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第38讲
两条直线的位置关系
1、
考情分析
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
2、
知识梳理
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2?k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.
2.两直线相交
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应.
相交?方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行?方程组无解；
重合?方程组有无数个解.
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
[微点提醒]
1.两直线平行的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).
2.两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
3.在运用两平行直线间的距离公式d＝时，一定要注意将两方程中x，y的系数分别化为相同的形式.
3、
经典例题
考点一 两直线的平行与垂直
【例1】
(1)直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】 (1)C (2)D
【解析】 (1)由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件.
(2)由题意得直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点.当直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0分别平行时，m＝或－；当直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，m＝－.所以实数m的取值集合为.
规律方法 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.
2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
考点二 两直线的交点与距离问题
【例2】
(1)(一题多解)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为________.
(2)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________.
(3)(2019·厦门模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________.
【答案】 (1)5x＋3y－1＝0 (2)[0，10] (3)2或－6
【解析】 (1)法一 先解方程组
得l1，l2的交点坐标为(－1，2)，
再由l3的斜率求出l的斜率为－，
于是由直线的点斜式方程求出l：
y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.
法二 由于l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1，l2的交点
(－1，2)，
故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，
故l的方程为5x＋3y－1＝0.
法三 由于l过l1，l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，
将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.
其斜率－＝－，解得λ＝，
代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.
(2)由题意得，点P到直线的距离为＝.
又≤3，即|15－3a|≤15，解之得0≤a≤10，
所以a的取值范围是[0，10].
(3)依题意知，＝≠，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，又两平行线之间的距离为，所以＝，解得c＝2或－6.
规律方法 1.求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
2.利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等.
考点三 对称问题 多维探究
角度1 对称问题的求解
【例3－1】
若点(a，b)关于直线y＝2x的对称点在x轴上，则a，b满足的条件为( )
A.4a＋3b＝0
B.3a＋4b＝0
C.2a＋3b＝0
D.3a＋2b＝0
【答案】 A
【解析】 设点(a，b)关于直线y＝2x的对称点为(t，0)，则有解得4a＋3b＝0.
角度2 对称问题的应用
【例3－2】
(一题多解)光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程.
解 法一 由得
∴反射点M的坐标为(－1，2).
又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5，0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，
由PP′⊥l可知，kPP′＝－＝.
而PP′的中点Q的坐标为，又Q点在l上，
∴3·－2·＋7＝0.
由得
根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.
法二 设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，则＝－，
又PP′的中点Q在l上，∴3×－2×＋7＝0，由
可得P点的横、纵坐标分别为
x0＝，y0＝，
代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，
∴所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.
规律方法 1.解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，且直线l与直线MN垂直.
2.如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.
3.若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：(1)若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；(2)若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B′在直线l2上.
[方法技巧]
1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1∥l2?k1＝k2；l1⊥l2?k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意.
2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法解决问题.
3.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑.
4.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.
4、
课时作业
1．（2020·河北省隆化存瑞中学高一期末）过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( )
A．2x＋y－1＝0
B．x－2y＋7＝0
C．x－2y－5＝0
D．2x＋y－5＝0
2．（2020·涟水县第一中学高一开学考试）直线与直线之间的距离是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·安徽蚌山?蚌埠二中高二开学考试（文））已知直线，直线，若，则实数的值为( )
A．±4
B．－4
C．4
D．±2
4．（2016·河南南阳?高二月考（理））设曲线在点处的切线与直线垂直，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2017·四川成都?石室中学高一期中）若直线过点，
，则直线和（
）
A．平行
B．相交但不垂直
C．垂直
D．相交于点
6．（2019·皇姑?辽宁实验中学高二期中）已知点P，Q分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为（）．
A．
B．
C．
D．
7．（2020·湖南张家界?高一期末）直线与直线平行，则它们的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·广东高一期末）已知平面直角坐标系中，直线，直线，则与的位置关系是（ ）
A．平行
B．重合
C．相交但不垂直
D．垂直
9．（2020·广东高二期末）设，则“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件,
10．（2020·浙江高三其他）已知直线，，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
11．（2020·西夏?宁夏大学附属中学高一期末）若直线与直线垂直，则实数的值是（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2020·河南濮阳?高二期末（文））若曲线的一条切线与直线垂直，则直线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
13．（2020·全国高二单元测试）过点（1，-3）且平行于直线x+2y-3=0的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2020·江苏淮安?高一期末）已知直线和直线平行，则实数m的值为（
）
A．
B．1
C．2
D．3
15．（2020·云南高一期末）过点且垂直于直线的直线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
16．（2020·黑龙江南岗?哈师大附中高二月考）已知直线，其中，则“”是“”的
（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
17．（2020·林芝市第二高级中学高二期中（文））过点A(3，3)且垂直于直线的直线方程为
A．
B．
C．
D．
18．（2020·洮南市第一中学高一月考）直线与互相垂直，则的值是（
）.
A．-0.25
B．1
C．-1
D．1或-1
19．（2020·贵州省思南中学高一期末）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（
）
A．x-2y-1=0
B．x-2y+1=0
C．2x+y-2=0
D．x+2y-1=0
20．（2020·湖北高一期末）若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
21．（多选题）（2020·江苏启东?高一期末）已知直线l：，其中，下列说法正确的是（
）
A．当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直
B．若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0
C．直线l过定点(0，1)
D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
22．（多选题）（2020·江苏徐州?高一期末）已知直线，则下列说法正确的是（
）
A．若，则m=-1或m=3
B．若，则m=3
C．若，则
D．若，则
23．（多选题）（2020·江苏启东中学高一期中）已知，，，，且直线AB与CD平行，则m的值为（
）
A．
B．0
C．1
D．2
24．（多选题）（2020·江苏海陵?泰州中学高一月考）若直线：，与直线：互相平行，则的值可能为（
）
A．
B．1
C．3
D．0
25．（2020·巴楚县第一中学高一期末）已知直线经过两条直线:和:的交点，直线:；
(1)若，求的直线方程；
(2)若，求的直线方程．
26．（2019·山西省长治市第二中学校高二月考（文））已知两条直线：，为何值时，与：
（1）垂直；
（2）平行
27．（2019·江苏昆山?高二期中）已知直线．
（Ⅰ）若，求实数的值；
（Ⅱ）当时，求直线与之间的距离．
28．（2019·浙江拱墅?杭州四中高二期末）求两条垂直的直线和的交点坐标．
求平行于直线，且与它的距离为的直线方程．
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精品试卷·第
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第38讲
两条直线的位置关系
1、
考情分析
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
2、
知识梳理
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2?k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.
2.两直线相交
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应.
相交?方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行?方程组无解；
重合?方程组有无数个解.
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
[微点提醒]
1.两直线平行的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).
2.两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
3.在运用两平行直线间的距离公式d＝时，一定要注意将两方程中x，y的系数分别化为相同的形式.
3、
经典例题
考点一 两直线的平行与垂直
【例1】
(1)直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】 (1)C (2)D
【解析】 (1)由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件.
(2)由题意得直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点.当直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0分别平行时，m＝或－；当直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，m＝－.所以实数m的取值集合为.
规律方法 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.
2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
考点二 两直线的交点与距离问题
【例2】
(1)(一题多解)求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为________.
(2)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________.
(3)(2019·厦门模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________.
【答案】 (1)5x＋3y－1＝0 (2)[0，10] (3)2或－6
【解析】 (1)法一 先解方程组
得l1，l2的交点坐标为(－1，2)，
再由l3的斜率求出l的斜率为－，
于是由直线的点斜式方程求出l：
y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.
法二 由于l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1，l2的交点
(－1，2)，
故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，
故l的方程为5x＋3y－1＝0.
法三 由于l过l1，l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，
将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.
其斜率－＝－，解得λ＝，
代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.
(2)由题意得，点P到直线的距离为＝.
又≤3，即|15－3a|≤15，解之得0≤a≤10，
所以a的取值范围是[0，10].
(3)依题意知，＝≠，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，又两平行线之间的距离为，所以＝，解得c＝2或－6.
规律方法 1.求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
2.利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等.
考点三 对称问题 多维探究
角度1 对称问题的求解
【例3－1】
若点(a，b)关于直线y＝2x的对称点在x轴上，则a，b满足的条件为( )
A.4a＋3b＝0
B.3a＋4b＝0
C.2a＋3b＝0
D.3a＋2b＝0
【答案】 A
【解析】 设点(a，b)关于直线y＝2x的对称点为(t，0)，则有解得4a＋3b＝0.
角度2 对称问题的应用
【例3－2】
(一题多解)光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程.
解 法一 由得
∴反射点M的坐标为(－1，2).
又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5，0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，
由PP′⊥l可知，kPP′＝－＝.
而PP′的中点Q的坐标为，又Q点在l上，
∴3·－2·＋7＝0.
由得
根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.
法二 设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，则＝－，
又PP′的中点Q在l上，∴3×－2×＋7＝0，由
可得P点的横、纵坐标分别为
x0＝，y0＝，
代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，
∴所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.
规律方法 1.解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，且直线l与直线MN垂直.
2.如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.
3.若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：(1)若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；(2)若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B′在直线l2上.
[方法技巧]
1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1∥l2?k1＝k2；l1⊥l2?k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意.
2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法解决问题.
3.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑.
4.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.
4、
课时作业
1．（2020·河北省隆化存瑞中学高一期末）过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( )
A．2x＋y－1＝0
B．x－2y＋7＝0
C．x－2y－5＝0
D．2x＋y－5＝0
【答案】B
【解析】设直线方程式是：x－2y＋c＝0
因为直线过点(－1,3)
所以-1-6+c=0，解得c=7
故所求直线方程是：x－2y＋7＝0
2．（2020·涟水县第一中学高一开学考试）直线与直线之间的距离是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵直线不同时为0与直线不同时为0,之间的距离，
∴直线与直线之间的距离．
3．（2020·安徽蚌山?蚌埠二中高二开学考试（文））已知直线，直线，若，则实数的值为( )
A．±4
B．－4
C．4
D．±2
【答案】B
【解析】∵直线l1：ax＋2y－1＝0，直线l2：8x＋ay＋2－a＝0，且l1∥l2
∴，且
∴
4．（2016·河南南阳?高二月考（理））设曲线在点处的切线与直线垂直，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由己知，时，，所以，解得．故选D．
5．（2017·四川成都?石室中学高一期中）若直线过点，
，则直线和（
）
A．平行
B．相交但不垂直
C．垂直
D．相交于点
【答案】C
【解析】直线过点，
直线的斜率为,的斜率为,直线与互相垂直，故选C
6．（2019·皇姑?辽宁实验中学高二期中）已知点P，Q分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
因为，故，
，故，所以，
又，所以，故四边形为平行四边形，
，
因为，当且仅当三点共线时等号成立，
的最小值为，选B.
7．（2020·湖南张家界?高一期末）直线与直线平行，则它们的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】直线，即，与直线平行，
，根据两条平行直线之间的距离公式
得.
8．（2020·广东高一期末）已知平面直角坐标系中，直线，直线，则与的位置关系是（ ）
A．平行
B．重合
C．相交但不垂直
D．垂直
【答案】D
【解析】由题知：，，，.
因为，所以.
9．（2020·广东高二期末）设，则“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件,
【答案】C
【解析】若直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行，则,且
解得
10．（2020·浙江高三其他）已知直线，，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若,则,解得或.当时,直线的方程为,直线的方程为,两直线重合,所以,所以“”是“”的充要条件.
易错警示:很多考生根据求出或后,直接得出结论,而忽略排除两直线重合的情况,从而错选A.
11．（2020·西夏?宁夏大学附属中学高一期末）若直线与直线垂直，则实数的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由与垂直得：，解得
，故选A.
12．（2020·河南濮阳?高二期末（文））若曲线的一条切线与直线垂直，则直线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设曲线在点处的切线为l，
因为切线与直线垂直，所以，
所以，则，切线l的方程为：即.
13．（2020·全国高二单元测试）过点（1，-3）且平行于直线x+2y-3=0的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可设所求直线方程为x+2y+c=0，
∵直线过点（1，–3），代入x+2y+c=0可得1–6+c=0，
解得c=5，
∴所求直线方程为x+2y+5=0，
14．（2020·江苏淮安?高一期末）已知直线和直线平行，则实数m的值为（
）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】因为直线和直线平行，
所以，解得.
15．（2020·云南高一期末）过点且垂直于直线的直线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为所求直线垂直于直线，又直线的斜率为，
所以所求直线的斜率，
所以直线方程为，即.
16．（2020·黑龙江南岗?哈师大附中高二月考）已知直线，其中，则“”是“”的
（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】直线的充要条件是
或
．故选A．
17．（2020·林芝市第二高级中学高二期中（文））过点A(3，3)且垂直于直线的直线方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】过点A(3，3)且垂直于直线的直线斜率为，代入过的点得到.
18．（2020·洮南市第一中学高一月考）直线与互相垂直，则的值是（
）.
A．-0.25
B．1
C．-1
D．1或-1
【答案】D
【解析】当时，，此时，，显然两直线垂直，
当时，此时，，显然两直线不垂直，
当且时，因为，所以，解得：，
综上可知：或.
19．（2020·贵州省思南中学高一期末）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（
）
A．x-2y-1=0
B．x-2y+1=0
C．2x+y-2=0
D．x+2y-1=0
【答案】A
【解析】设与直线平行的直线方程为，
将点代入直线方程可得，解得．
则所求直线方程为．故A正确．
20．（2020·湖北高一期末）若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：由直线与直线互相垂直
所以
即
又a、b为正实数，所以
即，当且仅当a，b时取“＝”；
所以的最大值为．
21．（多选题）（2020·江苏启东?高一期末）已知直线l：，其中，下列说法正确的是（
）
A．当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直
B．若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0
C．直线l过定点(0，1)
D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
【答案】AC
【解析】对于A项，当a＝－1时，直线l的方程为，显然与x＋y＝0垂直，所以正确；
对于B项，若直线l与直线x－y＝0平行，可知，
解得或，所以不正确；
对于C项，当时，有，所以直线过定点，所以正确；
对于D项，当a＝0时，直线l的方程为，
在两轴上的截距分别是，所以不正确；
22．（2020·江苏徐州?高一期末）已知直线，则下列说法正确的是（
）
A．若，则m=-1或m=3
B．若，则m=3
C．若，则
D．若，则
【答案】BD
【解析】直线，则，解得或，但时，两直线方程分别为，即，两直线重合，只有时两直线平行，A错，B正确；
，则，，C错，D正确．
23．（2020·江苏启东中学高一期中）已知，，，，且直线AB与CD平行，则m的值为（
）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】BC
【解析】当时，，，，，直线轴，直线轴，所以直线AB与CD平行.
当时，.
24．（2020·江苏海陵?泰州中学高一月考）若直线：，与直线：互相平行，则的值可能为（
）
A．
B．1
C．3
D．0
【答案】AC
【解析】由已知，，因为∥，所以直线的斜率存在，故，且，
由，得，即，解得或.
25．（2020·巴楚县第一中学高一期末）已知直线经过两条直线:和:的交点，直线:；
(1)若，求的直线方程；
(2)若，求的直线方程．
【解析】（1）由，得，
∴与的交点为.
设与直线平行的直线为，
则，∴.
∴所求直线方程为.
（2）设与直线垂直的直线为，
则，解得．
∴所求直线方程为.
26．（2019·山西省长治市第二中学校高二月考（文））已知两条直线：，为何值时，与：
（1）垂直；
（2）平行
【解析】当时，，此时与不平行也不垂直，
当时，直线的斜率，直线的斜率
（1）由得，所以
（2）由得，即，所以或，
当时，此时与重合，不符，舍去；
当时，，此时，符合
综上所述，.
27．（2019·江苏昆山?高二期中）已知直线．
（Ⅰ）若，求实数的值；
（Ⅱ）当时，求直线与之间的距离．
【解析】（Ⅰ）∵，且，
∴，
解得．
（Ⅱ）∵，且，
∴且，解得，
∴，即
∴直线间的距离为．
28．（2019·浙江拱墅?杭州四中高二期末）求两条垂直的直线和的交点坐标．
求平行于直线，且与它的距离为的直线方程．
【解析】两条垂直的直线和，
，
解得，
两条垂直的直线：和，
由，解得，
故直线和的交点坐标．
设平行于直线，且与它的距离为的直线方程为，
则，解得，或，
故所求直线方程为：，或．
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