直线的倾斜角与斜率、直线的方程
核心考点·精准研析
考点一 直线的倾斜角与斜率?
1.直线x+y+1=0的倾斜角是
( )
A. B. C. D.
2.(2020·石家庄模拟)直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是
( )
A.
B.
C.∪
D.∪
3.如图所示,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则
( )
A.k1
B.k3C.k1D.k34.若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为________.?
【解析】1.选D.由直线的方程得直线的斜率为k=-,设倾斜角为α,则tan
α=-,又0≤α<π,所以α=.
2.选B.由直线方程可得该直线的斜率为-,又-1≤-<0,所以倾斜角的取值范围是.
3.选C.由图可知k1<0,k2>k3>0,所以k2>k3>k1,故选C.
4.因为kAC==1,kAB==a-3.
由于A,B,C三点共线,所以a-3=1,即a=4.
答案:4
1.倾斜角α与斜率k的关系:
(1)当α∈时,k∈[0,+∞),且倾斜角越大,斜率越大.
(2)当α=时,斜率k不存在.
(3)当α∈时,k∈(-∞,0),且倾斜角越大,斜率越大.
2.斜率的两种求法:
(1)定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tan
α求斜率.
(2)公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=(x1≠x2)求斜率.
【秒杀绝招】
第2题可以用检验答案的方法求解,假设倾斜角α=,则斜率k=-=1不成立,故A、C、D都不对,所以选B.
考点二 求直线的方程?
【典例】1.求过点A(1,3),倾斜角是直线y=-x的倾斜角的的直线方程.
2.经过圆C:(x+5)2+(y-2)2=1的圆心,且在x轴上截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程.
3.求过A(2,1),B(m,3)两点的直线l的方程.
世纪金榜导学号
【解题导思】
序号
联想解题
1
看到点与斜率想到直线方程的点斜式
2
看到截距想到直线方程的截距式
3
看到字母想到对斜率是否存在的讨论
【解析】1.因为y=-x的斜率为k=-,其倾斜角为120°,所以所求直线的倾斜角为60°,其斜率为,
所以直线方程为y-3=(x-1),
即直线方程为x-y+3-=0.
2.因为圆C的圆心为(-5,2),
当直线不过原点时,设所求直线方程为+=1,将(-5,2)代入所设方程,解得a=-,
所以直线方程为x+2y+1=0;
当直线过原点时,设直线方程为y=kx,
则-5k=2,解得k=-,
所以直线方程为y=-x,即2x+5y=0.
故所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0.
3.①当m=2时,直线l的方程为x=2;
②当m≠2时,直线l的方程为=,
即2x-(m-2)y+m-6=0.
因为m=2时,代入方程2x-(m-2)y+m-6=0,即为x=2,
所以直线l的方程为2x-(m-2)y+m-6=0.
1.在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.
2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用:若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应判断截距是否为零.
3.截距是数,不是距离.它是直线与坐标轴交点的坐标,在x轴上的截距是直线与x轴交点的横坐标,在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标.截距可正、可负、可为0,因此在解与截距有关的问题时,一定要注意“截距为0”的情况,以防漏解.
(2020·邯郸模拟)经过点(2,1),且倾斜角比直线y=-x-1的倾斜角小的直线方程是
( )
A.x=2
B.y=1
C.x=1
D.y=2
【解析】选A.因为直线y=-x-1的斜率为-1,则倾斜角为.由已知,所求直线的倾斜角为-=,斜率不存在,所以过点(2,1)的直线方程为x=2.
考点三 直线方程的综合应用?
命题精解读
1.考什么:(1)与直线方程有关的最值问题.(2)数形结合思想.(3)基本不等式.(4)函数的单调性.2.怎么考:以选择题或填空题形式出现3.新趋势:数学建模核心素养的应用
学霸好方法
1.求解与直线方程有关的最值问题基本不等式或函数法求最值.2.含有参数的直线方程可看作直线系方程,分离参数法求出定点.3.交汇问题:
(1)三角形和四边形的面积.(2)基本不等式.(3)函数的单调性.
与不等式相结合的最值问题
【典例】当k>0时,两直线kx-y=0,2x+ky-2=0与x轴围成的三角形面积的最大值为________.?
【解析】直线2x+ky-2=0与x轴交于点(1,0).由解得y=,
所以两直线kx-y=0,2x+ky-2=0与x轴围成的三角形的面积为×1×=,
又k+≥2=2,
当且仅当k=时取等号,
故三角形面积的最大值为.
答案:
如何用直线方程求出三角形的边长?
提示:根据直线方程求出交点坐标进而求得三角形的边长.
与函数结合的最值问题
【典例】已知直线x+2y=2分别与x轴、y轴相交于A,B两点,若动点P(a,b)在线段AB上,则ab的最大值为________.
世纪金榜导学号?
【解析】由题得A(2,0),B(0,1),由动点P(a,b)在线段AB上,可知0≤b≤1,且a+2b=2,从而a=2-2b,故ab=(2-2b)b=-2b2+2b=-2+.由于0≤b≤1,故当b=时,ab取得最大值.
答案:
如何找到a,b的关系进行消元?
提示:P(a,b)在直线x+2y=2上,将a,b代入直线方程,得到a与b的关系.
由直线方程求参数的范围
【典例】已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0【解析】由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1的纵截距为2-a,直线l2的横截距为a2+2,所以四边形的面积S=×2(2-a)+×2(a2+2)=a2-a+4=+.又0答案:
四边形的面积如何转化成三角形的面积?
提示:设题中l1与y轴交点为A(0,2-a),l2与x轴交点为B(a2+2,0),则四边形OAPB的面积为三角形OAP和三角形OBP的面积之和.
1.已知点P(x,y)在直线x+y-4=0上,则x2+y2的最小值是
( )
A.8
B.2
C.
D.16
【解析】选A.因为点P(x,y)在直线x+y-4=0上,
所以y=4-x,
所以x2+y2=x2+(4-x)2=2(x-2)2+8,
当x=2时,x2+y2取得最小值8.
2.过点P(2,1)作直线l,与x轴和y轴的正半轴分别交于A,B两点,求:
(1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程.
(2)
求|PA|·|PB|的最小值及此时直线l的方程.
【解析】(1)设所求直线l的方程为+=1(a>0,b>0),则+=1.又因为+≥2?ab≥4,当且仅当==,即a=4,b=2时,△AOB面积S=ab有最小值为4.此时,直线l的方程是+=1,
即x+2y-4=0.
(2)由题意知直线l的斜率存在,设为k(k<0),则直线l的方程为y-1=k(x-2),即y=kx+(1-2k),
则A,B(0,1-2k).
所以|PA|·|PB|
=·
=·2=2
=2≥2=4.
当且仅当=k2,即k=-1时,等号成立,
所以|PA|·|PB|的最小值为4,此时直线l的方程为x+y-3=0.
已知直线l过点M(1,1),且与x轴,y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点.求:
(1)当|OA|+|OB|取得最小值时,直线l的方程.
(2)当|MA|2+|MB|2取得最小值时,直线l的方程.
【解析】(1)设直线l的方程为+=1,则+=1,
所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当“a=b=2”时取等号,此时直线l的方程为x+y-2=0.
(2)设直线l的斜率为k,则k<0,
直线l的方程为y-1=k(x-1),则A,
B(0,1-k),所以|MA|2+|MB|2=+12+12+(1-1+k)2=2+k2+≥2+2=4.
当且仅当k2=,即k=-1时取等号,此时直线l的方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
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8
-直线的交点坐标与距离公式
核心考点·精准研析
考点一 两直线的位置关系?
1.直线l1:mx-2y+1=0,l2:x-(m-1)y-1=0,则“m=2”是“l1∥l2”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2020·济南模拟)“m=3”是“直线l1:2(m+1)x+(m-3)y+7-5m=0与直线l2:(m-3)x+2y-5=0垂直”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.
已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,则当l1∥l2时,a的值为________.?
4.已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+ay+a2-1=0,则当l1⊥l2时,
a的值为________.?
【解析】1.选C.由l1∥l2得-m(m-1)=1×(-2),得m=2或m=-1,经验证,当m=-1时,直线l1与l2重合,舍去,所以“m=2”是“l1∥l2”的充要条件.
2.选A.由l1⊥l2得
2(m+1)(m-3)+2(m-3)=0,解得m=3或m=-2.
3.方法一:当a=1时,l1:x+2y+6=0,
l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;
当a≠1且a≠0时,两直线方程可化为l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1),由l1∥l2可得
解得a=-1.
综上可知,a=-1.
方法二:由l1∥l2知
即??a=-1.
答案:-1
4.方法一:当a=0时,l1:2y+6=0,l2:x=1,l1与l2垂直,故a=0符合;
当a≠0时,l1:y=-x-3,
l2:y=-x-,
由l1⊥l2,得·=≠-1,
所以此时不成立.
方法二:因为l1⊥l2,所以A1A2+B1B2=0,
即a+2a=0,得a=0.
答案:0
1.解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
2.在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
考点二 两条直线的相交、距离问题?
【典例】1.(2020·北京模拟)已知点M(0,-1),点N在直线x-y+1=0上,若直线MN垂直于直线x+2y-3=0,
则点N的坐标是
( )
A.(-2,-1)
B.(2,3)
C.(2,1)
D.(-2,1)
2.已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是________.?
3.若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为,则c的值是________.
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【解题导思】
序号
联想解题
1
由N为直线MN和直线x-y+1=0的交点,想到联立两直线方程求交点.
2
由点P到直线4x-3y-1=0的距离想到点到直线的距离公式解题.
3
由题意联想到两平行线间距离公式.
【解析】1.选B.因为点N在直线x-y+1=0上,
所以可设点N坐标为(x0,x0+1).
根据经过两点的直线的斜率公式,得kMN==.
因为直线MN垂直于直线x+2y-3=0,直线x+2y-3=0的斜率k=-,
所以kMN×=-1,即=2,解得x0=2.因此点N的坐标是(2,3).
2.由题意得,点P到直线4x-3y-1=0的距离为=.
又≤3,即|15-3a|≤15,解之得0≤a≤10,所以a的取值范围是[0,10].
答案:[0,10]
3.依题意知,=≠,解得a=-4,c≠-2,即直线6x+ay+c=0可化为3x-2y+=0,又两平行线之间的距离为,所以=,解得c=2或-6.
答案:2或-6
1.求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.
2.处理距离问题的两大策略
(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.
(2)动点到两定点距离相等,一般不直接利用两点间距离公式处理,而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上,从而简化计算.
3.利用距离公式应注意:(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;
(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数分别化为相等.
1.求经过两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交点,且与直线2x-y-1=0垂直的直线方程为________.?
2.直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,则直线l的方程为________.?
【解析】1.由得
所以l1与l2的交点坐标为(1,3).
设与直线2x-y-1=0垂直的直线方程为x+2y+c=0,则1+2×3+c=0,所以c=-7.
所以所求直线方程为x+2y-7=0.
答案:x+2y-7=0
2.方法一:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.
由题意知=,
即|3k-1|=|-3k-3|,所以k=-,
所以直线l的方程为y-2=-(x+1),
即x+3y-5=0.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,也符合题意.
方法二:当AB∥l时,有k=kAB=-,
直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.
当l过AB中点时,AB的中点为(-1,4),
所以直线l的方程为x=-1.
故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.
答案:x+3y-5=0或x=-1
考点三 对称问题?
命题精解读
1.考什么:(1)两直线的垂直关系;(2)中点坐标公式.2.怎么考:1.直接求对称点或直线;2.求解折线最短问题;3.求三角形的角平分线的方程.3.新趋势:1.折线最短问题;2.以点的对称为载体与圆、不等式等结合.
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两种对称问题的处理方法(1)点关于直线的对称:若两点P1
(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则线段P1P2的中点在l上,而且连接P1P2的直线垂直于l,列出方程组,可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B≠0,x1≠x2).(2)直线关于直线的对称:此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.
点关于点的对称
【典例】过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为________.?
【解析】设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0.
答案:x+4y-4=0
点P与直线l与直线l1,l2的交点有何关系?
提示:点P是直线l与直线l1,l2的交点所连接线段的中点.
点关于直线的对称
【典例】(2020·淮安模拟)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为________.
世纪金榜导学号?
【解析】设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M′(a,b),则反射光线所在直线过点M′,
所以
解得a=1,b=0.
又反射光线经过点N(2,6).
所求直线的方程为=,即6x-y-6=0.
答案:6x-y-6=0
点M和它的对称点M′的连线段MM′与直线l有什么关系?
提示:垂直
直线关于直线对称
【典例】(2019·郑州模拟)直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是
世纪金榜导学号( )
A.x-2y+3=0
B.x-2y-3=0
C.x+2y+1=0
D.x+2y-1=0
【解析】选A.设所求直线上任意一点P(x,y),则P关于x-y+2=0的对称点为P′(x0,y0),
因为PP′的中点在直线x-y+2=0上,
又因为kPP′×1=-1,
所以由 得
由点P′(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,
所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.
是否可以在直线2x-y+3=0上取一个特殊点求解?
提示:可以取直线2x-y+3=0上两点并求出其关于直线x-y+2=0的对称点,根据两对称点求直线方程.
1.(2020·岳阳模拟)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是
( )
A.x+2y-1=0
B.2x+y-1=0
C.2x+y-3=0
D.x+2y-3=0
【解析】选D.方法一:设所求直线上任一点为(x,y),则它关于x=1的对称点(2-x,y)在直线x-2y+1=0上,所以2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0.
方法二:根据直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D,再根据两直线交点在直线x=1上知选D.
2.从点(2,3)射出的光线沿与向量a=(8,4)平行的直线射到y轴上,则反射光线所在的直线方程为
( )
A.x+2y-4=0
B.2x+y-1=0
C.x+6y-16=0
D.6x+y-8=0
【解析】选A.由直线与向量a=(8,4)平行知,过点(2,3)的直线的斜率k=,所以直线的方程为y-3=(x-2),其与y轴的交点坐标为(0,2),又点(2,3)关于y轴的对称点为(-2,3),所以反射光线过点(-2,3)与(0,2),由两点式知A正确.
1.已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4).在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|最小.
【解析】设A关于直线l的对称点为A′(m,n),
则解得
故A′(-2,8).P为直线l上的一点,
则|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|,
当且仅当B,P,A′三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值,为|A′B|,点P即是直线
A′B与直线l的交点,解方程组得
故所求的点P的坐标为(-2,3).
2.已知直线l:3x-y+3=0,求:
(1)点P(4,5)关于l的对称点.
(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.
(3)直线l关于(1,2)的对称直线.
【解析】(1)设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P′(x′,y′),因为
kPP′·kl=-1,即×3=-1.①
又PP′的中点在直线3x-y+3=0上,
所以3×-+3=0.②由①②得
把x=4,y=5代入③④得x′=-2,y′=7,
所以点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(-2,7).
(2)用(1)中的③④分别代换x-y-2=0中的x,y,
得关于l对称的直线方程为--2=0,化简得7x+y+22=0.
(3)在直线l:3x-y+3=0上取点M(0,3),
关于(1,2)的对称点M′(x′,y′),
所以=1,x′=2,=2,y′=1,
所以M′(2,1).l关于(1,2)的对称直线平行于l,
所以k=3,所以对称直线方程为y-1=3×(x-2),
即3x-y-5=0.
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-
9
-圆的方程
核心考点·精准研析
考点一
求圆的方程?
1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是
( )
A.(x-1)2+(y-1)2=1
B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.(x+1)2+(y+1)2=2
D.(x-1)2+(y-1)2=2
2.已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为
( )
A.
B.
C.
D.
3.若圆C的半径为1,圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,则圆C的标准方程为
( )
A.x2+y2=1
B.(x-3)2+y2=1
C.(x-1)2+y2=1
D.x2+(y-3)2=1
4.圆(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是
( )
A.(x-)2+(y-1)2=4
B.(x-)2+(y-)2=4
C.x2+(y-2)2=4
D.(x-1)2+(y-)2=4
5.已知圆C经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6,则圆C的方程为________.
世纪金榜导学号?
【解析】1.选D.由题意可得圆的半径为r=,则圆的标准方程为(x-1)2+
(y-1)2=2.
2.选B.圆心在直线BC的垂直平分线,即x=1上,设圆心D(1,b),由|DA|=|DB|得|b|=,解得b=,所以圆心到原点的距离为
d==.
3.选A.因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,所以由中点坐标公式可得C(0,0),所以所求圆的标准方程为x2+y2=1.
4.选D.设圆(x-2)2+y2=4的圆心(2,0)关于直线y=x对称的点的坐标为(a,b),
则有解得a=1,b=,从而所求圆的方程为(x-1)2+(y-)2=4.
5.设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),将P,Q两点的坐标分别代入得
又令y=0,得x2+Dx+F=0. ③
设x1,x2是方程③的两根,
由|x1-x2|=6,得D2-4F=36,④
联立①②④,解得D=-2,E=-4,F=-8,或D=-6,E=-8,F=0.故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.
答案:x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0
求圆的方程的两种方法
(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:①圆心在过切点且垂直切线的直线上;②圆心在任一弦的中垂线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线;
(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解:
①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值.
②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.
【秒杀绝招】
第4题的解答可以画出直线与圆的图形,发现直线的倾斜角为30°,所以圆心M(2,0)的对称圆心M′,和原点O构成等边三角形,所以xM
′=2cos
60°=1,yM
′=2sin
60°=.
考点二 与圆有关的轨迹问题?
【典例】1.(2020·贵阳模拟)已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9,过点A(2,3)作圆C的任意弦,则这些弦的中点P的轨迹方程为________.?
2.已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:
世纪金榜导学号
(1)直角顶点C的轨迹方程.
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
【解题导思】
序号
联想解题
1
看到中点想到中点坐标公式
2
看到直角想到垂直关系,从而联想到斜率之积为-1或者向量的数量积为0
【解析】1.方法一:设P(x,y),圆心C(1,1).
因为P点是过点A的弦的中点,所以⊥.
又因为=(2-x,3-y),=(1-x,1-y).
所以(2-x)·(1-x)+(3-y)·(1-y)=0.
所以P点的轨迹方程为+(y-2)2=.
方法二:
由已知得,PA⊥PC,所以由圆的性质知点P在以AC为直径的圆上,圆心C(1,1),而AC中点为,|AC|==,所以半径为.
所求动点P的轨迹方程为+(y-2)2=.
答案:+(y-2)2=
2.(1)方法一:设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.因为AC⊥BC,所以kAC·kBC=-1,又kAC=,kBC=,所以·=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).
方法二:设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2.由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点).
所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).
(2)设M(x,y),C(x0,y0),因为B(3,0),M是线段BC的中点,由中点坐标公式得x=,y=,所以x0=2x-3,y0=2y.由(1)知,点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0),将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1.因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0).
求与圆有关的轨迹问题的方法:
(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;
(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程;
(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;
(4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.
设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.
【解析】如图所示,
设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为,线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分,
故=,=.从而
又N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4.
因此所求轨迹为圆:(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点和(点P在直线OM上时的情况).
考点三 与圆有关的最值问题?
命题精解读
1.考什么:(1)圆的几何性质;(2)基本不等式;(3)函数的单调性.2.怎么考:以选择题或填空题的形式考查3.新趋势:(1)借助几何性质求解;(2)建立函数关系求解.
学霸好方法
方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件:A=C≠0,B=0,且D2+E2-4AF>0.1.解决与圆上点(x,y)有关的最值问题:转化为与圆心有关的最值问题.2.过x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程:x0x+y0y=r2.
利用几何法求最值
【典例】1.(2020·南宁模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知(x1-2)2+=5,
x2-2y2+4=0,则(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由已知得点(x1,y1)在圆(x-2)2+y2=5上,点(x2,y2)在直线x-2y+4=0上,故(x1-x2)2+(y1-y2)2表示圆(x-2)2+y2=5上的点和直线x-2y+4=0上点的距离的平方,而距离的最小值为-=,故(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为.
2.(2020·聊城模拟)已知M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,
世纪金榜导学号
(1)求m+2n的最大值.(2)求的最大值和最小值.
【解析】(1)因为x2+y2-4x-14y+45=0的圆心C(2,7),半径r=2,
设m+2n=t,将m+2n=t看成直线方程,
因为该直线与圆有公共点,
所以圆心到直线的距离d=≤2,解上式得:16-2≤t≤16+2,
所以,所求的最大值为16+2.
(2)记点Q(-2,3).因为表示直线MQ的斜率,设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0,则=k.
由直线MQ与圆C有公共点,
所以≤2.可得2-≤k≤2+,所以的最大值为2+,最小值为2-.
用代数法求最值
【典例】1.若点P为圆x2+y2=1上的一个动点,点A(-1,0),B(1,0)为两个定点,则|PA|+|PB|的最大值为( )
A.2
B.2
C.4
D.4
【解析】选B.由已知得,线段AB为圆的直径.
所以|PA|2+|PB|2=4,
由基本不等式得
≤=2,
当且仅当|PA|=|PB|时取等号,所以|PA|+|PB|≤2.
2.已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.世纪金榜导学号
(1)求圆C的方程.
(2)设Q为圆C上的一个动点,求·的最小值.
【解析】(1)设圆心C(a,b),由已知得M(-2,-2),则
解得
则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,故圆C的方程为x2+y2=2.
(2)设Q(x,y),则x2+y2=2,
·=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)
=x2+y2+x+y-4=x+y-2.
令x=cos
θ,y=sin
θ,
所以·=x+y-2=(sin
θ+cos
θ)-2
=2sin-2,
又=-1,
所以·的最小值为-4.
1.若直线ax+by+1=0(a>0,b>0)把圆(x+4)2+(y+1)2=16分成面积相等的两部分,则+的最小值为
( )
A.10
B.8
C.5
D.4
【解析】选B.因为圆(x+4)2+(y+1)2=16的圆心坐标为(-4,-1),直线ax+by+1=0把圆分成面积相等的两部分,所以该直线过点(-4,-1),-4a-b+1=0,即4a+b=1,
+=+(4a+b)=4++≥4+2=8,当且仅当a=,b=时取“=”.
2.(2020·厦门模拟)已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP的面积的最小值为
( )
A.6
B.
C.8
D.
【解析】选B.x2+y2-2y=0可化为x2+(y-1)2=1,则圆C为以(0,1)为圆心,1为半径的圆.
如图,过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P,
连接BP,AP,这时△ABP的面积最小,直线AB的方程为+=1,即3x-4y-12=0,圆心C到直线AB的距离d=,
又|AB|==5,所以△ABP的面积的最小值为×5×=.
1.已知点P(t,t),t∈R,点M是圆x2+(y-1)2=上的动点,点N是圆(x-2)2+y2=上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是
( )
A.-1
B.2
C.3
D.
【解析】选B.易知圆x2+(y-1)2=的圆心为A(0,1),圆(x-2)2+y2=的圆心为B(2,0),P(t,t)在直线y=x上,A(0,1)关于直线y=x的对称点为A′(1,0),则
|PN|-|PM|≤-
=|PB|-|PA|+1=|PB|-|PA′|+1≤|A′B|+1=2.(此时|PN|最大,|PM|最小)
2.设点P(x,y)是圆:x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),则·的最大值为________.?
【解析】由题意,知=(2-x,-y),=(-2-x,-y),所以·=x2+y2-4,由于点P(x,y)是圆上的点,故其坐标满足方程x2+(y-3)2=1,故x2=-(y-3)2+1,所以·=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.易知2≤y≤4,所以,当y=4时,·的值最大,最大值为6×4-12=12.
答案:12
3.设点P是函数y=-图像上的任意一点,点Q坐标为(2a,a-3)(a∈R),则|PQ|的最小值为________.?
【解析】函数y=-的图像表示圆(x-1)2+y2=4在x轴及下方的部分,令点Q的坐标为(x,y),则得y=-3,即x-2y-6=0,作出图像如图所示,
由于圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d=
=>2,所以直线x-2y-6=0与圆(x-1)2+y2=4相离,因此|PQ|的最小值是-2.
答案:-2
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-
10
-直线与圆、圆与圆的位置关系
核心考点·精准研析
考点一 直线与圆的位置关系?
1.(2020·马鞍山模拟)过点(3,6)的直线被圆x2+y2=25截得的弦长为8,这条直线的方程是
( )
A.3x-4y+15=0
B.3x+4y-33=0
C.3x-4y+15=0或x=3
D.3x+4y-33=0或x=3
2.若直线x+my=2+m与圆x2+y2-2x-2y+1=0相交,则实数m的取值范围为
( )
A.(-∞,+∞)
B.(-∞,0)
C.(0,+∞)
D.(-∞,0)∪(0,+∞)
3.圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为
( )
A.相离
B.相切
C.相交
D.以上都有可能
4.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】1.选C.圆心(0,0),r=5,圆心到弦的距离为=3,若直线斜率不存在,则垂直x轴,直线为
x=3,圆心到直线距离=|0-3|=3,成立;
若斜率存在,设直线为
y-6=k(x-3),即kx-y-3k+6=0,
则圆心到直线距离=3,解得k=,
综上:x-3=0或3x-4y+15=0.
2.选D.圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,
圆心C(1,1),半径r=1.
因为直线与圆相交,所以d=0或m<0.
3.选C.直线2tx-y-2-2t=0恒过点(1,-2),因为12+(-2)2-2×1+4×(-2)=-5<0,所以点(1,-2)在圆x2+y2-2x+4y=0内,直线2tx-y-2-2t=0与圆x2+y2-2x+4y=0相交.
4.选C.如图所示,
因为圆心到直线的距离为=2,又因为圆的半径为3,所以直线与圆相交,故圆上到直线的距离为1的点有3个.
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.
上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
【秒杀绝招】
第3题中直线2tx-y-2-2t=0恒过点(1,-2),且该点在圆内,所以直线与圆相交.
考点二 圆与圆的位置关系?
【典例】1.(2020·郑州模拟)已知圆C1:(x+2a)2+y2=4和圆C2:x2+(y-b)2=1只有一条公切线,若a,b∈R且ab≠0,则+的最小值为
( )
A.2 B.4 C.8 D.9
2.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1与圆M关于x轴对称,Q为圆M上的动点,当Q到直线y=x+2的距离最小时,Q的横坐标为
( )
A.2-
B.2±
C.3-
D.3±
3.已知☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-a)2+y2=r2(a>0)相交于A、B两点,若两圆在A点处的切线互相垂直,且|AB|=4,则☉O1的方程为
世纪金榜导学号( )
A.(x-4)2+y2=20
B.(x-4)2+y2=50
C.(x-5)2+y2=20
D.(x-5)2+y2=50
【解题导思】
序号
联想解题
1
由两圆只有一条公切线联想到两圆相内切
2
由两圆关于x轴对称联想到圆心关于x轴对称
3
由两圆相交于A、B,且|AB|=4联想到相交弦的直线方程
【解析】1.选D.由题意可知,圆C1的圆心为(-2a,0),半径为2,圆C2的圆心为(0,b),半径为1,因为两圆只有一条公切线,所以两圆内切,所以=2-1,即4a2+b2=1.所以+=·(4a2+b2)
=5++≥5+2=9,当且仅当=,且4a2+b2=1,即a2=,b2=时等号成立,所以+的最小值为9.
2.选C.圆M的方程为:(x-3)2+(y+4)2=1,过M(3,-4)且与直线y=x+2垂直的直线方程为y=-x-1,代入(x-3)2+(y+4)2=1,得x=3±,故当Q到直线y=x+2的距离最小时,Q的横坐标为x=3-.
3.选C.依题意,得O(0,0),R=,O1(a,0),半径为r,两圆在A点处的切线互相垂直,则由切线的性质定理知:两切线必过两圆的圆心,如图,
|OC|==1,OA⊥O1A,OO1⊥AB,
所以由直角三角形射影定理得:
|OA|2=|OC|×|OO1|,
即 5=1×|OO1|,所以|OO1|=5,
r=|AO1|==2,
由=5,
得a=5,所以,圆O1的方程为:(x-5)2+y2=20.
1.判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.
2.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.
3.两圆公共弦长,在其中一圆中,由弦心距d,半弦长,半径r所在线段构成直角三角形,利用勾股定理求解.
4.两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心.
1.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是
( )
A.相离 B.相交 C.外切
D.内切
【解析】选B.圆O1的圆心坐标为(1,0),半径长r1=1,圆O2的圆心坐标为(0,2),半径长r2=2,所以两圆的圆心距d=,而r2-r1=1,r1+r2=3,则有r2-r12.已知两圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.
(1)求证:圆C1和圆C2相交.
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
【解析】(1)圆C1的圆心为C1(1,3),半径r1=,圆C2的圆心为C2(5,6),半径r2=4,
两圆圆心距d=|C1C2|=5,r1+r2=+4,|r1-r2|=4-,所以|r1-r2|(2)圆C1和圆C2的方程左、右两边分别相减,得4x+3y-23=0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0.圆心C2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离为=3,
故公共弦长为2=2.
考点三 直线与圆的综合问题?
命题精解读
1.考什么:(1)直线与圆的位置关系;(2)直线与圆相切、相交问题;(3)圆的性质.2.怎么考:以选择题和填空题为主,主要考查求切线方程、弦长问题.
学霸好方法
1.圆的切线方程常用结论(1)判断:圆心到直线的距离等于圆的半径;(2)切线:已知圆的圆心C,半径为R.
过点P作圆C的切线.①条数:若点P在圆内,则无切线;若点P在圆上,则有且只有一条切线;若点P在圆外,则有两条切线;②长度:切线长等于.2.直线与圆的位置关系的常用结论(1)当直线与圆相交时,由弦心距(圆心到直线的距离),弦长的一半及半径长所表示的线段构成一个直角三角形.(2)弦长公式|AB|=|xA-xB|=.
圆的切线问题
【典例】1.已知圆的方程为x2+y2=1,则在y轴上截距为的切线方程为
( )
A.y=x+
B.y=-x+
C.y=x+或y=-x+
D.x=1或y=x+
2.(2020·惠州模拟)过点A(3,4)作圆C:(x-2)2+(y-3)2=2的切线l,则切线l的方程为________________.?
世纪金榜导学号
【解析】1.选C.在y轴上截距为且斜率不存在的直线显然不是切线,故设切线方程为y=kx+,则=1,所以k=±1,故所求切线方程为y=x+或y=-x+.
2.设切线l的方程为y=kx+b,点A(3,4)在切线l上,故4=3k+b.圆C:(x-2)2+
(y-3)2=2的圆心(2,3)到切线l的距离d==,可得=,解得k=-1,故b=7,切线l的方程为x+y-7=0.
答案:x+y-7=0
求圆的切线方程时,应注意什么问题?
提示:应注意切线斜率不存在的情况.
圆的弦长问题
【典例】
1.直线x+y-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长为________.?
2.设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3)与圆C交于A,B两点,若|AB|=2,则直线l的方程为
世纪金榜导学号( )
A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0
B.3x+4y-12=0或x=0
C.4x-3y+9=0或x=0
D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0
【解析】1.因为圆x2+y2=4的圆心为点(0,0),半径r=2,所以圆心到直线x+y-
2=0的距离d==1,所以弦长|AB|=2=2.
答案:2
2.选B.当直线l的斜率不存在,即直线l的方程为x=0时,弦长为2,符合题意;当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+3,由弦长为2,半径为2可知,圆心到该直线的距离为1,从而有=1,解得k=-,综上,直线l的方程为x=0或3x+4y-12=0.
圆心到弦的距离如何求?
提示:
如图所示,设直线l被圆C截得的弦为AB,圆的半径为r,
圆心到直线的距离为d,则有关系式:|AB|=2.
与弦长有关的范围问题
【典例】
1.若直线y=x+m与曲线y=有且只有一个公共点,则实数m的取值范围为
( )
A.(-1,1]∪{-}
B.{-,}
C.[-1,1)∪{}
D.(1,]
【解析】选C.y=表示半圆,如图所示:
因为直线y=x+m与曲线y=有且只有一个公共点,
①d==1,解得m=,m=-(舍去)
②代入(-1,0)可得0=-1+m,m=1,代入(1,0)可得0=1+m,m=-1,
结合图像,综上可得-1≤m<1或m=.
2.已知点P是直线x+y+2=0上的动点,过P引圆x2+y2=1的切线,则切线长的最小值为________.
世纪金榜导学号?
【解析】圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,要使切线长最小,则只需要点P到圆心的距离最小.
此时最小值为圆心到直线的距离d==,此时切线长的最小值为=1.
答案:1
解决与弦长有关的参数范围问题,用什么方法最直观?
提示:数形结合的方法.
1.已知直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则实数b=________.?
【解析】圆的标准方程即:(x-1)2+(y-1)2=1,
由题意可得圆心(1,1)到直线3x+4y-b=0的距离为1,即=1,解得:b=2或b=12.
答案:2或12
2.直线x-y-1=0与圆x2+y2=5交于A,B两点,则|AB|=________.?
【解析】根据题意,圆x2+y2=5的圆心为(0,0),半径为r=,则圆心到直线x-y-1=0的距离为d==,则|AB|=2=3.
答案:3
1.过点(0,1)的直线l被圆(x-1)2+y2=4所截得的弦长最短时,直线l的斜率为
( )
A.1
B.-1
C.
D.-
【解析】选A.点(0,1)在圆(x-1)2+y2=4内,要使得过点(0,1)的直线l被圆(x-1)2+y2=4所截得的弦长最短,则该弦以(0,1)为中点,与圆心和(0,1)的连线垂直,而圆心和(0,1)连线的斜率为=-1,所以所求直线斜率为1.
2.若直线y=k(x+3)与圆x2+y2=4相交,则实数k的取值范围为
( )
A.(-2,2)
B.
C.
D.
【解析】选D.直线y=k(x+3)化为一般式为:kx-y+3k=0,直线y=k(x+3)与圆x2+y2=4相交等价于圆心到直线距离小于半径,
即<2,所以5k2<4,所以k∈.
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-
10
-椭圆
核心考点·精准研析
考点一 椭圆的定义及标准方程?
1.若方程+=1表示椭圆,则m的取值范围是
( )
A.(-3,5)
B.(-5,3)
C.(-3,1)∪(1,5)
D.(-5,1)∪(1,3)
2.已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是
( )
A.2
B.6
C.4
D.12
3.椭圆+=1的左焦点为F,直线x=t与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是
( )
A.
B.
C.
D.
4.过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为
( )
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
5.已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2∶,则椭圆C的方程是________.
【解析】1.选C.由方程表示椭圆知?
解得-32.选C.如图,设椭圆+y2=1的另一个焦点为F2,则F2在BC上,即|BC|=|BF2|+|F2C|,
又因为B,C都在椭圆+y2=1上,所以|BA|+|BF2|=|CA|+|CF2|=2a=2,
于是,△ABC的周长为|BA|+|BC|+|CA|
=|BA|+|BF2|+|F2C|+|CA|=4.
3.选C.如图,设右焦点为F′,连接MF′,NF′,△FMN的周长为
|FM|+|FN|+|MN|=4-(|MF′|+|NF′|-|MN|),
所以当|MF′|+|NF′|-|MN|最小时,周长最大,
因为|MF′|+|NF′|≥|MN|,所以当直线x=t过右焦点时,△FMN的周长最大.
又c==1,所以把x=1代入椭圆标准方程,得+=1,解得y=±,所以此时△FMN的面积S=2××2×=.
4.选C.(方法一:定义法)椭圆+=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.由椭圆的定义知,2a=+,解得a=2,由c2=a2-b2,可得b2=4,所以所求椭圆的标准方程为+=1.
(方法二:待定系数法)设所求椭圆方程为+=1(k<9),将点(,-)代入,可得+=1,解得k=5或k=21(舍),所以所求椭圆的标准方程为+=1.
(方法三:待定系数法)设所求椭圆方程为+=1(a>b>0).由题意得解得所以所求椭圆的标准方程为+=1.
5.设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).
由题意知解得a2=16,b2=12,所以椭圆C的方程为+=1.
答案:+=1
1.椭圆定义的应用
(1)椭圆定义的应用主要有两个方面:一是判断平面内动点的轨迹是否为椭圆;二是利用定义求焦点三角形的周长、面积,弦长、最值和离心率等.
(2)椭圆的定义式必须满足2a>|F1F2|.
2.焦点三角形的结论
椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点F1,F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示,设∠F1PF2=θ.
(1)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos
θ.
(2)焦点三角形的周长为2(a+c).
(3)=|PF1||PF2|sin
θ=b2
tan=c|y0|,当|y0|=b,即P为短轴端点时,取得最大值,为bc.
3.求椭圆的标准方程的方法
(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.
(2)利用定义法求椭圆方程,要注意条件2a>|F1F2|;利用待定系数法要先定形(焦点位置),再定量,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式.
4.利用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤
考点二 弦及弦中点问题?
【典例】1.已知椭圆+y2=1,过点P且被P点平分的弦所在直线的方程为________.?
2.焦点是F(0,5),并截直线y=2x-1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为______________.
世纪金榜导学号?
【解题导思】
序号
联想解题
1
一看到弦的中点(即中点弦)问题,即联想到点差法
2
当题目中出现弦的中点并出现中点的横坐标(或纵坐标)时,立即想到点差法(也可考虑联立方程)
【解析】1.设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),中点为(x0,y0),则有
两式作差得+(y2-y1)(y2+y1)=0,因为x2+x1=2x0,y2+y1=2y0,=kAB,代入后求得kAB=-=-,所以弦所在直线的方程为y-=-,即x+3y-2=0.
答案:x+3y-2=0
2.设所求的椭圆方程为+=1(a>b>0),直线被椭圆所截弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2).
由题意,可得弦AB的中点坐标为,
且=,=-.
将A,B两点坐标代入椭圆方程中,得
两式相减并化简,
得=-×=-2×=3,
所以a2=3b2,又c2=a2-b2=50,所以a2=75,b2=25,
故所求椭圆的标准方程为+=1.
答案:+=1
1.椭圆中弦及弦中点问题的类型及解决策略
常见类型
解决策略
①过定点,定点为弦中点;②平行弦中点的轨迹;③过定点的弦的中点轨迹
根与系数的关系:直线与椭圆方程联立,消元,利用根与系数的关系表示中点坐标
点差法:利用弦两端点适合椭圆方程,作差构造中点与斜率的关系
2.椭圆中弦及弦中点问题的注意事项
(1)合理消元,消元时可以选择消去y,也可以消去x.
(2)利用弦长公式、点到直线的距离公式等将所求量表示出来.
(3)涉及弦中点的问题常用“点差法”解决.
1.已知直线l:y=k(x-1)与椭圆C:+y2=1交于不同的两点A,B,AB中点横坐标为,则k=________.?
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0,因为直线l过椭圆内的定点(1,0),所以Δ>0,x1+x2=,所以==,整理得k2=,所以k=±.
答案:±
2.已知直线y=x+m被椭圆2x2+y2=2截得的线段的中点的横坐标为,则中点的纵坐标为________.?
【解析】设线段的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),中点为M(x0,y0),则x0=,y0=+m,x1+x2=2x0=,
y1+y2=2y0=+2m,则有
两式作差得2(x1+x2)(x1-x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0,即k==-=-=1,解得m=-,所以y0=+=-.
答案:-
考点三 椭圆的简单几何性质?
命题精解读
1.考什么:(1)考查椭圆的顶点、离心率及直线与椭圆中的最值范围问题.(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养及数形结合等思想方法.2.怎么考:结合椭圆定义及三角形性质(例如中位线)等考查离心率;结合函数单调性或基本不等式考查最值问题.3.新趋势:椭圆离心率的求解仍是考查的重点.
学霸好方法
1.离心率的求解:借助条件建立a,b,c关系或利用特殊值法求解.2.与函数、不等式结合考查范围最值,要注意定义域问题.
求椭圆的离心率
【典例】(2020·泉州模拟)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,若线段PF1的中点在y轴上,∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率为
世纪金榜导学号( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.如图,设PF1的中点为M,连接PF2.因为O为F1F2的中点,所以OM为△PF1F2的中位线,所以OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°,因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|,由勾股定理得|F1F2|=,由椭圆定义得2a=|PF1|+
|PF2|=3|PF2|,即a=,2c=|F1F2|=|PF2|,即c=,则e==
·=.
最值、取值范围问题
【典例】(2019·重庆模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为M(-2,0),离心率为.
世纪金榜导学号
(1)求椭圆C的方程.
(2)过点N(1,0)的直线l交椭圆C于A,B两点,当·取得最大值时,求△MAB的面积.
【解析】(1)由题意可得:a=2,=,得c=,则b2=a2-c2=2.所以椭圆C:+=1.
(2)当直线l与x轴重合时,不妨取A(-2,0),B(2,0),此时·=0;
当直线l与x轴不重合时,设直线l的方程为:x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立得(t2+2)y2+2ty-3=0,
显然Δ>0,y1+y2=,y1·y2=.
所以·=(x1+2)(x2+2)+y1y2
=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2=(t2+1)y1y2+3t(y1+y2)+9
=(t2+1)+3t+9
=+9=+9=.
当t=0时,·取最大值.此时直线l方程为x=1,不妨取A,B,所以|AB|=.
又|MN|=3,所以△MAB的面积S=××3=.
1.(2020·西安模拟)我国自主研制的月球探测器——“嫦娥四号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后,奔向月球,进入月球轨道,“嫦娥四号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆,设地球的半径为R,卫星近地点、远地点离地面的距离分别是,(如图所示),则“嫦娥四号”卫星轨道的离心率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.根据题意知,卫星近地点、远地点离地面的距离分别是,.设椭圆的长半轴长、半焦距分别为a,c,则a==,c==R,则e===.
2.(2020·烟台模拟)已知F(2,0)为椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,过F且垂直于x轴的弦长为6,若A(-2,),点M为椭圆上任一点,则|MF|+|MA|的最大值为________.?
【解析】设椭圆的左焦点为F′,由椭圆的右焦点为F(2,0),得c=2,又过F且垂直于x轴的弦长为6,即=6,则==3,
解得a=4,所以|MF|+|MA|
=8-|MF′|+|MA|=8+|MA|-|MF′|,
当M,A,F′三点共线时,|MA|-|MF′|取得最大值,
(|MA|-|MF′|)max=|AF′|=,所以|MF|+|MA|的最大值为8+.
答案:8+
已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是椭圆上一点,△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形,且60°<∠PF1F2<120°,则该椭圆的离心率的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由题意可得|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2-
2|F1F2|·|PF1|cos∠PF1F2=4c2+4c2-2·2c·2c·
cos∠PF1F2,即|PF2|=2c·,
所以a==c+c·,
又60°<∠PF1F2<120°,所以-PAGE
-
11
-双曲线
核心考点·精准研析
考点一 双曲线的定义及标准方程?
1.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是
( )
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
2.已知圆C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为
( )
A.x2-=1
B.-y2=1
C.x2-=1(x≤-1)
D.x2-=1(x≥1)
3.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为
( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
4.(2020·唐山模拟)P是双曲线-=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别为左、右焦点,且焦距为2c,则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标是________.?
5.若双曲线的渐近线方程为y=±x,且经过点(4,),则双曲线的方程为________.
世纪金榜导学号?
【解析】1.选B.如图,连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点,又O为F1F2的中点,所以|MF2|=2.因为点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|,
所以||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|,所以由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.
2.选C.设圆M的半径为r,由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切,得|MC1|=1+r,
|MC2|=3+r,|MC2|-|MC1|=2<6,所以点M的轨迹是以点C1(-3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支,且2a=2,a=1,又c=3,则b2=c2-a2=8,所以点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).
3.选C.因为以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),所以c=5,=,又c2=a2+b2,所以a=3,b=4,所以此双曲线的方程为-=1.
4.(利用定义解三角形)如图所示,内切圆圆心M到各边的距离分别为|MA|,|MB|,|MC|,切点分别为A,B,C,由三角形的内切圆的性质有|CF1|=
|AF1|,
|AF2|=
|BF2|,|PC|=|PB|,
所以|PF1|-|PF2|=|CF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|=2a,
又|AF1|+|AF2|=2c,所以|AF1|=a+c,
|OA|=|AF1|-|OF1|=a.因为M的横坐标和A的横坐标相同,所以M的横坐标为a.
答案:a
5.方法一:因为双曲线的渐近线方程为y=±x,
所以可设双曲线的方程为x2-4y2=λ(λ≠0).
因为双曲线过点(4,),所以λ=16-4×()2=4,所以双曲线的标准方程为-y2=1.
方法二:因为渐近线y=x过点(4,2),而<2,
所以点(4,)在渐近线y=x的下方,在y=-x的上方(如图).
所以双曲线的焦点在x轴上,故可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).
由已知条件可得
解得
所以双曲线的标准方程为-y2=1.
答案:-y2=1
1.双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程.在应用双曲线定义时,要注意定义中的条件,搞清所求轨迹是双曲线还是双曲线的一支,若是双曲线的一支,则需确定是哪一支.
(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立|PF1|与|PF2|的关系.
2.求双曲线标准方程的方法
(1)定义法
根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置,求出双曲线方程,常用的关系有:
①c2=a2+b2;
②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.
(2)待定系数法
①一般步骤
②常用设法
(ⅰ)与双曲线-=1共渐近线的方程可设为-=λ(λ≠0);
(ⅱ)若双曲线的渐近线方程为y=±x,则双曲线的方程可设为-=λ(λ≠0);
(ⅲ)若双曲线过两个已知点,则双曲线的方程可设为+=1(mn<0)或mx2+ny2=1(mn<0).
【秒杀绝招】
求双曲线的标准方程时,若已知渐近线方程为y=±x,但不知道焦点所在坐标轴,可直接设-=λ(λ≠0).例如第5题.
考点二 直线与双曲线的位置关系?
【典例】1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线与圆(x-a)2+y2=a2的位置关系是
( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
2.已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
世纪金榜导学号
(1)求双曲线C2的方程.
(2)若直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且·>2(其中O为原点),求k的取值范围.
【解题导思】
序号
联想解题
1
一看到①直线与圆的位置关系问题,即联想到利用弦心距与半径的大小关系判别;②出现双曲线离心率为时,一定为等轴双曲线,渐近线方程为y=±x
2
当题目中出现数量积时,首选方法是联立方程,利用根与系数的关系表示数量积,进而可求出参数范围
【解析】1.选C.因为一条渐近线方程为ay-bx=0,又离心率为=,所以a=b,所以一条渐近线方程为y-x=0,由(x-a)2+y2=a2知圆心为(a,0),半径为a,圆心到直线的距离d==a>a,所以直线与圆相离.
2.(1)设双曲线C2的方程为-=1(a>0,b>0),则a2=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1.
故C2的方程为-y2=1.
(2)将y=kx+代入-y2=1,
得(1-3k2)x2-6kx-9=0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得
所以k2≠且k2<1.①
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=-.
所以x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+)
=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2=.
又由·>2,得x1x2+y1y2>2,
所以>2,即>0,
解得由①②得故k的取值范围为∪.
直线与双曲线位置关系的解决策略
(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程代入双曲线方程,消元,得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时,直线与双曲线相交于某支上一点,这时直线平行于一条渐近线;当二次项系数不等于0时,用判别式Δ来判定.
(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题,但需要检验.
(3)弦长公式:设直线与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线的斜率为k,则|AB|=|x1-x2|.
1.过双曲线x2-=1的右焦点作直线l交双曲线于A,B两点,则满足|AB|=6的直线l共有________条.?
【解析】当直线l的倾斜角为90°时,|AB|=6;当直线l的倾斜角为0°时,|AB|=2<6.故当|AB|=6时有三条直线符合题意.
答案:3
2.设A,B分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程.
(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t(O为坐标原点),求t的值及点D的坐标.
【解析】(1)由题意知a=2,
因为一条渐近线为y=x,即bx-ay=0,
所以由焦点到渐近线的距离为,得=.
又因为c2=a2+b2,所以b2=3,
所以双曲线的方程为-=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0)(x0>0),
则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.
将直线方程y=x-2代入双曲线方程-=1得x2-16x+84=0,
则x1+x2=16,y1+y2=(x1+x2)-4=12.
所以解得
所以t=4,点D的坐标为(4,3).
考点三 双曲线的几何性质?
命题精解读
1.考什么:(1)考查双曲线的离心率、最值问题、范围问题、渐近线问题.(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养及数形结合、分类讨论及化归与转化等思想方法.2.怎么考:结合双曲线定义及焦点三角形等考查离心率及渐近线方程.3.新趋势:双曲线的离心率及渐近线仍是考查的重点.
学霸好方法
1.离心率的求解:借助条件建立a,b,c之间的关系或利用特殊值法求解.2.渐近线的求解:将标准形式中右侧常数变为0,整理即得.(牢记焦点到渐近线的距离)3.交汇问题:
与函数、不等式结合考查范围最值,要注意定义域.
双曲线的离心率
【典例】(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为
世纪金榜导学号( )
A.
B.
C.2
D.
【解析】选A.以OF为直径的圆的方程为+y2=,则弦PQ所在的直线方程为x=,|PQ|=,根据|PQ|=|OF|可得=,即(a-b)2=0,得a=b,故c=a,所以e=.
双曲线的渐近线
【典例】(2020·德州模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=(a>0,b>0)的焦点相同,则双曲线渐近线方程为
世纪金榜导学号( )
A.y=±x
B.y=±x
C.y=±x
D.y=±x
【解析】选A.依题意椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=(a>0,b>0)即-=1(a>0,b>0)的焦点相同,可得:a2-b2=a2+b2,即a2=3b2,
所以=,可得=,
所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.
如何求双曲线的渐近线方程?
提示:(1)求双曲线中的a,b的值,进而得出双曲线的渐近线方程.
(2)求a与b的比值,进而得出双曲线的渐近线方程.
(3)令双曲线标准方程右侧为0,将所得代数式化为一次式即为渐近线方程.
与双曲线有关的范围问题
【典例】1.已知点F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点.若△ABF2是锐角三角形,则该椭圆的离心率e的取值范围是
世纪金榜导学号( )
A.(0,-1)
B.(-1,1)
C.(0,-1)
D.(-1,1)
2.已知直线y=kx-1和双曲线x2-y2=1的右支交于不同两点,则k的取值范围是________.?
【解析】1.选B.由题意得F1(-c,0),F2(c,0),A,B.因为△ABF2是锐角三角形,所以∠AF2F1<45°,所以tan∠AF2F1<1,即<1.整理,得b2<2ac,所以a2-c2<2ac.两边同时除以a2并整理,得e2+2e-1>0,解得e>-1或e<--1(舍去).又因为02.由直线y=kx-1和双曲线x2-y2=1联立方程组,消去y得(1-k2)x2+2kx-2=0,因为该方程有两个不相等且都大于1的根,所以
解得1答案:(1,)
双曲线中的范围问题如何求解?
提示:(1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接求解.
(2)若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系,如借助双曲线上点的坐标范围,方程中Δ≥0等来解决.
1.(2019·抚顺模拟)当双曲线M:-=1(-2≤m<0)的焦距取得最小值时,双曲线M的渐近线方程为
( )
A.y=±x
B.y=±x
C.y=±2x
D.y=±x
【解析】选C.由题意得c2=m2+2m+6=(m+1)2+5,当m=-1时,c2取得最小值,即焦距2c取得最小值,此时双曲线M的方程为x2-=1,所以渐近线方程为y=±2x.
2.设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P,Q,若|PQ|=2|QF|,∠PQF=60°,则该双曲线的离心率为
( )
A.
B.1+
C.2+
D.4+2
【解析】选B.∠PQF=60°,因为|PQ|=2|QF|,所以∠PFQ=90°,设双曲线的左焦点为F1,连接F1P,F1Q,由对称性可知,四边形F1PFQ为矩形,|F1F|=2|QF|,|QF1|=
|QF|,所以e====+1.
1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,右焦点到一条渐近线的距离为,则此双曲线的焦距等于
( )
A.
B.2
C.3
D.6
【解析】选B.由题意得,焦点F(c,0)到渐近线bx+ay=0的距离d==b=,又=,c2=a2+b2,所以c=,所以该双曲线的焦距为2.
2.(2020·池州模拟)双曲线C:-=1的左焦点为F,右顶点为A,虚轴的一个端点为B,若△ABF为等腰三角形,则双曲线C的离心率是( )
A.
B.
C.或
D.1+
【解析】选D.由于△ABF为等腰三角形,故FB=a+c,OF=c,OB=b,直角三角形OFB中,由勾股定理得b2+c2=,即c2-2ac-2a2=0,两边除以a2得e2-2e-2=0,解得e=1+(负根舍去).
1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的顶点到渐近线的距离为,焦点到渐近线的距离为,则该双曲线的方程为
( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
【解析】选B.由双曲线的对称性可得两个焦点,顶点到两条渐近线的距离相等,所以任意取一个焦点和顶点即可.因为双曲线的渐近线方程为y=x,所以=,即ab=c,=,即b=,又因为c2=a2+b2,所以解得a2=4,b2=5,即方程为-=1.
2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F(-c,0),O为坐标原点,P,Q为双曲线的渐近线上的两点,若四边形PFQO是面积为c2的菱形,则该渐近线方程为
( )
A.y=±2x
B.y=±x
C.y=±4x
D.y=±x
【解析】选A.如图所示,F(-c,0),PQ⊥OF,设P(x,y),则菱形PFQO的面积为2×
×c×y=c2,所以y=c,故tan∠POF==2,即渐近线OP的方程为y=-2x,故双曲线的渐近线方程为y=±2x.
PAGE
-
13
-抛物线
核心考点·精准研析
考点一 抛物线的定义及标准方程?
1.已知抛物线y2=4x的焦点为F,定点P(4,-2),在抛物线上找一点M,使得|PM|+|MF|最小,则点M的坐标为
( )
A.(2,-2)
B.(1,2)
C.(1,-2)
D.(-1,2)
2.已知直线l1:4x-3y+6=0和l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是
( )
A.
B.2
C.
D.3
3.(2020·保定模拟)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点A(0,2),则C的方程为
( )
A.y2=4x或y2=8x
B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x
D.y2=2x或y2=16x
4.设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为焦点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为________.?
5.已知抛物线C的顶点为坐标原点,对称轴为坐标轴,直线l过抛物线C的焦点F,且与抛物线的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,且|AB|=8,M为抛物线C准线上一点,则△ABM的面积为________.?
【解析】1.选C.过P作PM垂直于抛物线的准线,交抛物线于点M,交准线于点N,则|PM|+|MF|=|PM|+|MN|=|PN|,此时|PM|+|MF|最小,点M纵坐标为-2,故横坐标为1,所以点M的坐标为(1,-2).
2.选B.由题可知l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点(1,0)为F,则动点P到l2的距离等于|PF|,则动点P到直线l1
和直线l2的距离之和的最小值,即焦点F到直线l1:4x-3y+6=0的距离,所以最小值是=2.
3.选C.由已知得抛物线的焦点F,
设点M(x0,y0),则=,=.
由已知得,·=0,即-8y0+16=0,
因而y0=4,M.
由|MF|=5,得
=5.
又p>0,解得p=2或p=8.
故C的方程为y2=4x或y2=16x.
4.如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|,则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为4.
答案:4
5.不妨设抛物线方程为y2=2px(p>0),
则焦点F,A,B,
将A代入抛物线方程,
可得2p×=42,得p=4,
则准线方程为x=-2,
设M(-2,t),则S△ABM=|AB|×p=4×4=16.
答案:16
1.抛物线定义的应用
利用抛物线的定义解决问题时,应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化.“看到准线应该想到焦点,看到焦点应该想到准线”,这是解决有关抛物线距离问题的有效途径.
2.求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法
根据抛物线的定义,确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离),再结合焦点位置,求出抛物线方程.标准方程有四种形式,要注意选择.
(2)待定系数法
①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于p的方程,解出p,从而写出抛物线的标准方程.
②当焦点位置不确定时,有两种方法解决:
方法一
分情况讨论,注意要对四种形式的标准方程进行讨论,对于焦点在x轴上的抛物线,为避免开口方向不确定可分为y2=2px(p>0)和y2=-2px(p>0)两种情况求解
方法二
设成y2=mx(m≠0),若m>0,开口向右;若m<0,开口向左;若m有两个解,则抛物线的标准方程有两个.同理,焦点在y轴上的抛物线可以设成x2=my(m≠0).如果不确定焦点所在的坐标轴,应考虑上述两种情况设方程
考点二 直线与抛物线的综合问题?
【典例】1.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线l交抛物线于A,B两点(点A在第一象限),若直线l的倾斜角为,则=
( )
A.
B.
C.
D.
2.(2020·濮阳模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于A、B两点,弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5,则直线l的斜率k为
世纪金榜导学号( )
A.±
B.±1
C.±
D.±
3.(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
世纪金榜导学号
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程.
(2)若=3,求|AB|.
【解题导思】
序号
联想解题
1
一看到抛物线上的点到焦点或到准线的距离问题,即联想到利用抛物线的定义进行转化
2
当条件中出现弦的中点(即中点弦问题)时,应立即考虑到设而不求(点差)法
3
当条件中出现过抛物线焦点的直线时,应立即考虑到抛物线焦点弦的有关结论
【解析】1.选A.过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为M,N,作AE⊥BN,垂足为E,设|AF|=m,|BF|=n,则由抛物线的定义得|AM|=|AF|=m,|BN|=|BF|=n,|AB|=m+n,|BE|=n-m,
因为∠ABN=60°,于是=,解得n=3m,
则==.
2.选C.抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,y0),则x0=,y0=,由弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5,即x0+=5,则x0=4,由两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),则==,即k==,则==,即y0=±,所以直线l的斜率k===±.
3.设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,
由题设可得x1+x2=.
由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,
则x1+x2=-.
从而-=,得t=-.
所以l的方程为y=x-.
(2)由=3可得y1=-3y2.
由可得y2-2y+2t=0.
所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.
代入C的方程得x1=3,x2=.
故|AB|=.
1.直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)求交点问题,通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组.
(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决.
2.解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用焦点弦公式,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.
提醒:涉及弦的中点、斜率时,一般用“点差法”求解.
1.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,E为其准线与x轴的交点,过F的直线交抛物线C于A,B两点,M为线段AB的中点,且|ME|=,则|AB|=
( )
A.6
B.3
C.8
D.9
【解析】选A.由y2=4x得焦点F(1,0),E(-1,0),设直线AB的方程为x=ty+1并代入抛物线y2=4x得:y2-4ty-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4,
所以x1+x2=t(y1+y2)+2=4t2+2,所以M(2t2+1,2t),
|ME|2=(2t2+2)2+(2t)2=11,即4t4+12t2-7=0,
解得t2=或t2=-(舍),
所以|AB|=x1+x2+p=4t2+2+2=4×+2+2=6.
2.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,若|AF|+|BF|=5,则线段AB的中点到y轴的距离为________.?
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线定义得|AF|+|BF|=5,即x1++x2+=5,则x1+x2=,所以线段AB的中点到y轴的距离为=.
答案:
3.(2020·铜川模拟)已知抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点为F,且F到准线l的距离为2,过点的直线l′与抛物线交于A,B两点,与准线l交于点R,若=3,则=________.?
【解析】依题意得:C1:y2=4x,焦点F,不妨设点B在x轴的下方,
=xB+1=3,所以xB=2,yB=-2.
则过点的直线l′:y=,与y2=4x联立消去x得:
y2-y-4=0,
所以yAyB=-4,yA==,xA=,
=====.
答案:
考点三 抛物线的性质及应用?
命题精解读
1.考什么:(1)考查抛物线的定义、顶点及直线与抛物线中的最值范围问题.(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养及数形结合、转化与化归等思想方法.2.怎么考:借助距离考查抛物线的定义;结合函数单调性或基本不等式考查最值问题.3.新趋势:抛物线离心率的求解仍是考查的重点.
学霸好方法
1.定义的应用:当题目中出现到焦点的距离或到准线(或到与对称轴垂直直线)的距离时,应立即考虑到利用定义转化.2.交汇问题:与函数、不等式结合考查范围最值,要注意定义域问题.
与抛物线有关的最值问题
【典例】(2020·沈阳模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0),其焦点到准线的距离为2,直线l与抛物线C交于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的切线l1,l2,且l1与l2交于点M.
世纪金榜导学号
(1)求p的值.
(2)若l1⊥l2,求△MAB面积的最小值.
【解析】(1)由题意知,抛物线焦点为,准线方程为y=-,
焦点到准线的距离为2,即p=2.
(2)抛物线的方程为x2=4y,即y=x2,所以y′=x,设A(x1,y1),B(x2,y2),
l1:y-=(x-x1),l2:y-=(x-x2),
由于l1⊥l2,所以·=-1,即x1x2=-4.
设直线l方程为y=kx+m,与抛物线方程联立,得
所以x2-4kx-4m=0,Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m=-4,所以m=1,即l:y=kx+1.
联立方程得:
即M(2k,-1).
M点到直线l的距离d==,
|AB|==4(1+k2),
所以S=×4(1+k2)×=4(1+k2≥4,
当k=0时,△MAB的面积取得最小值4.
抛物线与向量的综合问题
【典例】已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1(1)求该抛物线的方程.
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.
【解析】(1)直线AB的方程是y=2x-,与y2=2px联立,得4x2-5px+p2=0,
由已知,方程必有两个不等实根,
所以x1+x2=,由抛物线定义知|AB|=x1+x2+p=+p=9,解得p=4,所以抛物线方程为y2=8x.
(2)由(1)知,x2-5x+4=0,
所以x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,
所以A(1,-2),B(4,4).
设C(x3,y3),则=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2),
又=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.
1.(2019·九江模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九章“勾股”,讲述了“勾股定理”及一些应用,还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”.设点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,l是该抛物线的准线,过抛物线上一点A作准线的垂线AB,垂足为B,射线AF交准线l于点C,若Rt△ABC的“勾”=3、“股”=3,则抛物线方程为
( )
A.y2=2x
B.y2=3x
C.y2=4x
D.y2=6x
【解析】选B.由题意可知,抛物线的图像如图:
|AB|=3,|BC|=3,
可得|AC|==6,
所以∠CAB=60°,△ABF是正三角形,并且F是AC的中点,又|AB|=3,则p=,
所以抛物线方程为y2=3x.
2.已知M是抛物线x2=4y上一点,F为其焦点,点A在圆C:(x+1)2+(y-5)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值是________.?
【解析】由已知,由点M向抛物线x2=4y的准线l:y=-1引垂线,垂足为M1,则有|MA|+|MF|=|MA|+|MM1|,结合图形知|MA|+|MM1|的最小值等于圆心C(-1,5)到y=-1的距离再减去圆C的半径,即等于6-1=5,所以|MA|+|MF|的最小值是5.
答案:5
已知点P(x,y)是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上任意一点,则|PQ|+x的最小值为
( )
A.5
B.4
C.3
D.2
【解析】选C.由题意,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线l:x=-1,圆C:(x+2)2
+(y-4)2=1的圆心C(-2,4),半径r=1,P到直线l:x=-1的距离d=|PF|,根据抛物线的定义,可得点P到y轴的距离为x=d-1,结合图像(如图所示)可得当C,P,F三点共线时,|PQ|+d取最小值,所以(|PQ|+x)min=|FC|-r-1=5-1-1=3.
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-
1
-求曲线的方程
核心考点·精准研析
考点一 直接法求轨迹方程?
【典例】已知△ABC的三个顶点分别为A(-1,0),B(2,3),C(1,2),定点P(1,1).
世纪金榜导学号
(1)求△ABC外接圆的标准方程.
(2)若过定点P的直线与△ABC的外接圆交于E,F两点,求弦EF中点的轨迹方程.
【解析】(1)由题意得AC的中点坐标为(0,),AB的中点坐标为,kAC=,kAB=1,故AC中垂线的斜率为-,AB中垂线的斜率为-1,则AC的中垂线的方程为y-=-x,AB的中垂线的方程为y-=-.由得所以△ABC的外接圆圆心为(2,0),半径r=2+1=3,故△ABC外接圆的标准方程为(x-2)2+y2=9.
(2)设弦EF的中点为M(x,y),△ABC外接圆的圆心为N,则N(2,0),由MN⊥MP,得·=0,
所以(x-2,y)·(x-1,y-1)=0,
整理得x2+y2-3x-y+2=0,
故弦EF中点的轨迹方程为+=.
直接法求轨迹方程的思路
(1)直接法就是直接利用条件建立x,y之间的关系f(x,y)=0.
(2)直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性.
(3)通常将直接法的步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这六个步骤,但最后的证明可以省略,如果给出了直角坐标系,则可省去建系这一步,求出曲线的方程后,还需注意检验方程的纯粹性和完备性.
1.已知点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且·=·,则动点P的轨迹C的方程为
( )
A.x2=4y
B.y2=3x
C.x2=2y
D.y2=4x
【解析】选A.设点P(x,y),则Q(x,-1).
因为·=·,
所以(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2),
即2(y+1)=x2-2(y-1),整理得x2=4y,
所以动点P的轨迹C的方程为x2=4y.
2.在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-.则动点P的轨迹方程为________.?
【解析】因为点B与点A(-1,1)关于原点O对称,
所以点B的坐标为(1,-1).
设点P的坐标为(x,y),由题意得·=-,
化简得x2+3y2=4(x≠±1).
故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x≠±1).
答案:x2+3y2=4(x≠±1)
考点二 定义法求轨迹方程?
【典例】1.已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
2.如图,已知△ABC的两顶点坐标A(-1,0),B(1,0),圆E是△ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=1,动点C的轨迹为曲线M,求曲线M的方程.
世纪金榜导学号
【解析】1.如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B,则有|MC1|-|AC1|=|MA|,
|MC2|-|BC2|=|MB|.
又|MA|=|MB|,
所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2,
即动点M到两定点C2,C1的距离的差是常数2,
且2<|C1C2|=6,|MC2|>|MC1|,
故动圆圆心M的轨迹为以定点C2,C1为焦点的双曲线的左支,则2a=2,所以a=1.又c=3,则b2=c2-a2=8.设动圆圆心M的坐标为(x,y),
则动圆圆心M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).
2.由题知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4>|AB|,
所以曲线M是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(除去与x轴的交点).设曲线M:+=1(a>b>0,y≠0),则a2=4,b2=a2-=3,
所以曲线M的方程为+=1(y≠0).
1.定义法
先根据条件得出动点的轨迹是某种已知的曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.
2.定义法的适用范围
若动点运动的规律满足某种曲线的定义,则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.此法一般用于求圆锥曲线的方程.
△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是________.?
【解析】如图,令内切圆与三边的切点分别为D,E,F,可知|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,
所以|CA|-|CB|=|AE|-|BE|=8-2=6<|AB|=10.
根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支(除去与x轴的交点),其方程为-=1(x>3).
答案:-=1(x>3).
考点三 待定系数法求轨迹方程?
【典例】已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上,求C的方程.
【解析】
由题意有=,+=1,解得a2=8,b2=4,所以C的方程为+=1.
1.待定系数法
待定系数法是根据已知条件,建立起给定的算式和所求的结果之间的恒等式,得到以需要待定的系数为未知数的方程或方程组,解方程或方程组得到待定的系数的一种数学方法.
2.待定系数法解题的基本步骤
第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式;
第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程;
第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决.
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点F到直线x=-的距离为3,求椭圆的标准方程.
【解析】设F(c,0),根据题意得
解得
所以椭圆的标准方程为+y2=1.
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5
-圆锥曲线中求值与证明问题
核心考点·精准研析
考点一 求值问题?
1.(2020·西安模拟)已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线,且都过B点,它们的离心率分别为e1,e2,则+=
( )
A.
B.2
C.
D.3
2.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,直线AB垂直于x轴,F为抛物线的焦点,射线BF交抛物线的准线于点C,且|AB|=|AF|,△AFC的面积为2+2,则p的值为
( )
A.
B.1
C.2
D.4
3.(2019·天津高考)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.
世纪金榜导学号
(1)求椭圆的方程.
(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.
若|ON|=|OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.
【解析】1.选B.如图,由题意,设椭圆的长半轴为a1,双曲线的半实轴为a2,
根据椭圆和双曲线定义:
|AB|+|BC|=2a1,
|BC|-|AB|=2a2,
可得|BC|=a1+a2,|AB|=a1-a2,设AC=2c,
在直角三角形ABC中,由勾股定理可得,
4c2=(a1-a2)2+(a1+a2)2
,即+
=
2c2,
即+=2.
2.选C.过点A作AH垂直于准线,垂足为H,作CG垂直于AB,垂足为G,根据抛物线的定义|AH|=|AF|,CE∥AB,因此|DE|=|AH|=|CG|=|AF|,
由S△AFC=S△ABC-S△AFB,S△ABC=|AB|·|CG|=|AD|·|CG|,S△AFB=|AB|·|DF|=|AD|·|DF|,得S△AFC=|AD|·|CG|-|AD|·|DF|=|AD|(|CG|-|DF|),
=|AD|(|DE|-|DF|)=|AD|·|EF|,
又|DE|=|AF|=|DF|,则|EF|=(-1)|DF|,
|AD|=2|DF|==|EF|,可得S△AFC=|EF|2,又因为S△AFC=2+2,所以|EF|=2,因为EF正好是焦点到准线的距离,即p=2.
3.(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,=,又a2=b2+c2,可得a=,b=2,c=1.
所以,椭圆的方程为+=1.
(2)由题意,设P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).设直线PB的斜率为k(k≠0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立整理得(4+5k2)x2
+20kx=0,可得xP=-,代入y=kx+2得yP=,进而直线OP的斜率=.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-.由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-.由OP⊥MN,得·=-1,化简得k2=,从而k=±.
所以直线PB的斜率为或-.
1.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),
P2(x2,y2),则所得弦长:
|P1P2|=|x1-x2|=
==|y1-y2|.
(2)斜率不存在时,可求出交点坐标,直接求解(利用两点间距离公式).
2.平面图形面积的求解,首先根据题意确定平面图形的形状,然后确定其面积的表达式,求出相关的度量——弦长、距离等,最后代入公式求解即可.
3.条件求值,主要是将已知条件坐标化,列出对应的方程,通过解方程(组)求值.
【秒杀绝招】
题1中可以利用赋值法简化求解过程,减少计算量.不妨设直角三角形ABC三边长度分别为3,4,5.则椭圆与双曲线的焦距2c=5,
则在椭圆中,2a1=3+4=7,故e1=;
在双曲线中,2a2=|3-4|=1,故e1=5.
所以+=+=2.
考点二 证明问题?
命题精解读
1.考什么:(1)圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).(2)考查数学运算与逻辑推理的核心素养以及函数与方程、转化与化归的数学思想方法等.2.怎么考:以直线和圆锥曲线的位置关系为背景,考查角度与长度关系的证明,直线平行、垂直、三点共线等位置关系的证明等.3.新趋势:等量关系的证明与三角函数等知识的结合,如证明角度相等.
学霸好方法
1.解决证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等直接进行证明.2.交汇问题:数量关系的问题,多与其他模块知识相结合,如三角函数、向量以及函数相关知识等.
证明数量关系
【典例】(2019·北京模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0),离心率为.A为椭圆C的左顶点,P,Q为椭圆C上异于A的两个动点,直线AP,AQ与直线l:x=4分别交于M,N两点.
世纪金榜导学号
(1)求椭圆C的方程.
(2)若△PAF与△PMF的面积之比为,求M的坐标.
(3)设直线l与x轴交于点R,若P,F,Q三点共线,求证:∠MFR=∠FNR.
【解题导思】
序号
题目拆解
(1)
根据已知条件求标准方程中的参数值
由题意得c=1,结合离心率求得a,再由隐含条件求得b,则椭圆方程可求.
(2)
①求AP与AM的关系
将两个三角形面积比转化为AP与AM的关系.
②求M的纵坐标
利用向量关系建立坐标的方程求解.
(3)
①求R点坐标
直线l与x轴的交点
②求P点坐标
联立方程组求解,利用根与系数的关系求得P的坐标
③建立点的坐标之间的关系
利用三点共线——斜率相等建立坐标关系
④证明数量等式
证明两个角的三角函数(正切)值相等,范围相等.
【解析】(1)由题意得
解得
因为a2-b2=c2,所以b2=3.
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)因为△PAF与△PMF的面积之比为,
所以|AP|=|PM|.所以=.
设M(4,m)(m≠0),P(x0,y0),则(x0+2,y0)=(6,m),解得x0=-1,y0=.
将其代入+=1,解得m=±9.
所以M的坐标为(4,9)或(4,-9).
(3)设M(4,m),N(4,n),P(x0,y0),由题知R(4,0),
若m=0,则P为椭圆C的右顶点,由P,F,Q三点共线知,Q为椭圆C的左顶点,不符合题意.
所以m≠0.同理n≠0.
直线AM的方程为y=(x+2).
由
消去y,整理得(27+m2)x2+4m2x+(4m2-108)=0.
Δ=(4m2)2-4(27+m2)(4m2-108)>0成立.
由-2x0=,解得x0=.
所以y0=(x0+2)=.
所以P.
①当PF⊥x轴时,
即|m|=3时,|n|=3,=1,
由椭圆的对称性可得|MR|=|FR|=|NR|=3.
又因为∠MRF=∠NRF=90°,
所以∠MFR=∠FNR=45°.
②当直线PQ与x轴不垂直时,
|m|≠3,|n|≠3,
直线FP的斜率kFP==.
同理kFQ=.因为P,F,Q三点共线,
所以=.所以mn=-9.
在Rt△MRF和Rt△NRF中,
tan∠MFR==,tan∠FNR===,所以tan∠MFR=tan∠FNR.
因为∠MFR,∠FNR均为锐角,
所以∠MFR=∠FNR.
综上,若P,F,Q三点共线,则∠MFR=∠FNR.
数量关系证明的一般方法是什么?
提示:数量关系的证明,一般采用直接法,即直接利用坐标运算进行证明.当然要结合函数的一些性质,如该题就是先证明两个角的正切函数值相等,而且角的范围是正切函数的单调区间,所以两角相等.
证明位置关系
【典例】(2019·大连模拟)设椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若椭圆E的离心率为,△ABF2的周长为16.
世纪金榜导学号
(1)求椭圆E的方程.
(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C,D,设弦AB,CD的中点分别为M,N.证明:O,M,N三点共线.
【解题导思】
序号
题目拆解
(1)
求标准方程中的参数
根据已知离心率与三角形的周长列方程组求参数
(2)
①求直线OM的斜率
根据点差法,建立弦AB的中点M与直线AB的斜率之间的关系,从而求得直线OM的斜率
②求直线ON的斜率
根据点差法,建立弦CD的中点N与直线AB的斜率之间的关系,从而求得直线ON的斜率
③证明三点共线
证明两直线OM,ON斜率相等
【解析】(1)由题意知,4a=16,a=4.又因为e=,所以c=2,b==2,所以椭圆E的方程为+=1.
(2)当直线AB、CD的斜率不存在时,由椭圆的对称性知,中点M,N在x轴上,O,M,N三点共线;
当直线AB,CD的斜率存在时,设其斜率为k(k≠0),
且设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).
则
+
=
1,
+
=
1,
相减得
=-
,
所以·=-,即·=-,
即k·kOM=-,所以kO
M=-;
同理可得kO
N=-,所以kO
M=kO
N,
所以O,M,N三点共线.
位置关系的证明的一般思路是什么?
提示:位置关系的证明,多通过位置关系的坐标化处理,将其转化为数量关系的证明,故一般多利用直接证明方法,即直接通过代数运算证明.
1.(2020·济南模拟)已知抛物线W:x2=2py(p>0)的焦点为F,点A在W上,AF的中点坐标为(2,2).
(1)求抛物线W的方程.
(2)若直线l与抛物线W相切于点P(异于原点),与抛物线W的准线相交于点Q,证明:FP⊥FQ.
【解析】(1)由题知F,
设A,因为AF的中点坐标为(2,2),
所以解得:xA=4,p=4.
所以抛物线W的方程为:x2=8y.
(2)由y=x2,得y′=x,
设点P(x0≠0),则直线l的方程为y-=
x0
(x-x0
),即为y
=
x0
x-,
令y=-2,得Q,
所以=,=,
所以·=x0×-4=0,
所以FP⊥FQ.
2.(2020·长沙模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两点.
(1)若以A,B为直径的圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=16,求抛物线C的标准方程.
(2)过A,B分别作抛物线的切线l1,l2,证明:l1,l2的交点在定直线上.
【解析】(1)设AB中点为M,A到准线的距离为d1,B到准线的距离为d2,M到准线的距离为d.则d=yM+,由抛物线的定义可知,d1=|AF|,d2=|BF|,
所以d1+d2=|AB|=8,
由梯形中位线可得d==4,
所以yM+=4,而yM=3,所以3+=4,可得p=2,
所以抛物线C的标准方程为x2=4y.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由x2=2py得y=,则y′=,
所以直线l1的方程为y-y1=(x-x1),直线l2的方程为y-y2=(x-x2),
联立得x=,y=,即l1,l2交点坐标为.因为AB过焦点F,
所以设直线AB方程为y-=kx,代入抛物线x2=2py中得x2-2pkx-p2=0,所以x1x2=-p2,
所以==-,所以l1,l2的交点在定直线y=-上.
1.过椭圆W:+y2=1的左焦点F1作直线l1交椭圆于A,B两点,其中A(0,1),另一条过F1的直线l2交椭圆于C,D两点(不与A,B重合),且D点在x轴下方且不与点(0,-1)重合.过F1作x轴的垂线分别交直线AD,BC于E,G.
(1)求B点坐标和直线l1的方程.
(2)求证:|EF1|=|F1G|.
【解析】(1)由题意可得直线l1的方程为y=x+1.与椭圆方程联立,得
可求得B.
(2)当l2与x轴垂直时,C,D两点与G,E两点重合,由椭圆的对称性,|EF1|=|F1G|.
当l2不与x轴垂直时,设C(x1,y1),D(x2,y2),l2的方程为y=k(x+1)(k≠1).
由
消去y,整理得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0.
则x1+x2=,x1x2=.
由已知,x2≠0,
则直线AD的方程为y-1=x,令x=-1,得点E的纵坐标yE=.
把y2=k(x2+1)代入得yE=.
由已知,x1≠-,则直线BC的方程为y+=
,令x=-1,得点G的纵坐标yG=.
把y1=k(x1+1)代入得yG=.
yE+yG=+
=
=.
把x1+x2=,x1x2=代入到
2x1x2+3(x1+x2)+4中,则
2x1x2+3(x1+x2)+4=2×+3×+4=0.
即yE+yG=0,即|EF1|=|F1G|.
2.(2020·重庆模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F,且椭圆C过点.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若点A,B分别为椭圆C的左右顶点,点P是椭圆C上不同于A,B的动点,直线AP与直线x=a交于点Q,证明:以线段BQ为直径的圆与直线PF相切.
【解析】(1)设椭圆C的焦距为2c(c>0),依题意,,解得a=2,b=,c=1,故椭圆C的标准方程为+=1.
(2)方法一:①设点P的坐标为(x0,y0),x0≠±2,
因为P在椭圆上,所以+=1,所以=3-,
由A,B两点的坐标为(-2,0),(2,0),所以直线AP的方程为:y=(x+2),
当x=2时y=,则点Q的坐标为,
设线段BQ的中点为T,则点T的坐标为,有|BT|=,
当x0≠1时,直线PF的方程为:y=(x-1),整理为y0x-(x0-1)y-y0=0,
由+(x0-1)2=3-+-2x0+1=(-8x0+16)=(x0-4)2,
则点T到直线PF的距离为d=
===,
由d=|BT|,故以BQ为直径的圆与直线PF相切.
②当x0=1时,则点P的坐标为或,直线PF的方程为x=1,直线AP的方程为x-2y+2=0或x+2y+2=0.将x=2代入直线AP的方程得点Q的坐标为(2,2)或(2,-2),线段BQ中点T的坐标为(2,1)或(2,-1),所以|BT|=1.又点T到直线PF的距离d=1,
由d=|BT|,故以BQ为直径的圆与直线PF相切.
方法二:由(1)知A(-2,0),B(2,0),F(1,0).
依题意,直线AP的斜率存在,设直线AP的方程为y=k(x+2),
设点P的坐标为(x0,y0),由,消去y得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.
所以-2+x0=,所以x0=,
所以y0=k(x0+2)=,
所以P的坐标为.
因为直线AP与x=2交点为Q,
所以Q的坐标为(2,4k),B(2,0),
所以以BQ为直径的圆的圆心坐标为(2,2k),半径为|2k|.
①当直线PF的斜率存在,即≠1,k2≠时直线PF的方程为y=(x-1),即y=(x-1),整理得4kx-(1-4k2)y-4k=0,
设圆心(2,2k)到直线PF的距离为d,则
d====|2k|,
所以以BQ为直径的圆与直线PF相切.
②当直线PF的斜率不存在,即k2=时,直线PF的方程为x=1.圆心坐标为(2,±1),圆的半径为1,此时以BQ为直径的圆与直线PF相切.
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-圆锥曲线中的定值与定点问题
核心考点·精准研析
考点一 直线过定点问题?
【典例】(2020·郑州模拟)已知O(0,0)和K(0,2)是平面直角坐标系中两个定点,过动点M(x,y)的直线MO和MK的斜率分别为k1,k2,且k1·k2=-.
世纪金榜导学号
(1)求动点M(x,y)的轨迹C的方程.
(2)过点K作相互垂直的两条直线与轨迹C交于A,B两点,求证:直线AB过定点.
【解题导思】
序号
联想解题
(1)
利用两点坐标表示出直线OM,MK的斜率,即可得到动点坐标所满足的条件(注意斜率存在的条件)
(2)
根据点K的位置,确定过点K相互垂直的两直线斜率是否存在;若两直线斜率存在,则斜率互为负倒数.建立A,B两点坐标之间的关系,求出直线方程所满足的条件,进而确定定点.
【解析】(1)由题意,知k1·k2=-,
得·=-,整理得x2+y(y-2)=0,
故C的方程为+(y-1)2=1(x≠0).(也可以写作x2+2y2-4y=0).
(2)显然两条过点K的直线斜率都存在,设过点K的直线方程为y=kx+2,
联立解得x=,y=,
设直线AB的方程为:Ax+By+C=0,
将x=,y=
代入得++C=0
整理得:2Ck2-4Ak+2B+C=0,
由于两直线垂直,斜率乘积为-1,根据根与系数的关系=-1,即2B+3C=0,
故直线AB过定点.
圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.
(2)特殊到一般法,根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.
(2020·鹰潭模拟)中心在原点,焦点在x轴上的椭圆,下顶点D(0,-1),且离心率e=.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)经过点M(1,0)且斜率为k的直线l交椭圆于A,B两点,在x轴上是否存在定点P,使得∠MPA=∠MPB恒成立?若存在,求出点P坐标;若不存在,说明理由.
【解析】(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由已知得b=1,=,
又a2=b2+c2,
所以a2=3,b2=1,
即椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)假设x轴上存在定点P(m,0)满足条件,设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意可知,k≠0,设直线l方程为y=k(x-1),
由
消去y整理得,(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0,
x1+x2=,x1x2=,
由∠MPA=∠MPB得,kPA+kPB=0,所以+=0,
又y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),
+=+
=
=
==0,
所以k[2(3k2-3)-(m+1)·6k2+2m(3k2+1)]=0,
所以k(6k2-6-6mk2-6k2+6mk2+2m)=0,
所以k(-6+2m)=0,
即m=3,所以P(3,0),
所以定点P坐标为(3,0).
考点二 圆过定点问题?
【典例】(2020·咸阳模拟)已知A(-2,0),B(2,0),点C是动点且直线AC和直线BC的斜率之积为-.
世纪金榜导学号
(1)求动点C的轨迹方程.
(2)设直线l与(1)中轨迹相切于点P,与直线x=4相交于点Q,判断以PQ为直径的圆是否过x轴上一定点.
【解题导思】
序号
联想解题
(1)
两直线的斜率存在,故动点C与A,B两点横坐标不相等;利用点的坐标表示出斜率,构造等式关系.
(2)
直线和曲线相切,可利用判别式建立直线方程中的参数之间的关系,代入方程求出点Q的坐标,转化为两个向量垂直,进而坐标化处理
【解析】(1)设C(x,y).由题意得kAC·kBC=·=-(y≠0).整理,得+=1(y≠0).
故动点C的轨迹方程为+=1(y≠0).
(2)方法一:易知直线l的斜率存在,
设直线l:y=kx+m.
联立得方程组
消去y并整理,得
(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.
依题意得Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,
即3+4k2=m2.
设x1,x2为方程(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0的两个根,则x1+x2=,
所以x1=x2=.
所以P,即P.
又Q(4,4k+m),
设R(t,0)为以PQ为直径的圆上一点,
则由·=0,
得·(4-t,4k+m)=0.
整理,得(t-1)+t2-4t+3=0.
由的任意性,得t-1=0且t2-4t+3=0,解得t=1.
综上可知以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1,0).
方法二:设P(x0,y0),则曲线C在点P处的切线PQ:+=1.
令x=4,得Q.
设R(t,0)为以PQ为直径的圆上一点,
则由·=0,
得(x0-t)·(4-t)+3-3x0=0,
即x0(1-t)+t2-4t+3=0.
由x0的任意性,得1-t=0且t2-4t+3=0,解得t=1.
综上可知,以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1,0).
圆过定点,可依据直径所对圆周角为直角直接转化为两条线段的垂直,进而转化为两个向量垂直,即两向量的数量积等于0,从而建立方程求解定点的坐标.
(2020·西安模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0),离心率e=,A是椭圆的左顶点,F是椭圆的左焦点,=1,直线m:x=-4.
(1)求椭圆C的方程.
(2)直线l过点F与椭圆C交于P,Q两点,直线PA,QA分别与直线m交于M,N两点,试问:以MN为直径的圆是否过定点,如果是,请求出定点坐标;如果不是,请说明理由.
【解析】(1)得,
椭圆C的方程为+=1.
(2)当直线l斜率存在时,设直线l:y=k,P、Q,
直线PA:y=,
令x=-4,得M,
同理N,
以MN为直径的圆:+=0,
整理得:+y2+2ky+4k2=0,①
得x2+8k2x+4k2-12=0,
x1+x2=,x1x2=,②
将②代入①整理得:x2+y2+8x-y+7=0,
令y=0,得x=-1或x=-7.
当直线l斜率不存在时,令P、Q、
M、N,
以MN为直径的圆+y2=9也过、两点,
综上:以MN为直径的圆过两定点、.
考点三 定值问题?
命题精解读
1.考什么:(1)考查圆锥曲线中与定值有关问题的求解与证明等问题.(2)考查数学运算、逻辑推理以及数学建模的核心素养、考查函数与方程、转化与化归的数学思想等.2.怎么考:以直线和圆锥曲线的位置关系为基础,考查定值问题的求解与证明.3.新趋势:以定值问题为核心,与函数、平面向量等知识模块交汇.
学霸好方法
圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点:待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.(2)两大解法:①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;②变量法:其解题流程为
与长度、角度相关的定值
【典例】(2020·济宁模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且椭圆C过点P.
世纪金榜导学号
(1)求椭圆C的方程.
(2)设椭圆C的右焦点为F,直线l与椭圆C相切于点A,与直线x=3相交于点B,求证:∠AFB的大小为定值.
【解析】(1)因为椭圆C过点,
所以+=1, ①
因为离心率为,所以=, ②
又因为a2=b2+c2, ③
由①②③得a2=3,b2=2,c2=1.
所以椭圆C的方程为:+=1.
(2)显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为:y=kx+m.
由消去y得
(2+3k2)x2+6kmx+3m2-6=0,
由Δ=24(3k2-m2+2)=0得m2=3k2+2.
所以xA=-=-=-,
所以yA=kxA+m=-+m==.
所以切点A的坐标为,
又点B的坐标为(3,3k+m),右焦点F的坐标为(1,0),所以=,=(2,3k+m),
所以·=×2+×(3k+m)=0,
所以∠AFB=90°,即∠AFB的大小为定值.
证明角度为定值的一般方法是什么?
提示:证明角度为定值,即借助向量将角转化为两个向量的夹角,进而转化为平面向量数量积的相关问题求解.
代数式的定值
【典例】已知抛物线C:y2=ax(a>0)上一点P到焦点F的距离为2t.
世纪金榜导学号
(1)求抛物线C的方程.
(2)抛物线C上一点A的纵坐标为1,过点Q(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合),设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.
【解析】(1)由抛物线的定义可知|PF|=t+=2t,
则a=4t,由点P在抛物线上,得at=,
所以a×=,则a2=1,由a>0,得a=1,
所以抛物线C的方程为y2=x.
(2)因为点A在抛物线C上,且yA=1,
所以xA=1.所以A(1,1),设过点Q(3,-1)的直线的方程为x-3=m(y+1),即x=my+m+3,
代入y2=x得y2-my-m-3=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则y1+y2=m,y1y2=-m-3,
所以k1k2=·
==-.
所以k1k2为定值.
证明代数式的定值问题时关键点是什么?
提示:代数式的定值问题,只需将代数式坐标化,代入点的坐标关系进行直接运算即可.
1.(2019·青岛模拟)已知直线l过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,且垂直于抛物线的对称轴,l与抛物线两交点间的距离为2.
(1)求抛物线C的方程.
(2)若点P(2,2),过点(-2,4)的直线m与抛物线C相交于A,B两点,设直线PA与PB的斜率分别为k1和k2.求证:k1k2为定值,并求出此定值.
【解析】(1)由题意可知,2p=2,解得p=1,则抛物线的方程为x2=2y.
(2)由题易知直线m的斜率存在,设直线m的方程为y-4=k(x+2),A(x1,y1),B(x2,y2),
则k1==,k2==,
k1k2=
=,
联立抛物线x2=2y与直线y-4=k(x+2)的方程消去y得x2-2kx-4k-8=0,其中Δ=4(k2+4k+8)>0恒成立,
可得x1+x2=2k,x1x2=-4k-8,则k1k2=-1.
因此k1k2为定值,且该定值为-1.
2.已知,椭圆C经过点A,两个焦点分别为(-1,0),(1,0).
(1)求椭圆C的方程.
(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.
【解析】(1)由题意,c=1,可设椭圆方程为+=1,因为A在椭圆上,所以+=1,
解得b2=3,b2=-(舍去).
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)设直线AE的方程为:
y=k(x-1)+,代入+=1得
(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4-12=0.
设E(xE,yE),F(xF,yF),因为点A在椭圆上,
所以xE=,yE=kxE+-k.
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以-k代k,可得xF=,
yF=-kxF++k.
所以直线EF的斜率
kEF===.
即直线EF的斜率为定值,其值为.
1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点与y2=8x的焦点重合且点A(2,)为椭圆上一点
(1)求椭圆方程.
(2)过点A任作两条与椭圆C相交且关于x=2对称的直线,与椭圆C分别交于P,Q两点,求证:直线PQ的斜率是定值.
【解析】(1)抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),
则椭圆C的一个焦点为F(2,0),故a2=b2+4,
把点A代入椭圆方程得:+=1,
解得:
所以椭圆C方程为+=1.
(2)由题意,可设直线AP的方程为y=k(x-2)+,
则直线AQ的方程为y=-k(x-2)+,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则y1=k(x1-2)+,y2=-k(x2-2)+,
把直线AP的方程与椭圆C方程联立得:
(1+2k2)x2+(4k-8k2)x+(8k2-8k-4)=0,
2·x1=,故x1=,
同理可得x2=,
所以
kPQ==
==k·
=k·
=,所以直线PQ的斜率是定值.
2.(2020·宝鸡模拟)已知椭圆C:y2=2px(p>0),点F为抛物线的焦点,焦点F到直线3x-4y+3=0的距离为d1,焦点F到抛物线C的准线的距离为d2,且=.
(1)求抛物线C的标准方程.
(2)若在x轴上存在点M,过点M的直线l分别与抛物线C相交于P、Q两点,且+为定值,求点M的坐标.
【解析】(1)由题意知,焦点F的坐标为,则d1==,d2=p,
又=,解得:p=2.故抛物线C的标准方程为y2=4x.
(2)设点M坐标为,点P,Q的坐标分别为,,
显然直线l的斜率不为0.设直线l的方程为x=my+t.
联立方程消去x,并整理得y2-4my-4t=0,
则Δ=16>0且y1+y2=4m,y1y2=-4t.
由==,==.
有+=+=
==,
若+为定值,必有t=2.
所以当+为定值时,点M的坐标为.
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