2020_2021学年北师大版必修1新教材高中数学单元素养评价二第二章单元素养评价测试 Word含解析

单元素养评价(二)(第二章)
(120分钟　150分)
一、单选题(每小题5分,共40分)
1.函数f(x)=+的定义域为(　　)
A.[-1,2]
B.(-1,2]
C.[2,+∞)
D.[1,+∞)
2.设函数f(x)=则f的值为
(　　)
A.-1
B.
C.
D.4
3.已知f(x)=x3+2x,则f(a)+f(-a)=
(　　)
A.0
B.-1
C.1
D.2
4.(2020·南京高一检测)幂函数y=是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则整数a的值是(　　)
A.0或1
B.1或2
C.1
D.2
5.函数f(x)=ax3+bx+4(a,b不为零),且f(5)=10,则f(-5)等于
(　　)
A.-10
B.-2
C.-6
D.14
6.已知函数f=x2++3,则f(3)=
(　　)
A.8
B.9
C.10
D.11
7.如果函数f(x)=x2+bx+c对于任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么
(　　)
A.f(2)B.f(1)C.f(4)D.f(2)8.定义在R上的偶函数f(x)满足对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,且f(2)=0,则不等式xf(x)<0的解集是
(　　)
A.(-2,2)
B.(-2,0)∪(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(0,2)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.定义运算a?b=,设函数f(x)=1?2-x,则下列命题正确的有(　　)
A.f(x)的值域为
B.f(x)的值域为
C.不等式f(x+1)D.不等式f(x+1)10.关于函数f(x)=的结论正确的是
(　　)
A.定义域、值域分别是[-1,3],[0,+∞)
B.单调增区间是(-∞,1]
C.定义域、值域分别是[-1,3],[0,2]
D.单调增区间是[-1,1]
11.函数f(x)是定义在R上的奇函数,下列命题中是正确命题的是
(　　)
A.f(0)=0
B.若f(x)在[0,+∞)上有最小值-1,则f(x)在(-∞,0]上有最大值1
C.若f(x)在[1,+∞)上为增函数,则f(x)在(-∞,-1]上为减函数
D.若x>0时,f(x)=x2-2x,则x<0时,f(x)=-x2-2x
12.关于函数f(x)=,有下列结论,正确的结论是
(　　)
A.函数是偶函数
B.函数在(-∞,-1)上递减
C.函数在(0,1)上递增
D.函数在(-3,3)上的最大值为1
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.已知函数f(x),g(x)分别由表给出,则g(f(2))=　　　.?
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
g(x)
3
2
1
14.已知f(x)为R上的减函数,则满足f>f(1)的实数x的取值范围为　　　　.?
15.已知函数f(x)是奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x2+mx,若f(2)=-3,则m的值为　　　　.?
16.符号[x]表示不超过x的最大整数,如[3.14]=3,[-1.6]=-2,定义函数:f(x)=x-[x],则下列说法正确的是　　　　.?
①f(-0.8)=0.2;
②当1≤x<2时,f(x)=x-1;
③函数f(x)的定义域为R,值域为[0,1);
④函数f(x)是增函数,奇函数.
四、解答题(共70分)
17.(10分)已知一次函数f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)(x+m),且f(f(x))=16x+5.
(1)求f(x)的解析式.
(2)若g(x)在(1,+∞)上单调递增,求实数m的取值范围.
18.(12分)已知f(x)=
(1)若f(a)=4,且a>0,求实数a的值.
(2)求f的值.
19.(12分)已知奇函数f(x)=px++r(p,q,r为常数),且满足f(1)=,f(2)=.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)试判断函数f(x)在区间上的单调性,并用函数单调性的定义进行证明.
(3)当x∈时,f(x)≥2-m恒成立,求实数m的取值范围.
20.(12分)大气中的温度随着高度的上升而降低,根据实测的结果,上升到12
km为止,温度的降低大体上与升高的距离成正比,在12
km以上温度一定,保持在-55
℃.
(1)当地球表面大气的温度是a
℃时,在x
km的上空为y
℃,求a、x、y间的函数关系式.
(2)问当地表的温度是29
℃时,3
km上空的温度是多少?
21.(12分)已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,对任意a,b∈[-1,1],a+b≠0时有>0成立.
(1)解不等式f(x+)(2)若f(x)≤m2-2am+1对任意a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
22.(12分)已知函数f(x)=
(1)画出f(x)的图象.
(2)写出f(x)的单调区间,并指出单调性(不要求证明).
(3)若函数y=a-f(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围.
单元素养评价(二)(第二章)（答案版）
(120分钟　150分)
一、单选题(每小题5分,共40分)
1.函数f(x)=+的定义域为(　　)
A.[-1,2]
B.(-1,2]
C.[2,+∞)
D.[1,+∞)
【解析】选B.由得-12.设函数f(x)=则f的值为
(　　)
A.-1
B.
C.
D.4
【解析】选C.因为f(2)=22+2-2=4,
所以f=f=1-=.
3.已知f(x)=x3+2x,则f(a)+f(-a)=
(　　)
A.0
B.-1
C.1
D.2
【解析】选A.f(x)=x3+2x是R上的奇函数,故f(-a)=-f(a),所以f(a)+f(-a)=0.
4.(2020·南京高一检测)幂函数y=是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则整数a的值是(　　)
A.0或1
B.1或2
C.1
D.2
【解析】选C.因为幂函数y=是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,
所以
解得a=1.
5.函数f(x)=ax3+bx+4(a,b不为零),且f(5)=10,则f(-5)等于
(　　)
A.-10
B.-2
C.-6
D.14
【解析】选B.因为f(5)=125a+5b+4=10,
所以125a+5b=6,
所以f(-5)=-125a-5b+4=-(125a+5b)+4=-6+4=-2.
6.已知函数f=x2++3,则f(3)=
(　　)
A.8
B.9
C.10
D.11
【解析】选C.因为f=x2++3=+1,所以f(x)=x2+1(x≤-2或
x≥2),
所以f(3)=32+1=10.
7.如果函数f(x)=x2+bx+c对于任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么
(　　)
A.f(2)B.f(1)C.f(4)D.f(2)【解析】选A.由f(2+t)=f(2-t),可知抛物线的对称轴是直线x=2,再由二次函数的单调性,可得f(2)8.定义在R上的偶函数f(x)满足对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,且f(2)=0,则不等式xf(x)<0的解集是
(　　)
A.(-2,2)
B.(-2,0)∪(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(0,2)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
【解析】选B.因为<0对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2)恒成立,
所以f(x)在[0,+∞)上单调递减,又f(2)=0,
所以当x>2时,f(x)<0;当0≤x<2时,f(x)>0,
又f(x)是偶函数,所以当x<-2时,f(x)<0;
当-20,
所以xf(x)<0的解集为(-2,0)∪(2,+∞).
二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.定义运算a?b=,设函数f(x)=1?2-x,则下列命题正确的有(　　)
A.f(x)的值域为
B.f(x)的值域为
C.不等式f(x+1)D.不等式f(x+1)【解析】选AC.根据题意知f(x)=
f(x)的图象为
所以f(x)的值域为[1,+∞),A对;
因为f(x+1)所以或
所以或
所以x≤-1或-1所以x<0,C对.
10.关于函数f(x)=的结论正确的是
(　　)
A.定义域、值域分别是[-1,3],[0,+∞)
B.单调增区间是(-∞,1]
C.定义域、值域分别是[-1,3],[0,2]
D.单调增区间是[-1,1]
【解析】选CD.由-x2+2x+3≥0可得,x2-2x-3≤0,解可得,-1≤x≤3,即函数的定义域为[-1,3],
由二次函数的性质可知,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4∈[0,4],所以函数的值域为[0,2],结合二次函数的性质可知,函数在[-1,1]上单调递增,在[1,3]上单调递减.
11.函数f(x)是定义在R上的奇函数,下列命题中是正确命题的是
(　　)
A.f(0)=0
B.若f(x)在[0,+∞)上有最小值-1,则f(x)在(-∞,0]上有最大值1
C.若f(x)在[1,+∞)上为增函数,则f(x)在(-∞,-1]上为减函数
D.若x>0时,f(x)=x2-2x,则x<0时,f(x)=-x2-2x
【解析】选ABD.
f(x)为R上的奇函数,则f(0)=0,A正确;其图象关于原点对称,且在对称区间上具有相同的单调性,最值相反且互为相反数,所以B正确,C不正确;对于D,x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,又f(-x)=-f(x),所以f(x)=-x2-2x,即D正确.
12.关于函数f(x)=,有下列结论,正确的结论是
(　　)
A.函数是偶函数
B.函数在(-∞,-1)上递减
C.函数在(0,1)上递增
D.函数在(-3,3)上的最大值为1
【解析】选ABD.函数满足f(-x)=f(x),是偶函数;
作出函数图象,可知在(-∞,-1),(0,1)上递减,
(-1,0),(1,+∞)上递增,
当x∈(-3,3)时,f(x)max=f(0)=1.
三、填空题(每小题5分,共20分)
13.已知函数f(x),g(x)分别由表给出,则g(f(2))=　　　.?
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
g(x)
3
2
1
【解析】由题表可得f(2)=3,g(3)=1,
故g(f(2))=1.
答案:1
14.已知f(x)为R上的减函数,则满足f>f(1)的实数x的取值范围为　　　　.?
【解析】因为f(x)在R上是减函数,
所以<1,解得x>1或x<0.
答案:
(-∞,0)∪(1,+∞)
15.已知函数f(x)是奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x2+mx,若f(2)=-3,则m的值为　　　　.?
【解析】因为f(x)是奇函数,
所以f(-2)=-f(2)=3,
所以(-2)2-2m=3,解得m=.
答案:
16.符号[x]表示不超过x的最大整数,如[3.14]=3,[-1.6]=-2,定义函数:f(x)=x-[x],则下列说法正确的是　　　　.?
①f(-0.8)=0.2;
②当1≤x<2时,f(x)=x-1;
③函数f(x)的定义域为R,值域为[0,1);
④函数f(x)是增函数,奇函数.
【解析】f(x)=x-[x],则f(-0.8)=-0.8-(-1)=0.2,①正确,
当1≤x<2时,f(x)=x-[x]=x-1,②正确,
函数f(x)的定义域为R,值域为[0,1),③正确,
当0≤x<1时,f(x)=x-[x]=x;
当1≤x<2时,f(x)=x-1,
当x=0.5时,f(0.5)=0.5;
当x=1.5时,f(1.5)=0.5,
则f(0.5)=f(1.5),即有f(x)不为增函数,
由f(-1.5)=0.5,f(1.5)=0.5,可得f(-1.5)=f(1.5),即有f(x)不为奇函数,④错误.
答案:①②③
四、解答题(共70分)
17.(10分)已知一次函数f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)(x+m),且f(f(x))=16x+5.
(1)求f(x)的解析式.
(2)若g(x)在(1,+∞)上单调递增,求实数m的取值范围.
【解析】(1)由题意设f(x)=ax+b(a>0).从而f(f(x))=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=16x+5,
所以解得或(不合题意,舍去).
所以f(x)的解析式为f(x)=4x+1.
(2)g(x)=f(x)(x+m)=(4x+1)(x+m)=4x2+(4m+1)x+m,g(x)图象的对称轴为直线x=-.
若g(x)在(1,+∞)上单调递增,则-≤1,解得m≥-,所以实数m的取值范围为.
18.(12分)已知f(x)=
(1)若f(a)=4,且a>0,求实数a的值.
(2)求f的值.
【解析】(1)若0解得a=,满足0若a≥2,则f(a)=a2-1=4,
解得a=或a=-(舍去),
所以a=或a=.
(2)由题意,f=f=f
=f=f=2×+1=2.
19.(12分)已知奇函数f(x)=px++r(p,q,r为常数),且满足f(1)=,f(2)=.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)试判断函数f(x)在区间上的单调性,并用函数单调性的定义进行证明.
(3)当x∈时,f(x)≥2-m恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】(1)因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以r=0.又即
解得所以f(x)=2x+.
(2)f(x)=2x+在区间上单调递减.
证明如下:设任意的两个实数x1,x2,且满足0=2(x1-x2)+=.
因为0所以x2-x1>0,00,
所以f(x1)-f(x2)>0,
所以f(x)=2x+在区间上单调递减.
(3)由(2)知f(x)=2x+在区间上的最小值是f=2.
要使当x∈时,f(x)≥2-m恒成立,
只需当x∈时,f(x)min≥2-m,
即2≥2-m,解得m≥0即实数m的取值范围为[0,+∞).
20.(12分)大气中的温度随着高度的上升而降低,根据实测的结果,上升到12
km为止,温度的降低大体上与升高的距离成正比,在12
km以上温度一定,保持在-55
℃.
(1)当地球表面大气的温度是a
℃时,在x
km的上空为y
℃,求a、x、y间的函数关系式.
(2)问当地表的温度是29
℃时,3
km上空的温度是多少?
【解析】(1)由题意知,可设y-a=kx(0≤x≤12,k<0),即y=a+kx.依题意,当x=12时,y=-55,
所以-55=a+12k,解得k=-.
所以当0≤x≤12时,y=a-(55+a)(0≤x≤12).
又当x>12时,y=-55.
所以所求的函数关系式为
y=
(2)当a=29,x=3时,y=29-(55+29)=8,
即3
km上空的温度为8
℃.
21.(12分)已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,对任意a,b∈[-1,1],a+b≠0时有>0成立.
(1)解不等式f(x+)(2)若f(x)≤m2-2am+1对任意a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】(1)任取x1,x2∈[-1,1],x1f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=·(x1-x2)
由已知得>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,
所以f(x)在[-1,1]上单调递增,
原不等式等价于
所以0≤x<,原不等式的解集为.
(2)由(1)知f(x)≤f(1)=1,即m2-2am+1≥1,即m2-2am≥0,对a∈[-1,1]恒成立.
设g(a)=-2ma+m2,若m=0,显然成立;
若m≠0,则,即m≤-2或m≥2,故m≤-2或m≥2或m=0.
22.(12分)已知函数f(x)=
(1)画出f(x)的图象.
(2)写出f(x)的单调区间,并指出单调性(不要求证明).
(3)若函数y=a-f(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围.
【解析】(1)由分段函数的画法可得f(x)的图象.
(2)单调区间:[-1,0],[0,2],[2,4],f(x)在[-1,0],[2,4]上递增,在[0,2]上递减.
(3)函数y=a-f(x)有两个不同的零点,
即为f(x)=a有两个实根,
由图象可得,当-1y=f(x)与y=a有两个交点,则a的范围是
(-1,1]∪[2,3).
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