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第39讲
圆与方程
1、
考情分析
1、掌握确定圆的几何要素；
2、掌握圆的标准方程与一般方程.
2、
知识梳理
1.圆的定义和圆的方程
定义
在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r?M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圆外；
(2)|MC|＝r?M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圆上；
(3)|MC|＜r?M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圆内.
[微点提醒]
1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.
2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
3、
经典例题
考点一 圆的方程
【例1】
(1)(一题多解)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.
(2)(一题多解)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为________.
【答案】(1)x2＋y2－2x＝0 (2)(x－1)2＋(y＋1)2＝2
【解析】 (1)法一 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则解得D＝－2，E＝0，F＝0，
故圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
法二 设O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，则kOA＝1，kAB＝－1，所以kOA·kAB＝－1，即OA⊥AB，所以△OAB是以角A为直角的直角三角形，则线段BO是所求圆的直径，则圆心为C(1，0)，半径r＝|OB|＝1，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.
(2)法一 ∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，
∴设所求圆的圆心为(a，－a).
又∵所求圆与直线x－y＝0相切，
∴半径r＝＝|a|.
又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，
∴d2＋＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1，
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
法二 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离d＝，
∴r2＝＋，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①
由于所求圆与直线x－y＝0相切，∴(a－b)2＝2r2.②
又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③
联立①②③，解得
故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
法三 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为，半径r＝，
∵圆心在直线x＋y＝0上，∴－－＝0，即D＋E＝0，①
又∵圆C与直线x－y＝0相切，
∴＝，
即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)，
∴D2＋E2＋2DE－8F＝0.②
又知圆心到直线x－y－3＝0的距离d＝，
由已知得d2＋＝r2，
∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)，③
联立①②③，解得
故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
规律方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：
(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；
(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.
考点二 与圆有关的最值问题
角度1 斜率型、截距型、距离型最值问题
【例2－1】
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值.
【解析】 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆.
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±(如图1).
所以的最大值为，最小值为－.
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±(如图2).
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
规律方法 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见：
(1)形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.
角度2 利用对称性求最值
【例2－2】
已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A.5－4
B.－1
C.6－2
D.
【答案】A
【解析】P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3).所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝5，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.
规律方法 求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
考点三 与圆有关的轨迹问题
【例3】
已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.
【解析】 (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y).
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2).
(2)设PQ的中点为N(x，y).
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为
x2＋y2－x－y－1＝0.
规律方法 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；
(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；
(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；
(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.
[方法技巧]
1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.
2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.
3.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.
4.熟练掌握配方法，能把圆的一般方程化为标准方程.
4、
课时作业
1．圆的半径为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意得，圆，可化为，所以，故选B．
2．设，则以线段为直径的圆的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】的中点坐标为，圆的半径为，
所以圆的方程为.
3．圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为，则圆的方程为，又点在圆上，所以，解得.
4．已知圆的一条直径的端点分别是，，则此圆的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】直径两端点为
圆心坐标为
圆的半径，
圆的方程为：.
5．若方程表示圆，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题，则解得
6．圆是心直线的定点为圆心，半径，则圆的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由有，所以直线过定点，则所求圆的方程为，故选择A.
7．圆的方程为，则圆心坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】将配方,化为圆的标准方程可得,
即可看出圆的圆心为.
8．圆心为，半径为5的圆的标准方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵所求圆的圆心为，半径为5，
∴所求圆的标准方程为：，
9．圆的圆心和半径分别是（
）．
A．，4
B．，4
C．，2
D．，2
【答案】C
【解析】,即为，∴圆的圆心为，半径为2，
10．过点，且圆心在直线上的圆的方程是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线上，排除B、D，
点在圆上，排除A
11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：，点B(3，0)，过动点P引圆A的切线，切点为T．若PT＝PB，则动点P的轨迹方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设P(x，y)，∵PT＝PB，∴PT2＝2PB2
∴
整理得：.
12．若
是圆的方程，则实数k的取值范围是（）
A．k<5
B．k<
C．k<
D．k>
【答案】B
【解析】是圆的方程,则有
故选B
13．方程x2+y2+ax﹣2by+c＝0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a，b，c的值依次为（
）
A．4、2、4
B．﹣4、2、4
C．﹣4、2、﹣4
D．4、﹣2、﹣4
【答案】B
【解析】x2+y2+ax﹣2by+c＝0可化为：
，解得
14．已知点为圆:上的一点，则的最大值是（
）
A．2
B．4
C．9
D．16
【答案】D
【解析】由圆的方程可知圆心为，半径为1.
可看作点距离的平方即
，
又即，故的最大值为16，故选：D.
15．当点在圆上变动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设中点的坐标为，则，
因为点在圆上，故，整理得到.
16．已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是（
）
A．9
B．8
C．4
D．2
【答案】A
【解析】圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，得x2＋(y－1)2＝6，
所以圆心为C(0，1)．
因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.
因此＋＝(b＋c)(＋)＝＋＋5.
因为b，c>0，所以＋≥2＝4.
当且仅当＝时等号成立．
由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝，
c＝时，＋取得最小值9.
17．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（
）．
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【解析】设圆心，则，
化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，故选：A.
18．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题点和军营所在区域在河岸线所在直线方程的同侧，
设点关于直线的对称点，
中点在直线上，
解得：，即，设将军饮马点为，到达营区点为，则总路程，要使路程最短，只需最短，即点到军营的最短距离，即点到区域的最短距离为：
19．设点为圆上的任意一点，点，则线段长度的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设点，则，化简可得：
即点在直线上，
圆的圆心到直线的距离为，
则线段长度的最小值为
20．如图，矩形ABCD中，，，M，N分别为边BC，CD上的动点，P为MN的中点，且.则AP长度的最小值为（
）
A．
B．
C．4
D．
【答案】C
【解析】以为轴，以为轴建立直角坐标系，
设，，
表示以为圆心，半径为2的圆上的点，
表示圆上的点到距离的一半，
到的距离为，
.
21．（多选题）已知曲线.（
）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【解析】对于A，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
22．（多选题）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（
）
A．圆M上点到直线的最小距离为2
B．圆M上点到直线的最大距离为3
C．若点（x，y）在圆M上，则的最小值是
D．圆与圆M有公共点，则a的取值范围是
【答案】ACD
【解析】由AB＝AC可得△ABC外心、重心、垂心均在线段BC的垂直平分线上，即△ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线，
由点B(－1,3)，点C(4,－2)可得线段BC的中点为，且直线的BC的斜率，
所以线段BC的垂直平分线的斜率，
所以线段BC的垂直平分线的方程为即，
又圆M：的圆心为，半径为，
所以点到直线的距离为，
所以圆M：，
对于A、B，圆M的圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最小距离为，最大距离为，故A正确，B错误；
对于C，令即，当直线与圆M相切时，圆心到直线的距离为，解得或，则的最小值是，故C正确；
对于D，圆圆心为，半径为，若该圆与圆M有公共点，则即，解得，故D正确.
23．（多选题）已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（
）
A．圆的圆心为
B．圆被轴截得的弦长为8
C．圆的半径为5
D．圆被轴截得的弦长为6
【答案】ABCD
【解析】由圆的一般方程为，则圆，
故圆心为，半径为，则AC正确；
令，得或，弦长为6，故D正确；
令，得或，弦长为8，故B正确.
24．（多选题）以直线与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】解：令，则；令，则.所以设直线与两坐标轴的交点分别为.,
以为圆心，过点的圆的方程为：.以为圆心，过点的圆的方程为：.
25．（多选题）下列说法中正确的是（
）
A．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等
B．方程能表示平面内的任何直线
C．圆的圆心为，半径为
D．若直线不经过第二象限，则t的取值范围是
【答案】BD
【解析】对于，若两条直线均平行于轴，则两条直线斜率都不存在，错误；
对于，若直线不平行于坐标轴，则原方程可化为，为直线两点式方程；当直线平行于轴，则原方程可化为；当直线平行于轴，则原方程可化为；
综上所述：方程能表示平面内的任何直线，正确；
对于，圆的方程可整理为，则圆心为，错误；
对于，若直线不经过第二象限，则，解得：，正确.
26．设圆的方程为
（1）求该圆的圆心坐标及半径.
（2）若此圆的一条弦AB的中点为，求直线AB的方程.
【解析】（1）由圆的方程为
则
所以可知圆心，半径
（2）由弦的中垂线为,则
所以可得，
故直线AB的方程为：
即
27．已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积．
【解析】解：（1）圆C的半径为
，
从而圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25；
（2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，
在直角三角形ADC中，由点到直线的距离公式，得|CD|＝3，
所以，
所以|AB|＝2|AD|＝8，
所以△ABC的面积．
28．已知动点到两定点，的距离之比为．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过曲线上任意一点作与直线夹角为的直线，交于点，求的最大值和最小值．
【解析】解：（1）设，由题意知，
化简得，
∴．
即动点的轨迹的方程为．
（2）记圆上任意一点到直线的距离为，因为直线与直线夹角为，所以．
∵圆心到直线的距离为，且圆的半径为2，
∴，，
∴，．
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精品试卷·第
2
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圆与方程
1、
考情分析
1、掌握确定圆的几何要素；
2、掌握圆的标准方程与一般方程.
2、
知识梳理
1.圆的定义和圆的方程
定义
在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r?M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圆外；
(2)|MC|＝r?M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圆上；
(3)|MC|＜r?M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圆内.
[微点提醒]
1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.
2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
3、
经典例题
考点一 圆的方程
【例1】
(1)(一题多解)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.
(2)(一题多解)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为________.
【答案】(1)x2＋y2－2x＝0 (2)(x－1)2＋(y＋1)2＝2
【解析】 (1)法一 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则解得D＝－2，E＝0，F＝0，
故圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
法二 设O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，则kOA＝1，kAB＝－1，所以kOA·kAB＝－1，即OA⊥AB，所以△OAB是以角A为直角的直角三角形，则线段BO是所求圆的直径，则圆心为C(1，0)，半径r＝|OB|＝1，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.
(2)法一 ∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，
∴设所求圆的圆心为(a，－a).
又∵所求圆与直线x－y＝0相切，
∴半径r＝＝|a|.
又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，
∴d2＋＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1，
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
法二 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离d＝，
∴r2＝＋，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①
由于所求圆与直线x－y＝0相切，∴(a－b)2＝2r2.②
又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③
联立①②③，解得
故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
法三 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为，半径r＝，
∵圆心在直线x＋y＝0上，∴－－＝0，即D＋E＝0，①
又∵圆C与直线x－y＝0相切，
∴＝，
即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)，
∴D2＋E2＋2DE－8F＝0.②
又知圆心到直线x－y－3＝0的距离d＝，
由已知得d2＋＝r2，
∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)，③
联立①②③，解得
故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
规律方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：
(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；
(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.
考点二 与圆有关的最值问题
角度1 斜率型、截距型、距离型最值问题
【例2－1】
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值.
【解析】 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆.
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±(如图1).
所以的最大值为，最小值为－.
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±(如图2).
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
规律方法 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见：
(1)形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.
角度2 利用对称性求最值
【例2－2】
已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A.5－4
B.－1
C.6－2
D.
【答案】A
【解析】P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3).所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝5，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.
规律方法 求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
考点三 与圆有关的轨迹问题
【例3】
已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.
【解析】 (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y).
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2).
(2)设PQ的中点为N(x，y).
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为
x2＋y2－x－y－1＝0.
规律方法 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；
(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；
(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；
(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.
[方法技巧]
1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.
2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.
3.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.
4.熟练掌握配方法，能把圆的一般方程化为标准方程.
4、
课时作业
1．圆的半径为(
)
A．
B．
C．
D．
2．设，则以线段为直径的圆的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
3．圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知圆的一条直径的端点分别是，，则此圆的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
5．若方程表示圆，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
6．圆是心直线的定点为圆心，半径，则圆的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
7．圆的方程为，则圆心坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
8．圆心为，半径为5的圆的标准方程是（
）
A．
B．
C．
D．
9．圆的圆心和半径分别是（
）．
A．，4
B．，4
C．，2
D．，2
10．过点，且圆心在直线上的圆的方程是（）
A．
B．
C．
D．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：，点B(3，0)，过动点P引圆A的切线，切点为T．若PT＝PB，则动点P的轨迹方程为（
）
A．
B．
C．
D．
12．若
是圆的方程，则实数k的取值范围是（）
A．k<5
B．k<
C．k<
D．k>
13．方程x2+y2+ax﹣2by+c＝0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a，b，c的值依次为（
）
A．4、2、4
B．﹣4、2、4
C．﹣4、2、﹣4
D．4、﹣2、﹣4
14．已知点为圆:上的一点，则的最大值是（
）
A．2
B．4
C．9
D．16
15．当点在圆上变动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是（
）
A．
B．
C．
D．
16．已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是（
）
A．9
B．8
C．4
D．2
17．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（
）．
A．4
B．5
C．6
D．7
18．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（
）．
A．
B．
C．
D．
19．设点为圆上的任意一点，点，则线段长度的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
20．如图，矩形ABCD中，，，M，N分别为边BC，CD上的动点，P为MN的中点，且.则AP长度的最小值为（
）
A．
B．
C．4
D．
21．（多选题）已知曲线.（
）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
22．（多选题）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（
）
A．圆M上点到直线的最小距离为2
B．圆M上点到直线的最大距离为3
C．若点（x，y）在圆M上，则的最小值是
D．圆与圆M有公共点，则a的取值范围是
23．（多选题）已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（
）
A．圆的圆心为
B．圆被轴截得的弦长为8
C．圆的半径为5
D．圆被轴截得的弦长为6
24．（多选题）以直线与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为（
）
A．
B．
C．
D．
25．（多选题）下列说法中正确的是（
）
A．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等
B．方程能表示平面内的任何直线
C．圆的圆心为，半径为
D．若直线不经过第二象限，则t的取值范围是
26．设圆的方程为
（1）求该圆的圆心坐标及半径.
（2）若此圆的一条弦AB的中点为，求直线AB的方程.
27．已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积．
28．已知动点到两定点，的距离之比为．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过曲线上任意一点作与直线夹角为的直线，交于点，求的最大值和最小值．
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精品试卷·第
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