任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数
核心考点·精准研析
考点一 象限角与终边相同的角?
1.若角α是第二象限角,则是
( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第一或第三象限角
D.第二或第四象限角
2.(2019·长春模拟)若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-x上,则角α的取值集合是
( )
A.
B.
C.
D.
3.下列各角中,与角330°的终边相同的是
( )
A.150° B.-390° C.510° D.-150°
4.与-2
010°终边相同的最小正角是________.
世纪金榜导学号?
【解析】1.选C.因为α是第二象限角,所以+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,所以+kπ<<+kπ,k∈Z.当k为偶数时,是第一象限角;当k为奇数时,是第三象限角.综上,是第一或第三象限角.
2.选D.因为直线y=-x的倾斜角是,所以终边落在直线y=-x上的角的取值集合为.
3.选B.与角330°的终边相同的角为α=k·360°+330°(k∈Z),令k=-2,
可得α=-390°.
4.因为-2
010°=(-6)×360°+150°,
所以150°与-2
010°终边相同,又终边相同的两个角相差360°的整数倍,所以在0°～360°中只有150°与-2
010°终边相同,故与-2
010°终边相同的最小正角是150°.
答案:150°
1.表示区间角的三个步骤
(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°～360°范围内的角α和β,写出最简区间.
(3)起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区间角集合.
2.象限角的两种判断方法
(1)图像法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.
(2)转化法:先将已知角化为k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.
3.求或nθ(n∈N
)所在象限的方法
(1)将θ的范围用不等式(含有k)表示.
(2)两边同除以n或乘以n.
(3)对k进行讨论,得到或nθ(n∈N
)所在的象限.
提醒:注意“顺转减,逆转加”的应用,如角α的终边逆时针旋转180°可得角α+180°的终边,类推可知α+k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角.
【秒杀绝招】
结论法解T1,若角α是第一(或二)象限角,则是第一或第三象限角;若角α是第三(或四)象限角,则是第二或第四象限角.
排除法解T2,终边在直线上,是kπ,终边在射线上是2kπ,排除A,B;直线y=-x的倾斜角是钝角,加钝角或减锐角,排除C,所以选D.
考点二 弧度制、扇形的弧长及面积公式?
【典例】1.若扇形的圆心角α=120°,弦长AB=12
cm,则弧长l=________cm.?
2.已知扇形的周长为20
cm,当它的面积最大时,它的圆心角的弧度数为________.
世纪金榜导学号?
【解题导思】
序号
联想解题
1
由扇形的圆心角想到弧长公式l=|α|·r
2
由扇形的周长想到扇形面积公式S=lr,周长=l+2r,转化为函数求最值
【解析】1.设扇形的半径为r
cm,如图.
由sin
60°=得r=4cm,
所以l=|α|·r=×4=π(cm).
答案:π
2.因为扇形的周长为20,所以l+2r=20,即l=20-2r,所以扇形的面积S=lr=(20-2r)·r=-r2+10r=-(r-5)2+25,所以当半径r=5时,扇形的面积最大为25,此时α=2(rad).
答案:2
有关弧长及扇形面积问题的注意点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角分别取何值时,扇形的面积最大?
【解析】设圆心角是θ,半径是r,则2r+rθ=40.
又S=θr2=r(40-2r)=r(20-r)=-(r-10)2+100≤100,当且仅当r=10时,Smax=100,此时2×10+10θ=40,θ=2,所以当r=10,θ=2时,扇形的面积最大.
考点三 任意角三角函数的定义及应用?
命题精解读
1.考什么:(1)三角函数符号判断,比较大小、解不等式,运用定义求值等等.(2)考查数学抽象,逻辑推理,数学运算等核心素养,以及数形结合的思想.2.怎么考:与直线、诱导公式、三角恒等变换等结合考查判断符号、求三角函数值等等.
学霸好方法
1.三角函数值符号的判断方法(1)先分别判断每个三角函数值的符号.(2)按照题中要求判断所求三角函数值的符号.2.利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤(1)用边界值定出角的终边位置.(2)根据不等式组定出角的范围.(3)求交集,找单位圆中公共的部分.(4)写出角所满足的范围.
三角函数符号判断
【典例】(2019·衡水模拟)若sin
θ·cos
θ<0,>0,则角θ是
( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
【解析】选D.由>0,得>0,所以cos
θ>0.又sin
θ·cos
θ<0,
所以sin
θ<0,所以θ为第四象限角.
知道哪些三角函数符号,可确定角所在象限?
提示:知sin
θ,cos
θ,tan
θ中两个的符号,可确定角所在象限.
解不等式
【典例】函数y=的定义域为________.
世纪金榜导学号?
【解析】由题意可得sin
x-≥0,即sin
x≥.作直线y=交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围成的区域(图中阴影部分含边界)即为角x的终边的范围,故满足条件的角x的集合为.
答案:,k∈Z
利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是什么?
提示:(1)用边界值定出角的终边位置.
(2)根据不等式组定出角的范围.
(3)求交集,找单位圆中公共的部分.
(4)写出角所满足的范围.
利用任意角三角函数定义求值
【典例】1.(2019·南昌模拟)已知角α的终边在直线y=-x上,且cos
α<0,则tan
α=________.?
2.(2019·许昌模拟)设α是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且cos
α=x,则tan
α=________.
世纪金榜导学号?
【解析】1.如图,由已知,角α的终边在第二象限,在其终边上任取一点P(x,y),则y=-x,由三角函数的定义得tan
α===-1.
答案:-1
2.因为α是第二象限角,所以cos
α=x<0,即x<0.又cos
α=x=,解得x=-3,所以tan
α==-.
答案:-
如何运用三角函数定义求三角函数值?
提示:(1)已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解.
(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义求解.
1.若角θ的终边经过点P(-,m)(m≠0)且sin
θ=m,则cos
θ的值为________.?
【解析】由已知r=,所以sin
θ==m,因为m≠0,所以m=±,所以r==2,所以cos
θ==-.
答案:-
2.函数y=lg
sin
x+的定义域为________.?
【解析】要使函数有意义,则有
即
解得(k∈Z),
所以2kπ
所以函数的定义域为.
答案:
1.已知点M在函数y=log3x的图像上,且角θ的终边所在的直线过点M,则tan
θ=
( )
A.-
B.±
C.-3
D.±3
【解析】选C.因为点M在函数y=log3x的图像上,所以a=log3=-1,即M,所以tan
θ==-3.
2.已知角α的终边过点P(-3cos
θ,4cos
θ),其中θ∈,
则sin
α=________,tan
α=________.?
【解析】因为θ∈,所以cos
θ<0,所以r==
=-5cos
θ,所以sin
α==-,tan
α==-.
答案:-
-
PAGE
-
8
-三角函数的同角关系、诱导公式
核心考点·精准研析
考点一 同角三角函数的基本关系式的应用?
1.(2019·西安模拟)若sin
α=-,且α为第四象限角,则tan
α=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选D.因为sin
α=-,α为第四象限角,
所以cos
α==,所以tan
α==-.
2.已知cos
α=k,k∈R,α∈,则sin
α=
( )
A.-
B.
C.±
D.
【解析】选B.因为α∈,所以cos
α<0,sin
α>0,
所以sin
α==.
【巧思妙解】(排除法)选B.因为α∈,所以sin
α>0,排除A,C,又-11,故排除D.
若将题中的“cos
α=k,k∈R,α∈”换为“sin
α=k,k∈R,α∈”,如何求cos
α呢?
【解析】因为α∈,所以cos
α<0,由平方关系知
cos
α=-=-.
3.已知tan
α=,则:
(1)=________.?
(2)sin2α+sin
αcos
α+2=________.?
【解析】(1)===-.
(2)sin2α+sin
αcos
α+2
=3sin2α+sin
αcos
α+2cos2α
=
===.
答案:(1)- (2)
同角三角函数关系式的应用方法
(1)利用sin2α+cos2α=1可实现α的正弦、余弦的互化,利用=tan
α可以实现角α的弦切互化.
(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值,因为利用“平方关系”公式,需求平方根,会出现两解,需根据角所在的象限判断符号,当角所在的象限不明确时,要进行分类讨论.
(3)分式中分子与分母是关于sin
α,cos
α的齐次式,往往转化为关于tan
α的式子求解.
【秒杀绝招】
1.勾股数解T1,看到sin
α=-,想到勾股数5,12,13,所以cos
α=±,
tan
α=±,因为α为第四象限角,
所以tan
α<0,tan
α=-.
2.转化代入法解T3,(1)将tan
α=转化为cos
α=2sin
α,将cos
α=2sin
α代入得=-.(2)同理可得.
考点二 诱导公式的应用?
【典例】1.若f(x)=sin+1,且f(2
020)=2,则f(2
021)=________.?
2.已知cos=a,则cos+sin=________.
世纪金榜导学号?
【解题导思】
序号
联想解题
1
看到形如2
020的数字,想到函数有周期性.三角函数可运用诱导公式求解
2
看到三角函数给值求值问题.想到找出已知角与未知角的关系,+=π,-=-θ
【解析】1.因为f(2
020)=sin+1=sin(1
010π+α)+1=
sin
α+1=2,
所以sin
α=1,cos
α=0.
所以f(2
021)=sin+1
=sin+1
=cos
α+1=1.
答案:1
2.cos=cos=-cos
=-a,
sin=sin=cos=a,
所以cos+sin=-a+a=0.
答案:0
1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
也就是:“负化正,大化小,化到锐角就好了”.
2.利用诱导公式化简三角函数的要求
(1)化简过程是恒等变形.
(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
1.(2019·淮南十校联考)已知sin=,则cos的值是( )
A.-
B.
C.
D.-
【解析】选A.因为sin=,
所以cos=cos=-sin=-.
2.(2020·阜阳模拟)计算sin
+cos
的值为
( )
A.-1
B.1
C.0
D.-
【解析】选A.原式=sin+cos
=-sin
-cos
=--=-1.
考点三 同角关系与诱导公式的综合应用?
命题精解读
1.考什么:(1)同角关系整体代换,sin
α±cos
α与sin
α·cos
α之间的关系,同角关系与诱导公式综合应用等.(2)考查逻辑推理,数学运算等核心素养,以及转化与化归的思想.2.怎么考:诱导公式与同角关系结合考查求三角函数值,代数式的值等.3.新趋势:以考查同角关系与诱导公式综合应用为主.
学霸好方法
同角三角函数基本关系式的应用技巧1.切弦互化:主要利用公式tan
θ=化成正弦、余弦,或者利用公式=tan
θ化成正切2.“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=(sin
θ±cos
θ)2?2sin
θcos
θ=tan3.和积转换:利用关系式(sin
θ±cos
θ)2=1±2sin
θcos
θ进行变形、转化
整体代换问题
【典例】(2019·合肥模拟)已知tan
α=-,则sin
α(sin
α-cos
α)=世纪金榜导学号( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.sin
α(sin
α-cos
α)=sin2α-sin
αcos
α=
=,将tan
α=-代入得原式==.
整体代换是如何实现的?
提示:弦切互化法:
主要利用公式tan
x=进行切化弦或弦化切,如,asin2x+
bsin
xcos
x+ccos2x等类型可进行弦化切.
sin
α±cos
α与sin
α·cos
α之间的关系
【典例】(2019·苏州模拟)已知sin
θ+cos
θ=,θ∈(0,π),则tan
θ的值为________.
世纪金榜导学号?
【解析】因为sin
θ+cos
θ=,①
两边平方,得1+2sin
θcos
θ=,
所以2sin
θcos
θ=-,又θ∈(0,π),
所以sin
θ>0,cos
θ<0,
因为(sin
θ-cos
θ)2=1-2sin
θcos
θ=,
所以sin
θ-cos
θ=,②
由①②得sin
θ=,cos
θ=-,所以tan
θ=-.
答案:-
一般求值问题的步骤如何?
提示:(1)将已知条件或所求式子利用诱导公式进行化简.
(2)从已知条件中结合三角函数关系得出需要的结论.
(3)代入化简后的所求式子,得出最后的结论.
同角关系与诱导公式综合应用
【典例】(2020·保定模拟)已知tan(3π+α)=3,则=
世纪金榜导学号( )
A.
B.
C.
D.2
【解析】选B.因为tan(3π+α)=3,所以tan
α=3,所以===.
运用“切弦互化”时有哪些注意事项?
提示:(1)弦化切:把正弦、余弦化成切的结构形式,统一为“切”的表达式,进行求值.常见的结构有:
①sin
α,cos
α的二次齐次式(如asin2α+bsin
αcos
α+ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解;
②sin
α,cos
α的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形.
(2)切化弦:一般单独出现正切、余切的时候,运用公式tan
α=,把式子中的切化成弦.
1.(2020·宝鸡模拟)若=,则tan
θ的值为
( )
A.1
B.-1
C.3
D.-3
【解析】选D.因为==,所以2(sin
θ+cos
θ)=
sin
θ-cos
θ,所以sin
θ=-3cos
θ,所以tan
θ=-3.
2.(2020·唐山模拟)已知sin=,所以tan
α的值为
( )
A.-
B.-
C.±
D.±
【解析】选C.sin=sin=cos
α=,
所以sin
α=±,tan
α==±.
3.已知α∈,tan(α-π)=-,则sin
α+cos
α的值是________.?
【解析】已知tan(α-π)=tan
α=-,又α∈,
所以sin
α=,cos
α=-,所以sin
α+cos
α=-.
答案:-
1.(2019·南充模拟)设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数.若f(2
019)=-1,则f(2
020)=
( )
A.1
B.2
C.0
D.-1
【解析】选A.因为f(2
019)=asin(2
019π+α)+bcos(2
019π+β)=-asin
α-bcos
β=-1,所以asin
α+bcos
β=1,
所以f(2
020)=asin(2
020π+α)+bcos(2
020π+β)=asin
α+bcos
β=1.
2.(2020·淮安模拟)若tan
α+=,α∈,则的值为________.?
【解析】因为tan
α+=,α∈,
所以tan
α=2或(舍去),
所以=
===.
答案:
3.(2019·通州模拟)如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的内角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是,则sin2θ-cos2θ的值是________.?
【解析】由题图知,每个直角三角形长直角边为cos
θ,短直角边为sin
θ,小正方形边长为cos
θ-sin
θ,
因为小正方形的面积是,所以(cos
θ-sin
θ)2=,
又θ为直角三角形中较小的锐角,所以cos
θ>sin
θ,cos
θ-sin
θ=,又(cos
θ-sin
θ)2=1-2sin
θcos
θ=,
所以2sin
θcos
θ=,(cos
θ+sin
θ)2=1+2sin
θcos
θ=,cos
θ+
sin
θ=,
所以sin2θ-cos2θ=(sin
θ-cos
θ)(cos
θ+sin
θ)=-×=-.
答案:-
PAGE
-
10
-三角恒等变形
核心考点·精准研析
考点一 三角函数式的化简求值?
1.(2020·阜阳模拟)若sin(α-β)sin
β-cos(α-β)cos
β=
,且α为第二象限角,则tan
=
( )
A.7
B.
C.-7
D.-
2.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈
,2sin
2α=cos
2α+1,则sin
α=( )
A.
B.
C.
D.
3.化简:
= .?
【解析】1.选B.因为sin(α-β)sin
β-cos(α-β)cos
β=
,
即-cos(α-β+β)=-cos
α=
,所以cos
α=-
.
又因为α为第二象限角,所以tan
α=-
,
所以tan
=
=
.
2.选B.由2sin
2α=cos
2α+1得4sin
αcos
α=2cos2α,即2sin
α=cos
α,结合sin2α+cos2α=1,解得sin
α=
.
3.原式=
=
=
=1.
答案:1
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则
2.三角函数式化简的方法
弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.
【一题多解】
倍角降次解T3,原式=
=
=
=
=1.
三角形法解T2,因为α∈
,所以sin
α>0,cos
α>0,由2sin
2α
=cos
2α+1得4sin
αcos
α=2cos2α,即2sin
α=cos
α,tan
α=
,画直角三角形如图,
不妨设角α对边为1,邻边为2,则斜边为
,sin
α=
.
考点二 条件求值问题?
命题精解读
1.考什么:(1)给角求值,给值求值,给值求角等.(2)考查逻辑推理,数学运算等核心素养,以及转化与化归的思想.2.怎么考:诱导公式与三角函数性质结合考查求三角函数值,角的值等.
学霸好方法
条件求值的四个必备结论(1)降幂公式:cos2α=
,sin2α=
.(2)升幂公式:1+cos
2α=2cos2α,1-cos
2α=2sin2α.(3)公式变形:tan
α±tan
β=tan(α±β)(1?tan
αtan
β).(4)辅助角公式:asin
x+bcos
x=
sin(x+φ)
其中sin
φ=
,cos
φ=
给角求值
【典例】(2019·沈阳四校联考)化简:
-
= .
世纪金榜导学号?
【解析】
-
=
=
=
=4.
答案:4
给角求值如何求解?
提示:(1)观察角,分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分.
(2)观察名,尽可能使函数统一名称.
(3)观察结构,利用公式,整体化简.
给值求值
【典例】1.(2018·全国卷Ⅱ)已知sin
α+cos
β=1,cos
α+sin
β=0,则sin(α+β)= .?
2.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan
=
,则tan
α= .
世纪金榜导学号?
【解析】1.由sin
α+cos
β=1与cos
α+sin
β=0分别平方相加得sin2α
+2sin
αcos
β+cos2β+cos2α+2cos
αsin
β+sin2
β=1,即2+2sin
αcos
β
+2cos
αsin
β=1,所以sin(α+β)=-
.
答案:-
2.因为tan
=tan
=
,
所以
=
,解得tan
α=
.
答案:
给值求值问题如何求解?
提示:(1)化简所求式子.
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).
(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.
给值求角
【典例】(2020·长春模拟)已知sin
α=
,sin(α-β)=-
,
α,β均为锐角,则角β值是 .
世纪金榜导学号?
【解析】因为α,β均为锐角,所以-
<α-β<
.
又sin(α-β)=-
,所以cos(α-β)=
.
又sin
α=
,所以cos
α=
,sin
β=sin[α-(α-β)]
=sin
αcos(α-β)-cos
αsin(α-β)
=
×
-
×
=
,所以β=
.
答案:
如何选取合适的三角函数求角?
提示:(1)已知正切函数值,选正切函数.
(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是
,选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;若角的范围为
,选正弦函数较好.
(3)由角的范围,结合所求三角函数值写出要求的角.
1.(2020·滁州模拟)若锐角α,β满足tan
α+tan
β=
-
tan
αtan
β,则α+β= .?
【解析】由已知可得
=
,即tan(α+β)=
.又因为
α+β∈(0,π),所以α+β=
.
答案:
2.(2019·福州模拟)已知A,B均为钝角,sin2
+cos
=
,且
sin
B=
,则A+B=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为sin2
+cos
=
,
所以
+
cos
A-
sin
A=
,
即
-
sin
A=
,解得sin
A=
.
因为A为钝角,所以cos
A=-
=-
=-
.由sin
B=
,且B为钝角,
得cos
B=-
=-
=-
.所以cos(A+B)=cos
Acos
B
-sin
Asin
B=
×
-
×
=
.又A,B都为钝角,即
A,B∈
,所以A+B∈(π,2π),所以A+B=
.
3.(2020·佛山模拟)已知cos
α=
,α∈(-π,0),则cos
=
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选A.因为cos
α=
,α∈(-π,0),
所以sin
α=-
=-
,
所以cos
=cos
αcos
+sin
αsin
=
×
+
×
=-
.
1.(2019·贵阳模拟)sin415°-cos415°=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选D.
sin415°-cos415°=(sin215°-cos215°)(sin215°+cos215°)
=sin215°-cos215°=-cos
30°=-
.
2.定义运算
=ad-bc.若cos
α=
,
=
,0<β<α<
,则β= .?
【解析】由已知得sin
αcos
β-cos
αsin
β=sin(α-β)=
.又0<β<α<
,所以0<α-β<
,所以cos(α-β)=
=
,而cos
α=
,所以
sin
α=
,于是sin
β=sin[α-(α-β)]=sin
αcos(α-β)-
cosαsin(α-β)=
×
-
×
=
,所以β=
.
答案:
考点三 三角恒等变换的综合应用?
【典例】1.如图,在矩形OABC中,AB=1,OA=2,以B为圆心,BA为半径在矩形内部作弧,点P是弧上一动点,PM⊥OA,垂足为M,PN⊥OC,垂足为N,求四边形OMPN的周长的最小值.
【解析】连接BP,设∠CBP=α,
其中0≤α<
,
则PM=1-sin
α,PN=2-cos
α,
则周长C=6-2(sin
α+cos
α)
=6-2
sin
,
因为0≤α<
,所以
≤α+
<
,
故当α+
=
,即α=
时,周长C有最小值6-2
.
2.(2019·浙江高考)设函数f(x)=sin
x,x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值.
(2)求函数y=
+
的值域.
世纪金榜导学号
【解题导思】
序号
联想解题
(1)
看到“f(x+θ)是偶函数”,想到偶函数的性质,即f(-x+θ)=f(x+θ)
(2)
看到“求函数y=
+
的值域”,想到先化简y=
+
【解析】(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有
sin(x+θ)=sin(-x+θ),
即sin
xcos
θ+cos
xsin
θ=-sin
xcos
θ+cos
xsin
θ,
故2sin
xcos
θ=0,
所以cos
θ=0.
又θ∈[0,2π),因此θ=
或
.
(2)y=
+
=sin2
+sin2
=
+
=1-
=1-
cos
.
因此,函数的值域是
.
1.三角函数应用题的处理方法
(1)结合具体图形引进角为参数,利用三角函数的有关公式进行化简,解决最优化问题.
(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样,先建模,再讨论变量的范围,最后得出结论并回答问题.
2.三角恒等变换在研究三角函数图像和性质中的应用
(1)图像变换问题:先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y=Asin
+b或余弦型函数y=Acos(ωx+φ)+b的形式,再进行图像变换.
(2)函数性质问题:求函数周期、最值、单调区间的方法步骤
①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b的形式;
②利用公式T=
(ω>0)求周期;
③根据自变量的范围确定ωx+φ的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值,另外求最值时,根据所给关系式的特点,也可换元转化为求二次函数的最值;
④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b的单调区间.
1.如图是半径为1的半圆,且四边形PQRS是半圆的内接矩形,设∠SOP=α,求α为何值时矩形的面积最大,并求出最大值.
【解析】因为∠SOP=α,所以PS=sin
α,SR=2cos
α,故S矩形PQRS=SR·PS
=2cos
α·sin
α=sin
2α,故当α=
时,矩形的面积有最大值1.
2.(2020·合肥模拟)已知函数f(x)=sin2x-sin2
,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)求f(x)在区间
上的最大值和最小值.
【解析】(1)由已知得f(x)=
-
=
-
cos
2x
=
sin
2x-
cos
2x=
sin
.
所以f(x)的最小正周期T=
=π.
(2)由(1)知f(x)=
sin
.
因为-
≤x≤
,所以-
≤2x-
≤
,
所以当2x-
=-
,
即x=-
时,f(x)有最小值-
;
当2x-
=
,即x=
时,f(x)有最大值
.
所以f(x)在
上的最大值为
,最小值为-
.
PAGE
-
11
-三角函数的图像与性质
核心考点·精准研析
考点一 三角函数的定义域、值域(最值)?
1.函数y=的定义域为 .?
2.(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)=sin-3cos
x的最小值为 .?
3.函数f(x)=1-3sin的值域为 .?
【解析】1.要使函数有意义,必须使sin
x-cos
x≥0.利用图像,在同一坐标系中画出[0,2π]上y=sin
x和y=cos
x的图像.在[0,2π]内,满足sin
x=cos
x的x为,,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以原函数的定义域为.
答案:
2.f(x)=sin-3cos
x=-cos
2x-3cos
x
=-2cos2x-3cos
x+1=-2+,
因为-1≤cos
x≤1,所以当cos
x=1时,f(x)min=-4,
故函数f(x)的最小值为-4.
答案:-4
3.因为-1≤sin≤1,所以-3≤-3sin≤3,
所以-2≤1-3sin≤4,
所以函数f(x)=1-3sin的值域为[-2,4].
答案:[-2,4]
1.求三角函数的定义域的实质
解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数的图像求解.
2.求解三角函数的值域(最值)常见三种类型
(1)形如y=asin
x+bcos
x+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值).
(2)形如y=asin2x+bsin
x+c的三角函数,可先设sin
x=t,化为关于t的二次函数求值域(最值).
(3)形如y=asin
xcos
x+b(sin
x±cos
x)+c的三角函数,可先设t=sin
x±cos
x,化为关于t的二次函数求值域(最值).
【秒杀绝招】
图像性质解T1,sin
x-cos
x=sin≥0,将x-视为一个整体,由正弦函数y=sin
x的图像与性质知2kπ≤x-≤π+2kπ(k∈Z),解得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z).
所以定义域为.
特殊值法解T2,易知f(x)≥-4,又x=0时,f(x)=-4,所以f(x)的最小值为-4.
考点二 三角函数的单调性?
【典例】1.(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)=cos
x-sin
x在[0,a]上是减函数,则a的最大值是
( )
A.
B.
C.
D.π
2.函数f(x)=sin的单调递减区间为 .世纪金榜导学号?
【解题导思】
序号
联想解题
1
看到“f(x)=cos
x-sin
x在[0,a]上是减函数”想到化简f(x)解析式,[0,a]是某个减区间的子集
2
看到“f(x)=sin”想到运用诱导公式转化为f(x)=-sin
【解析】1.选C.f(x)=cos
x-sin
x=cos在上单调递减,
所以[0,a]?,故02.f(x)=-sin,欲求f(x)单调递减区间,只需求y=sin的单调递增区间.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
答案:(k∈Z)
【思维多变】
若f(x)=cos
x-sin
x在[-a,a]上是减函数,则a的最大值是
( )
A. B.
C.
D.π
【解析】选A.f(x)=cos
x-sin
x=cos在上单调递减,所以[-a,a]?,故-a≥-且a≤,解得01.求三角函数单调区间的方法
首先化简成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间,只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sin
x的相应单调区间内即可.
2.已知单调区间求参数的三种方法
子集法
求出原函数的相应单调区间,由已知区间是该区间的子集,列不等式(组)求解
求补集法
由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解
周期性法
由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解
1.(2020·侯马模拟)
已知函数f(x)=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=时取得最小值,则f(x)在[0,π]上的单调递增区间是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为0<θ<π,所以<+θ<,又因为f(x)=cos(x+θ)在x=时取得最小值,所以+θ=π,θ=,所以f(x)=cos.由0≤x≤π,得≤x+≤.由π≤x+≤,得≤x≤π,所以f(x)在[0,π]上的单调递增区间是.
2.若函数f(x)=sin
ωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω= .?
【解析】因为f(x)=sin
ωx(ω>0)过原点,所以当0≤ωx≤,即0≤x≤时,y=sin
ωx是增函数;当≤ωx≤,即≤x≤时,y=sin
ωx是减函数.由已知=,所以ω=.
答案:
考点三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性?
命题精解读
1.考什么:(1)周期性,奇偶性、对称性等.(2)考查逻辑推理,数学运算等核心素养,以及转化与化归的思想.2.怎么考:与诱导公式、三角恒等变换结合考查求周期,参数等.3.新趋势:以考查与诱导公式、三角恒等变换结合为主.
学霸好方法
求周期的三种方法(1)利用周期函数的定义:f(x+T)=f(x).(2)利用公式:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为.(3)利用图像:图像重复的x轴上一段的长度.①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
周期性
【典例】
1.(2019·全国卷Ⅱ)若x1=,x2=是函数f(x)=sin
ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=
( )
A.2
B.
C.1
D.
2.(2019·北京高考)函数f(x)=sin22x的最小正周期是 .
世纪金榜导学号?
【解析】1.选A.由于x1=,x2=是函数两个相邻的极值点,故=-=,所以T=π,即ω==2.
2.f(x)=(1-cos
4x),最小正周期T==.
答案:
涉及三角函数的性质问题有哪些注意事项?
提示:(1)考虑利用三角恒等变换将函数化为一个角的一种函数形式.
(2)掌握一些简单函数的周期:如:
①y=Asin(ωx+φ)的周期为.
②y=Atan(ωx+φ)的周期为.
③y=|sin
x|的周期为π.
④y=|tan
x|的周期为π.
奇偶性、对称性
【典例】(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中,以为周期且在区间单调递增的是
世纪金榜导学号( )
A.f(x)=|cos
2x|
B.f(x)=|sin
2x|
C.f(x)=cos|x|
D.f(x)=sin|x|
【解析】选A.分别画出函数的图像可得选项A的周期为,选项B的周期为,而选项C的周期为2π,选项D不是周期函数.结合图像的升降情况可得A正确.
1.函数y=sin
2x+cos
2x的最小正周期为
( )
A.
B.
C.π
D.2π
【解析】选C.y=sin
2x+cos
2x=2sin,T==π.
2.(2020·渭南模拟)
同时具有以下性质:“①最小正周期是π;②图像关于直线x=对称;③在上是增函数;④图像的一个对称中心为”的一个函数是
( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin
【解析】选C.因为最小正周期是π,排除A选项;当x=时,对于B,y=sin=0,对于D,y=sin=,因为图像关于直线x=对称,所以排除B、D选项,对于C,sin=1,sin=0,且在上是增函数,故C满足条件.
3.(2018·江苏高考)已知函数y=sin(2x+φ)的图像关于直线x=对称,则φ的值是 .?
【解析】正弦函数的对称轴为+kπ(k∈Z),故把x=代入得+φ=+kπ(k∈Z),
φ=-+kπ(k∈Z),因为-<φ<,所以k=0,φ=-.
答案:-
1.函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间
为
( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
【解析】选D.由五点法作图知,解得
所以f(x)=cos,令2kπ<πx+<2kπ+π,k∈Z,解得2k-k∈Z.所以f(x)的单调递减区间为,k∈Z.
【一题多解】选D.由图像知T=2×=2,当x==时,f(x)取得最小值,因为T=2,所以当x=-1=-时取到最大值.所以f(x)的一个单调递减区间为,f(x)单调递减区间为,k∈Z.
2.(2020·洛阳模拟)已知函数f(x)=sin(sin
x)+cos(sin
x),x∈R,则下列说法正确的是
( )
A.函数f(x)是周期函数且最小正周期为π
B.函数f(x)是奇函数
C.函数f(x)在区间上的值域为[1,]
D.函数f(x)在区间上是增函数
【解析】选C.对于A,f(x+π)=sin[sin(x+π)]+cos[sin(x+π)]=sin(-sin
x)
+cos(-sin
x)=-sin(sin
x)+cos(sin
x)≠f(x),A错误;对于B,f(-x)=sin[sin(-x)]+cos[sin(-x)]=-sin(sin
x)+cos(sin
x)≠-f(x),
B错误;对于C,令t=sin
x,则t∈[0,1],y=sin
t+cos
t=sin∈[1,],C正确;
对于D,f(x)=sin,令t=sin
x+,
则t=sin
x+在上单调递增,
t∈,但外层函数y=sin
t在上并不具有单调性,所以D错误.
PAGE
-
9
-函数y=Asin（ωxφ）的图像及三角函数模型的简单
核心考点·精准研析
考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及图像变换
1.若函数f(x)=cos,为了得到函数g(x)=sin2x的图像,则只需将f(x)的图像
( )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
2.若将函数y=2cosx(sinx+cosx)-1的图像向左平移φ个单位,得到的函数是偶函数,则φ的最小正值是
( )
A.
B.
C.
D.
3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),若f(x)的图像向左平移个单位所得的图像与f(x)的图像向右平移个单位所得的图像重合,则ω的最小值为 .
4.已知函数f(x)=4cosx·sin+a的最大值为2.
世纪金榜导学号
(1)求a的值及f(x)的最小正周期;
(2)画出f(x)在[0,π]上的图像.
【解析】1.选A.f(x)=cos=sin=sin=sin2,为了得到g(x)=sin2x的图像,则只需将f(x)的图像向右平移个单位长度即可.
2.选A.化简函数:y=2cosx(sinx+cosx)-1=2sinxcosx+2cos2x-1
=sin2x+cos2x=sin,
向左平移φ个单位可得y=sin,
因为y=sin是偶函数,
所以2φ+=+kπ,k∈Z,φ=+,k∈Z,
由k=0可得φ的最小正值是.
3.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),把f(x)的图像向左平移个单位所得的图像为y=sin
=sin,把f(x)的图像向右平移个单位所得的图像为y=sin
=sin,
根据题意可得y=sin和y=sin的图像重合,故
+φ=2kπ-+φ,k∈Z,求得ω=4k,k∈Z,故ω的最小值为4.
答案:4
4.(1)f(x)=4cosxsin+a
=4cosx·+a=sin2x+2cos2x+a
=sin2x+cos2x+1+a=2sin+1+a的最大值为2,
所以a=-1,最小正周期T==π.
(2)由(1)知f(x)=2sin,列表:
x
0
π
2x+
π
2π
f(x)=2sin
1
2
0
-2
0
1
画图如图所示:
1.由函数y=sinx的图像通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
2.y=Asin(ωx+φ)的图像可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z=ωx+φ计算五点坐标.
【秒杀绝招】
排除法解T1,变形f(x)=sin,观察发现ω=2,所以不能平移,排除B,D;代入A,C检验,可知选A.
T4,可用伸缩法画f(x)的图像.
考点二 由图像求解析式
【典例】1.已知函数y=f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则ω,φ的值分别是
( )
A.2,-
B.2,-
C.4,-
D.4,
2.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示,则函数f(x)的解析式为 .
世纪金榜导学号
【解题导思】
序号
联想解题
1
看到A,B两点的横坐标,想到了求周期,从而求ω.由A,B两点的位置想到了特殊点,从而求φ.
2
由图像的最高点及最低点,想到了求A以及周期,从而确定ω,由特殊点的坐标想到了求φ.
【解析】1.选A.由题图可知,T=+,即T=π,
所以=π,即ω=2,
由2×+φ=+2kπ(k∈Z)得
φ=-+2kπ,k∈Z,又-<φ<,
故φ=-.
2.由题图知A=,=-=,
所以T=π,ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),
又对应五点法作图中的第三个点,
所以2×+φ=π+2kπ(k∈Z),φ=+2kπ(k∈Z),
又|φ|<π,所以φ=,所以f(x)=sin.
答案:f(x)=sin
【一题多解】由题图知A=,=-=,以为第二个零点,为最小值点,列方程组
解得
所以f(x)=sin.
答案:f(x)=sin
确定y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式的步骤
(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A=,B=.
(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=.
(3)求φ,常用方法有:
①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.
②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下:“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx+φ=;“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图像的“谷点”)为ωx+φ=;“第五点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx+φ=2π.
1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f(x)的解析式是
( )
A.f(x)=sin
B.f(x)=sin
C.f(x)=sin
D.f(x)=sin
【解析】选D.由图像可知=-=,所以T=π,所以ω==2,所以排除A、C;把x=代入检验知,选项D符合题意.
2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像的一部分如图所示,则f(x)图像的对称轴方程是 .
【解析】由图像知A=2,又1=2sin(ω×0+φ),即sinφ=,又|φ|<,所以φ=.又×ω+=2π,所以ω=2,所以f(x)=2sin,
令2x+=+kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z).
所以f(x)=2sin的对称轴方程为x=+(k∈Z).
答案:x=+(k∈Z)
考点三 函数y=Asin(ωx+φ)图像与性质的综合应用
命题精解读
1.考什么:(1)三角函数模型的应用,方程根(函数零点)问题,图像与性质的综合应用等;(2)考查直观想象、数学运算等核心素养,以及数形结合的思想.2.怎么考:与三角函数图像与性质,方程根,零点问题,实际问题结合考查求解析式,性质,参数等.3.新趋势:以考查三角函数模型的应用为主.
学霸好方法
三角函数模型的应用策略(1)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题.(2)研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.
三角函数模型的应用
【典例】(2020·滁州模拟)某地农业监测部门统计发现:该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况:
月份x
1
2
3
4
收购价格y(元/斤)
6
7
6
5
选用一个三角函数模型来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为 .
世纪金榜导学号
【解析】设y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0),
由题意得A=1,B=6,T=4,因为T=,所以ω=,所以y=sin+6.
因为当x=1时,y=6,所以sin=0,
故+φ=2kπ,k∈Z,可取φ=-,
所以y=sin+6=-cosx+6.
答案:y=-cosx+6(答案不唯一)
方程根(函数零点)问题
【典例】已知函数f(x)=2sinωxcosωx+2sin2ωx-(ω>0)的最小正周期为π.
世纪金榜导学号
(1)求函数f(x)的单调递增区间.
(2)将函数f(x)的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图像,若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10个零点,求b的最小值.
【解析】(1)f(x)=2sinωxcosωx+(2sin2ωx-1)
=sin2ωx-cos2ωx=2sin.
由最小正周期为π,得ω=1,所以f(x)=2sin,由2kπ-≤2x-
≤2kπ+(k∈Z),
整理得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)将函数f(x)的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到y=2sin2x+1的图像;
所以g(x)=2sin2x+1.
令g(x)=0,得x=kπ+或x=kπ+(k∈Z),
所以在[0,π]上恰好有两个零点,若y=g(x)在[0,b]上有10个零点,则b不小于第10个零点的横坐标即可.所以b的最小值为4π+=.
方程的根与函数图像的交点有何关系?
提示:方程根的个数可转化为两个函数图像的交点个数.
综合应用问题
【典例】(2019·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=sin(ω>0),已知f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点,下述四个结论:世纪金榜导学号
①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点
②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点
③f(x)在上单调递增
④ω的取值范围是.
其中所有正确结论的编号是
( )
A.①④
B.②③
C.①②③
D.①③④
【解析】选D.
①若f(x)在[0,2π]上有5个零点,可画出大致图像,
由图1可知,f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点,所以①正确.
②由图1、图2可知,f(x)在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点,故②错误.
③函数f(x)=sin的增区间为
-+2kπ<ωx+<+2kπ(k∈Z),
取k=0,
当ω=时,单调递增区间为-π当ω=时,单调递增区间为-π综上可得f(x)在上单调递增.故③正确.
④当f(x)=sin=0时,ωx+=kπ(k∈Z),
所以x=,
因为f(x)在[0,2π]上有5个零点.
所以当k=5时,x=≤2π,
当k=6时,x=>2π,
解得≤ω<,故④正确.
所以结论正确的编号有①③④.
本题考查哪些知识?
提示:三角函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质,制图用图能力,数形结合思想,数学运算的核心素养.
1.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acos(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28℃,12月份的月平均气温最低为18℃,则10月份的平均气温为 ℃.
【解析】因为当x=6时,y=a+A=28;
当x=12时,y=a-A=18,所以a=23,A=5,
所以y=f(x)=23+5cos,
所以当x=10时,f(10)=23+5cos
=23-5×=20.5(℃).
答案:20.5
2.(2020·临沂模拟)函数f(x)=sin的图像上相邻的两个最高点之间的距离为 .
【解析】由题意知,函数f(x)的图像上相邻的两个最高点之间的距离为函数f(x)的一个最小正周期,函数f(x)的最小正周期为=π.
答案:π
3.已知关于x的方程2sin2x-sin2x+m-1=0在上有两个不同的实数根,则m的取值范围是 .
【解析】方程2sin2x-sin2x+m-1=0可转化为m=1-2sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=2sin,x∈.设2x+=t,则t∈,所以题目条件可转化为=sint,t∈有两个不同的实数根.所以y1=和y2=sint,t∈的图像有两个不同交点,如图:
由图像知,的取值范围是,所以m的取值范围是(-2,-1).
答案:(-2,-1)
1.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图像如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2022)的值等于( )
A.
B.2+2
C.+2
D.-2
【解析】选A.由图像知A=2,φ=0,T=8,
所以=8,即ω=,所以f(x)=2sinx.
因为周期为8,且f(1)+f(2)+…+f(8)=0,
所以f(1)+f(2)+…+f(2022)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=2sin+2sin+2sin+2sinπ+2sin+2sin=.
2.(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论:
①f(x)是偶函数
②f(x)在区间单调递增
③f(x)在[-π,π]有4个零点
④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
( )
A.①②④
B.②④
C.①④
D.①③
【解析】选C.因为f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=f(x),所以f(x)为偶函数,故①正确.当)时,f(x)=2sinx;当x∈[2kπ+π,2kπ+2π](k∈N
)时,f(x)=sinx-sinx=0,又f(x)为偶函数,所以f(x)的最大值为2,故④正确.综上所述,①④正确.
PAGE
-
14
-正弦定理和余弦定理
核心考点·精准研析
考点一 正弦定理?
1.(2020·铜川模拟)在△ABC中,AB=
,A=75°,B=45°,则AC= .?
2.已知锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,则
的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
3.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin
A+acos
B=0,则B= .?
【解析】1.C=180°-75°-45°=60°,
由正弦定理得
=
,即
=
,
解得AC=2.
答案:2
2.选D.因为B=2A,
所以sin
B=sin
2A=2sin
Acos
A,
由正弦定理得b=2acos
A,
所以
=
,所以
=
=
tan
A.
因为△ABC是锐角三角形,
所以
解得
,
所以
A<1,所以
<
tan
A<
.
即
的取值范围是
.
3.已知bsin
A+acos
B=0,由正弦定理可得sin
Bsin
A+sin
Acos
B=0,即
sin
B=-cos
B,
又因为sin2B+cos2B=1,解得sin
B=
,cos
B=-
,故B=
.
答案:
解三角形的策略
(1)将已知条件统一化为边的关系,或角的关系.一般来说,求边化边,求角化角.
(2)已知代数式两边,边的次数相同时,可用正弦定理,将边换为角的正弦.
1.(2020·武汉模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=1,b=
,A=30°,若B为锐角,则A∶B∶C=
( )
A.1∶1∶3
B.1∶2∶3
C.1∶3∶2
D.1∶4∶1
【解析】选B.因为a=1,b=
,A=30°,B为锐角,所以由正弦定理得sin
B=
=
,则B=60°,所以C=90°,则A∶B∶C=1∶2∶3.
2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2ccos
A,
sin
A=1,则
sin
C的值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为
sin
A=1,即sin
A=
,又a=2ccos
A,cos
A=
>0,所以cos
A=
.由条件及正弦定理得sin
A=2sin
Ccos
A,即
=2×
sin
C,所以sin
C=
.
考点二 余弦定理?
【典例】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a-c=
b,sin
B=
sin
C.
世纪金榜导学号
(1)求cos
A的值.
(2)求cos
的值.
【解题导思】
序号
联想解题
(1)看到“sin
B=
sin
C”,想到运用正弦定理,转化为b=
c,又由“a-c=
b”运用余弦定理求得cos
A.(2)看到“cos
”想到公式cos(A-B)=cos
Acos
B+sin
Asin
B.利用(1)得出的cos
A的值及倍角公式求出cos2A和sin2A,代入公式方可求出cos
的值
【解析】(1)在△ABC中,由
=
及sin
B=
sin
C,
可得b=
c,又由a-c=
b,得a=2c,
所以cos
A=
=
=
.
(2)在△ABC中,由cos
A=
,可得sin
A=
.
于是,cos
2A=2cos2A-1=-
,sin
2A=2sin
A·cos
A=
.所以cos
=cos
2A
cos
+sin
2Asin
=
×
+
×
=
.
用正、余弦定理求解三角形基本量的方法
第一步:选定理.两角两边用正弦定理,三边一角用余弦定理.
第二步:求解.将已知代入定理求解.
1.(2019·长沙模拟)已知在△ABC中,D是AC边上的点,且AB=AD,BD=
AD,BC=2AD,则sin
C的值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.设AB=AD=2a,则BD=
a,则BC=4a,所以cos∠ADB=
=
=
,所以cos∠BDC=
=-
,整理得CD2+3aCD-10a2=0,解得CD=2a或者CD=-5a(舍去).所以cos
C=
=
=
,而C∈
,所以sin
C=
.
2.(2020·晋城模拟)如图,在锐角三角形ABC中,sin∠BAC=
,sin∠ABC=
,
BC=6,点D在边BC上,且BD=2DC,点E在边AC上,且BE⊥AC,BE交AD于点F.
(1)求AC的长.
(2)求cos∠DAC及AF的长.
【解析】(1)在锐角三角形ABC中,sin∠BAC=
,sin∠ABC=
,BC=6,由正弦定理得
=
,所以AC=
=
=5.
(2)由sin∠BAC=
,sin∠ABC=
,得
cos∠BAC=
,cos∠ABC=
,
所以cos
C=-cos
(∠BAC+∠ABC)
=-cos∠BACcos
∠ABC+sin∠BACsin∠ABC
=-
×
+
×
=
.
因为BE⊥AC,
所以CE=BCcos
C=6×
=
,AE=AC-CE=
.
在△ACD中,AC=5,CD=
BC=2,cos
C=
,
由余弦定理得AD=
=
=
,
所以cos∠DAC=
=
=
.由BE⊥AC,得AFcos∠DAC=AE,
所以AF=
=
.
考点三
正、余弦定理的综合应用?
命题精解读
1.考什么:判断三角形形状、个数、面积问题,最值、范围问题;2.怎么考:考查解三角形问题常与平面几何交汇,题目中经常出现有关的几何元素如高、角平分线、线段的垂直平分线、三角形内切圆等;与平面向量交汇考查,解三角形还常与不等式,三角函数的性质交汇命题.
学霸好方法
1.判断三角形形状的两种思路(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=π这个结论.2.在三角形中求边、角的方法(1)若求角,寻求得到这个角的一个函数的方程,结合角的范围求解.(2)若求边,寻求与该边(或两边)有关联的角,利用三角形面积公式列方程求解.
判断三角形个数、形状
【典例】1.在△ABC中,已知a=2,b=
,A=45°,则满足条件的三角形有
( )
A.1个
B.2个
C.0个
D.无法确定
2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若
=
,则△ABC的形状是
( )
世纪金榜导学号
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
【解析】1.选B.因为bsin
A=
×
=
,所以bsin
A所以满足条件的三角形有2个.
【一题多解】选B.作∠A=45°,则点B,C分别在∠A的两条边上.因为AC=b=
,所以点C固定.过C作AB的垂线,垂足为D,易知CD=h=
,又因为a=2,即
,所以B有两个位置符合题意.所以满足条件的三角形有2个.
2.选D.由已知
=
=
=
,所以
=
或
=0,即C=90°或
=
.由正弦定理,得
=
,所以
=
,
即sin
Ccos
C=sin
Bcos
B,即sin
2C=sin
2B,因为B,C均为△ABC的内角,所以2C=2B或2C+2B=180°,所以B=C或B+C=90°,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
1.三角形解的个数如何判断?
提示:(1)已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理,也可用余弦定理.用正弦定理时,需判断其解的个数,用余弦定理时,可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.
(3)数形结合,作图,与相应的直角三角形比较.
2.三角形形状如何判定?
提示:(1)角化边:利用正弦定理、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断.
(2)边化角:通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.
面积问题
【典例】1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=
,则△ABC的面积为 .?
【解析】因为cos
B=
,
又因为b=6,a=2c,B=
,可得c2=12,
解得c=2
,a=4
,
则△ABC的面积S=
×4
×2
×
=6
.
答案:6
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c且
acos
C=(2b-
c)cos
A.世纪金榜导学号
(1)求角A的大小.
(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.
【解析】(1)由正弦定理可得:
sin
Acos
C=2sin
Bcos
A-
sin
Ccos
A,
从而可得:
sin(A+C)=2sin
Bcos
A,
即
sin
B=2sin
Bcos
A,
又B为三角形的内角,所以sin
B≠0,
于是cos
A=
,
又A为三角形的内角,所以A=
.
(2)由余弦定理:a2=b2+c2-2bccos
A得
4=b2+c2-2bc·
≥2bc-
bc,当且仅当b=c时取等号,
所以bc≤4(2+
),所以S=
bcsin
A≤2+
.
所以△ABC面积的最大值为2+
.
解三角形与三角恒等变换交汇问题
【典例】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin
B+sin
A(sin
C-
cos
C)=0,a=2,c=
,则C=
世纪金榜导学号( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由题意得sin(A+C)+sin
A(sin
C-cos
C)=0,
sin
Acos
C+cos
Asin
C+sin
Asin
C-sin
Acos
C=0,
即sin
C(sin
A+cos
A)=
sin
Csin
=0,所以A=
.
由正弦定理
=
得
=
,即sin
C=
,得C=
.
三角形与三角恒等变换交汇问题如何求解?
提示:
1.(2020·芜湖模拟)
在△ABC中,cos
B=
(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为
( )
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
【解析】选A.因为cos
B=
,由余弦定理得
=
,整理得b2+a2=c2,即C为直角,则△ABC为直角三角形.
2.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin
Bsin
C,则A的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由正弦定理及sin2A≤sin2B+sin2C-sin
Bsin
C得a2≤b2+c2-bc,即b2+c2-a2≥bc,由余弦定理得cos
A=
≥
=
,又0.所以A的取值范围是
.
3.(2020·西安模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=2B.
(1)求证:a=2bcos
B.
(2)若b=2,c=4,求B的值.
【解析】(1)因为A=2B,
所以由正弦定理
=
,得
=
,
所以a=2bcos
B.
(2)因为b=2,c=4,A=2B,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos
A,
得16cos2B=4+16-16cos
2B,所以cos2B=
,
因为A+B=2B+B<π,所以B<
,
所以cos
B=
,所以B=
.
1.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin
C-cos
C=1-cos
,
若△ABC的面积S=
(a+b)sin
C=
,则△ABC的周长为
( )
A.2
+5
B.
+5
C.2
+3
D.
+3
【解析】选D.由sin
C-cos
C=1-cos
?2sin
cos
-
=
1-cos
?cos
2cos
-2sin
-1
=0,因为cos
≠0,所以sin
-cos
=-
,两边平方得sin
C=
,由sin
-cos
=-
得sin
,所以0<
<
,即0,由sin
C=
得cos
C=
.又S=
absin
C=
(a+b)sin
C=
,所以a+b=ab=4,所以a=b=2,再根据余弦定理得c2=a2+b2-
2abcos
C=8-2
,解得c=
-1,所以△ABC的周长为
+3.
2.如图,在平面四边形ABCD中,AB=1,BC=
,AC⊥CD,CD=
AC,当∠ABC变化时,对角线BD的最大值为 .?
【解析】设∠ABC=α,∠ACB=β,
在△ABC中,由余弦定理得AC2=4-2
cos
α.
由正弦定理得
=
,所以sin
β=
.
又CD=
AC,在△BCD中,由余弦定理得
BD2=3+3(4-2
cos
α)-2
×
×
×cos
,
即BD2=15-6
cos
α+6sin
α=15+12sin
.当α=
时,BD取得最大值3
.
答案:3
PAGE
-
12
-正弦定理、余弦定理的应用举例
核心考点·精准研析
考点一 测量距离问题
1.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC=
( )
A.240(-1)m
B.180(-1)m
C.120(-1)m
D.30(+1)m
2.一船以每小时15km的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60°,行驶4小时后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离
为
( )
A.60km
B.60km
C.30km
D.30km
3.(2019·衡阳模拟)如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B与∠D互补,则AC的长为
( )
A.7km
B.8km
C.9km
D.6km
4.如图,海中有一小岛C,一小船从A地出发由西向东航行,望见小岛C在北偏东60°,航行8海里到达B处,望见小岛C在北偏东15°,若此小船不改变航行的方向继续前行2(-1)海里,则离小岛C的距离为
世纪金榜导学号( )
A.8(+2)海里
B.2(-1)海里
C.2(+1)海里
D.4(+1)海里
【解析】1.选C.记气球在地面的投影为D,在Rt△ABD中,cos15°=,又cos15°=cos(60°-45°)=,所以AB=.在△ABC中,由正弦定理得=,所以BC==AB=120(-1)(m).
2.选A.画出图形如图所示,在△ABC中,∠BAC=30°,AC=4×15=60,
∠B=45°,由正弦定理得=,
所以BC===60,
所以船与灯塔的距离为60km.
3.选A.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,即AC2=25+64-2×5×8cosB=89-80cosB.在△ADC中,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD·DCcosD,即AC2=25+9-2×5×3cosD=34-30cosD.因为∠B与∠D互补,所以cosB=-cosD,所以-=,解得AC=7(km).
4.选C.BC===4,
所以离小岛C的距离为
=
=2(+1)海里.
距离问题的常见类型及解法
1.类型:测量距离问题常分为三种类型:山两侧、河两岸、河对岸.
2.解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将实际问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.
【秒杀绝招】
直角三角形解T1,记气球在地面的投影为D,在Rt△ACD中,tan60°=,所以CD=60,在Rt△ABD中,因为tan15°=,tan15°=tan(60°-45°)
==2-,所以BD=120-60,所以BC=CD-BD=120(-1)(m).
考点二 测量高度问题
【典例】1.一架直升飞机在200m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°,则塔高为
( )
A.m
B.m
C.m
D.m
2.如图,在水平地面上有两座直立的相距60m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍,从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角.则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为 ;塔BB1的高为 m.
世纪金榜导学号
【解题导思】
序号
联想解题
1
由“测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°”,想到作图,建立数学模型
2
由“60m”“从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍”“从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角”,想到△A1AC∽△CBB1
【解析】1.选A.如图所示.
在Rt△ACD中,CD==BE,
在△ABE中,由正弦定理得=,所以AB=,DE=BC=200-=(m).
2.设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α,则AA1=60tanαm,BB1=60tan2αm.因为从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角,所以△A1AC∽
△CBB1,所以=,所以AA1·BB1=900,所以3600tanαtan2α=900,所以tanα=(负值舍去),所以tan2α=,BB1=60tan2α=45m.
答案: 45
求解高度问题的关注点
1.在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键.
2.注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.
1.(2019·宜春模拟)某工厂实施煤改电工程防治雾霾,欲拆除高为AB的烟囱,
测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C,D,测得∠BCD=75°,
∠BDC=60°,CD=40米,并在点C处的正上方E处观测顶部A的仰角为30°,且CE=1米,则烟囱高AB= 米.
【解析】∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=45°,
在△CBD中,由正弦定理得BC==20,
所以AB=1+tan30°·CB=1+20(米).
答案:(1+20)
2.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.
【解析】在△ABC中,∠CAB=30°,∠ACB=75°-30°=45°,根据正弦定理知,=,即BC=×sin∠BAC=×=300(m),
所以CD=BC×tan∠DBC=300×=100(m).
答案:100
考点三 测量角度问题
命题精解读
1.考什么:航行方向问题,航行时间、速度问题等等.2.怎么考:考查运用正弦定理、余弦定理解决航向,时间,速度等实际问题.3.新趋势:运用正弦定理、余弦定理解决实际问题.
学霸好方法
1.不要搞错各种角的含义,不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.2.在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时可以画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样将空间几何问题转化为平面几何问题,处理起来既清楚又不容易出现错误.
方向问题
【典例】如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的
世纪金榜导学号( )
A.北偏东10°
B.北偏西10°
C.南偏东80°
D.南偏西80°
【解析】选D.由条件及题干图知,∠CAB=∠CBA=40°,
又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,
所以∠DBA=10°,
因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.
解决测量角度问题时有哪些注意事项?
提示:1.测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义.
2.求角的大小时,先在三角形中求出其正弦或余弦值.
3.在解应用题时,要由已知正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理使用的优点.
时间、速度问题
【典例】如图,据气象部门预报,在距离某码头南偏东45°方向600kmA处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动,距风暴中心450km以内的地区都将受到影响,则该码头将受到热带风暴影响的时间为
世纪金榜导学号( )
A.14h
B.15h
C.16h
D.17h
【解析】选B.记现在热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴中心到达点B位置,在△OAB中,OA=600km,AB=20tkm,∠OAB=45°,由余弦定理得OB2=6002+400t2-2×20t×600×,令OB2≤4502,即4t2-120t+1575≤0,解得≤t≤,所以该码头将受到热带风暴影响的时间为-=15(h).
如何求解码头将受到热带风暴影响的时间?
提示:已知热带风暴速度,所以将时间问题转化为路程问题,即求出码头受到热带风暴影响时的风暴路线长度.运用解三角形知识求解即可.
1.如图所示,已知两座花坛A和B与教学楼C的距离相等,花坛A在教学楼C的北偏东40°的方向上,花坛B在教学楼C的南偏东60°的方向上,则花坛A在花坛B的 的方向上.
【解析】由已知,∠ABC=(180°-80°)=50°,所以花坛A在花坛B的北偏西10°的方向上.
答案:北偏西10°
2.在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水中漂行,此时,风向是北偏东30°,风速是20km/h;水的流向是正东,流速是20km/h,若不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东 ,大小为 km/h.
【解析】如图∠AOB=60°,由余弦定理知OC2=202+202-800cos120°=1200,故OC=20,∠COY=30°+30°=60°.
答案:60° 20
1.如图,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
【解析】选B.由已知,AD=20m,AC=30m,
又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理得
cos∠CAD=
===,
又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
2.如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处(-1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.
【解析】设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点)走私船,则CD=10t海里,BD=10t海里,在△ABC中,由余弦定理得,
BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=(-1)2+22-2(-1)×2×cos120°=6,解得BC=,
又因为=,
所以sin∠ABC===,
所以∠ABC=45°,B点在C点的正东方向上,
所以∠CBD=90°+30°=120°,
在△BCD中,由正弦定理,得
=,
所以sin∠BCD===.
所以∠BCD=30°,缉私船沿北偏东60°的方向行驶.
又在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°,
所以∠D=30°,所以BD=BC,即10t=,
解得t=(小时)≈15(分钟).
所以缉私船应沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15分钟.
PAGE
-
10
-