题型分类教案：复数（高三复习）

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题型分类：复数
【复数的基本概念】
要点一：复数的基本概念
1.虚数单位
数叫做虚数单位，它的平方等于，即。
2.
复数的概念
形如（）的数叫复数，记作：（）；
其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母
表示。
3.复数的分类
对于复数（）
若b=0,则a+bi为实数，若b≠0,则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数。
分类如下：
（）
用集合表示如下图：
4.复数集与其它数集之间的关系
（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集。）
要点二：复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：
如果，那么
特别地：.
要点三：复数的几何意义
1.
复平面、实轴、虚轴：
如图所示，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.
2.复数集与复平面内点的对应关系
按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数复平面内的点
这是复数的一种几何意义。
3.复数集与复平面中的向量的对应关系
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数。
设复平面内的点表示复数（），向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定。
复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即复数平面向量
4.复数的模
设（），则向量的长度叫做复数的模，记作.
即.
【判断复数类型】
例1.若复数为纯虚数，则实数的值为（
）
【答案】由复数为纯虚数，得，解得，故选A．
【变式1】“”是“复数为纯虚数”的（
)
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A；
【变式2】设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是(　
　)
A．z对应的点在第一象限　　　　　B．z一定不是纯虚数
C．z对应的点在实轴上方　　　　　D．z一定是实数
[答案]　C；
[解析]　∵2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，∴排除A、B、D，选C.
【变式3】复数（m2-5m+6）+(m2-3m)i是纯虚数，则实数m的值是（
）
A.3
B.2
C.2或3
D.0或2或3
答案：B；
【复数与复平面】
例2.当　)
A．第一象限
　　　B．第二象限　　　C．第三象限
　　　D．第四象限
[答案]　D；
[解析]　∵＜m＜1，∴3m－2>0，m－1＜0，
∴点(3m－2，m－1)在第四象限．
【变式1】在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　
　)
A．4＋8i
　　　　　B．8＋2i　　　　　C．2＋4i
　　　　　D．4＋i
[答案]　C；
[解析]　由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝＝2，y＝＝4，
∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.
【变式2】复平面内向量表示的复数为1＋i，将向右平移一个单位后得到向量，则向量与点A′对应的复数分别为(　
　)
A．1＋i,1＋i
　　B．2＋i,2＋i　　　C．1＋i,2＋i
　　D．2＋i,1＋i
[答案]　C；
[解析]　由题意＝，对应复数为1＋i，点A′对应复数为1＋(1＋i)＝2＋i.
【复数相等】
例3.若，，则复数的模是（
）
A.2
B.3
C.4
D.5
答案：D；
【变式】若x是实数，y是纯虚数，且3x＋1－2i＝y，则x＝________；y＝_______．
答案：x＝，y＝－2i
；
【复数的模】
例4.设复数z的模为17，虚部为－8，则复数z＝_____.
[答案]　±15－8i；
[解析]　设复数z＝a－8i，由＝17，
∴a2＝225，a＝±15，z＝±15－8i.
【复数的四则运算】
要点一、复数的加减运算
1.复数的加法、减法运算法则：
设，（），我们规定：
2.复数的加法运算律:
交换律：z1+z2=z2+z1
结合律:：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
要点二、复数的乘除运算
1．共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
通常记复数的共轭复数为。
2．乘法运算法则：
设，（），我们规定：
3．乘法运算律：
(1)交换律：z1(z2z3)=(z1z2)z3
(2)结合律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
(3)分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
要点三、复数运算的一些技巧：
1.
的周期性：如果n∈N，则有：
，，，（）
2.
3.
共轭复数的性质：两个共轭复数z、的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，
即，其中z=x+yi（x，y∈R）．
【复数的四则运算】
例5.已知i为虚数单位，则＝_______．
答案：0
【变式1】计算：＝（
）
答案：－3－i
【变式2】已知复数，则z4＝________．
答案：-4
【复数规律性计算】
例6.复数的值等于（
）
答案：-i
【变式1】
计算：等于（
）
答案：1
【变式2】算：=
答案：
【变式3】复数i＋i3＋i5＋…＋i33的值是(
)
答案：i
【复数设元法计算】
例6.复数z满足，那么＝（
）
答案：2－i
【变式1】若复数满足，则的虚部为（
）
A．
B．
C．1
D．
答案：D；
【变式2】设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于(　
　)
A．i
B．－i
C．±1
D．±i
[答案]　D；
[解析]　本题主要考查复数的运算．
设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
由z＋＝4，z
＝8得∴
∴z＝2＋2i，＝2－2i或z＝2－2i，＝2＋2i，＝＝－i或＝＝i.∴＝±i，故选D.
【变式3】是复数z的共轭复数，若复数z满足，则z=　
　．
；
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】计算题；转化思想；定义法；数系的扩充和复数．
【分析】直接利用复数的代数形式的混合运算，以及共轭复数的概念，即可求出．
【解答】解：∵
=1+i，
∴==，
∴z=，
故答案为：．
【点评】本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力．
【复数的模】
例7.若复数的模为，则实数a等于（
）
A．1
B．
C．
D．
答案：C；
【变式1】已知复数满足，则对应点所在的象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：D；
【变式2】是虚数单位，复数满足，则
．
答案：5；
【变式3】复数z满足，则z等于（
）
　A、1－　　　　　B、1　　　C、　　　D、
答案：C；
【变式4】在复平面内复数的模为，则复数在复平面上对应的点在（
）
A．第一象限　　　B．第二象限　　　C．第三象限　　　D．第四象限
【答案】C
【解析】＝，则由，解得．而，则，所以，，其在复平面上对应点为，在第三象限，故选C．
【复数的概念性问题】
例8.设有下面四个命题
：若复数满足，则；：若复数满足，则；
：若复数满足，则；：若复数，则.
其中的真命题为
A.
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【考点】复数的运算与性质.[]
【变式1】已知是复数，以下四个结论正确的是（　）
①若，则且；②若，则且；
③若，则；④若，则向量与重合.
Ａ_._仅②正确　　　　　Ｂ.仅②③正确　　　　Ｃ.②③④正确　　　Ｄ.仅②④正确
【答案】A
【变式2】在下列命题中，正确命题的个数为（
　）
①两个复数不能比较大小；
②，若，则；
③若是纯虚数，则实数；
④是虚数的一个充要条件是；
⑤若是两个相等的实数，则是纯虚数；
⑥的一个充要条件是．
Ａ．0
Ｂ．1
Ｃ．2
Ｄ．3
答案：Ｂ；
【复数的综合问题（提升）】
【提升1】如果复数Z满足，那么的最小值是________
答案：1；
【提升2】已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
答案：C
【提升3】设，则集合中的元素是________．
【答案】-2，2，0
【解析】，
n＝4k时，；
n＝4k+1时，；
n＝4k+2时，；
n＝4k+3时，．
【提升4】知，，对于任意，均有成立，试求实数的取值范围．
解：，
，
对恒成立．
当，即时，不等式成立；
当时，
综上，．
【提升5】设为坐标原点，已知向量，分别对应复数，且，，．若可以与任意实数比较大小，求，的值．
答案：解：，则的虚部为0，
．
解得或．
又，．
则，，，．
．
【提升6】设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.
(1)求z的实部的取值范围；
(2)设u＝，求证：u是纯虚数．
(3)求ω－u2的最小值．
[答案][分析]　本题涉及复数的概念、复数与不等式的综合应用，考查学生解综合题的能力．
[解析]　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R，且b≠0)，
则ω＝z＋＝a＋bi＋＝＋i.
∵ω∈R，∴b－＝0.
∵b≠0，∴a2＋b2＝1.
此时ω＝2a，又－1<ω<2，
∴－1<2a<2?－∴z的实部的取值范围是.
(2)证明：u＝＝＝＝－i.
∵a∈，b≠0，a，b∈R，
∴u为纯虚数．
(3)ω－u2＝2a＋＝2a＋
＝2a－＝2a－1＋＝2－3.
∵－0.
∴2－3≥2·2－3＝1.
当且仅当a＋1＝，即a＝0时取“＝”号，
故ω－u2的最小值为1.
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