题型分类教案：三角恒等变化（高三复习）

中小学教育资源及组卷应用平台
高三题型复习：三角恒等变化
【知识归纳】
考点一、两角和、差的正、余弦公式
要点诠释：
1．公式的适用条件(定义域) ：前两个公式,对任意实数α，β都成立，这表明该公式是R上的恒等式；公式③中
2．正向用公式,，能把和差角的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角 的弦函数。公式正向用是用单角的正切值表示和差角的正切值化简。
考点二、二倍角公式
1. 在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式：
；
；
。
要点诠释：
1．在公式中，角α没有限制，但公式中，只有当时才成立；
2. 余弦的二倍角公式有三种：＝＝；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。
3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，，的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键。
考点三、二倍角公式的推论
降幂公式：；
；
.
万能公式：；
.
半角公式：；
；
.
其中根号的符号由所在的象限决定.
要点诠释：
(1)半角公式中正负号的选取由所在的象限确定；
(2)半角都是相对于某个角来说的，如可以看作是3α的半角，2α可以看作是4α的半角等等。
(3)正切半角公式成立的条件是α≠2kπ+π(k∈Z)
正切还有另外两个半角公式：，这两个公式不用考虑正负号的选取问题，但是需要知道两个三角函数值。常常用于把正切化为正余弦的表达式。
考点四、三角形内角定理的变形
由，知可得出：
，.
而，有：，.
类型一：正余弦两角和差公式的应用
例1.sin＋sin的化简结果是(　　)
A．2sin B．2sin C．2sin D．2sin
[答案]　A
[解析]　sin＋sin＝sin＋sin
＝cos＋sin＝2
＝2＝2sin＝2sin.
变式训练1.已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α，β都是锐角，则cosβ＝(　　)
A．－ B．－ C. D.
[答案]　C
[解析]　∵α、 β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－<0，∴<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝，sinα＝.又cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.
变式训练2.已知α、β为锐角，且tanα＝，tanβ＝，则sin(α＋β)＝________.
[解析]　(1)∵|a－b|＝，
∴a2－2a·b＋b2＝，又a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，
∴a2＝b2＝1，a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，∴cos(α－β)＝.
(2)∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π，
由(1)得cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝，又sinβ＝－，∴cosβ＝，
∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝×＋×＝.
变式训练3.已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cosαcosβ的值为(　 )
A．0　　　　 B.　　 　 C．0或　　 D．0或±
[答案]　A
[解析]　由条件得，cosαcosβ－sinαsinβ＝，
cosαcosβ＋sinαsinβ＝－，左右两边分别相加可得cosα·cosβ＝0.
类型二：正切两角和差的应用
例2.已知△ABC中，tanAtanB－tanA－tanB＝.求C的大小．
[解析]　依题意：＝－，
即tan(A＋B)＝－，又0变式训练4.在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值是(　 　)
A．－ B. C. D．－
[答案]　B
[解析]　由tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，∵A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，则C＝，cosC＝.
变式训练5.tan(α＋β)＝，tan(α－β)＝，则tan2α＝(　 　)
A. B. C. D.
[答案]　D
[解析]　tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝＝＝.
变式训练6.的值为(　 　)
A. 　　　 B. 　　　C．1 　　　D．－
答案　B
解析　原式＝＝tan(45°－15°)＝tan30°＝.
类型三：二倍角公式的变形与应用
例3.（1）若＝－，则cosα＋sinα的值为(　 　)
A．－　　 　　 B．－　　　　 C.　　　　　 D.
[答案]　C
[解析]　＝
＝
＝－(cosα＋sinα)＝－.
∴sinα＋cosα＝.
（2）设函数f(x)＝2cosxsin(x＋)－sin2x＋sinxcosx，当x∈[0，]时，求f(x)的最大值和最小值．
[解析]　f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)－sin2x＋sinxcosx＝2sinxcosx＋(cos2x－sin2x)
＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)．
∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]，
∴－≤sin(2x＋)≤1，
从而－≤f(x)≤2
故当x∈[0，]时，f(x)max＝2，f(x)min＝－.
变式训练7.已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为(　 )
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D．－1
[答案]　B
[解析]　sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝.
变式训练8.函数y＝的周期等于( )
A. B．π C．2π D．3π
[答案]　C
[解析]　y＝＝tan，T＝＝2π.
变式训练9.求证：＝sin2α
证明　方法一：左边＝＝＝
＝＝sincoscosα＝sinαcosα＝sin2α＝右边．
∴原式成立．
方法二：左边＝＝cos2α·＝
cos2α·tanα＝cosαsinα＝sin2α＝右边． ∴原式成立．
变式训练10.已知α为锐角，且tan＝2.
(1)求tanα的值；(2)求的值
解　 (1)tan＝，
所以＝2,1＋tanα＝2－2tanα，所以tanα＝.
(2)＝
＝＝＝sinα.
因为tanα＝，所以cosα＝3sinα，
又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝，
又α为锐角，所以sinα＝，所以＝.
类型四：化简运算
例4.的值是(　 　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　原式＝
＝
＝＝.
变式训练10.( 　)
A．－ B．－ C. D.
[答案]　C
[解析]　＝
＝＝＝sin30°＝
变式训练11.求值：
答案：解：原式



变式训练12.的值是_____．
答案：2；
解析　＝＝＝2.
变式训练13.求值：tan 70°·cos 10°·(tan 20°－1)
答案：解　原式＝·cos 10°＝·cos 10°·
＝·cos 10°·2＝＝＝－1.

类型五：三角函数+三角恒等变化综合提升练习
1.【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】
已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2.【河北省衡水中学2018届高三十六模】已知函数，现将的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将所得图象个点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象， ， ，，即 在上的值域为，故选A.
3.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】已知，则__________．
【答案】
【解析】=,故填.
4.【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知函数的图像关于直线对称，当时，的最大值为____________.
【答案】4
5.【淮安市2017-2018学年度第二学期高二年级期末】已知，则的值为__________．
【答案】
6.若，且，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
将变形为，从而可得进而得到，再利用配凑角得到所求.
【详解】
，
.又
，，
==，
故答案为.
7.【2019届山西一中大同期末】将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，若在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A．] B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，又在上单调递减，所以，得：，故得的取值范围为，故选D．
8.【2019届湖南师范大学附中月考（五)】若函数 (，)的图象的一条对称轴方程是，函数的图象的一个对称中心是，则的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设，有，即，得，又，所以，从而，所以，，即，，又由，所以，于是，故的最小正周期是，故选B.
9.【2019届福建省福州市一质测】函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】，则，因为函数在上单调增，可得在上恒成立，即，令，则，，所以，因为在上是增函数，所以其最大值为，所以实数的取值范围是.
【课堂练习】
(cos －sin )(cos ＋sin )等于(　 )
A．－ B．－ C. D.
答案：D；
　[(cos －sin )(cos ＋sin )＝cos2 －sin2＝cos ＝.]
函数y＝sin·cos＋cos·sin的图象的一条对称轴方程是(　　)
A．x＝ B．x＝ C．x＝π D．x＝
答案：C；
　[y＝sin＝sin＝cos x，当x＝π时，y＝－1.]
已知sin(45°＋α)＝，则sin 2α等于(　 )
A．－ B．－ C. D.
答案：B；
　[sin(α＋45°)＝(sin α＋cos α)·＝，
∴sin α＋cos α＝.
两边平方，
∴1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝－.]
y＝sin－sin 2x的一个单调递增区间是(　 　)
A. B. C. D.
答案：B；
　[y＝sin－sin 2x＝sin 2xcos －cos 2xsin －sin 2x＝－sin 2x－cos 2x
＝－sin
当x＝时，ymin＝－1；当x＝π时，ymax＝1，
且T＝π.故B项合适．]
已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是(　 　)
A. B. C. D.
答案：A；
　[∵0<θ<，∴θ＋∈，
又sin θ＋cos θ＝sin，
所以sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°等于(　 )
A．－ B. C．－ D.
答案：B；
　[sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°
＝sin(90°＋73°)sin(270°－47°)＋sin(180°＋73°)sin(360°－47°)
＝cos 73°(－cos 47°)－sin 73°(－sin 47°)
＝－(cos 73°cos 47°－sin 73°sin 47°)
＝－cos(73°＋47°)
＝－cos 120°＝.]
已知tan 2θ＝－2，π<2θ<2π，则tan θ的值为(　 　)
A. B．－ C．2 D.或－
答案：B；
　[∵π<2θ<2π，∴<θ<π，
则tan θ<0，tan 2θ＝＝－2，
化简得tan2θ－tan θ－＝0，
解得tan θ＝－或tan θ＝(舍去)，
∴tan θ＝－.]
函数y＝sin x－cos x的图象可以看成是由函数y＝sin x＋cos x的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是(　 )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
答案：C；
　[y＝sin x＋cos x＝sin
∴y＝sin x－cos x＝sin＝sin.]
设a＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b＝2cos213°－1，c＝，则有(　 　)
A．c答案：A；
　[a＝sin 62°，b＝cos 26°＝sin 64°，c＝sin 60°.
∵y＝sin x，x∈为递增函数，∴c化简的结果是( )
A. B．tan 2α C. D．tan α
答案：B；
　[原式＝＝＝tan 2α.]
如图，角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴，终边经过点P(－3，－4)．角β的顶点在原点O，始边在x轴的正半轴，终边OQ落在第二象限，且tan β＝－2，则cos∠POQ的值为(　 　)
A．－ B．－ C. D.
答案：A；
[tan β＝tan(π－θ1)＝－tan θ1＝－2，
∴tan θ1＝2，tan θ2＝.
∴tan∠POQ＝＝－2，
∴<∠POQ<π.∴cos∠POQ＝－.]
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)．定义一种向量积：a?b＝(a1，a2)?(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知m＝(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sin x的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动．且满足＝m?＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)的最大值A及最小正周期T分别为(　 　)
A．2，π B．2,4π C.，4π D.，π
答案：C；
　[＝m?＋n＝(2，)?(x，y)＋(，0)＝(2x＋，y)，则xQ＝2x＋，yQ＝y，所以x＝xQ－，y＝2yQ，所以y＝f(x)＝sin(x－)．所以最大值A＝，最小正周期T＝4π.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
的值是_______．
答案：1；
解析　∵＝＝tan 45°＝1，∴＝1.
已知sin α＝cos 2α，α∈(，π)，则tan α＝______.
答案：－；
解析　∵sin α＝cos 2α＝1－2sin2α
∴2sin2α＋sin α－1＝0，∴sin α＝或－1.
∵<α<π，∴sin α＝，
∴α＝π，∴tan α＝－.
函数y＝2sin x(sin x＋cos x)的最大值为_______．
答案：＋1；
解析　y＝2sin2x＋2sin xcos x＝1－cos 2x＋sin 2x＝sin(2x－)＋1，
∴ymax＝＋1.
已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.
答案：1；
解析　∵cos(α＋β)＝sin(α－β)
∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β
∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(cos β＋sin β)
∵α、β均为锐角，
∴sin β＋cos β≠0，
∴cos α＝sin α，∴tan α＝1.
【课后作业】
函数f(x)＝sin2(2x－)的最小正周期是______．
答案：；
解析　∵f(x)＝[1－cos(4x－)]＝－sin 4x ∴T＝＝.
已知sin αcos β＝1，则sin(α－β)＝______.
答案：1；
解析　∵sin αcos β＝1，
∴sin α＝cos β＝1，或sin α＝cos β＝－1， ∴cos α＝sin β＝0.
∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝sin αcos β＝1.
若0<α<<β<π，且cos β＝－，sin(α＋β)＝，则cos α＝______.
答案：；
解析　cos β＝－，sin β＝， sin(α＋β)＝，cos(α＋β)＝－，
故cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝(－)×(－)＋×＝.
函数y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°)，(x∈R)的最大值是_______．
答案：1；
解析　令x＋10°＝α，则x＋40°＝α＋30°，
∴y＝sin α＋cos(α＋30°) ＝sin α＋cos αcos 30°－sin αsin 30°
＝sin α＋cos α ＝sin(α＋60°)． ∴ymax＝1.
已知sin(α＋)＝－，α∈(0，π)．
(1)求的值；
(2)求cos(2α－)的值．
答案：解　(1)sin(α＋)＝－，α∈(0，π)?cos α＝－，α∈(0，π)?sin α＝.
＝＝－.
(2)∵cos α＝－，sin α＝?sin 2α＝－，cos 2α＝－.
cos(2α－)＝－cos 2α＋sin 2α＝－.
已知函数f(x)＝2cos xsin x＋2cos2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值；
(3)求函数f(x)的单调增区间．
答案：解　(1)原式＝sin 2x＋cos 2x＝2(sin 2x＋cos 2x)＝2(sin 2xcos ＋cos 2xsin )
＝2sin(2x＋)．
∴函数f(x)的最小正周期为π.
(2)当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)有最大值为2.
当2x＋＝2kπ－，即x＝kπ－(k∈Z)时，f(x)有最小值为－2.
(3)要使f(x)递增，必须使2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴函数f(x)的递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
已知向量a＝(cos ，sin )，b＝(cos ，－sin )，且x∈[－，]．
(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．
答案：解　(1)a·b＝cos cos －sin sin ＝cos 2x，
|a＋b|＝＝＝2|cos x|，
∵x∈[－，]，∴cos x>0， ∴|a＋b|＝2cos x.
(2)f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1＝2(cos x－)2－.
∵x∈[－，]．∴≤cos x≤1，
∴当cos x＝时，f(x)取得最小值－；当cos x＝1时，f(x)取得最大值－1.

已知△ABC的内角B满足2cos 2B－8cos B＋5＝0，若＝a，＝b且a，b满足：a·b＝－9，|a|＝3，|b|＝5，θ为a，b的夹角．
(1)求角B；
(2)求sin(B＋θ)．
答案：解　(1)2(2cos2B－1)－8cos B＋5＝0，即4cos2B－8cos B＋3＝0，得cos B＝.
又B为△ABC的内角，∴B＝60°.
(2)∵cos θ＝＝－，∴sin θ＝.∴sin(B＋θ)＝sin Bcos θ＋cos Bsin θ＝.
已知向量m＝(－1，cos ωx＋sin ωx)，n＝(f(x)，cos ωx)，其中ω>0，且m⊥n，又函数f(x)的图象任意两相邻对称轴的间距为.
(1)求ω的值；
(2)设α是第一象限角，且f(α＋)＝，求的值．
答案：解　(1)由题意，得m·n＝0，所以
f(x)＝cos ωx·(cos ωx＋sin ωx)＝＋＝sin(2ωx＋)＋.
根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π. 又ω>0，所以ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝sin(＋)＋，
所以f(α＋)＝sin(α＋)＋＝cos α＋＝. 解得cos α＝.
因为α是第一象限角，故sin α＝.
所以＝＝＝＝－.
已知函数f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－sin(＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(，)．
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在[0，]上的最大值和最小值．
答案：解　(1)因为f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－sin(＋φ)(0<φ<π)，
所以f(x)＝sin 2xsin φ＋cos φ－cos φ
＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ ＝(sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ) ＝cos(2x－φ)．
又函数图象过点(，)，
所以＝cos(2×－φ)，即cos(－φ)＝1，又0<φ<π，所以φ＝.
(2)由(1)知f(x)＝cos(2x－)，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知g(x)＝f(2x)＝cos(4x－)，
因为x∈[0，]，所以4x∈[0，π]，因此4x－∈[－，]， 故－≤cos(4x－)≤1.
所以y＝g(x)在[0，]上的最大值和最小值分别为和－.
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_