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第36讲
空间向量的应用
1、
考情分析
1.理解直线的方向向量及平面的法向量；
2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；
3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理；
4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；
5.能用向量方法解决点到平面、相互平行的平面的距离问题；
6.并能描述解决夹角和距离的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
2、
知识梳理
1.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量＝ta，则此向量方程叫做直线l的参数方程.向量a称为该直线的方向向量.
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.
2.空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2?n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2?n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m?n·m＝0
l⊥α
n∥m?n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m?n＝λm
α⊥β
n⊥m?n·m＝0
3.异面直线所成的角
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
a与b的夹角β
l1与l2所成的角θ
范围
(0，π)
求法
cos
β＝
cos
θ＝|cos
β|＝
4.求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin
θ＝|cos〈a，n〉|＝.
5.求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈，〉.
(2)如图②③，n1，n2
分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos
θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).
6.点到平面的距离
用向量方法求点B到平面距离基本思路：确定平面法向量，
在平面内取一点A，求向量到法向量的投影向量，投影向量的长度即为所要求的距离.如图平面α的法向量为n，点B到平面α的距离d＝.
[微点提醒]
1.平面的法向量是非零向量且不唯一.
2.建立空间直角坐标系要建立右手直角坐标系.
3.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin
θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos
θ＝|cos〈a，n〉|.
4.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.
3、
经典例题
考点一 利用空间向量证明平行问题
【例1】
如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.
证明：PQ∥平面BCD.
【解析】证明 法一 如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.
由题意知，A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0).
设点C的坐标为(x0，y0，0).
因为＝3，
所以Q.
因为M为AD的中点，故M(0，，1).
又P为BM的中点，故P，
所以＝.
又平面BCD的一个法向量为a＝(0，0，1)，故·a＝0.
又PQ?平面BCD，
所以PQ∥平面BCD.
法二 在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OF，同法一建立空间直角坐标系，写出点A，B，C的坐标，设点C坐标为(x0，y0，0).
∵＝，设点F坐标为(x，y，0)，则
(x－x0，y－y0，0)＝(－x0，－y0，0)，
∴∴＝
又由法一知＝，
∴＝，∴PQ∥OF.
又PQ?平面BCD，OF?平面BCD，
∴PQ∥平面BCD.
规律方法 (1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.
(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.
考点二 利用空间向量证明垂直问题
【例2】
如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：
(1)PA⊥BD；
(2)平面PAD⊥平面PAB.
【解析】证明 (1)取BC的中点O，连接PO，
∵平面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形，
∴PO⊥底面ABCD.
以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
不妨设CD＝1，则AB＝BC＝2，PO＝.
∴A(1，－2，0)，B(1，0，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，).
∴＝(－2，－1，0)，＝(1，－2，－).
∵·＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－)＝0，
∴⊥，∴PA⊥BD.
(2)取PA的中点M，连接DM，则M.
∵＝，＝(1，0，－)，
∴·＝×1＋0×0＋×(－)＝0，
∴⊥，即DM⊥PB.
∵·＝×1＋0×(－2)＋×(－)＝0，
∴⊥，即DM⊥PA.
又∵PA∩PB＝P，∴DM⊥平面PAB.
∵DM?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.
规律方法 (1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.
(2)用向量证明垂直的方法
①线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.
②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.
③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.
考点三 用空间向量解决有关位置关系的探索性问题
角度1 与平行有关的探索性问题
【例3－1】
如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)求证：BD⊥AA1；
(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.
【解析】(1)证明 设BD与AC交于点O，则BD⊥AC，连接A1O，在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，
∴A1O2＝AA＋AO2－2AA1·AOcos
60°＝3，
∴AO2＋A1O2＝AA，
∴A1O⊥AO.
由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，A1O?平面AA1C1C，∴A1O⊥平面ABCD.
以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－，0，0)，A1(0，0，)，C1(0，2，).
由于＝(－2，0，0)，＝(0，1，)，
·＝0×(－2)＋1×0＋×0＝0，
∴⊥，即BD⊥AA1.
(2)解 假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，
设＝λ，P(x，y，z)，则(x，y－1，z)＝λ(0，1，).
从而有P(0，1＋λ，λ)，＝(－，1＋λ，λ).
设n3⊥平面DA1C1，则
又＝(0，2，0)，＝(，0，)，
设n3＝(x3，y3，z3)，则
取n3＝(1，0，－1)，因为BP∥平面DA1C1，
则n3⊥，即n3·＝－－λ＝0，得λ＝－1，
即点P在C1C的延长线上，且C1C＝CP.
角度2 与垂直有关的探索性问题
【例3－2】
如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.
(1)求证：AC⊥BF；
(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)证明 ∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF?平面ADEF，
∴AF⊥平面ABCD.
∵AC?平面ABCD，∴AF⊥AC.
过A作AH⊥BC于H，则BH＝1，AH＝，CH＝3，
∴AC＝2，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB，
∵AB∩AF＝A，∴AC⊥平面FAB，
∵BF?平面FAB，∴AC⊥BF.
(2)解 存在.由(1)知，AF，AB，AC两两垂直.
以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(－1，，2).
假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，设＝λ，则λ>0，P.
设平面PAC的法向量为m＝(x，y，z).
由＝，＝(0，2，0)，
得
即令x＝1，则z＝，
所以m＝为平面PAC的一个法向量.
同理，可求得n＝为平面BCEF的一个法向量.
当m·n＝0，即λ＝时，平面PAC⊥平面BCEF，
故存在满足题意的点P，此时＝.
规律方法 解决立体几何中探索性问题的基本方法
(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理.
(2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x，y，z)；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy面上的点为(x，y，0)；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为(0，0，z)；④直线(线段)AB上的点P，可设为＝λ，表示出点P的坐标，或直接利用向量运算.
考点四 用空间向量求异面直线所成的角
【例4】
(1)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
(2)在三棱锥P－ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P－BC－A的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】 (1)C (2)A
【解析】 (1)法一 以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.
图(1)
则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).
又在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝2，则A(－1，，0).
所以＝(1，－，1)，＝(1，0，1)，
则cos〈，〉＝
＝＝＝，
因此，异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.
法二 将直三棱柱ABC－A1B1C1补形成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图(2))，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1.
图(2)
则∠B1AD1为异面直线AB1与BC1所成的角(或其补角)，易求得AB1＝，BC1＝AD1＝，B1D1＝.
由余弦定理得cos∠B1AD1＝.
(2)法一 取BC的中点O，连接OP，OA，因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA就是二面角P－BC－A的平面角，即∠POA＝120°，过点B作AC的平行线交AO的延长线于点D，连接PD，则∠PBD或其补角就是异面直线PB和AC所成的角.设AB＝a，则PB＝BD＝a，PO＝PD＝a，所以cos
∠PBD＝＝.
法二 如图，取BC的中点O，连接OP，OA，因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，即平面PAO⊥平面ABC.且∠POA就是其二面角P－BC－A的平面角，即∠POA＝120°，建立空间直角坐标系如图所示.
设AB＝2，则A(，0，0)，C(0，－1，0)，B(0，1，0)，P，
所以＝(－，－1，0)，＝，
cos
〈，〉＝－，所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为.
法三 如图所示，取BC的中点O，连接OP，OA，
因为△ABC和△PBC是全等的等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA就是二面角的平面角，设AB＝2，则＝－，＝－，
故·＝(－)·(－)＝－，
所以cos
〈，〉＝＝－.
即异面直线PB与AC所成角的余弦值为.
规律方法 1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解.
2.两异面直线所成角的范围是θ∈，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.
考点五 用空间向量求线面角
【例5】如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.
【解析】(1)证明 因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.
连接OB，因为AB＝BC＝AC，
所以AB2＋BC2＝AC2，
所以△ABC为等腰直角三角形，
且OB⊥AC，OB＝AC＝2.
由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.
由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.
(2)解 如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O－xyz.
由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，－2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，＝(0，2，2).取平面PAC的一个法向量＝(2，0，0).
设M(a，2－a，0)(0
设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z).
由·n＝0，·n＝0得
可取n＝((a－4)，a，－a)，
所以cos〈，n〉＝.
由已知可得|cos〈，n〉|＝，
所以＝，
解得a＝－4(舍去)，a＝，
所以n＝.
又＝(0，2，－2)，所以cos〈，n〉＝.
所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.
规律方法 利用向量法求线面角的方法：
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.
考点六 用空间向量求二面角
【例6】如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB＝12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如图2，点P为BC的中点，点E在线段AB上(不同于A，B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB.
(1)(一题多解)证明：OD⊥平面PAQ；
(2)若BE＝2AE，求二面角C－BQ－A的余弦值.
【解析】(1)证明 法一 取OO1的中点F，连接AF，PF，如图所示.
∵P为BC的中点，∴PF∥OB，
∵AQ∥OB，∴PF∥AQ，
∴P，F，A，Q四点共面.
由题图1可知OB⊥OO1，
∵平面ADO1O⊥平面BCO1O，且平面ADO1O∩平面BCO1O＝OO1，OB?平面BCO1O，
∴OB⊥平面ADO1O，
∴PF⊥平面ADO1O，
又OD?平面ADO1O，∴PF⊥OD.
由题意知，AO＝OO1，OF＝O1D，∠AOF＝∠OO1D，
∴△AOF≌△OO1D，
∴∠FAO＝∠DOO1，
∴∠FAO＋∠AOD＝∠DOO1＋∠AOD＝90°，∴AF⊥OD.
∵AF∩PF＝F，且AF?平面PAQ，PF?平面PAQ，
∴OD⊥平面PAQ.
法二 由题设知OA，OB，OO1两两垂直，∴以O为坐标原点，OA，OB，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AQ的长为m，则O(0，0，0)，A(6，0，0)，B(0，6，0)，C(0，3，6)，D(3，0，6)，Q(6，m，0).
∵点P为BC的中点，∴P，
∴＝(3，0，6)，＝(0，m，0)，＝.
∵·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，又与不共线，
∴OD⊥平面PAQ.
(2)解 ∵BE＝2AE，AQ∥OB，∴AQ＝OB＝3，
则Q(6，3，0)，∴＝(－6，3，0)，＝(0，－3，6).
设平面CBQ的法向量为n1＝(x，y，z)，
由得
令z＝1，则y＝2，x＝1，n1＝(1，2，1).
易得平面ABQ的一个法向量为n2＝(0，0，1).
设二面角C－BQ－A的大小为θ，由图可知，θ为锐角，
则cos
θ＝＝，
即二面角C－BQ－A的余弦值为.
规律方法 利用空间向量计算二面角大小的常用方法：
(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.
(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
[方法技巧]
1.用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想.
2.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.
3.用向量的坐标法证明几何问题，建立空间直角坐标系是关键，以下三种情况都容易建系：(1)有三条两两垂直的直线；(2)有线面垂直；(3)有两面垂直.
4.用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.
5.用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.
6.利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算.
7.利用法向量求距离问题的程序思想方法
第一步，确定法向量；
第二步，选择参考向量；
第三步，确定参考向量到法向量的投影向量；
第四步，求投影向量的长度.
8.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角.
9.利用向量法求二面角大小的注意点
(1)建立空间直角坐标系时，若垂直关系不明确，应先给出证明；
(2)对于某些平面的法向量，要结合题目条件和图形多观察，判断该法向量是否已经隐含着，不用再求.
(3)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误.
4、
课时作业
1．在正方体中，异面直线与所成的角为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，
则A（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），B1（1，1，1），
＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，﹣1，﹣1），
设异面直线AC与B1D所成的角为θ，
则cosθ＝＝0，
∴θ＝.
∴异面直线AC与B1D所成的角为.
故选：D.
2．在长方体中，，，分别为棱，，的中点，，则异面直线与所成角的大小为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、
轴的正方向建立空间直角坐标系，如图
设，则，，，，
所以，，，
所以，所以异面直线与所成角的大小为，故选：C.
3．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：以点为坐标原点，以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则,
为平面的一个法向量．
．
∴直线与平面所成角的正弦值为.
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱C1D1的中点，则异面直线AM与BD所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：正方体ABCD-A1B1C1D1，M为A1B1的中点，
设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
A（1，0，0），M（0，，1），B（1，1，0），D（0，0，0），
=（-1，，1），，
=，
所以异面直线AM与BD所成角的余弦值为，
5．平面的法向量，平面的法向量，则下列命题正确的是（
）
A．、平行
B．、垂直
C．、重合
D．、不垂直
【答案】B
【解析】解：平面的法向量，平面的法向量，
因为，
所以两个平面垂直．
6．若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面的夹角为，则下列关系式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由于直线与平面的夹角为，
其中，
所以，
所以.
7．直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E为BB′的中点，异面直线CE与所成角的余弦值是（
）
A．
B．
C．-
D．
【答案】D
【解析】直三棱柱中，，，为的中点．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，0，，，2，，，0，，，0，，
，2，，，0，，
设异面直线与所成角为，
则．
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
8．如图，长方体中，，，、、分别是、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（
）
A．0
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图
所以
所以异面直线与所成角的余弦值
故选：A
9．在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可得，平面；设，则，
又，，
所以
.
故.
即，
即与所成角的大小为.
故选D
10．在四棱锥中，平面，，，且四边形是矩形，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意建立如图空间直角坐标系
所以，
所以
则异面直线与所成角的余弦值为
11．如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为，，两两垂直，
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.
又因为，，
所以，，，，
因为是棱的中点，所以，
所以，，
所以，
12．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可得，
13．若直线的方向向量为,平面的法向量为,则(
)
A．
B．
C．
D．与相交
【答案】C
【解析】解：∵直线l的方向向量为，
平面的法向量为，
∴，∴，
∴．
14．若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)..
设平面ABC的一个法向量为，由得：.
令，则.则平面ABC的一个法向量为.所以点P到平面ABC的距离.
15．长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】建立坐标系如图所示．
则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，＝(－1,0,2)，＝(－1，2,1)．
cos〈，〉＝＝.
所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.
16．直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】在直三棱柱中，，
取中点，，则，
所以，
以的中点坐标原点，为轴，为轴，
以过点垂直平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，
所以，,
设异面直线与所成角为，
则.
17．在正方体中，分别为，的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为，则，
∴．
则．
∴异面直线与所成角的余弦值为
,故选A．
18．在棱长为3的正方体中，为线段中点，为线段上靠近的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图建立空间直角坐标系，则知，，，，
所以，，
所以.
故选：B.
19．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为，则该几何体的体积为（
）
A．16+8π
B．32+16π
C．32+8π
D．16+16π
【答案】A
【解析】设在底面半圆上的射影为，连接交于，设.
依题意半圆柱体底面直径，为半圆弧的中点，
所以且分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接，
则与上下底面垂直，所以，
以为轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为，则
，
所以，
由于异面直线和所成的角的余弦值为，
所以，
即.
所以几何体的体积为.
故选：A
20．如图，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】底面与侧面都是以
为斜边的等腰直角三角形，
则
，所以
设
，
由为线段的中点，
则，
由
，
所以，
以为原点，为轴，
为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
，，设
，
，
，
，
，
设平面的一个法向量
，
则
，即
，
令，则
，，
所以
.
设平面的一个法向量
，
则
，即
，
解得，令
，则，
所以
，
平面与平面所成锐二面角的平面角为
，
则
，
将分子、分母同除以，可得
令
，
当时，
，
则的最大值为：
.
21．（多选题）如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（
）
A．直线与所成的角可能是
B．平面平面
C．三棱锥的体积为定值
D．平面截正方体所得的截面可能是直角三角形
【答案】BC
【解析】对于A，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
，设
∴直线D1P与AC所成的角为，故A错误；
对于B，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D1AA1，A1D1AB，
∵AA1AB＝A，∴A1D1平面A1AP，
∵A1D1平面D1A1P，∴平面D1A1P平面A1AP，故B正确；
对于C，，P到平面CDD1的距离BC＝1，
∴三棱锥D1﹣CDP的体积：
为定值，故C正确；
对于D，平面APD1截正方体所得的截面不可能是直角三角形，故D错误；
故选：BC．
22．（多选题）正方体的棱长为1，分别为的中点．则（
）
A．直线与直线垂直
B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为
D．点和点到平面的距离相等
【答案】BC
【解析】对选项A：（方法一）以点为坐标原点，、、所在的直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，则、、、、、.从而，，从而，所以与直线不垂直，选项A错误；
（方法二）取的中点，连接，则为直线在平面内的射影，与不垂直，从而与也不垂直，选项A错误；
取的中点为，连接、，则，，易证，从而，选项B正确；
对于选项C，连接，，易知四边形为平面截正方体所得的截面四边形（如图所示），且，，所以，而，从而选项C正确；
对于选项D：（方法一）由于，而，而，，所以，即，点到平面的距离为点到平面的距离的二倍.从而D错误.
（方法二）假设点与点到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于点，易知不是的中点，故假设不成立，从而选项D错误.
23．（多选题）若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则（
）
A．
B．平面平面
C．三棱锥的体积为
D．三棱锥的外接球的表面积为
【答案】CD
【解析】
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，，，，
所以，，
因为，所以与不垂直，故A错误；
，
设平面的一个法向量为，则
由，得，所以，
不妨取，则，
所以，
同理可得设平面的一个法向量为，
故不存在实数使得，故平面与平面不平行，故B错误；
在长方体中，平面，
故是三棱锥的高，
所以，
故C正确；
三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
故外接球的半径，
所以三棱锥的外接球的表面积，故D正确.
故选：CD.
24．（多选题）如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位置，连结，则在翻折过程中，下列说法正确的是（
）
A．与平面所成的最大角为
B．存在某个位置，使得
C．当二面角的大小为时，
D．存在某个位置，使得到平面的距离为
【答案】BC
【解析】如图所示：
对A，取BD的中点O，连结OP，OC，则当时，与平面所成的最大角为，故A错误；
对B，当时，取CD的中点N，可得所以平面PBN，
所以，故B正确；
对C，当二面角的大小为时，所以，所以，所以，故C正确；
对D，因为，所以如果到平面的距离为，则平面PCD，则，所以，显然不可能，故D错误；
故选：BC.
25．（多选题）如图四棱锥，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是（
）
A．平面
B．与平面所成角的余弦值为
C．三棱锥的体积为
D．四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为
【答案】BD
【解析】解：取的中点，的中点，连接，
因为三角形为等边三角形，所以,
因为平面平面，所以平面
，
因为，所以两两垂直，
所以，如下图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴
，轴，
建立空间直角坐标系，则，
，
因为点是的中点，所以，
平面的一个法向量为，
，显然
与不共线，
所以与平面不垂直，所以A不正确；
，
设平面的法向量为，则
，
令，则，
所以，
设与平面所成角为，
则，
所以，所以B正确；
三棱锥的体积为
，
所以C不正确；
设四棱锥外接球的球心为，则，
所以，
解得，即为矩形对角线的交点，
所以四棱锥外接球的半径为3，
设四棱锥外接球的内接正四面体的棱长为，
将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，
故正方体的棱长为，所以，得，
所以正四面体的表面积为，所以D正确.
故选：BD
26．如图，三棱柱中，侧面和侧面为正方形，且两个侧面互相垂直，是的中点，将三角形绕向上翻折为三角形，使面面.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）连接交于，连接，设，则，
因为侧面和侧面为正方形，且两个侧面互相垂直，是二面角的平面角，，所以，，
因为是中点，则，所以，，所以，所以，所以，，即，
，，，平面，平面，所以平面，平面，所以．
（2）因为面面.面面，，平面.所以面.
，
如图，以为轴建立空间直角坐标系，同（1）设，
则，，则，，
因为，所以，
因为，，设，则，，是平面的一个法向量，，
而平面，由图可得，所以，所以，
，又，
设平面的一个法向量是，
则，取，则，即，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
27．如图所示，四棱柱的侧棱与底面垂直，底面是菱形，四棱锥的顶点在平面上的投影恰为四边形对角线的交点，四棱锥和四棱柱的高相等．
（1）证明：平面；
（2）若，，求平面与平面所成的二面角的余弦值．
【解析】（1）根据题意，建立如图所示空间直角坐标系：
设四棱柱的侧棱长为a，底面边长为b，，
则
，
所以，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）因为，设，
则
所以，
设平面的一个法向量为：，
则
，所以
，
令
，则
，所以
设平面的一个法向量为：，
则
，所以
，
令
，则
，所以
设平面与平面所成的二面角为，
所以，
，
．
28．如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AD//BC，AB＝BC＝PA＝1，AD＝2，∠PAD＝∠DAB＝90°，点E在棱PC上，设CE＝CP．
（1）求证：CD⊥AE；
（2）记二面角C—AE—D的平面角为，且，求实数的值．
【解析】（1）因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA平面PAD，
所以PA⊥平面ABCD．
又CD平面ABCD，所以CD⊥PA．
在四边形ABCD中，AD//BC，∠DAB＝90°，所以∠ABC＝90°，
又AB＝BC＝1，所以△ABC是等腰直角三角形，即∠BAC＝∠CAD＝45°，AC＝．
在△CAD中，∠CAD＝45°，AC＝，AD＝2，
所以CD＝＝，
从而AC2＋CD2＝4＝AD2．所以CD⊥AC．
又AC∩PA＝A，AC，PA平面PAC，
所以CD⊥平面PAC．
又AE平面PAC，所以CD⊥AE．
（2）因为PA⊥平面ABCD，BA⊥AD，故以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为AB＝BC＝PA＝1，AD＝2，所以
A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，
则＝(－1，1，0)，＝(0，2，0)．因为点E在棱PC上，且CE＝λCP，所以＝λ，
设E(x，y，z)，则(x－1，y－1，z)＝λ(－1，－1，1)，故E(1－λ，1－λ，λ)，所以＝(1－λ，1－λ，λ)．
由（1）知，CD⊥平面PAC，所以平面ACE的一个法向量为＝＝(－1，1，0)．
设平面AED的法向量为＝(x1，y1，z1)，由得
令z1＝1－λ，所以平面AED的一个法向量为＝(－λ，0，1－λ)．
因此
|cosθ|＝|cos<，>|＝||＝||＝，
化简得3λ2－8λ＋4＝0，解得λ＝或2．因为E在棱PC上，所以λ∈[0，1]，所以λ＝．
所以当|cosθ|＝时，实数λ的值为．
29．如图，在四棱锥中，，底面四边形为直角梯形，为线段上一点．
(1)若，则在线段上是否存在点，使得平面?若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
(2)己知，若异面直线与成角，二面角的余弦值为，求的长．
【解析】解：（1）延长，交于点，连接，则平面.
若平面，由平面平面，平面，则.
由，，则，
故点是线段上靠近点的一个三等分点.
（2）∵，，，平面，平面，
则平面
以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴、轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，
则，，，，则，，
设平面和平面的法向量分别为，.
由，得即，
令，则，故.
同理可求得.
于是，则，解之得（负值舍去），故.
∴.
30．如图，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，以AE为折痕把折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）
（1）证明：；
（2）若线段PC的长为，求二面角的余弦值.
【解析】解：（1）在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，如图
∵，，∴四边形ABCE为平行四边形，∴，
∴为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD中，，
，∴在等腰中，
∴，即，∴，
翻折后可得：，，又∵平面OB，平面POB，，
∴平面POB，∵平面POB，∴；
（2）由（1）知，连接OC在中，由余弦定理可得.
在中有，可知，又，
平面ABCE，则以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为乙轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为，
，，，∴，.
设平面PCE的一个法向量为，则
，∴.
设，则，，∴，
由题意得平面PAE的一个法向量，
设二面角为，.
易知二面角为钝角，所以.（射影面积法也可）
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精品试卷·第
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第36讲
空间向量的应用
1、
考情分析
1.理解直线的方向向量及平面的法向量；
2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；
3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理；
4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；
5.能用向量方法解决点到平面、相互平行的平面的距离问题；
6.并能描述解决夹角和距离的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
2、
知识梳理
1.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量＝ta，则此向量方程叫做直线l的参数方程.向量a称为该直线的方向向量.
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.
2.空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2?n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2?n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m?n·m＝0
l⊥α
n∥m?n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m?n＝λm
α⊥β
n⊥m?n·m＝0
3.异面直线所成的角
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
a与b的夹角β
l1与l2所成的角θ
范围
(0，π)
求法
cos
β＝
cos
θ＝|cos
β|＝
4.求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin
θ＝|cos〈a，n〉|＝.
5.求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈，〉.
(2)如图②③，n1，n2
分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos
θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).
6.点到平面的距离
用向量方法求点B到平面距离基本思路：确定平面法向量，
在平面内取一点A，求向量到法向量的投影向量，投影向量的长度即为所要求的距离.如图平面α的法向量为n，点B到平面α的距离d＝.
[微点提醒]
1.平面的法向量是非零向量且不唯一.
2.建立空间直角坐标系要建立右手直角坐标系.
3.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin
θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos
θ＝|cos〈a，n〉|.
4.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.
3、
经典例题
考点一 利用空间向量证明平行问题
【例1】
如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.
证明：PQ∥平面BCD.
【解析】证明 法一 如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.
由题意知，A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0).
设点C的坐标为(x0，y0，0).
因为＝3，
所以Q.
因为M为AD的中点，故M(0，，1).
又P为BM的中点，故P，
所以＝.
又平面BCD的一个法向量为a＝(0，0，1)，故·a＝0.
又PQ?平面BCD，
所以PQ∥平面BCD.
法二 在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OF，同法一建立空间直角坐标系，写出点A，B，C的坐标，设点C坐标为(x0，y0，0).
∵＝，设点F坐标为(x，y，0)，则
(x－x0，y－y0，0)＝(－x0，－y0，0)，
∴∴＝
又由法一知＝，
∴＝，∴PQ∥OF.
又PQ?平面BCD，OF?平面BCD，
∴PQ∥平面BCD.
规律方法 (1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.
(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.
考点二 利用空间向量证明垂直问题
【例2】
如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：
(1)PA⊥BD；
(2)平面PAD⊥平面PAB.
【解析】证明 (1)取BC的中点O，连接PO，
∵平面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形，
∴PO⊥底面ABCD.
以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
不妨设CD＝1，则AB＝BC＝2，PO＝.
∴A(1，－2，0)，B(1，0，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，).
∴＝(－2，－1，0)，＝(1，－2，－).
∵·＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－)＝0，
∴⊥，∴PA⊥BD.
(2)取PA的中点M，连接DM，则M.
∵＝，＝(1，0，－)，
∴·＝×1＋0×0＋×(－)＝0，
∴⊥，即DM⊥PB.
∵·＝×1＋0×(－2)＋×(－)＝0，
∴⊥，即DM⊥PA.
又∵PA∩PB＝P，∴DM⊥平面PAB.
∵DM?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.
规律方法 (1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.
(2)用向量证明垂直的方法
①线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.
②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.
③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.
考点三 用空间向量解决有关位置关系的探索性问题
角度1 与平行有关的探索性问题
【例3－1】
如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)求证：BD⊥AA1；
(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.
【解析】(1)证明 设BD与AC交于点O，则BD⊥AC，连接A1O，在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，
∴A1O2＝AA＋AO2－2AA1·AOcos
60°＝3，
∴AO2＋A1O2＝AA，
∴A1O⊥AO.
由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，A1O?平面AA1C1C，∴A1O⊥平面ABCD.
以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－，0，0)，A1(0，0，)，C1(0，2，).
由于＝(－2，0，0)，＝(0，1，)，
·＝0×(－2)＋1×0＋×0＝0，
∴⊥，即BD⊥AA1.
(2)解 假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，
设＝λ，P(x，y，z)，则(x，y－1，z)＝λ(0，1，).
从而有P(0，1＋λ，λ)，＝(－，1＋λ，λ).
设n3⊥平面DA1C1，则
又＝(0，2，0)，＝(，0，)，
设n3＝(x3，y3，z3)，则
取n3＝(1，0，－1)，因为BP∥平面DA1C1，
则n3⊥，即n3·＝－－λ＝0，得λ＝－1，
即点P在C1C的延长线上，且C1C＝CP.
角度2 与垂直有关的探索性问题
【例3－2】
如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.
(1)求证：AC⊥BF；
(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)证明 ∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF?平面ADEF，
∴AF⊥平面ABCD.
∵AC?平面ABCD，∴AF⊥AC.
过A作AH⊥BC于H，则BH＝1，AH＝，CH＝3，
∴AC＝2，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB，
∵AB∩AF＝A，∴AC⊥平面FAB，
∵BF?平面FAB，∴AC⊥BF.
(2)解 存在.由(1)知，AF，AB，AC两两垂直.
以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(－1，，2).
假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，设＝λ，则λ>0，P.
设平面PAC的法向量为m＝(x，y，z).
由＝，＝(0，2，0)，
得
即令x＝1，则z＝，
所以m＝为平面PAC的一个法向量.
同理，可求得n＝为平面BCEF的一个法向量.
当m·n＝0，即λ＝时，平面PAC⊥平面BCEF，
故存在满足题意的点P，此时＝.
规律方法 解决立体几何中探索性问题的基本方法
(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理.
(2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x，y，z)；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy面上的点为(x，y，0)；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为(0，0，z)；④直线(线段)AB上的点P，可设为＝λ，表示出点P的坐标，或直接利用向量运算.
考点四 用空间向量求异面直线所成的角
【例4】
(1)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
(2)在三棱锥P－ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P－BC－A的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】 (1)C (2)A
【解析】 (1)法一 以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.
图(1)
则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).
又在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝2，则A(－1，，0).
所以＝(1，－，1)，＝(1，0，1)，
则cos〈，〉＝
＝＝＝，
因此，异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.
法二 将直三棱柱ABC－A1B1C1补形成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图(2))，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1.
图(2)
则∠B1AD1为异面直线AB1与BC1所成的角(或其补角)，易求得AB1＝，BC1＝AD1＝，B1D1＝.
由余弦定理得cos∠B1AD1＝.
(2)法一 取BC的中点O，连接OP，OA，因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA就是二面角P－BC－A的平面角，即∠POA＝120°，过点B作AC的平行线交AO的延长线于点D，连接PD，则∠PBD或其补角就是异面直线PB和AC所成的角.设AB＝a，则PB＝BD＝a，PO＝PD＝a，所以cos
∠PBD＝＝.
法二 如图，取BC的中点O，连接OP，OA，因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，即平面PAO⊥平面ABC.且∠POA就是其二面角P－BC－A的平面角，即∠POA＝120°，建立空间直角坐标系如图所示.
设AB＝2，则A(，0，0)，C(0，－1，0)，B(0，1，0)，P，
所以＝(－，－1，0)，＝，
cos
〈，〉＝－，所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为.
法三 如图所示，取BC的中点O，连接OP，OA，
因为△ABC和△PBC是全等的等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以∠POA就是二面角的平面角，设AB＝2，则＝－，＝－，
故·＝(－)·(－)＝－，
所以cos
〈，〉＝＝－.
即异面直线PB与AC所成角的余弦值为.
规律方法 1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝求解.
2.两异面直线所成角的范围是θ∈，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.
考点五 用空间向量求线面角
【例5】如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.
【解析】(1)证明 因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.
连接OB，因为AB＝BC＝AC，
所以AB2＋BC2＝AC2，
所以△ABC为等腰直角三角形，
且OB⊥AC，OB＝AC＝2.
由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.
由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.
(2)解 如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O－xyz.
由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，－2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，＝(0，2，2).取平面PAC的一个法向量＝(2，0，0).
设M(a，2－a，0)(0设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z).
由·n＝0，·n＝0得
可取n＝((a－4)，a，－a)，
所以cos〈，n〉＝.
由已知可得|cos〈，n〉|＝，
所以＝，
解得a＝－4(舍去)，a＝，
所以n＝.
又＝(0，2，－2)，所以cos〈，n〉＝.
所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.
规律方法 利用向量法求线面角的方法：
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.
考点六 用空间向量求二面角
【例6】如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB＝12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如图2，点P为BC的中点，点E在线段AB上(不同于A，B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB.
(1)(一题多解)证明：OD⊥平面PAQ；
(2)若BE＝2AE，求二面角C－BQ－A的余弦值.
【解析】(1)证明 法一 取OO1的中点F，连接AF，PF，如图所示.
∵P为BC的中点，∴PF∥OB，
∵AQ∥OB，∴PF∥AQ，
∴P，F，A，Q四点共面.
由题图1可知OB⊥OO1，
∵平面ADO1O⊥平面BCO1O，且平面ADO1O∩平面BCO1O＝OO1，OB?平面BCO1O，
∴OB⊥平面ADO1O，
∴PF⊥平面ADO1O，
又OD?平面ADO1O，∴PF⊥OD.
由题意知，AO＝OO1，OF＝O1D，∠AOF＝∠OO1D，
∴△AOF≌△OO1D，
∴∠FAO＝∠DOO1，
∴∠FAO＋∠AOD＝∠DOO1＋∠AOD＝90°，∴AF⊥OD.
∵AF∩PF＝F，且AF?平面PAQ，PF?平面PAQ，
∴OD⊥平面PAQ.
法二 由题设知OA，OB，OO1两两垂直，∴以O为坐标原点，OA，OB，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AQ的长为m，则O(0，0，0)，A(6，0，0)，B(0，6，0)，C(0，3，6)，D(3，0，6)，Q(6，m，0).
∵点P为BC的中点，∴P，
∴＝(3，0，6)，＝(0，m，0)，＝.
∵·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，又与不共线，
∴OD⊥平面PAQ.
(2)解 ∵BE＝2AE，AQ∥OB，∴AQ＝OB＝3，
则Q(6，3，0)，∴＝(－6，3，0)，＝(0，－3，6).
设平面CBQ的法向量为n1＝(x，y，z)，
由得
令z＝1，则y＝2，x＝1，n1＝(1，2，1).
易得平面ABQ的一个法向量为n2＝(0，0，1).
设二面角C－BQ－A的大小为θ，由图可知，θ为锐角，
则cos
θ＝＝，
即二面角C－BQ－A的余弦值为.
规律方法 利用空间向量计算二面角大小的常用方法：
(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.
(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
[方法技巧]
1.用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想.
2.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.
3.用向量的坐标法证明几何问题，建立空间直角坐标系是关键，以下三种情况都容易建系：(1)有三条两两垂直的直线；(2)有线面垂直；(3)有两面垂直.
4.用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.
5.用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.
6.利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算.
7.利用法向量求距离问题的程序思想方法
第一步，确定法向量；
第二步，选择参考向量；
第三步，确定参考向量到法向量的投影向量；
第四步，求投影向量的长度.
8.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角.
9.利用向量法求二面角大小的注意点
(1)建立空间直角坐标系时，若垂直关系不明确，应先给出证明；
(2)对于某些平面的法向量，要结合题目条件和图形多观察，判断该法向量是否已经隐含着，不用再求.
(3)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误.
4、
课时作业
1．在正方体中，异面直线与所成的角为（
）
A．
B．
C．
D．
2．在长方体中，，，分别为棱，，的中点，，则异面直线与所成角的大小为（
）
A．
B．
C．
D．
3．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱C1D1的中点，则异面直线AM与BD所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．平面的法向量，平面的法向量，则下列命题正确的是（
）
A．、平行
B．、垂直
C．、重合
D．、不垂直
6．若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面的夹角为，则下列关系式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E为BB′的中点，异面直线CE与所成角的余弦值是（
）
A．
B．
C．-
D．
8．如图，长方体中，，，、、分别是、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（
）
A．0
B．
C．
D．
9．在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．在四棱锥中，平面，，，且四边形是矩形，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（
）
A．
B．
C．
D．
11．如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（
）
A．
B．
C．
D．
12．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
13．若直线的方向向量为,平面的法向量为,则(
)
A．
B．
C．
D．与相交
14．若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是（
）
A．
B．
C．
D．
15．长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
17．在正方体中，分别为，的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
18．在棱长为3的正方体中，为线段中点，为线段上靠近的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为(
)
A．
B．
C．
D．
19．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为，则该几何体的体积为（
）
A．16+8π
B．32+16π
C．32+8π
D．16+16π
20．如图，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
21．（多选题）如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（
）
A．直线与所成的角可能是
B．平面平面
C．三棱锥的体积为定值
D．平面截正方体所得的截面可能是直角三角形
22．（多选题）正方体的棱长为1，分别为的中点．则（
）
A．直线与直线垂直
B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为
D．点和点到平面的距离相等
23．（多选题）若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则（
）
A．
B．平面平面
C．三棱锥的体积为
D．三棱锥的外接球的表面积为
24．（多选题）如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位置，连结，则在翻折过程中，下列说法正确的是（
）
A．与平面所成的最大角为
B．存在某个位置，使得
C．当二面角的大小为时，
D．存在某个位置，使得到平面的距离为
25．（多选题）如图四棱锥，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是（
）
A．平面
B．与平面所成角的余弦值为
C．三棱锥的体积为
D．四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为
26．如图，三棱柱中，侧面和侧面为正方形，且两个侧面互相垂直，是的中点，将三角形绕向上翻折为三角形，使面面.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
27．如图所示，四棱柱的侧棱与底面垂直，底面是菱形，四棱锥的顶点在平面上的投影恰为四边形对角线的交点，四棱锥和四棱柱的高相等．
（1）证明：平面；
（2）若，，求平面与平面所成的二面角的余弦值．
28．如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AD//BC，AB＝BC＝PA＝1，AD＝2，∠PAD＝∠DAB＝90°，点E在棱PC上，设CE＝CP．
（1）求证：CD⊥AE；
（2）记二面角C—AE—D的平面角为，且，求实数的值．
29．如图，在四棱锥中，，底面四边形为直角梯形，为线段上一点．
(1)若，则在线段上是否存在点，使得平面?若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
(2)己知，若异面直线与成角，二面角的余弦值为，求的长．
30．如图，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，以AE为折痕把折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）
（1）证明：；
（2）若线段PC的长为，求二面角的余弦值.
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精品试卷·第
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