题型分类教案：平面向量（高三复习）

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高三总复面向量题型复习
【基本概念】
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量，平面向量可自由平移
零向量
长度为0的向量；其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量
0与任一向量平行或共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
例1.(1)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．a＝－b　　　　　　　　　
B．a∥b
C．a＝2b
D．a∥b且|a|＝|b|
(2)设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是(　　)
A．0　　　　B．1
C．2　　　　D．3
[解析]　(1)因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件．
(2)向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
[答案]　(1)C　(2)D
【变式1】(多选）给出下列命题：其中正确命题的是(　　)
A若|a|＝|b|，则a＝b；
B若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
C若a＝b，b＝c，则a＝c；
D
a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
解析：选BC　①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵＝，∴||＝||且∥.又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且||＝||，因此，＝.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.
【变式2】(多选）给出下列命题：其中错误的命题的是（
）
A
两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
B
两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
C
λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
D
λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
解析：　①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．错误的命题有3个，故选ACD.
【线性运算】
1．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：
a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|，
当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μ
a)
＝(λ
μ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)
＝λa＋λb
2.平面向量共线定理
向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
例2.(1)在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝(　　)
A.b＋c　　　　　　　
B.c－b
C.b－c
D.b＋c
(2)在△ABC中，N是AC边上一点且＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值是________．
[解析]　(1)由题可知＝－＝b－c，∵＝2，∴＝＝(b－c)，则＝＋＝c＋(b－c)＝b＋c，故选D.
(2)如图，因为＝，所以＝，所以＝m＋＝m＋.因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，则m＝.
[答案]　(1)D　(2)
【变式1】已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为(　　)
A．λ＋μ＝2
B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1
D．λμ＝1
解析：选D　∵A，B，C三点共线，∴∥，设＝m(m≠0)，则λa＋b＝m(a＋μb)，∴
∴λμ＝1，故选D.
【变式2】在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则＝(　　)
A.a－b
B.a＋b
C．－a＋b
D．－a－b
解析：选B　如图，过点F作BC的平行线交DE于G，则G是DE的中点，且＝＝，∴＝，则△AHD∽△FHG，从而＝，∴＝，＝＋＝b＋a，∴＝＝a＋b，故选B.
【变式3】已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同．若a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一直线上，则t＝________.
解析：∵a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，且a与b起点相同．∴a－tb与a－(a＋b)共线，即a－tb与a－b共线，∴存在实数λ，使a－tb＝λ，∴解得λ＝，t＝，若a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，则t＝.
答案：
【变式4】已知点G是△ABC的重心，过点G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为(　　)
A．3
B.
C．2
D.
解析：选B　由已知得M，G，N三点共线，所以＝λ＋(1－λ)＝λx＋(1－λ)y.∵点G是△ABC的重心，∴＝×(＋)＝(＋)，∴即得＋＝1，即＋＝3，通分得＝3，∴＝.
【变式5】若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________．
解析：因为＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，所以|＋|＝|－|，即·＝0，故⊥，△ABC为直角三角形．
答案：直角三角形
【基底运算与坐标运算】
1.如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．
（3）平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b?x1y2－x2y1＝0.
例3.已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．
[解]　(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，
∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，
∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
∴k＝－.
(2)＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
∵A，B，C三点共线，∴∥，∴8m－3(2m＋1)＝0，
∴m＝.
【变式1】已知梯形ABCD，其中AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．
解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥DC，∴＝2.设点D的坐标为(x，y)，则＝(4－x，2－y)，＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，
∴解得故点D的坐标为(2,4)．
答案：(2,4)
【变式2】已知＝a，＝b，＝c，＝d，
＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t为何值时，C，D，E三点共线？
解：由题设知，＝－＝d－c＝2b－3a，
＝－＝e－c＝t(a＋b)－3a＝(t－3)a＋tb.
C，D，E三点共线的充要条件是存在实数k，
使得＝k，
即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
若a，b共线，则t可为任意实数；
若a，b不共线，则有
解得t＝.
综上，可知a，b共线时，t可为任意实数；a，b不共线时，t＝.
【变式3】在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
解析：由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，则＋＋＋
＝0，得＋＋＋\f(1,2)
))＝0，得＋＝0.又因为，不共线，所以由平面向量基本定理得解得所以λ＋μ＝.
答案：
【变式4】给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．
解：以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1，0)，B－，，设∠AOC＝αα∈0，，则C(cos
α，sin
α)，
由＝x＋y，得
所以x＝cos
α＋sin
α，y＝sin
α，
所以x＋y＝cos
α＋sin
α＝2sin，
又α∈，则α＋∈.
所以当α＋＝，即α＝时，x＋y取得最大值2.
【平面向量的数量积及其应用】
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
2．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos
θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos
θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos
θ的乘积．
(3)坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
3．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
(1)a2＝a·a＝|a|2；
(2)|a±b|＝＝.
5.求解两个非零向量之间的夹角的步骤
第一步
由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积
第二步
分别求出这两个向量的模
第三步
根据公式cos〈a，b〉＝＝求解出这两个向量夹角的余弦值
第四步
根据两个向量夹角的范围是[0，π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角
例4.(1)设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于(　　)
A．－　　　　　　　　
B．－
C.
D.
(2)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________．
[解析]　(1)a＋2b＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a－b＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，所以b＝，所以a·b＝－1×＋2×1＝.
(2)取，为一组基底，则＝－＝－，＝＋＋＝－＋＋＝－＋，∴·＝－
))·＋
))＝||2－·＋||2＝×4－×2×1×＋＝.
[答案]　(1)D　(2)
【变式1】已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝(　　)
A．－a2
B．－a2
C.a2
D.a2
解析：选D　如图所示，∵＝＋，＝，∴·＝(＋)·＝2＋·＝a2＋a·acos
60°＝a2.故选D.
【变式2】如图所示，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，＝4，则·(－)＝________.
解析：由已知得||＝，||＝，
则·(－)＝(＋)·＝·＋·＝1×cos＋×＝－.
答案：－
【变式3】若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)
A.
B.
C.
D．π
(1)由(a－b)⊥(3a＋2b)，
得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.
又∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，
即3|a|2－|a||b|cos
θ－2|b|2＝0，
∴|b|2－|b|2·cos
θ－2|b|2＝0.
∴cos
θ＝.又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
【变式4】已知|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为(　　)
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
解析：选C　设向量a与b的夹角为θ，∵c＝a＋b，c⊥a，∴c·a＝(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴|a|2＝－|a||b|·cos
θ，∴cos
θ＝－＝－＝－，∴θ＝120°.
【变式5】已知平面向量a，b满足|b|＝1，且a与b－a的夹角为120°，则a的模的取值范围为________．
解析：在△ABC中，设＝a，＝b，则b－a＝－＝，∵a与b－a的夹角为120°，∴B＝60°，由正弦定理得＝，∴|a|＝＝sin
C，∵C∈，∴sin
C∈(0,1]，∴|a|＝.
答案：
【课后练习】
一、选择题
1．已知向量a＝(，1)，b＝(0,1)，c＝(k，)，若a＋2b与c垂直，则k＝(　　)
A．－3
B．－2
C．1
D．－1
解析：选A　因为a＋2b与c垂直，所以(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0，所以k＋＋2＝0，解得k＝－3.
2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝(　　)
A．5
B．4
C．3
D．2
解析：选A　由四边形ABCD是平行四边形，知＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故·＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.
3．若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b的坐标为(　　)
A．(3，－6)
B．(－3,6)
C．(6，－3)
D．(－6,3)
解析：选A　由题意设b＝λa＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b|＝3，则＝3，所以λ＝－3，b＝(3，－6)，故选A.
4．(2016·山东高考)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(t
m＋n)，则实数t的值为(　　)
A．4
B．－4
C.
D．－
解析：选B　∵n⊥(t
m＋n)，∴n·(t
m＋n)＝0，即t
m·n＋|n|2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0.又4|m|＝3|n|，∴t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4.故选B.
5．(2016·天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)
A．－
B.
C.
D.
解析：选B　如图所示，＝＋.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝，所以＝＋.又＝－，则·＝＋
·(－)＝·－2＋2－·＝2－2－·.又||＝||＝1，∠BAC＝60°，故·＝－－×1×1×＝.故选B.
6．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A　∵＝－＝(1－λ)－，＝－＝λ－，又·＝－，||＝||＝2，A＝60°，·＝||·||cos
60°＝2，∴[(1－λ)－]·(λ－)＝－，即λ||2＋(λ2－λ－1)·＋(1－λ)||2＝，所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝，解得λ＝.
二、填空题
7．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)·b，则|c|＝________.
解析：由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c＝a－(a·b)·b＝a＋6b＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c|＝＝8.
答案：8
8．已知向量a，b满足(2a－b)·(a＋b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b的夹角为________．
解析：∵(2a－b)·(a＋b)＝6，∴2a2＋a·b－b2＝6，又|a|＝2，|b|＝1，∴a·b＝－1，∴cos〈a，b〉＝＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为.
答案：
9．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．
解析：a与b的夹角为锐角，则a·b>0且a与b不共线，则解得λ<－或0<λ<或λ>，所以λ的取值范围是∪∪.
答案：∪∪
10.如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则·的最大值为________．
解析：设＝λ＋μ，因为N在菱形ABCD内，所以0≤λ≤1,0≤μ≤1.＝＋＝＋.所以·＝＋
))·(λ＋μ)＝2＋·＋μ2＝×4＋×2×2×＋4μ＝4λ＋5μ.所以0≤·≤9，所以当λ＝μ＝1时，·有最大值9，此时，N位于C点．
答案：9
三、解答题
11．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin
x，cos
x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan
x的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
解：(1)若m⊥n，则m·n＝0.
由向量数量积的坐标公式得sin
x－cos
x＝0，
∴tan
x＝1.
(2)∵m与n的夹角为，
∴m·n＝|m||n|cos＝1×1×＝，
即sin
x－cos
x＝，
∴sin＝.
又∵x∈，∴x－∈，
∴x－＝，即x＝.
12．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin
A，sin
B)，n＝(cos
B，cos
A)，m·n＝sin
2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin
A，sin
C，sin
B成等差数列，且·(－)＝18，求边c的长．
解：(1)m·n＝sin
A·cos
B＋sin
B·cos
A＝sin(A＋B)，
对于△ABC，A＋B＝π－C,0＜C＜π，
∴sin(A＋B)＝sin
C，
∴m·n＝sin
C，
又m·n＝sin
2C，∴sin
2C＝sin
C，cos
C＝，C＝.
(2)由sin
A，sin
C，sin
B成等差数列，可得2sin
C＝sin
A＋sin
B，由正弦定理得2c＝a＋b.
∵·(－)＝18，
∴·＝18，
即abcos
C＝18，ab＝36.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos
C＝(a＋b)2－3ab，
∴c2＝4c2－3×36，c2＝36，∴c＝6.
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