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第35讲
空间坐标系与空间向量
1、
考情分析
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；
2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式；3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；
4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；
5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
2、
知识梳理
1.空间向量的有关概念
名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共线向量(或平行向量)
如果空间一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量
共面向量
平行于同一个平面的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝xb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb.
(3)空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc.
3.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)空间向量数量积的运算律：
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4.空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
eq
\r(a＋a＋a)
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉＝eq
\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a＋a＋a)·\r(b＋b＋b))
[微点提醒]
1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.
2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.
3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.
4.若向量α的投影向量是γ，则向量α－γ与向量γ垂直，当向量γ与向量α起点相同时，终点间的距离最小.
3、
经典例题
考点一 空间向量的线性运算
【例1】
如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)＋.
【解析】 (1)因为P是C1D1的中点，所以＝＋＋＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)因为M是AA1的中点，所以＝＋
＝＋
＝－a＋＝a＋b＋c.
又＝＋＝＋
＝＋＝c＋a，
所以＋＝＋
＝a＋b＋c.
规律方法 (1)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.
(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.
提醒 空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算.
考点二 共线定理、共面定理的应用
【例2】
已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)BD∥平面EFGH.
【解析】证明 (1)连接BG，则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由共面向量定理知E，F，G，H四点共面.
(2)因为＝－＝－＝(－)＝，
因为E，H，B，D四点不共线，
所以EH∥BD.
又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
规律方法 (1)证明空间三点P，A，B共线的方法
①＝λ(λ∈R)；
②对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1).
(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法
①＝x＋y；
②对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
③∥(或∥或∥).
(3)三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明.
考点三 空间向量的数量积及其应用
角度1 数量积的坐标运算
【例3－1】
已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5).
(1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积；
(2)若向量a分别与，垂直，且|a|＝，求a的坐标.
【解析】(1)∵＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，
设〈，〉＝θ，则
cos
θ＝＝＝，θ＝60°，
所以以AB，AC为边的平行四边形的面积
S＝AB·ACsin
θ＝7.
(2)设a的坐标为(x，y，z)，则a·＝(x，y，z)·(－2，－1，3)＝0，a·＝(x，y，z)·(1，－3，2)＝0，x2＋y2＋z2＝3，解得a＝(1，1，1)，或a＝(－1，－1，－1).
角度2 数量积的线性运算
【例3－2】
如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
(1)·；(2)·；
【解析】 设＝a，＝b，＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
(1)＝＝c－a，＝－a，＝b－c，
·＝·(－a)＝a2－a·c＝，
(2)·＝(＋＋)·(－)
＝·(－)
＝·(－)
＝·(c－a)
＝
＝.
规律方法 1.利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.
2.空间向量的数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题.
(1)a≠0，b≠0，a⊥b?a·b＝0；
(2)|a|＝；
(3)cos〈a，b〉＝.
[方法技巧]
1.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.其中合理选取基底是优化运算的关键.
2.向量的运算有线性运算和数量积运算两大类，运算方法有两种，一种是建立空间坐标系，用坐标表示向量，向量运算转化为坐标运算，另一种是选择一组基向量，用基向量表示其它向量，向量运算转化为基向量的运算.
3.在利用＝x＋y①证明MN∥平面ABC时，必须说明M点或N点不在面ABC内(因为①式只表示与，共面).
4.求异面直线所成角，一般可转化为两向量夹角，但要注意两种角范围不同，注意两者关系，合理转化.
5.找两个向量的夹角，应使两个向量具有同一起点，不要误找成它的补角.
4、
课时作业
1．在空间直角坐标系中，点P（3，4，5）关于平面的对称点的坐标为(
)
A．（?3，4，5）
B．（?3，?4，5）
C．（3，?4，?5）
D．（?3，4，?5）
2．已知空间直角坐标系中两点，则|AB|＝（
）
A．6
B．7
C．
D．5
3．在空间直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，则的形状为（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
4．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是(
)
A．
B．
C．
D．
5．正方体中，（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知向量＝（2，1，﹣3），＝（1，﹣1，2），则+2＝（
）
A．3
B．（4，﹣1，1）
C．（5，1，﹣4）
D．
7．已知（2，1，﹣3），（﹣1，2，3），（7，6，λ），若P，A，B，C四点共面，则λ＝（
）
A．9
B．﹣9
C．﹣3
D．3
8．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,化简
(
)
A．
B．
C．
D．
9．已知点，，则的最小值为（
）．
A．
B．
C．
D．
10．在空间直角坐标系中，设，若，则实数a的值是（
）
A．3或5
B．或
C．3或
D．或5
11．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是(
)
A．关于x轴对称
B．关于xOy平面对称
C．关于坐标原点对称
D．以上都不对
12．已知，，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
13．设，向量，
，则（
）
A．
B．
C．3
D．4
14．若点关于平面的对称点为，点关于轴对称点为，点为线段的中点，则（
）
A．
B．
C．5
D．
15．在棱长为的正方体中，点为中点，过点作平面平面，平面与侧面交于线段，点为线段上任意一点，则线段长度的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
16．已知空间直角坐标系中有一点，点是平面内的直线上的动点，则，两点的最短距离是（
）
A．
B．
C．
D．
17．在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝3，BC＝1，D是边AC上的一点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
18．点是棱长为的正方体的底面上一点，则的取值范围是（
）．
A．
B．
C．
D．
19．（多选题）如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则(
)
A．点的坐标为
B．点关于点对称的点为
C．点关于直线对称的点为
D．点关于平面对称的点为
20．（多选题）正方体的棱长为，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
21．已知.
（1）若，分别求λ与m的值；
（2）若，且与垂直，求.
22．已知向量.
（1）计算和.
（2）求.
23．已知长方体中,
，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点的坐标；
（2）求线段的长度；
（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．
24．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
25．已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.
（1）求AC′的长；（如图所示）
（2）求与的夹角的余弦值．
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精品试卷·第
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第35讲
空间坐标系与空间向量
1、
考情分析
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；
2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式；3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；
4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；
5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
2、
知识梳理
1.空间向量的有关概念
名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共线向量(或平行向量)
如果空间一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量
共面向量
平行于同一个平面的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝xb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb.
(3)空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc.
3.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)空间向量数量积的运算律：
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4.空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
eq
\r(a＋a＋a)
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉＝eq
\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a＋a＋a)·\r(b＋b＋b))
[微点提醒]
1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.
2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.
3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.
4.若向量α的投影向量是γ，则向量α－γ与向量γ垂直，当向量γ与向量α起点相同时，终点间的距离最小.
3、
经典例题
考点一 空间向量的线性运算
【例1】
如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)＋.
【解析】 (1)因为P是C1D1的中点，所以＝＋＋＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)因为M是AA1的中点，所以＝＋
＝＋
＝－a＋＝a＋b＋c.
又＝＋＝＋
＝＋＝c＋a，
所以＋＝＋
＝a＋b＋c.
规律方法 (1)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.
(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.
提醒 空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算.
考点二 共线定理、共面定理的应用
【例2】
已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)BD∥平面EFGH.
【解析】证明 (1)连接BG，则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由共面向量定理知E，F，G，H四点共面.
(2)因为＝－＝－＝(－)＝，
因为E，H，B，D四点不共线，
所以EH∥BD.
又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
规律方法 (1)证明空间三点P，A，B共线的方法
①＝λ(λ∈R)；
②对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1).
(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法
①＝x＋y；
②对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
③∥(或∥或∥).
(3)三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明.
考点三 空间向量的数量积及其应用
角度1 数量积的坐标运算
【例3－1】
已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5).
(1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积；
(2)若向量a分别与，垂直，且|a|＝，求a的坐标.
【解析】(1)∵＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，
设〈，〉＝θ，则
cos
θ＝＝＝，θ＝60°，
所以以AB，AC为边的平行四边形的面积
S＝AB·ACsin
θ＝7.
(2)设a的坐标为(x，y，z)，则a·＝(x，y，z)·(－2，－1，3)＝0，a·＝(x，y，z)·(1，－3，2)＝0，x2＋y2＋z2＝3，解得a＝(1，1，1)，或a＝(－1，－1，－1).
角度2 数量积的线性运算
【例3－2】
如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
(1)·；(2)·；
【解析】 设＝a，＝b，＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
(1)＝＝c－a，＝－a，＝b－c，
·＝·(－a)＝a2－a·c＝，
(2)·＝(＋＋)·(－)
＝·(－)
＝·(－)
＝·(c－a)
＝
＝.
规律方法 1.利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.
2.空间向量的数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题.
(1)a≠0，b≠0，a⊥b?a·b＝0；
(2)|a|＝；
(3)cos〈a，b〉＝.
[方法技巧]
1.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.其中合理选取基底是优化运算的关键.
2.向量的运算有线性运算和数量积运算两大类，运算方法有两种，一种是建立空间坐标系，用坐标表示向量，向量运算转化为坐标运算，另一种是选择一组基向量，用基向量表示其它向量，向量运算转化为基向量的运算.
3.在利用＝x＋y①证明MN∥平面ABC时，必须说明M点或N点不在面ABC内(因为①式只表示与，共面).
4.求异面直线所成角，一般可转化为两向量夹角，但要注意两种角范围不同，注意两者关系，合理转化.
5.找两个向量的夹角，应使两个向量具有同一起点，不要误找成它的补角.
4、
课时作业
1．在空间直角坐标系中，点P（3，4，5）关于平面的对称点的坐标为(
)
A．（?3，4，5）
B．（?3，?4，5）
C．（3，?4，?5）
D．（?3，4，?5）
【答案】A
【解析】关于平面对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，所以点P（3，4，5）关于平面的对称点的坐标为（?3，4，5）．故选A．
2．已知空间直角坐标系中两点，则|AB|＝（
）
A．6
B．7
C．
D．5
【答案】C
【解析】因为点，
所以.
3．在空间直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，则的形状为（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
【答案】B
【解析】因为的顶点分别为，2，，，4，，，4，，
则，
，
．
所以．
所以的形状为直角三角形．
4．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为关于平面对称的两点是横坐标、纵坐标相同，竖坐标互为相反数
所以点关于平面对称的点的坐标是
5．正方体中，（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵是正方体，
∴．
故选：D．
6．已知向量＝（2，1，﹣3），＝（1，﹣1，2），则+2＝（
）
A．3
B．（4，﹣1，1）
C．（5，1，﹣4）
D．
【答案】B
【解析】+2
7．已知（2，1，﹣3），（﹣1，2，3），（7，6，λ），若P，A，B，C四点共面，则λ＝（
）
A．9
B．﹣9
C．﹣3
D．3
【答案】B
【解析】由P，A，B，C四点共面，可得共面，
，
，解得.
8．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,化简
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】在平行六面体，连接AC，如图，
则,故选A．
9．已知点，，则的最小值为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为，所以当时有最小值，
10．在空间直角坐标系中，设，若，则实数a的值是（
）
A．3或5
B．或
C．3或
D．或5
【答案】A
【解析】由空间中两点的距离公式，可得，
解得或.
11．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是(
)
A．关于x轴对称
B．关于xOy平面对称
C．关于坐标原点对称
D．以上都不对
【答案】A
【解析】点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的x坐标相同，而y、z坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．
12．已知，，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】已知，,.
.
当时，有最小值.
13．设，向量，
，则（
）
A．
B．
C．3
D．4
【答案】C
【解析】
，，，
14．若点关于平面的对称点为，点关于轴对称点为，点为线段的中点，则（
）
A．
B．
C．5
D．
【答案】C
【解析】解：点关于平面的对称点为，
，
点关于轴对称点为，
，
点为线段的中点，
，
．
15．在棱长为的正方体中，点为中点，过点作平面平面，平面与侧面交于线段，点为线段上任意一点，则线段长度的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如下图所示，取中点，中点，连接，
因为为中点，所以四边形为平行四边形，
因为为中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为，，所以平面平面，
所以平面即为平面，此时即为，建立空间直角坐标系如上图所示，
设，
所以，
当时，.
16．已知空间直角坐标系中有一点，点是平面内的直线上的动点，则，两点的最短距离是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为点是平面内的直线上的动点,
所以可设点，由空间两点之间的距离公式,得,令
,当时,的最小值为,所以当时,的最小值为,即两点的最短距离是,故选B.
17．在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝3，BC＝1，D是边AC上的一点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为D是边AC上的一点(包括端点)，∴设
∵∠ABC＝120°，AB＝3，BC＝1，∴，
∴
∵，∴.
∴的取值范围是.故选D.
18．点是棱长为的正方体的底面上一点，则的取值范围是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
如图，以为原点，以，，方向为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，则，，，
，，
，（其中，），
∴的取值范围是．
故选：．
19．（多选题）如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则(
)
A．点的坐标为
B．点关于点对称的点为
C．点关于直线对称的点为
D．点关于平面对称的点为
【答案】ACD
【解析】根据题意知：点的坐标为，正确；
的坐标为，坐标为，故点关于点对称的点为，错误；
点关于直线对称的点为，正确；
点关于平面对称的点为，正确；
故选：.
20．正方体的棱长为，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】如下图所示：
对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，，B选项正确；
对于C选项，，C选项正确；
对于D选项，，D选项错误.
21．已知.
（1）若，分别求λ与m的值；
（2）若，且与垂直，求.
【解析】解:（1）由，得
，解得
（2），且
化简得，解得.
因此
22．已知向量.
（1）计算和.
（2）求.
【解析】解:（1）因为向量
所以，
所以
（2）
因为，
所以
23．已知长方体中,
，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点的坐标；
（2）求线段的长度；
（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．
【解析】解：（1）两直线垂直，证明：由于为坐标原点，所以，
由得：
，
因为点N是AB的中点，点M是的中点，
，；
（2）由两点距离公式得：
，
；
（3）直线与直线不垂直，
理由：由（1）中各点坐标得：
，
，
与不垂直，
所以直线与直线不垂直.
24．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【解析】
25．已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.
（1）求AC′的长；（如图所示）
（2）求与的夹角的余弦值．
【解析】（1）可得＝＝，
＝＝+2（）
＝42+32+52+2（4×3×0+4×）＝85
故AC′的长等于＝
（2）由（1）可知＝，＝
故＝（）（）
＝
＝＝
又＝＝＝＝5
故与的夹角的余弦值＝＝
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精品试卷·第
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