确；
④．若，，则或，故④错误．
14．（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）已知α，β，γ是两两不重合的三个平面，下列命题中错误的是（
）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】D
【解析】根据平行于同一平面的两个平面平行，可知①正确；
由面面平行的性质定理：若两平面平行，第三个平面与他们都相交，则交线平行，可判断若，，则为真命题，即②正确；
若，，根据平面与平面垂直的定义，可得，即③正确；
当，时，与可能平行，也可能相交，不一定垂直，即④不正确．
15．（2020·浙江高三月考）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，已知，，则“，”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】充分性：已知，，由于，，若，则与不一定平行，充分性不成立；
必要性：已知，，若，由面面平行的性质可得，，必要性成立.
因此，“，”是“”的必要不充分条件.
16．（2020·湖北荆门?高三期末（文））设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且直线，直线，下列命题为真命题的是(
)
A．“”是“”的充分条件
B．“”是“”的既不充分又不必要条件
C．“”是“”的充要条件
D．“”是“”的必要条件
【答案】B
【解析】能得到，但，不能得出，A错；
时，也可能在平面内，不能得出，反之，内的直线也不一定与平行，即不能得出，既不充分也不必要，B正确；
时，可能是异面直线，不一定平行，时，也可能相交，不一定平行，C错；
两个平面垂直，分别在这两个平面的的两条直线可能相交，可以平行，不一定垂直，D错．
17．（2020·安徽金安?六安一中高一期末（文））直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面（
）
A．有一个
B．有无数多个
C．至多一个
D．不存在
【答案】A
【解析】直线a，b为异面直线，过上任一点作直线，直线存在且唯一，且是相交直线，由确定的平面记为，是唯一的，由线面平行的判定定理得．
18．（2020·天津北辰?高三二模），是不同的直线，，是不重合的平面，下列说法正确的是（
）
A．若，，，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．，是异面直线，若，，，，则
【答案】D
【解析】选项A.
若，，，，则;当时，可能有，故A不正确.
选项B.
若，，，则，或，是异面直线，故B不正确.
选项C.
若，，则，也可能，故C不正确.
选项D.
在空间取一点，过作，.
则相交直线确定一个平面，由条件可得，所以,故D正确.，
19．（2020·陕西高三其他（理））已知、为不同的直线，、为不同的平面，给出下列命题：
①；②；③；④．
其中的正确命题序号是（
）
A．②③
B．①②③
C．②④
D．①②④
【答案】A
【解析】对于命题①，若，，则或，命题①错误；
对于命题②，若，，由线面垂直的性质可知，命题②正确；
对于命题③，若，，由线面垂直的性质可知，命题③正确；
对于命题④，若，，，则与无公共点，所以，与平行或异面，命题④错误.
20．（2020·梅河口市第五中学高三其他（理））在长方体中，，，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面平行，则当三角形面积最小值时，三棱锥的外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】补全截面如下图所示：设，因为直线与平面平行，所以直线与平面没有交点，因此平面，易知平面平面，所以，且当重合时，最短，此时三角形面积最小，
由等积法可知：，解得：.
平面，所以有，又是三棱锥的外接球的直径，长度为，所以半径为1，表面积为：.
故选：C
21．（2020·辽宁高三其他（理））如图，在长方体中，，，，，分别为，，的中点，点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，连接，，，
因为，，分别为，，的中点，
所以平面，则平面，
因为，所以同理得平面，
又，得平面平面，
因为直线平面，
所以点在直线上,在中，
有，，，
所以，
故当时，线段的长度最小，
有.
22．（2020·江西东湖?南昌二中高二期末（理））有下列四个条件：①，，；②，；③，，；④、是异面直线，，，.其中能保证直线//平面的条件是（
）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
【答案】C
【解析】对于①，，，，由线面平行的判定定理可知直线//平面；
对于②，，，则直线平面或直线平面；
对于③，，，，则直线平面或直线平面；
对于④，、是异面直线，，则，，，直线//平面.
23．（2020·重庆高三其他（理））设，是空间中的两个平面，，是两条直线，则使得成立的一个充分条件是（
）
A．，，
B．，，
C．，，，
D．，，
【答案】D
【解析】解：对于A，由，，，不一定得到，与也可能相交，如图，
对于B，由，，，不一定得到，与也可能相交，
如图，
对于C，，，，，不一定得到，只有添加条件与相交时，才有；
对于D，由，，又，可得.
使得成立的一个充分条件是D.
24．（2020·南昌市八一中学高二期末（文））如图，在正方体中，P，Q，M，N，H，R是各条棱的中点.
①直线平面；②；③P，Q，H，R四点共面；④平面.其中正确的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】解：
对于①，通过观察，平面平面，所以平面，①正确；
对于②，假设，显然，，平面
平面，所以平面，又平面，
所以，与矛盾，故②错误.
对于③，因为，故P，Q，H，R四点共面，③正确；
对于④，显然，，，平面，平面，所以平面，平面，所以，
同理可证，
又，所以平面，故④正确
所有正确的是①③④，
25．（2020·新疆新区?乌鲁木齐市第70中高一期末）下列各图中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出//平面的图形的序号是（
）
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④
【答案】A
【解析】①项，如图，作//，连接，，得平面，
因为//，平面，所以//平面，
即//平面，故①项正确；
②项，如图，连结，，，
由已知可得平面//平面；
因为和平面相交，
所以不平行于平面，故②项错误；
③项，如图，连接，，，
由已知可得//，因为//，
由平行的传递性可得//，
又因为//，，，
所以平面//平面，
又因为平面，所以//平面，故③项正确；
④项，如图，
因为//，平面，
若//平面，又，则平面//平面，
由图可知平面不可能平行平面，
所以不平行于平面，故④项错误。
综上，①③符合题意。
故选：A
26．（2020·全国高二）如图，正方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与平面平行的直线（
）
A．有一条
B．有二条
C．有无数条
D．不存在
【答案】C
【解析】若平面，使得，
又平面，平面，
平面，
显然满足要求的直线l有无数条.
27．（2020·石嘴山市第三中学高三其他（理））如图，在正方体中，分别是的中点，有下列四个结论：
①与是异面直线；
②相交于一点；
③；
④平面.
其中所有正确结论的编号是（
）
A．①④
B．②④
C．①④
D．②③④
【答案】B
【解析】
，是相交直线，设，
则平面且平面，又平面平面，
所以相交于一点，故①不正确，②正确；
设，连，则有，所以四边形为平行四边形，则，所以③不正确；
又平面，平面，所以平面，则④正确.
28．（2019·浙江高三月考）在三棱柱中，、分别是、的中点，为该三棱柱表面上的一动点，若此三棱柱恰好有5条棱与平面平行，则动点的轨迹为除去、两点的（
）．
A．线段
B．三角形，且其所在平面平行于平面
C．梯形，且其所在平面平行于平面
D．平行四边形，且其所在平面平行于平面
【答案】D
【解析】如图，绘出三棱柱，
作中点，中点，中点，中点，
连接、、、，
因为是中点，是中点，
所以在上，在上，
因为为该三棱柱表面上的一动点，三棱柱恰好有5条棱与平面平行，
所以点在线段、、、上，
此时平面即平面，、、、、都平行于平面，
故动点的轨迹为平行四边形，
因为平面，平面，,
所以平面平面，
29．（2019·浙江南湖?嘉兴一中高二期中）如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且面，则在侧面上的轨迹的长度是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：设，，分别为、、边上的中点，
则四点共面，
且平面平面，
又面，
落在线段上，
正方体中的棱长为，
，
即在侧面上的轨迹的长度是．
故选．
30．（2020·黑龙江南岗?哈师大附中高三其他（文））已知正方体的棱长为1，为上底面的中心，为正方形内部的点，且平面，则的最小值为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图所示，在正方体中，连结，
，面，面，
面，同理面，
又，都在面内，
面面.
平面，点在线段上，
在正三角形，到的最短距离为三角形中，底高的一半，
的最小值为，
故选：B.
31．（2020·武威第六中学高三其他（理））如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面
（Ⅱ）若平面平面，异面直线与所成角为60°，且是钝角三角形，求二面角的正弦值
【解析】（Ⅰ）证明：取的中点，连接，
因为为的中点，则，且，
又，且，所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面
（Ⅱ）由题意可知，所以或其补角为异面直线与所成角，
又，为钝角三角形，所以，
又平面平面，平面平面，，
所以平面，
以为坐标原点，所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
向量，，
设平面的法向量为
由得，令，
得平面的一个法向量为，
同理可得平面的一个法向量为
设二面角的平面角为，
则
则
故二面角的正弦值为
32．（2019·浙江省春晖中学高二月考）三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，，别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
【解析】（1）连接，
因为中，为别是的中点，所以，
又因为平面，所以平面.
（2）因为三棱锥中，
侧棱与底面垂直，所以四边形是正方形，
所以，所以，
连接，可得全等，
所以，又是的中点，所以，
因为与相交于点，所以平面.
33．（2019·浙江衢州?高二期中）已知三棱柱，底面，，，为线段的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【解析】（1）证明：连接交于E，连接，则
，又D为AC中点，所以在中，有
，
又平面，平面
，所以平面.
（2）以分别轴建立空间直角坐标系，设
，则，
设平面法向量，，则，则，
设平面法向量，
，则，则
，
设二面角的大小为，所以，
又二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.
34．（2019·浙江高三月考）如图，在四棱锥中，平面，，为线段的中点，已知，．
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】
（1）
证明：连接交于点，连接
,,四边形是平行四边形，
是中点，又为线段的中点，
,又平面，平面
直线平面
（2）平面,作,建立如图所示空间直角坐标系
由已知，
得,,,
,
设平面的法向量
,
，不妨取
所以直线与平面所成角的正弦值为
35．（2019·浙江南湖?嘉兴一中高二期中）如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，分别为线段，的中点.
(1)求证：||平面；
(2)四棱柱的外接球的表面积为，求异面直线与所成的角的大小.
【解析】
（1）连接，在中，分别为线段的中点，∴为中位线，
∴
，而面，面，∴平面.
（2）由（1）知，故即为异面直线与所成的角.
∵四棱柱的外接球的表面积为，
∴四棱柱的外接球的半径，
设，则，解得，
在直四棱柱中，∵平面，平面，
∴，在中，，
∴，
∴异面直线与所成的角为.
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精品试卷·第
2
页
（共
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第33讲
空间中的平行关系
1、
考情分析
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.
2、
知识梳理
1.平行直线
(1)平行公理
过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.
(2)基本性质4(空间平行线的传递性)
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
(3)定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.
2.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面
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a?α，b?α，a∥b?a∥α
性质定理
一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
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a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b
3.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
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a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β
性质定理
两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
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α∥β，a?α?a∥β
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
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α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
[微点提醒]
平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)两个平面平行，则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行.
3、
经典例题
考点一 与线、面平行相关命题的判定
【例1】
(1)在空间中，a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )
A.若a⊥c，b⊥c，则a∥b
B.若a?α，b?β，α⊥β，则a⊥b
C.若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
D.若α∥β，a?α，则a∥β
(2)下列四个正方体中，A，B，C为所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是( )
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【答案】 (1)D (2)B
【解析】 (1)对于A，若a⊥c，b⊥c，则a与b可能平行、异面、相交，故A是假命题；
对于B，设α∩β＝m，若a，b均与m平行，则a∥b，故B是假命题；
对于C，a，b可能平行、异面、相交，故C是假命题；
对于D，若α∥β，a?α，则a与β没有公共点，则a∥β，故D是真命题.
(2)在B中，如图，连接MN，PN，
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∵A，B，C为正方体所在棱的中点，
∴AB∥MN，AC∥PN，
∵MN∥DE，PN∥EF，
∴AB∥DE，AC∥EF，
∵AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，
AB，AC?平面ABC，DE，EF?平面DEF，
∴平面ABC∥平面DEF.
规律方法 1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.
2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.
(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.
考点二 直线与平面平行的判定与性质
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多维探究
角度1 直线与平面平行的判定
【例2－1】在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1.
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(1)证明：EF∥平面PDC；
(2)求点F到平面PDC的距离.
(1)证明 取PC的中点M，连接DM，MF，
∵M，F分别是PC，PB的中点，∴MF∥CB，MF＝CB，
∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，
∴DE∥CB，DE＝CB，
∴MF∥DE，MF＝DE，∴四边形DEFM为平行四边形，
∴EF∥DM，∵EF?平面PDC，DM?平面PDC，
∴EF∥平面PDC.
(2)解 ∵EF∥平面PDC，
∴点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，在Rt△PAD中，PA＝AD＝1，∴DP＝.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB，
∴CB⊥PB，则PC＝，∴PD2＋DC2＝PC2，
∴△PDC为直角三角形，
∴S△PDC＝×1×＝.
连接EP，EC，易知VE－PDC＝VC－PDE，设E到平面PDC的距离为h，
∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，
则×h×＝×1×××1，∴h＝，
∴点F到平面PDC的距离为.
角度2 直线与平面平行性质定理的应用
【例2－2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点.
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(1)求三棱锥B1－A1BE的体积；
(2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果平行，请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线，并说明理由.
解 (1)如图所示，VB1－A1BE＝VE－A1B1B＝S△A1B1B·
DA＝××2×2×2＝.
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(2)B1F∥平面A1BE.延长A1E交AD延长线于点H，连BH交CD于点G，则BG就是所求直线.证明如下：
因为BA1∥平面CDD1C1，平面A1BH∩平面CDD1C1＝GE，所以A1B∥GE.
又A1B∥CD1，所以GE∥CD1.
又E为DD1的中点，则G为CD的中点.
故BG∥B1F，BG就是所求直线.
规律方法 1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.
2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.
考点三 面面平行的判定与性质
【例3】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
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(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明 (1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，
∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，
∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，
∴A1G綉EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
规律方法 1.判定面面平行的主要方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).
2.面面平行条件的应用
(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行.
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.
提醒 利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.
[方法技巧]
1.转化思想：三种平行关系之间的转化
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其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化.
2.直线与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)面面平行的性质.
3.平面与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β?α∥β.
4.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.
5.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.
6.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交.
7.运用性质定理，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.
4、
课时作业
1．（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学（文））设为两个不重合的平面，能使成立的是（
）
A．内有无数条直线与平行
B．内有两条相交直线与平行
C．内有无数个点到的距离相等
D．垂直于同一平面
2．（2020·江苏如皋?）已知直线是平面的斜线，过作平面，使，这样的（
）
A．恰能作一个
B．至多作一个
C．至少作一个
D．不存在
3．（2019·浙江台州?高二期中）正方体--，E、F分别是、的中点，P是上的动点（包括端点），过E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是
A．线段
B．线段
C．线段和一点
D．线段和一点C．
4．（2020·上海市进才中学高二期末）已知三条直线及平面，下列命题正确的是（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，，则
5．（2020·山东芝罘?烟台二中高一期末）下列条件中，能判断平面与平面平行的是（
）
A．内有无穷多条直线都与平行
B．与同时平行于同一条直线
C．与同时垂直于同一条直线
D．与同时垂直于同一个平面
6．（2019·广东越秀?执信中学高二月考）设、为两个不重合的平面，则的充要条件是（
）
A．内有无数条直线与平行
B．、垂直于同一平面
C．、平行于同一条直线
D．内有两条相交直线与平行
7．（2020·全国高二）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，点F在棱PA上，PF＝λAF，若PC∥平面BDF，则λ的值为（
）
A．1
B．
C．3
D．2
8．（2020·山东滕州市第一中学新校高一期末）如图所示，在四棱锥中，分别为上的点，且平面，则（
）
A．
B．
C．
D．以上均有可能
9．（2017·浙江高三其他）设是两条不同的直线，是平面且，那么“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10．（2019·福建城厢?莆田一中高三月考（文））如图，在长方体中，若分别是棱的中点，则必有（
）
A．
B．
C．平面平面
D．平面平面
11.(2019·大连双基测试)已知直线l，m，平面α，β，γ，则下列条件能推出l∥m的是( )
A.l?α，m?β，α∥β
B.α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m
C.l∥α，m?α
D.l?α，α∩β＝m
12．（2020·安徽安庆?高三二模（理））棱长为1的正方体中，P，Q分别为，的中点，现有下列结论：①；②平面；③平面；④四面体的体积等于.其中正确的是（
）
A．①③
B．②③
C．②④
D．③④
13．（2019·青海大通?高二期末（理））设，是不同的直线，，，是不同的平面，有以下四个命题：
①；②；③；④．
其中正确的命题是（
）．
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
14．（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）已知α，β，γ是两两不重合的三个平面，下列命题中错误的是（
）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则
15．（2020·浙江高三月考）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，已知，，则“，”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
16．（2020·湖北荆门?高三期末（文））设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且直线，直线，下列命题为真命题的是(
)
A．“”是“”的充分条件
B．“”是“”的既不充分又不必要条件
C．“”是“”的充要条件
D．“”是“”的必要条件
17．（2020·安徽金安?六安一中高一期末（文））直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面（
）
A．有一个
B．有无数多个
C．至多一个
D．不存在
18．（2020·天津北辰?高三二模），是不同的直线，，是不重合的平面，下列说法正确的是（
）
A．若，，，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．，是异面直线，若，，，，则
19．（2020·陕西高三其他（理））已知、为不同的直线，、为不同的平面，给出下列命题：
①；②；③；④．
其中的正确命题序号是（
）
A．②③
B．①②③
C．②④
D．①②④
20．（2020·梅河口市第五中学高三其他（理））在长方体中，，，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面平行，则当三角形面积最小值时，三棱锥的外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
21．（2020·辽宁高三其他（理））如图，在长方体中，，，，，分别为，，的中点，点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
22．（2020·江西东湖?南昌二中高二期末（理））有下列四个条件：①，，；②，；③，，；④、是异面直线，，，.其中能保证直线//平面的条件是（
）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
23．（2020·重庆高三其他（理））设，是空间中的两个平面，，是两条直线，则使得成立的一个充分条件是（
）
A．，，
B．，，
C．，，，
D．，，
24．（2020·南昌市八一中学高二期末（文））如图，在正方体中，P，Q，M，N，H，R是各条棱的中点.
①直线平面；②；③P，Q，H，R四点共面；④平面.其中正确的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
25．（2020·新疆新区?乌鲁木齐市第70中高一期末）下列各图中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出//平面的图形的序号是（
）
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④
26．（2020·全国高二）如图，正方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与平面平行的直线（
）
A．有一条
B．有二条
C．有无数条
D．不存在
27．（2020·石嘴山市第三中学高三其他（理））如图，在正方体中，分别是的中点，有下列四个结论：
①与是异面直线；
②相交于一点；
③；
④平面.
其中所有正确结论的编号是（
）
A．①④
B．②④
C．①④
D．②③④
28．（2019·浙江高三月考）在三棱柱中，、分别是、的中点，为该三棱柱表面上的一动点，若此三棱柱恰好有5条棱与平面平行，则动点的轨迹为除去、两点的（
）．
A．线段
B．三角形，且其所在平面平行于平面
C．梯形，且其所在平面平行于平面
D．平行四边形，且其所在平面平行于平面
29．（2019·浙江南湖?嘉兴一中高二期中）如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且面，则在侧面上的轨迹的长度是
A．
B．
C．
D．
30．（2020·黑龙江南岗?哈师大附中高三其他（文））已知正方体的棱长为1，为上底面的中心，为正方形内部的点，且平面，则的最小值为(
)
A．
B．
C．
D．
31．（2020·武威第六中学高三其他（理））如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面
（Ⅱ）若平面平面，异面直线与所成角为60°，且是钝角三角形，求二面角的正弦值
32．（2019·浙江省春晖中学高二月考）三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，，别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
33．（2019·浙江衢州?高二期中）已知三棱柱，底面，，，为线段的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
34．（2019·浙江高三月考）如图，在四棱锥中，平面，，为线段的中点，已知，．
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
35．（2019·浙江南湖?嘉兴一中高二期中）如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，分别为线段，的中点.
(1)求证：||平面；
(2)四棱柱的外接球的表面积为，求异面直线与所成的角的大小.
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精品试卷·第
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