题型分类教案：二项式定理（高三复习）

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题型分类：二项式定理
二项式定理：
（1）公式所表示的规律叫做二项式定理。
（2）的二项展开式中共有n+1项。
（3）二项式系数：；
（4）二项展开式的通项公式：（其中），它是展开式的第r+1项。
（5）熟记基本公式：，要能够熟练套用。
赋值法：
求所有系数的和，奇数项或偶数项系数的和，马上用赋值法。一般令x=0，x=1，x=-1等。
若x=1时
若x=-1时
若x=0时
一般求奇偶数项时，考虑把x=1或x=-1两式结合（相加减）
求导法：
一、求单项，直接套用公式
【求单项系数1】展开式中的系数是 .
答案：；
【求单项系数2】若，则（ ）
答案：80；
【求单项二项式系数】（x3+）5的展开式中x8的二项式系数是　 　
【解析】所以
答案：10；
【解答】解：展开式的通项公式Tr+1==2﹣r，
令=8，解得r=2，
∴（x3+）5的展开式中x8的二项式系数是=10．
故答案为：10．
【求第几项单项】的展开式中，第五项是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
【求常数项】(x2－)6的展开式中的常数项为（ ）
（A）15 （B）－15 （C）20 （D）－20
答案：A；
【单项方程1】若的展开式中常数项为，则实数（ ）
A． B． C． D．
答案：C；
【单项方程2】）若的展开式的常数项为84，则的值为
答案：；
分析：，令，得其常数项为，
即，解得
【单项方程3】若的展开式中，x2的系数是224，则的系数是
二、组合型求单项，拆开求
【两多项式组合1】在(1＋x2)(1－)5的展开式中，常数项为________．
答案：41；
【两多项式组合2】已知f(x)＝(1＋2x)(1＋3x)展开式中x的系数为13，求展开式中x2的系数．
答案：解：f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋3x)n展开式中含x的项为2x＋3x＝(2m＋3n)x，由
2m＋3n＝13，m，n为正整数，得m＝2，n＝3或m＝5，n＝1．
当m＝2，n＝3时，求得x2的系数为31；当m＝5，n＝1时求得x2的系数为40；故x2的系数为31或40．
【三项式1】 展开式中的常数项是70，则________．
【答案】.
【解析】∵，∴，
∴，又∵，∴，故填：
【三项式2】将展开后,常数项是 ．
【答案】
【解析】展开后的通项是,当时为常数.于是. 若,则；若,则.故常数项是
或：展开后的通项是.
令,得. 所以常数项是.
【三项式3】在的展开式中的系数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
答案：C；
解：设=的展开式的通项为 则(r=0,1,2,…,6). 二项式展开式的通项为 (n=0,1,2,…,r)
的展开式的通项公式为
令r+n=5,则n=5-rr=3,4,5,n=2,1,0.
展开式中含项的系数为:
三、求最值
【最值1】若 的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是? .
答案：=210；
【最值2】若的展开式中含有常数项，则的最小值等于（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
答案：C；
【最值3】若（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是(　　 )
(A)180 (B)120 (C)90 (D)45
答案：A；
四、系数相等
【系数相等1】若二项式的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的系数为 ．
答案：9；
【系数相等2】若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________。
答案：56；
五、赋值法
【简单赋值1】若，求
（1）a＋a＋…＋a＝__ _；（2）a＋a＋a＋a＝_____；
（3）a＋a＋a＋a＝____；（4）＝______；
答案：
答案：
答案：=1093
答案：
【简单赋值2】展开式中不含项的系数的和为（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案：B；
【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反。采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去项系数即为所求，答案为0.
【简单赋值3】若的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数项是（ ） A．-270 B．270 C.-90 D．90
答案：C；
【求导赋值1】已知，则（ ） A．-16 B．-8 C．8 D．16
【答案】B
【求导赋值2】设,其中 为常数，则 ．
答案：492；
所以A选项是正确的.
【补充练习题】
1.若，则的值是（ ）
A．84 B.-84 C.280 D.-280
2．在二项式(x2＋x＋1)(x－1)5的展开式中，含x4项的系数是 (　　)
A．－25 B．－5
C．5 D．25
3．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是(　　)
A．－7 B．－28
C．7 D．28
4．如果的展开式中所有奇数项的系数和等于512，则展开式的中间项是
A． B． C． D．
5．若a0＋a1x＋…＋a2011x2011(x∈R)，则的值为 (　　)
A．2 B．0
C．－1 D．－2
6．若x∈R，n∈N＋ ，定义＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n－1)，例如＝(－5)(－4)(－3)(－2)(－1)＝－120，则函数的奇偶性为
A．是偶函数而不是奇函数 B．是奇函数而不是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
7．若的展开式中共有5项，则______.项的系数是_____________.
8．若a0(x＋3)12＋a1(x＋3)11＋a2(x＋3)10＋…＋a11(x＋3)＋a12，则log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)＝________.
9．如果a1(x－1)4＋a2(x－1)3＋a3(x－1)2＋a4(x－1)＋a5＝x4，那么a2－a3＋a4 ．
10.二项式的展开式中的常数项为_____________，展开式中各项系数和为 ．（用数字作答）
11.二项展开式的常数项为 .
12.若的展开式中的常数项为，则实数_____．
13．已知a为如图所示的程序框图中输出的结果，求二项式的展开式中含x2项的系数．
14．已知(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.
(1)求展开式中各项系数的和；
(2)求展开式中含的项．
15．已知(＋2x)n，
(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
【参考答案】
1.【答案】A
【解析】
2．【答案】B
【解析】因为(x－1)5中含x4，x3，x2项分别为所以含x4项系数为
3．【答案】C
【解析】依题意，＋1＝5，∴n＝8.二项式为，易得常数项为＝7.
4．【答案】B
【解析】中间项为
5．【答案】C
【解析】观察所求数列和的特点，
令x＝可得
所以
再令x＝0可得a0＝1，因此
6．【答案】A
【解析】
7．【答案】4, 1。
【解析】n=4,
8．【答案】7
【解析】令x＝－2，则a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12＝28，令x＝－4，则a0－a1＋a2－…－a11＋a12＝0，相减得2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)＝28，所以a1＋a3＋a5＋…＋a11＝27，所以log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)＝log227＝7.
9．【答案】2
【解析】比较等式两边x4的系数，得a1＝1,令x＝1，得a5＝1,令x＝0,得a1－a2＋a3－a4＋a5＝0,∴a2－a3＋a4＝2．
10. 【答案】,
【解析】 令4-2r=0 r=2
11. 【答案】
【解析】，令
常数项为（-1）。
12.【答案】
【解析】，令
从而有
13．【解析】记f(x)＝，则有f(2)＝＝－1，f[f(2)]＝f(－1)＝，f()＝=2，依题意得题中所给的程序图中输出的结果是数列2，－1，，2，－1，，…(注：该数列的项以3为周期重复出现)的第2 011项，由于2 011＝3×670＋1，因此a＝2，二项式，即的展开式的通项是.令3－r＝2得r＝1.所以，二项式的展开式中含x2项的系数是＝－192.
14．【解析】由题意知，第五项系数为·(－2)4，
第三项的系数为·(－2)2，
则有，
化简得n2－5n－24＝0，
解得n＝8或n＝－3(舍去)．
(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.
(2)通项公式
＝，(r＝0,1，…，8)，
令，则r＝1，
故展开式中含项为T2＝－16.
15．【解析】 (1)∵＋＝2，∴n2－21n＋98＝0，
∴n＝7或n＝14.
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，
∴T4的系数＝＝，
T5的系数＝＝70，
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.
∴T8的系数＝＝3 432.
(2)∵＝79，∴n2＋n－156＝0.
∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，
∵
∴
∴9.4∴展开式中系数最大的项为T11，
T11＝＝16 896 x10.
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